浙江省镇海中学2015届高三第一次联考数学(理)试题

镇海中学2015届高三（理）第一次联考数学试题卷

2014.11.17

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：

如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式

()()()P A B P A P B +=+ V Sh =

如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高

()()()P A B P A P B ?=? 棱锥的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 1

3

V Sh =

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高

()()

()1,0,1,2,,n k

k k

n n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式

球的表面积公式 24S R π=

()1213

V h S S =

球的体积公式 34

3

V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你

认为正确的选项答在指定的位置上。）

1．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且R (C )R A

B =，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1a ≤

B ．1a <

C ．2a ≥

D ．2a >

2．函数[)

23,

(,1)log ,1,x x y x x ?∈-∞?=?∈+∞??的值域为 （ ）

A ．()0,3

B ．[]0,3

C ．(]3,∞-

D ．[)+∞,0

3．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =?，则“()f x 、()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的 （ ） A ．充要条件

B ．充分而不必要的条件

C ．必要而不充分的条件

D ．既不充分也不必要的条件

4．如图所示程序框图中，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）

A ．c x <

B ．x c <

C ．c b <

D ．b c <

5．若实数x y ，满足1000x y x y x ?-+?+???

，

，，≥≥≤则2z x y =-的最小值是（ ）

A ．0

B ．32

-

C ．2-

D ．3-

6．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为 （ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

7．设(),1A a 、()2,B b 、()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →、OB →OC →

在方向上的投影相等，则

a 与

b 满足的关系式为 （ ）

A ．354=-b a

B ．345=-b a

C ．1454=+b a

D ．1445=+b a

8．从正方体1111ABCD A B C D -的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （ ） A ．8种

B ．12种

C ．16种

D ．20种

9. 已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于

,P Q 两点.若P 恰为线段1FQ 的中点,且12QF QF ⊥,则此双曲线的渐近线方程为（ ）

A ．2y x =±

B ．3y x =±

C ．y =

D ．y =

10．若函数()cos (0,)f x x x =+∞在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,

,

,n a a a 则对任意正整数n

必有 （ ） A ．2

31ππ<-<+n n a a

B ．ππ<-<+n n a a 12

C ．2

01π<-<+n n a a

D ．02

1<-<-+n n a a π

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．若a 为实数，i

=，则a 等于 ．

12．若32n

x

? ?的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．

13．在ABC △中，若1

tan 3

A =

，150C =，1BC =，则AB = ． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． 15．设向量,,a b c 满足230a b c ++=，且()

2a b c -⊥．若1a =，则b = ．

16．甲、乙等五名志愿者被随机地分到A B C D 、、、四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，则ξ的数学期望为 ．

17．在长方形ABCD 中，3,1,AB BC == E 为DC 的三等分点（靠近C 处），F 为线段EC 上一动点（包括端

点），现将AFD ?沿AF 折起，使D 点在平面内的射影恰好落在边AB 上，则当F 运动时，二面角D AF B --平面角余弦值的变化范围为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本小题满分14分）

已知函数2

3cos sin cos 3)(2-

?+=

x x x x f .

（I ）求函数)(x f 的最小正周期T 和函数)(x f 的单调递增区间； （II ）若函数)(x f 的对称中心为(),0x ，求[)0,2x π∈的所有x 的和．

19．（本小题满分14分）

已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=． （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{}n b 满足: 11b a =且()

*

12,n n n b a b n n N -=+≥∈，求数列{}n b 的通项公式．

20．（本小题满分15分）

如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ．点M 在AC 上移动，点N 在

BF 上移动，若a BN CM ==(0a <<．

（I ）当a 为何值时，MN 的长度最小；

（II ）当MN 长度最小时，求AB 与平面AMN 所成角α的正弦值．

21．（本小题满分15分）

已知()()2,32,3M N -、两点在以()2,0F 为右焦点的椭圆

()22

22:10x y C a b a b

+=>>上，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于点,A B （

,A B 在直线MN 的两侧）．

（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）求四边形ANBM 面积的最大值．

22．（本小题满分14分）

已知函数()()2

()ln f x x a x x

a R =--∈．

（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点()(

)

1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在[]1,2的最大值．

数学（理科）参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分,共28分，把答案填在答题卷上）

11、、7 13、13 15、12 16、54 17、11,94??

????

三、解答题（本大题共5题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 18、（本小题满分14分） （I ）由题得：()??

?

?

?

