线性代数电子教案LA5-1B

第五章矩阵的相似变换

§5.1 矩阵的特征值与特征向量

定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量．特征方程：0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(d e t =-?E A λ

0)(d e t =-?A E λ 特征矩阵：E A λ- 或者 A E -λ

特征多项式：λ

λλ

λλ?---=

-=nn n n n

n a a a a a a a a a E A

22221112

11)(de t )(

])1([01110n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ

例1 求????

?????=122212221A 的特征值与特征向量．

解 2)1)(5(122

2122

21)(+-=---=

λλλ

λλ

λ? 0)(=λ??1,5321-===λλλ 求51=λ的特征向量：

??????????---=-4222422245E A ??

???

?????--→000110101行

, ??????????=1111p )0(11

1≠=k p k x

求132-==λλ的特征向量：

??????????=--222222222)1(E A ??????????→000000111行, ??????????-=0112p , ??

???

?????-=1013p 3322p k p k x += （32,k k 不同时为0）

例2 求???

??????--=201034011A 的特征值与特征向量．

解 2)1)(2(20

0340

11)(--=-----=

λλλ

λ? 0)(=λ??1,2321===λλλ 求21=λ的特征向量：

????????--=-0010140132E A ?????

????→000010001行, ???

???????=1001p

)0(111≠=k p k x

求132==λλ的特征向量：

??????????--=-1010240121E A ???

???????→000210101行, ?????

?????--=1212p

)0(22

2≠=k p k x

[注] 在例1中, 对应2重特征值1-=λ有两个线性无关的特征向量；在

2中, 对应2重特征值1=λ只有一个线性无关的特征向量．

一般结论：对应r 重特征值λ的线性无关的特征向量的个数r ≤．

定理1 设n n ij a A ?=)(的特征值n λλλ,,,21 , nn a a a A +++= 2211tr , 则 (1) n A λλλ+++= 21tr ； (2) n A λλλ 21det =．证由特征值的定义可得

λλ

λλ?---=-=nn n n n n a a a a a a a a a E A

2222111211)(de t )(

)()())((22211λλλλ-+---=n nn f a a a

)()()()1()1(22122111λλλλ----+++++-+-=n n n nn n n n f g a a a 其中)(,)(22λλ--n n f g 都是次数不超过2-n 的多项式．由题设, 又有 )())(()(det )(21λλλλλλλλ?---=-=n E A

)()()1()1(211211n n n n n n λλλλλλλλ +++++-+-=--

比较多项式同次幂的系数可得

n nn a a a λλλ+++=+++ 212211 n A λλλ? 21)0(d e t ==

推论 ?=0d e t A

0是A 的特征值．

一元多项式：m m t c t c t c c t f ++++= 2210)(

矩阵多项式：m m A c A c A c E c A f ++++= 2210)( ),(n n n E A ? 定理2 设)0(≠=x x x A λ, 则 (1) x f x A f )()(λ=； (2) 0)()(=?=λf O A f ．

证 (1) 因为 x x A x x A k k λλ=?= （ ,2,1=k ）所以 x A c x A c x A c x E c x A f m m ++++= 2210)( x f x c x c x c x c m m )(2210λλλλ=++++= (2) 0)(0)()()(=?===?=λλf x O x A f x f O A f )0(≠x

[注] 一般结论：若A 的全体特征值为n λλλ,,,21 ,则)(A f 的全体特征值为)(,),(),(21n f f f λλλ ．

例3 设33?A 的特征值为3,2,1321-===λλλ, 求 )3(det 3E A A +-．解设13)(3+-=t t t f , 则E A A A f +-=3)(3的特征值为 17)(,3)(,1)(321-==-=λλλf f f 故 51)17(3)1()3(det 3=-??-=+-E A A

定理3 设n n A ?的互异特征值为m λλλ,,,21 , 对应的特征向量依次为 m p p p ,,,21 , 则向量组m p p p ,,,21 线性无关．证采用数学归纳法．

