分形学

分形学

目录

[分形学] 基于L 系统绘制Hilbert (希尔伯特) 曲线 (1)

[分形学] 谢宾斯基(Sierpinski) 三角形，也叫垫片 (4)

[分形学] 可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码 (6)

[分形学] Julia Set (茱莉亚集) VC 源代码 (14)

[分形学] Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码 (18)

[分形学] 基于 L 系统绘制 Hilbert (希尔伯特) 曲线

作者：yangw80德国数学家 David Hilbert 发现了这样一种可以填满整个单位正方形的分形曲线，称它为 Hilbert 曲线。具体的我就不多做介绍了，相关内容请自己搜索。这里只说程序。

程序执行后，按数字键 1～8 可以显示相应阶数的 Hilbert (希尔伯特) 曲线，按 ESC 退出。

五阶 Hilbert (希尔伯特) 曲线的执行效果如下：

代码如下：

// 程序名称：Hilbert (希尔伯特)曲线 (基于 L 系统绘制)

// 编译环境：Visual C++ 6.0，EasyX 2011惊蛰版

// 最后修改：2011-3-7

//

#include

#include

int g_len; // Hilbert 曲线的单位长度

// 递归绘制 Hilbert 曲线

void hilbert(LPCTSTR cmd, int level)

{

static BYTE d = 0; /

static POINT c[4] = {1, 0, 0, -1, -1, 0, 0, 1}; // 方向对应的轴系

数

if (level < 0) return;

// 处理命令字符串

int i = 0;

while(cmd[i])

{

switch(cmd[i++])

{

case '+': d = (d + 1) & 3;

case '-': d = (d - 1) & 3;

case 'X': hilbert("+YF-XFX-FY+", level - 1);

break;

case 'Y': hilbert("-XF+YFY+FX-", level - 1);

break;

case 'F': linerel(c[d].x * g_len, c[d].y *

g_len); break;

}

}

}

// 主函数

void main()

{

// 设置绘图环境

initgraph(800, 600); // 设置窗

口大小

outtextxy(20, 550, "按 1～8 显示不同级别的 Hilbert 曲线，按 ESC 退出。

");

rectangle(143, 23, 657, 537); // 绘制表

示范围的矩形框

setorigin(144, 24); // 设置原点setcolor(RED); // 设置颜色setfillstyle(BLACK);

int level = '5';

// 设置初始级别

do

{

if (level >= '1' && level <= '8') // 仅处理 1～8

{

level -= '0'; // 转换为对

bar(0, 0, 511, 511);

// 清空绘图区

g_len = 512 >> level;

// 计算单位长度

moveto(g_len / 2, 512 - g_len / 2); // 设定起

点

hilbert("X", level);

// 递归绘制 Hilbert 曲线

}

}

while( (level = getch()) != 27 ); // 按 ESC 退出

closegraph();

}

[分形学] 谢宾斯基 (Sierpinski) 三角形，也叫垫片

作者：yangw80先说一个程序的实现过程：

1.随机生成 3 个点 P[0]、P[1]、P[2]；

2.随机生成 1 个点 P；

3.绘制点 P；

4.随机生成 [0, 2] 内的整数 n；

5.令 P = P 与 P[n] 的中点；

6.重复执行步骤 (3)～(5) 三万次。

这个程序很简单，虽然随机性很大，但是结果几乎是完全相似的，会是一个很有趣的

图案，也就是传说中的谢宾斯基三角形。以上步骤就是生成谢宾斯基三角形的随机迭代法。

程序代码如下：

注：为了效果，将步骤(1)的三个点手动指定了。喜欢的话，可以将其修改为随机产生。

// 程序名称：谢宾斯基(Sierpinski)三角形，也叫垫片

// 编译环境：Visual C++ 6.0，EasyX 2011惊蛰版

// 最后更新：2010-11-16

//

#include

#include

#include

void main()

{

srand((unsigned)time(NULL)); // 设置随机POINT P[3] = {{320, 50}, {120, 400}, {520, 400}}; // 设定三角形的三

个顶点

POINT p = {rand() % 640, rand() % 480};

// 随机产生当前点

// 初始化图形模式

initgraph(640, 480);

// 绘制三万个点

int n;

for(int i = 0; i <= 30000; i++)

{

n = rand() % 3;

p.x = (p.x + P[n].x) / 2;

p.y = (p.y + P[n].y) / 2;

putpixel(p.x, p.y, GREEN);

}

// 按任意键退出

getch();

closegraph();

