一维非对称方势阱中的粒子

一维非对称方势阱中的粒子

一、实验任务

求解实物粒子在一维非对称方势阱中的分布。 二、实验目的

1、加强对一维势阱理论知识的掌握。

2、掌握薛定谔方程及能量本征方程的求解。

3、理解微分方程数值解求解的思路。 三、理论基础

1、薛定谔方程

薛定谔方程描述了实物粒子在的波函数()

,r t ψ随着时间、空间变化的规律，是量子力学的基本假设之一。其形式如下：

其中，m 是粒子质量， 是拉普拉斯算符，()

V r 描述空间中的势场分布。

显然，薛定谔方程为偏微分方程。

量子力学中，粒子的波函数(),,r x y z =没有任何物理意义，但是()

2

,r t ψ表

示在空间点(),,r x y z =找到该粒子的概率。

2、能量本征方程

不含时薛定谔方程与时间无关，它预言波函数可以形成驻波，称为定态（在原子物理学里，又称为轨道，例如，原子轨道或分子轨道），假若能够计算出这些定态，分析出其量子行为，则解析含时薛定谔方程会变得更为简易。不含时薛定谔方程为描述定态的方程。

3、一维方势阱

一维方势阱是量子力学中最为简单的势场分布，研究粒子在其中的分布规律，有助于对基本原理的理解，同时又是其它复杂问题的基础。一般地，一维方势阱V(x)可以表示为：

()()1

02

,2

,22,2a V x a a V x V x x a V x ?

≤-??

?

=-<

?≥??

其中，12V V 、为常数。

一维方势阱中，能量本征方程的形式为：

显然，能量本征方程变成了二阶线性常微分方程。

对于阱外，以区域2a

x ≤-为例，能量本征方程为：

令()

112m V E β=-，则()1x x Ae βψ±=，考虑到x →-∞时，()0x ψ→，

那么，()x ψ可以写成：()1x x Ae βψ=。

同理，对于区域2

a

x ≥

，令()222m V E β=-，则()2x x Ae βψ-=。

对于阱内，能量本征方程为：

同时由于有限深势阱中，波函数是连续的，可以得到势阱内能量本征方程的边界条件为：

这样一来，阱内的能量本征方程转化为了带有边界条件的二阶线性常微分方程的求解问题。这样的方程不一定有解析解，但是，可以利用一些数学工具进行变形，在MATLAB 中求出其数值解。

4、微分方程数值解——有限差分

2

2

2

[()]()()2d V x x E x m dx ψψ-+=()212

220;d m E V dx ψψ+-=()()202220d m E V x dx

ψψ+-=1222

()2()2

a

a

a

e a e ββψψ--?-=????=??

二阶常微分方程的及其边界条件，如下式：

''(,,'),(),.

(),y f x y y y a a x b y b αβ=??

=<

（1）

下面将应用差分方法来解决这个问题。差分方法的关键，在于恰当的选取差商逼近微分方程中的导数，我们知道，逼近一阶导数可用向前差商

()()y x h y x h +-，也可用向后差商()()y x y x h h --或者中心差商()()

2y x h y x h h +--.中心差商是向前差商和向后差商的算术平均.为逼近二阶导数''()y x ，一般用二阶差商——向前差商的向后差商（即向后差商的向前差商）

2

()()()()

''()()2()().y x h y x y x y x h h h y x h

y x h y x y x h h +----

≈

+-+-= (2) 设将积分区间[,]a b 划分为N 等分，步长

b a

h N -=

，节点

0,0,1,...,n x xn h n N =+=.

差商替代相应的导数，可将边值问题(1)离散化得到下面的公式：

11

11202(,,),2,

(1,2,...,1).,n n n n n n n N

y y y y y f x y h h

y n N y αβ+-+--+-?=??

==-??=?? （3） 如果函数f 是非线性的，那么所归结出的差分方程也是非线性的，这时实际求解困难。

如果所给方程(1)是如下形式的线性方程：

''()'()().y p x y q x y r x ++= (4) 则差分方程(2)相应的形式为：

1111

2

2,(1,...,1).2n n n n n n n n n y y y y y p q y r n N h h +-+--+-++==- (5) 其中,,p q r 的下标n 表示在节点n x 的取值。

利用边界条件(3)消除式(5)中的0y 和n y ，整理得到关于(11)n y n N ≤≤-的下列方程组：

22

111211221122121111(2)(1)(1),22(1)(2)(1),22(1)(2)(1).22n n n n

n n n N N N N N N h h h q y p y h r p h h p y h q y p y h r h h p y h q y h r p αβ-+------?-+++=--??

?-+-+++=??

?-+-+=-+??(22)n N ≤≤- （6）

这样归结出的方程组是所谓的三对角形的，即：

2

1122

22222221121211222

12122122

N N N N N h h q p h h p p h q h

h

p h q p h p h q -----??-++???

???-+

-+????????--++?

??

?

??

--+?

?

?