1=m 时, 110p p ?≠线性无关．

设l m =时, l p p ,,1 线性无关, 下面证明11,,,+l l p p p 线性无关．设数组11,,,+l l k k k 使得

01111=+++++l l l l p k p k p k )1( 左乘A , 利用i i i p Ap λ=可得

0111111=++++++l l l l l l p k p k p k λλλ )2( )1()2(1+-l λ： 0)()(11111=-++-++l l l l l p k p k λλλλ

因为l p p ,,1 线性无关（归纳法假设）, 所以

0)(,,0)(1111=-=-++l l l l k k λλλλ 0,,01==?l k k 代入)1(可得 00111=?=+++l l l k p k ．故11,,,+l l p p p 线性无关．根据归纳法原理, 对于任意正整数m , 结论成立．

定理4 设n n A ?的互异特征值为m λλλ,,,21 , 重数依次为m r r r ,,,21 ,

对应i λ的线性无关的特征向量为)()

(2)(1,,,i l i i i p p p ),,2,1(m i =, 则向量组)()(1)1()1(1,,,,,,1m l m l m

p p p p 线性无关．（自证）

§5.2 相似对角化

1．相似矩阵：对于n 阶方阵A 和B , 若有可逆矩阵P 使得B AP P =-1, 称A 相似于B , 记作B A ~． (1) A A ~： A AE E =-1 (2) A B B A ~~?： A P B P =---)()(111 (3) C A C B B A ~~,~? 性质1 B A B A det det ~=?．

性质2 A 可逆, ?B A ~B 可逆, 且11~--B A ．性质3 m m B A kB kA B A ~,~~? （m 为正整数）．性质4 )(t f 为多项式, )(~)(~B f A f B A ?．性质5 )(det )(det ~E B E A B A λλ-=-? ?A 与B 的特征值相同

证由B AP P =-1可得 P E A P E AP P E B )(11λλλ-=-=--- P E A P E B d e t )d e t (d e t )(d e t 1?-?=--λλ

)d e t (d e t )d e t ()d e t (1E A P E A P λλ-=?-?=-

2．相似对角化：若方阵A 能够与一个对角矩阵相似, 称A 可对角化．定理5 n 阶方阵A 可对角化A ?有n 个线性无关的特征向量．证必要性．设可逆矩阵P 使得

Λλλd e f

=????

?????=-n AP P 即ΛP AP =．划分[]n p p P 1=, 则有 [][]Λn n p p p p A 11= [][]n n n p p p A p A λλ 111=? ),,2,1(n i p p A i

i i ==?λ

因为P 为可逆矩阵, 所以它的列向量组n p p ,,1 线性无关．上式表明：n p p ,,1 是A 的n 个线性无关的特征向量．充分性．设n p p ,,1 线性无关, 且满足),,2,1(n i p p A i i i ==λ,

则[]n p p P 1=为可逆矩阵, 且有

[][]n n n p p p A p A AP λλ 111== []ΛΛP p p n == 1 即Λ=-AP P 1．

[注] ΛΛ?~A 的主对角元素为A 的特征值．推论1 n n A ?有n 个互异特征值A ?可对角化．

推论2 设n n A ?的全体互异特征值为m λλλ,,,21 , 重数依次为m r r r ,,,21 , 则A 可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值i λ,A 有i r 个线性无关的特征向量．

例4 判断下列矩阵可否对角化：

(1)??

????????---=6116100010

A , (2)????

?????=122212221A , (3)????

?????--=201034011A 解 (1) )3)(2)(1()(+++-=λλλλ?

A 有3个互异特征值 A ?可对角化

对应于3,2,1321-=-=-=λλλ的特征向量依次为

??????????-=1111p , ??????????-=4212p , ????

?????-=9313p

构造矩阵 ??????????---=941321111P , ??

