均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”）
2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”
） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可
以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +
∈，且满足
134
x y
+=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0，所以
23434
3
x y x y
xy
+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，
于是
13
xy
≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求
11
x y
+的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16
2
1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立
技巧二：配凑项求 例2：已知5
4x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。 解：
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ?
?∴=-+=--++ ?--??
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解：
当
，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
变式：设2
3
0<
=??
? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即??
?
??∈=
23,043x 时等号成立。 例4. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 解：
当
,即
时,4
21)591
y x x ≥+?
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 练习：1、已知01x <<，求函数(1)y x x =-的最大值.；
2、2
03
x <<
，求函数(23)y x x =- 技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换） 错解
．．：
0,0x y >>，且
191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ??
+=++≥= ???
故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用基本不等式，在2
x y xy +≥等号成立条件是x y =，在
1992
x y xy
+≥等号成立条件是1
9
x y
=
即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：
19
0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y
??∴+=++=++≥+= ???
当且仅当
9y x
x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且
1=+y
b
x a ，求y x +的最小值
2：已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值。 (3) 设0,0.a b >>若11
333a
b
a b
+是与的等比中项，则的最小值为（ ）
． A ．8 B ．4 C ． 1 D ．
14
解析：因为333=?b
a
，所以1=+b a 。 又0,0,a b >>所以4222)11)((11=?+≥++=++=+b
a a
b b a a b b a b a b a ，当且仅当b a a b =即2
1
==b a 时取“=”。故选（Ｂ）．
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。例：求函数22
54
x y x +=
+的值域。
解：令
2
4(2)x t t +=≥，则2254
x y x +=
+221
1
4(2)4
x t t t x =++
=+≥+
因1
0,1t t t >?=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。 所以，所求函数的值域为5,2??+∞????
。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （
1
）
231,(0)
x x y x x
++=> （2）
1
2,33
y x x x =+
>- (3)
1
2sin ,(0,)sin y x x x
π=+
∈ 的最大值.
技巧六、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 2
2 。
同时还应化简1＋y 2
中y 2
前面的系数为 1
2
， x 1＋y 2 ＝x
2·1＋y 22
＝ 2
x ·
12 ＋y 22
下面将x ，
12 ＋y 2
2
分别看成两个因式： x ·
12 ＋y 2
2
≤x 2
＋(
12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 2
2 ＋12 2 ＝3
4
即x
1＋y 2 ＝ 2 ·x
12 ＋y 22 ≤ 3
4
2 技巧七：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab
的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b
b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜15
令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16
t ≥2
t ·16t
＝8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥
1
18
当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。 法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab
令u ＝ab 则u 2
＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1
18
点评：①本题考查不等式
ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230
ab a b =++）（+
∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式
ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.
变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧八、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 2
2
，本题很简单
3x ＋2y ≤ 2
（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2
3x ＋2y ＝2 5
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形
式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20
∴ W ≤20 ＝2 5
变式: 求函数152152()2
2
y x x x =-+-<<的最大值。
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8y x x x x x x =-+-=+--≤+-+-=
又0y >，所以022y <≤ 当且仅当21x -=52x -，即3
2
x =
时取等号。 故max 22y =。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。
技巧9：消元
例1.设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2
y xz 的最小值是_________.
2222
3,0,,2
9666=3,443,,=3
3.x z
x z y y x z xz xz xz xz xz xz
y
x z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得
当且仅当即时，取“”.
故的最小值为 技巧10.换元
例1. 求函数
2
25x y x +=
+的最大值.
222,0,2,(0)
21
00;112014
122212
2=.
232
,.
24x t t x t t y t t t y t y t t t t t t t x +=≥=-=≥+==>=
≤
=+
?
==-解：令则
当时，当时，当且仅当，即时，取等号所以时取最大值为
练习题：
1.若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1
b
，则α＋β的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2. 已知三个函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝8x 的图象都过点A ，且点A 在直线x m ＋y
2n
＝1(m >0，n >0)
上，则log 2m ＋log 2n 的最小值为________．
3. 已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1
c
的最小值为________．
4. 设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →
＝23，∠BAC ＝30°，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝????12，x ，y ，则1x ＋4
y 的最小值是________．
5. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1
x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，
每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
6. 设正实数,,x y z 满足22
340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,
212x y z +-的最大值为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．9
4
D ．3
7.已知2
2
2
,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为______.
8. 已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=
14a b +的最小值是 A ．72 B ．4 C ． 9
2 D ．5
9. 设,x y 为实数，若22
41,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．。
10.已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 11. 设0a ＞b ＞，则()
2
11
a a
b a a b +
+-的最小值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 B. 4 C. D. 11
2
11.
习题答案：1. ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ?1＋1a ＋1
b ＝1＋
a ＋
b ab ＝1＋1
ab ，∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤(a ＋b )24＝14
.∴原式≥1＋4.当且仅当a=b=1/2时，∴α＋β的
最小值为5.故选D.
2. 由题易得，点A 的坐标为(2,4)，因为点A 在直线x m ＋y
2n ＝1(m >0，n >0)上，所以1
＝2m ＋42n
≥22m ·4
2n
，∴mn ≥16，所以log 2m ＋log 2n ＝log 2(mn )≥4，当且仅当m=n=4时，故log 2m ＋log 2n 的最小值为4.
3.[答案] 6＋4 2 [解析]
1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c
＝????2b a ＋a b ＋????c a ＋a c ＋????c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，
等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b
c 同时成立时成立．
即a ＝c ＝2b ＝1－2
2
时等号成立． 4.[答案] 18
[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →
|cos30° ＝
3
2
|AB |·|AC |＝23，∴|AB |·|AC |＝4， 由f (M )的定义知，S △ABC ＝1
2＋x ＋y ，
又S △ABC ＝1
2|AB |·|AC |·sin30°＝1，
∴x ＋y ＝1
2
(x >0，y >0)
∴1x ＋4y ＝2(x ＋y )????1x ＋4y ＝2????5＋y x ＋4x y ≥2(5＋24)＝18，等号在y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时成立，∴????
1x ＋4y min ＝18.
5. [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3
Q
×150%＋x
Q
×50%，
∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋x
Q ×50%)·Q
＝32(32Q ＋3)＋1
2
x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋1
2x －(32Q ＋3)－x
＝1
2(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则
W ＝－(t －1)2＋98(t －1)＋352t ＝50－????t 2＋32t . ∵t ≥1，∴t 2＋32t
≥2
t 2·32
t
＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32
t ，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.
即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．
6.B ；
7.12；
8.C ；
9. 210
5
10.解析：考察均值不等式
2
228)2(82??
? ??+-≥?-=+y x y x y x ，整理得()()0322422
≥-+++y x y x
即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x
11.解析：
()
211a ab a a b +
+
-w_w w. #s5_u.c o*m
＝
211()
a a
b ab ab a a b -++
+
-＝
11()()
ab a a b ab a a b +
+-+-≥2＋2＝4，当且仅当ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立 如取a ＝2,b ＝2
2
满足条件. 答案：D