+=32sin πx x f …………….3分 ππ

==∴2

2T …………….5分 令Z k k x k ∈+≤

+

≤+-

,22

3

222

ππ

π

ππ

可得：递增区间为5,,1212k k k Z ππππ??

-++∈????

…….8分

（II ）令2,3

x k k Z π

π+

=∈

可得：,6

2

k x k Z π

π

=-

+

∈ ………….10分 [)0,2x π∈ ∴k 可取1,2,3,4 ………………….12分 ∴所有满足条件的x 的和为：

258111366663

πππππ

+++= …………….14分

19、（本小题满分14分） （I ）由题得：??

?

=+=+=?16

55726363a a a a a a ………….2分

又 公差0d > ???==∴115

6

3a a ……………………….4分

12,2-==∴n a d n ……………….7分 （II ）

1n n n b a b -=+()*2,n n N ≥∈

121n n b b n -∴-=-()*2,n n N ≥∈ ………….9分

()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+

+-+ ()*2,n n N ≥∈

且111b a == ………….11分

2212331n b n n n ∴=-+-+

++= ()*2,n n N ≥∈

()

2*

n b n n N ∴=∈ …………….14分

20、（本小题满分15分）

（I ）以B 为原点，BA BE BC 、、分别为x y z 、、轴建立的空间直角坐标系，则

???? ??0,22,22a a N ，???

?

??-a a M 221,0,22 …….2分 ∴21

)22(2222122

2+-=???? ??+???? ?

?-=a a a MN ……….5分

所以，当时，2

2

=

a ，MN 的长度最小. ……….6分 （II ）当22=

a 时 ??? ??21,0,21M , ??

?

??0,21,21N 又()0,0,1A ….8分

∴??? ??-

=21,0,21AM ，??

?

??-=0,21,21AN …………….10分 ∴可取平面NMA 的法向量()1,1,1= ………….12分

()0,0,1-

=

AB

∴AB与平面AMN所成角α

的正弦值为

3

3

sin=

=

α…………….15分（用传统几何方法做酌情给分）

21、（本小题满分15分）

（I ）右焦点为()

2,0

F∴左焦点为()

'2,0

F-………….1分

'

28

a MF MF

∴=+=4

a=…………….4分

即：2222

16,12

a b a c

==-=…………….6分

∴椭圆C的方程为：

22

1

1612

x y

+=…………….7分

（II）设:l y x m

=+，联立

22

1

1612

x y

y x m

?

+=

?

?

?=+

?

可得：22

784480

x mx m

++-=….9分

A B

x x

∴-=………….11分

∴四边形ANBM的面积

1

2A B

S x x MN

=-?=

即:S≤………….13分

等号成立当且仅当0

m=时 , 验证0

m=交点在直线MN两侧成立 (14)

分

∴面积的最大值为

7

………………….15分

22、（本小题满分14分）

（I）当1

a=时2

()ln

f x x x x

=-+()

'

1

21

f x x

x

=-+………………….3分()()

'

10,10

f f

∴==即：所求切线方程为：0

y=………………….6分（II）()

2

'

121

2,0

ax ax

f x ax a x

x x

-++

=-+=>

∴当0

a=时，()

'0

f x>()

f x在[]

1,2上递增

∴()()max 2ln 2f x f == ………….7分 当0a ≠时 可令()[]221,1,2g x ax ax x =-++∈

()g x 的对称轴1

4

x =

且过点()0,1 ∴当0a <时，()'0f x >在[]1,2恒成立 ()f x 在[]1,2上递增

∴()()max 2ln22f x f a ==- ………………….9分

当0a >时，

若()10g ≤，即：1a ≥时，()'0f x <在[]1,2恒成立

()f x 在[]1,2上递减 ∴()()max 10f x f == ………………….10分

若()()10,20g g ><，即：

1

16

a <<时， ()'

f x

在?????

上大于零，在2?

????

上小于零 ()f x

在1,4a a ?+?????

上递增，在,24a a ??

+

? ???

上递减 ∴(

)max

4

ln

448a a a f x f a a ??+-==+ ? ???

………….12分 若()()10,20g g >≥，即：1

06

a <≤

时， ()'0f x >在[]1,2恒成立 ()f x 在[]1,2上递增

∴()()max 2ln22f x f a ==- ….13分

综上：(

)max

1ln 22,61160,1a a f x a a ?

-≤??

?=+<

≥???

….14分