???

?????---=321Λ 则有 Λ=-AP P 1．

(2) 2)1)(5()(+--=λλλ?

例1求得A 有3个线性无关的特征向量 A ?可对角化对应于1,5321-===λλλ的特征向量依次为

???

???????=1111p , ??????????-=0112p , ??

??????-=1013p

构造矩阵 ??????????--=101011111P , ??

???

?????--=115Λ 则有 Λ=-AP P 1．

(3) 2)1)(2()(---=λλλ?, 例2求得, 对应于2重特征值132==λλ, A 只有1个线性无关的特征向量 A ?不可对角化．

例5 设????

?????=122212221A , 求),3,2( =k A k ．

解例4求得 ??????????--=101011111P , ??

???

?????--=115Λ, 使得 Λ=-AP P 1：11,--==P P A P P A k k ΛΛ

故 ????

?????----????????

?--???????????--=21112111131)1()1(5

101011111k k

k A ???

???

?+---+---+=δδ

δδδδ

δδδ

25555255552531k k k

k k k k k k （k )1(-=δ）

《线性代数》教学中若干难点的探讨.doc

《线性代数》教学中若干难点的探讨- 摘要：在《线性代数》的教学过程中，有很多抽象的概念学生很难理解，比如线性相关、线性无关，极大线性无关组、向量组的秩等等。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，化抽象为具体，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。一、线性相关性与线性无关性线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。

线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。例如，对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解为b=（λ1，λ2，…，λs）这样的一个行向量。如果向量组有两个列向量构成，即α1，α2，则b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，则经过变换可以得到α1=■，这说明α1和α2共线。对于有三个向量构成的向量组，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，经变换得到α1=■+■，这说明α1，α2，α3三个向量共面。对于两个向量，线性相关指两向量平行（或者说是共线），此时只是在线上的关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，确定了一个二维平面。线性无关提供了另一种维度，使得向量所在空间增加了一维。对于三个向量，线性相关指三向量共面，研究的是二维平面，而线性无关指三向量不共面，使得向量所在空间增加了一维，即三个向量若线性无关，那么它们不共面，存在于三维立体空间中。四个向量，五个向量，…，研究方法类似。结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念，学生更易于接受，而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。二、极大线性无关组及向量组的秩

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分) 1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)

数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一）课程：线性代数教学内容：矩阵数学模型：生态学：海龟种群统计数据该模型在高等数学教学应用的目的： 1．通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。 2．使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。 3．巩固矩阵的概念和计算。生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是 111i i d i i i d i s p s s -??-= ?-?? 种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是 ()11i i d i i i d i s s q s -= - 如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵

12341 2233 400000 p e e e q p L q p q p ?? ? ?= ? ??? 那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是 0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ?? ? ?= ? ??? 假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算 100 0127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ?????? ??? ? ??? ?=== ??? ? ??? ??????? （这里的计算进行了四舍五入）。为了得到2年后的种群数，再用矩阵L 乘一次。 2210x Lx L x == 一般来说，k 年后的种群数由公式0k k x L x =给出。为了了解更长时期的趋势，计算出x 10、 x 25和x 50，如下表所示。这个模型预测50年后繁殖期的海龟总数下降了80%。下面的文献[1]介绍了一个七阶段的种群动态模型，文献[2]是莱斯利原来那篇文章。思考：海龟最终是否会灭绝？如果不灭绝，海龟种群数有无稳定值？该模型用到了那些数学知识？该模型可以进行怎样的推广？参考文献 1. Crouse, Deborah T., Larry B. Crowder, and Hal Caswell, “A Stage-Based Population Model for Loggerhead Sea Turtles and Implications for Conservation,” Ecology , 68(5), 1987 2. Leslie, P. H., “On the Use of Matrices in Certain Population Mathematics,” Biometrika , 33, 1945.