}

执行效果要贴图就没意思了，呵呵。先猜想一下会是什么图案？

[分形学] 可以无穷放大的 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码

作者：yangw80基于上篇文章 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) 的源代码：

https://www.360docs.net/doc/a516773855.html,/samples/View.aspx?id=32

我修改了几个地方：

1. 修改了颜色，使用黑->蓝->白->棕->黑这样的渐变颜色方案（当然，大家可以修改InitColor() 函数改变配色方案）

2. 增加了放大鼠标选中区域的功能。按鼠标中键可以恢复原尺寸。

3. 将迭代次数提了出来，定义了常量。如果需要绘制更精细的图，请加大常量ITERATIONS。不过越大绘制的越慢。精细程度开始看不出来，放大次数多了就明显了。

4. 理论上是可以无穷放大，但实际受 double 类型精度的影响，放大到一定程度就会是马赛克了。

先看看逐步放大的效果吧：

另一个位置的逐步放大效果：

代码如下：

// 程序名称：分形学 - 可以无穷放大的 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) // 编译环境：Visual C++ 6.0，EasyX 2011惊蛰版

// 最后更新：2010-9-9

//

#include

#include

// 定义常量

#define ITERATIONS 1000 // 迭代次数，越高，图像越精细#define MAXCOLOR 64 // 颜色数

/////////////////////////////////////////////////

// 定义复数及乘、加运算

/////////////////////////////////////////////////

// 定义复数

struct COMPLEX

{

double re;

double im;

};

// 定义复数“乘”运算

COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b)

{

COMPLEX c;

c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;

c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;

return c;

}

// 定义复数“加”运算

COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b)

{

COMPLEX c;

c.re = a.re + b.re;

c.im = a.im + b.im;

return c;

}

/////////////////////////////////////////////////

// 定义颜色及初始化颜色

/////////////////////////////////////////////////

// 定义颜色

int Color[MAXCOLOR];

// 初始化颜色

void InitColor()

{

// 使用 HSL 颜色模式产生角度 h1 到 h2 的渐变色

int h1 = 240, h2 = 30;

for(int i=0; i

{

Color[i] = HSLtoRGB((float)h1, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);

Color[MAXCOLOR-1-i] = HSLtoRGB((float)h2, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);

}

}

/////////////////////////////////////////////////

// 绘制 Mandelbrot Set (曼德布洛特集)

/////////////////////////////////////////////////

void Draw(double fromx, double fromy, double tox, double toy)

{

COMPLEX z, c;

int x, y, k; // 定义循环变量

for(x = 0; x < 640; x++)

{

c.re = fromx + (tox - fromx) * (x / 640.0);

for(y = 0; y < 480; y++)

{

c.im = fromy + (toy - fromy) * (y / 480.0);

z.re = z.im = 0;

for(k = 0; k < ITERATIONS; k++)

{

if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;

z = z * z + c;

}

putpixel(x, y, (k >= ITERATIONS) ? 0 : Color[k % MAXCOLOR]);

}

}

}

/////////////////////////////////////////////////

// 主函数

/////////////////////////////////////////////////

void main()

{

// 初始化绘图窗口及颜色

initgraph(640, 480);

InitColor();

// 初始化 Mandelbrot Set(曼德布洛特集)坐标系

double fromx, fromy, tox, toy;

fromx = -2.1; tox = 1.1;

fromy = -1.2; toy = 1.2;

Draw(fromx, fromy, tox, toy);

// 捕获鼠标操作，实现放大鼠标选中区域

MOUSEMSG m;

bool isLDown = false;

int selfx, selfy, seltx, selty; // 定义选区

while(!kbhit())

{

m = GetMouseMsg(); // 获取一条鼠标消息

switch(m.uMsg)

{

// 按鼠标中键恢复原图形坐标系

case WM_MBUTTONUP:

fromx = -2.1; tox = 1.1;

fromy = -1.2; toy = 1.2;

Draw(fromx, fromy, tox, toy);

break;

// 按鼠标左键并拖动，选择区域

case WM_MOUSEMOVE:

if (isLDown)

{

rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);

seltx = m.x;

selty = m.y;

rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);

}

break;

// 按鼠标左键并拖动，选择区域

case WM_LBUTTONDOWN:

setcolor(WHITE);

setwritemode(R2_XORPEN);

isLDown = true;

selfx = seltx = m.x;

selfy = selty = m.y;

rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);

break;

// 按鼠标左键并拖动，选择区域

case WM_LBUTTONUP:

rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);

setwritemode(R2_COPYPEN);

isLDown = false;

seltx = m.x;

selty = m.y;

if (selfx == seltx || selfy == selty) break;

// 修正选区为 4:3

int tmp;

if (selfx > seltx) {tmp = selfx; selfx = seltx; seltx = tmp;}

if (selfy > selty) {tmp = selfy; selfy = selty; selty = tmp;}

if ( (seltx - selfx) * 0.75 < (selty - selfy) )

{

selty += (3 - (selty - selfy) % 3);

selfx -= (selty - selfy) / 3 * 4 / 2 - (seltx - selfx) / 2;

seltx = selfx + (selty - selfy) / 3 * 4;

}

else

{

seltx += (4 - (seltx - selfx) % 4);

selfy -= (seltx - selfx) * 3 / 4 / 2 - (selty - selfy ) / 2;

selty = selfy + (seltx - selfx ) * 3 / 4;