线性代数重点难点

自考《线性代数》重难点解析 2011-02-17 11:09:49 | 作者: min | 来源: 考试大 | 查看: 第一章行列式一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│ 2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│ 3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1 若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1 4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法）

1）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题 1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式 2a ab b b =___________。（2）二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。（3）二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。（4）三阶行列式x y z z x y y z x =___________。（5）三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题（1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。（2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。（5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

数学建模案例线性代数教学研究

数学建模案例线性代数教学研究摘要：本文通过分析线性代数课程的特点和目前教学中出现的问题，从数学建模思想入手，结合几个案例探讨了线性代数中矩阵的概念与运算、特征值和特征向量的应用等知识点。具体阐述了将数学建模思想融入线性代数教学过程中的重要性，增强了学生利用数学建模思想解决实际问题的能力。关键词：线性代数；数学建模；教学方法线性代数是高校理工科专业大一新生的一门重要的公共基础课程，它不仅是很多高年级的课程的延伸和推广，而且它在数学、物理、控制科学、工程技术等领域也具有广泛的应用，特别是当前计算机科学技术人工智能的快速发展，使得线性代数的作用和地位得到更大的提升。因此，线性代数这门课程学习效果的好坏对学生知识能力的培养和后继课程的开展至关重要。但是，目前线性代数的教学仍然存在一些问题，具体表现为：第一，线性代数的教学模式偏重于理论教学，无法激起学生的学习兴趣。线性代数的概念多，理论性强，抽象晦涩，难以理解，更加加深了学生学习线性代数的难度，降低了学生的学习兴趣。第二，学生的基础较差，课程数较少，导致学生的学习困难。学生来源于不同的地区，生源素质差异较大，使得课堂出现两极分化现象，致使线性代数的教学质量无法全面提升。第三，教学中缺乏实际的应用背景，学生无法理解线性代数作为一门重要基础课程的意义。众所周知，数学建模就是根据实际问题建立数学模型，然后运用数学知识对模型求解，最后根据计算结果来解决实际问题的过程[1]。基于此，本文将数学建模的思想融入线性代数的教学过程中，通过适当引入典型的建模案例[2，3]，达到吸引学生的注意力和学习兴趣的目的，从而活跃课堂教学氛围，提高教学效果。与此同时，在上课过程中讲授数学建模案例还可以增加老师和学生之间的互动性，丰富课堂教学的内容，开阔学生的眼界，使得原本抽象、枯燥乏味的概念和定理变得生动有趣，进而激发学生学习线性代数的兴趣，提升学生学习数学的素养。 1 数学建模案例在线性代数中的应用线性代数教学中有许多定义和定理抽象晦涩、难以理解，学生上课中往往不知所云，更不知道学习了相关知识有什么作用。如果在教学过程中我们融入

线性代数考试练习题带答案(6)

线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案第一章线性方程组与矩阵授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，