}

// 更新坐标系

double f, t;

f = fromx + (tox - fromx) * selfx / 640;

t = fromx + (tox - fromx) * seltx / 640;

fromx = f;

tox = t;

f = fromy + (toy - fromy) * selfy / 480;

t = fromy + (toy - fromy) * selty / 480;

fromy = f;

toy = t;

// 画图形

Draw(fromx, fromy, tox, toy);

break;

}

}

getch();

closegraph();

}

[分形学] Julia Set (茱莉亚集) VC 源代码

作者：yangw80关于 Julia Set (茱莉亚集) 的介绍什么的我就不多说了，网上一大堆。执行效果如图：

关于 Julia Set，可以通过设置复数 c 的初值，显示出不同的图案，比如，大家可以试试以下几组：

c.re = 0.45, c.im = -0.1428;

c.re = 0.285, c.im = 0.01;

c.re = 0.285, c.im = 0;

c.re = -0.8, c.im = 0.156;

c.re = -0.835, c.im = -0.2321;

c.re = -0.70176, c.im = -0.3842;

随便用哪行替换掉源程序中的“c.re = -0.75, c.im = 0;”就可以看到不同的图案了。循环变量 k 是迭代次数，在某些参数下需要高一些会更精细。

为了美观，还需要修改一下颜色部分，目前代码中的颜色是这样的：

HSLtoRGB((float)((k<<5) % 360), 1.0, 0.5)

这行代码中的 k 的取值范围是 0~180，将其映射到 HSL 颜色空间中的色相上(360 度)。

全部代码如下：

// 程序名称：分形学 - Julia Set (茱莉亚集)

// 编译环境：Visual C++ 6.0，EasyX 2011惊蛰版

// 最后更新：2010-9-9

//

#include

#include

/////////////////////////////////////////////////

// 定义复数及乘、加运算

/////////////////////////////////////////////////

// 定义复数

struct COMPLEX

{

double re;

double im;

};

// 定义复数“乘”运算

COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b)

{

COMPLEX c;

c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;

c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;

return c;

}

// 定义复数“加”运算

COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b)

{

COMPLEX c;

c.re = a.re + b.re;

c.im = a.im + b.im;

return c;

}

/////////////////////////////////////////////////

// 主函数

/////////////////////////////////////////////////

void main()

{

// 初始化绘图窗口

initgraph(640, 480);

/////////////////////////////////////////////////

// 绘制 Julia Set (茱莉亚集)

/////////////////////////////////////////////////

COMPLEX z, c;

c.re = -0.75, c.im = 0; // 设置迭代初值

int x, y, k; // 定义循环变量

for(x = 0; x < 640; x++)

{

for(y = 0; y < 480; y++)

{

z.re = -1.6 + 3.2 * (x / 640.0);

z.im = -1.2 + 2.4 * (y / 480.0);

for(k = 0; k < 180; k++)

{

if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;

z = z * z + c;

}

putpixel(x, y, (k >= 180) ? 0 : HSLtoRGB((float)((k << 5) % 360), 1.0, 0.5));

}

}

// 按任意键退出

getch();

closegraph();

}

[分形学] Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码

作者：yangw80关于 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) 的介绍什么的我就不多说了，网上一大堆。执行效果如图：

为了美观，可以修改一下颜色部分，目前代码中的颜色是这样的：

HSLtoRGB((float)((k<<5) % 360), 1.0, 0.5)

这行代码中的 k 的取值范围是 0~180，将其映射到 HSL 颜色空间中的色相上(360 度)。

全部代码如下：

// 程序名称：分形学 - Mandelbrot Set (曼德布洛特集)

// 编译环境：Visual C++ 6.0，EasyX 2011惊蛰版

// 最后更新：2010-9-9

//

#include

#include

/////////////////////////////////////////////////

// 定义复数及乘、加运算

/////////////////////////////////////////////////

// 定义复数

struct COMPLEX

{

double re;

double im;

};

// 定义复数“乘”运算

COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b)

{

COMPLEX c;

c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;

c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;

return c;

}

// 定义复数“加”运算

COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b)

{

COMPLEX c;

c.re = a.re + b.re;

c.im = a.im + b.im;

return c;

}

/////////////////////////////////////////////////

// 主函数

/////////////////////////////////////////////////

void main()

{

// 初始化绘图窗口

initgraph(640, 480);

/////////////////////////////////////////////////

// 绘制 Mandelbrot Set (曼德布洛特集)

/////////////////////////////////////////////////

COMPLEX z, c;

int x, y, k; // 定义循环变量

for(x = 0; x < 640; x++)

{

c.re = -2.1 + (1.1 - -2.1) * (x / 640.0);

for(y = 0; y < 480; y++)

{

c.im = -1.2 + (1.2 - -1.2) * (y / 480.0);

z.re = z.im = 0;

for(k = 0; k < 180; k++)

{

if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;

z = z * z + c;

}

putpixel(x, y, (k >= 180) ? 0 : HSLtoRGB((float)((k << 5) % 360), 1.0, 0.5));