a b+

21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

线性代数易错点及重点知识点

线性代数易错及重点知识点翔翔总结，不晓得大家看得懂不 3 24712432的余子式是327134722412，而不是23271 上三角和下三角行列式都是a1a2a3.....an=A 反三角行列式为A*（-1）^n(n-1)/2 行列式的一行的代数余子式分别乘以另一行元素，值为零。正反三角行列式如果不记得公式了，可以通过上下换行的形式变成正三角行列式。克莱姆法则D=222112 11a a a a ,D1=22 2121a b a b D2=22211211a a a a x1=D1/D 同理x2=D2/D 范德蒙法则：行列式的值=(x n -x n-1)(x n -x n-2)……(x n -x 1)(x n-1-x n-2……)(x 2-x 1) 若一个线性方程组有非零解，则它的行列式式值等于零。行列式中行叫c ，列叫r 写行列式变换过程中要在等号上写变换方法，如c2-c3.不然老师看不懂步骤，无法给分化三角行列式先化第一列，在化第二列，按顺序来化，这样才不会出现问题。 n 维向量分横向量和列向量。写向量时一定要记得在上面加箭头任意一个n 维向量都能由n 个n 维单位向量线性表示如果b1=k1a1+k2a2+k3a3,线性表示不一定要求k1,k2,k3不全为零。如果一个向量a 线性相关，则a=0 由一个非零向量构成的向量组一定线性无关。即a ≠0则a 这个向量组线性无关。含有零向量的向量组一定线性相关例a1=（1，1）a2=（2，3）求这两个向量组是否线性相关解：k1a1+k2a2=0 k1(1,1)+k2(2,3)=0 K1+2k2=0 k1+3k2=0 3 121≠0所以k 全是零解，所以线性无关 a3=a1+a2,则a1,a2,a3线性相关一个向量组中的一个向量可由其他向量线性表示，那么这个向量组线性相关，能线性表示不一定要k 不全为零，但是线性相关一定要不全为零两个向量线性相关除非他们对应分量成比例。如果一个向量组一部分向量线性相关，则，整个向量组线性相关。一个向量组线性无关，那么它的一部分也线性无关向量组线性相关，减少其中几维一样线性相关，向量组线性无关，增加几维向量一样无关。应用：要证线性相关，则增加维，如果增加后相关，则原向量组相关。要证线性无关，则减少维，如果减少后无关，则原向量组无关。要证线性相关，则增加向量个数，如果增加后相关，则原向量组相关。要证线性无关，则减少向量个数，如果减少后无关，则原向量组无关。向量个数大于维数一定线性相关一个向量组的每个最大线性无关组中的向量个数一定相等向量空间：线性无关组ab ……n 若a+b ……n 属于v Ramada a 属于v 则v 为向量空间v 的维数就是向量组的秩，a b ……n 称为空间的基

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题一．单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

自考《线性代数》重难点解析与全真练习

自考《线性代数》重难点解析与全真练习第一章行列式一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。三、重要公式 1若A为n阶方阵，则|kA| = kn | A I 2、若A、B均为n阶方阵,AB丨=| A |。丨B丨 3、若A为n阶方阵，则|A* | = | A | n-1 若A为n阶可逆阵，则|A-1 | = | A | -1 4、若A为n阶方阵，入i （i=1 , 2,…，n）是A的特征值，| A | =口入i 四、题型及解题思路 1 、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1 ）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法,多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D = | A |丰0,则Ax=b有解，即 x1=D1/D, x2= D2/D ,…, xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式A 判别方程组解的问题 1）当| A | = 0时，齐次方程组Ax= 0有非零解；非齐次方程组解,也可能有无穷多解） 2）当| A |丰0时，齐次方程组Ax= 0仅有零解；非齐次方程组克莱姆法则求出。、重点 1 、理解：矩阵的定义、性质, 几种特殊的矩阵（零矩阵,上（下）对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法Ax= b 不是解（可能无Ax= b 有解,此解可由三角矩阵,对称矩阵,

线性代数复习题及答案

《线性代数复习提纲及复习题》理解或掌握如下内容：第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式，行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。第二章矩阵及其运算矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。第三章线性方程组ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩；齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。复习题：一、填空（1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为负；（2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0）；（3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性无关；（4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ；（5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ；（6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ；（7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ；（8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解；（9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的充要条件；

线性代数课程教学总结

线性代数课程教学总结《线性代数课程教学总结》的范文，这里给大家。篇一：线性代数课程总结线性代数精讲曾经我学过线性代数，但是没有深入的学习，所有一直希望有一个机会能够深入学习线性代数的机会。没有想到的是，今年的选修课给了我这样一个机会。线性代数精讲，当我看到它的时候，毅然的选了这门选修课。现在这学期快要结束了，当然这门选修课也即将结束，在这里我想总结一下这门选修课给我带来的帮助。首先从专业来说，对于学习计算机的人来说，数学的重要性不言而喻。打一个比方，数学就好比计算机的左膀右臂。对于想深入学习计算机的人来说，数学必须学得很好。所以线性代数这门课对我来说很重要，它与我们所讲的数据结构中的图有很大的联系。通过这门课程的学习，我已经深入了解了线性代数，它使我对原来学过的某些知识有种恍然大悟的感觉。以后我还会继续学习线性代数这门课程，我相信它给我带来的还远不止这些。其次，从考研方面来说，对于考研考试中的数学试卷，线性代数占有很大的比重，这也显现出来线性代数对考研的学生来说有多么重要。我是一个将在后年要参加考研的学生，能听到线性代数精讲这样一门课，我很高兴。在这门课程的学习过程中，老

师深入地讲解了线性代数，让我的考研之路轻松了不少。而且，老师在将课的同时还插入例如考研真题，这是最让我感激的地方。有这样的辅导，我的线性代数还愁不过吗？最后，我想从对实际生活的影响方面来说，生活中的思维模式是数学思维模式的一种映射。从某一个方面来说吧，比如做数学中的证明题，每一步都不是凭空而来的，精品而是根据题中的实际要求一步一步推出来的，这就好比做生活中的某件事，如果没有一步一步踏踏实实的走过，是不可能有好的结果的。这门课的讲解，让我对数学的思维模式有了更深入地了解，对生活也有了更深入的认识。通过这半学期的学习，让我学到了很多，我想说对老师说声谢谢。希望这门课能够一直的讲下去，让更多学弟学妹们受到帮助。篇二：线性代数课程总结线性代数课程总结第一章行列式 1.1二阶、三阶行列式（一）二阶行列式（二）三阶行列式 1.2 （二）

(完整版)线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式：证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.

8线性代数练习题(带解题过程)

０线性代数试题一填空题 ◆1．设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ；【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意：为什么是3 )1(- ◆2．设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β，如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

１法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==，切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！ ◆3．设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性

线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和勺L =力（jW'g 叫?叫（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转宜行列式D = D r ） ② 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③ 常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行推论：行列式中某一行 ④ 行列式具有分行 ⑤ 将行列式某一行行列式依行（列）展开：余子式M”、代数余子式州=（-1）砒定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则： 0 非齐次线性方程组：当系数行列式￡＞工0时，有唯一解：Xj= +（j = l 、2......n ）齐次线性方程组：当系数行列式D = 1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式: 5 铅 a l3 5 ?21 ①转置行列式: ?21 a 22 U 23 "12 ^22 °32 Cl 3\ Cl 32 °33 勺3 ?23如 ②对称行列式:gj = 5 ③反对称行列式:勺= ~a ji 奇数阶的反对称行列式值为零务2 a !3 ④三线性行列式: “22 0 方法：用?“22把"21化为零，。。化为三角形行列式 0 "33 （列）（列）成比例，则行列式值为零；元素全为零，行列式为零。可加性的k 倍加到另一行（列）上，值不变

⑤上（下）三角形行列式:

行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法.升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：A 〃伤（零矩阵、负矩阵、行矩阵.列矩阵.n 阶方阵、相等矩阵）矩阵的运算：加法（同型矩阵） ------- 交换、结合律数乘kA = （ka ij ）m .n ---- 分配、结合律注意什么时候有意义一般AB*BA,不满足消去律：由AB=O,不能得A=0或B=0 (M)r = kA T (AB)T = B T A r (反序定理) 方幕：A kl A kz =A k ^kl 对角短阵：若 AB 都是N 阶对角阵，k 是数，贝ij kA 、A+B 、 A3都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方制是0 数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的. 力"=3（非奇异矩阵、奇异矩阵IAI=O.伴随矩阵）初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 仔加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）（I o\ 等价标准形矩阵r O O 乘法转置(A T )T = A (A + B)T =A r +B 1 几种特殊的矩阵: 分块矩阵：加法,