? (7)

将带有边界条件的二阶线性常微分方程转化为线性方程组，线性方程组的解就是微分方程的数值解。

四、实验仿真过程

1、首先我们经过小组内的讨论提出了三种形式的非对称势阱，分别是不等高方势阱、斜方势阱、正弦势阱。

①、不等高方势阱

2ev

3ev

0ev

②、斜方势阱

③、正弦势阱

2、根据我们提出的三种模式结合我们已有的理论知识以及查阅的资料，我们决定通过matlab 软件对我们非对称势阱进行仿真

①、不对称高方势阱

a 、matla

b 程序

clear;

V1=3.2e-19; V2=4.8e-19; E=1.6e-19; m=9.1e-31; hb=1.05e-34; a=2e-10;

beta1=sqrt(2*m*(V1-E))/hb; beta2=sqrt(2*m*(V2-E))/hb; s=exp((-1)*beta1*a/2); t=exp((-1)*beta2*a/2); lb=(-1)*a/2;ub=a/2; N=101;

h=(ub-lb)/(N-1);

x=linspace((-1)*a/2,a/2,N); x(1)=[]; N=N-1;

for i=1:N-1

q(i)=2*m*E/hb.^2; p(i)=0; r(i)=0; end

for i=1:N-1

2ev

2ev

0ev

1ev

1ev

0ev

2ev 2ev

b1(i)=-2+h.^2*q(i);

end

for i=1:N-2

c1(i)=1+h*p(i)/2;

end

for i=2:N-1

a1(i-1)=1-h*p(i)/2;

end

A=diag(b1)+diag(a1,-1)+diag(c1,1);

d1(1)=h*h*r(1)-(1-h*p(1)/2)*s;

for i=2:N-2

d1(i)=h.^2*r(i);

end

d1(N-1)=h.^2*r(N-1)-(1+h*p(N-1)/2)*t; D=d1';

Y=inv(A)*D;

x(N)=[];

!绘图

x1=linspace((-1)*3*a/2,(-1)*a/2,100); for i=1:100

v1(i)=3.2e-19;

end

y1=exp(beta1*x1);

v=zeros(1,99);

for i=1:99

e(i)=E;

end

x2=linspace(a/2,3*a/2,100);

for i=1:100

v2(i)=4.8e-19;

end

y2=exp((-1)*beta2*x2);

subplot(2,1,1);

hold on;

plot(x1,v1);

plot(x,v);

plot(x,e,'r');

plot(x2,v2);

title('势阱');

subplot(2,1,2);

hold on;

plot(x1,y1.^2);

plot(x,Y.^2);

plot(x2,y2.^2);

title('粒子分布概率');

b、程序运行结果

图1 不对称高方势阱仿真结果（红线代表粒子能量）

②、斜方势阱

a、matlab程序

clear;

V0=2*1.6e-19;

E=1.6e-19;

m=9.1e-31;

hb=1.05e-34;

a=2e-10;

beta=sqrt(2*m*(V0-E))/hb;

kk=1.6e-19/2e-10;

bb=1.6e-19/2;

s=exp((-1)*beta*a/2);

t=s;

lb=(-1)*a/2;

ub=a/2;

N=101;

h=(ub-lb)/(N-1);

x=linspace((-1)*a/2,a/2,N);

x(1)=[];

N=N-1;

for i=1:N-1

q(i)=2*m*(E-kk*x(i)-bb)/hb^2;

p(i)=0;

r(i)=0;

end

for i=1:N-1

b1(i)=-2+h.^2*q(i);

end

for i=1:N-2

c1(i)=1+h*p(i)/2;

end

for i=2:N-1

a1(i-1)=1-h*p(i)/2;

end

A=diag(b1)+diag(a1,-1)+diag(c1,1);

d1(1)=h*h*r(1)-(1-h*p(1)/2)*s;

for i=2:N-2

d1(i)=h.^2*r(i);

end

d1(N-1)=h.^2*r(N-1)-(1+h*p(N-1)/2)*t; D=d1';

Y=inv(A)*D;

x(N)=[];

!绘图

x1=linspace((-1)*3*a/2,(-1)*a/2,100); for i=1:100

v1(i)=3.2e-19;

end

y1=exp(beta*x1);

v=kk*x+bb;

for i=1:99

e(i)=E;

end

x2=linspace(a/2,3*a/2,100);

for i=1:100

v2(i)=3.2e-19;

end

y2=exp((-1)*beta*x2);

subplot(2,1,1);

hold on;

plot(x1,v1);

plot(x,v);

plot(x,e,'r');

plot(x2,v2);

title('势阱');

subplot(2,1,2);

hold on;

ylim([0,0.5]);

plot(x1,y1.^2);

plot(x,Y.^2);

plot(x2,y2.^2);

title('粒子分布概率');

b、程序运行结果

图2 斜方势阱仿真结果（红线代表粒子能量）

③、正弦势阱

a、matlab程序

clear;

V0=2*1.6e-19;

E=1.6e-19;

m=9.1e-31;

hb=1.05e-34;

a=2e-10;

beta=sqrt(2*m*(V0-E))/hb;

kk=1.6e-19/2;

omiga=pi/a;

s=exp((-1)*beta*a/2);

t=s;

lb=(-1)*a/2;

ub=a/2;

N=101;

h=(ub-lb)/(N-1);

x=linspace((-1)*a/2,a/2,N);

x(1)=[];

N=N-1;

for i=1:N-1

q(i)=2*m*(E-kk*sin(omiga*x(i))-kk)/hb^2; p(i)=0;

r(i)=0;

end

for i=1:N-1

b1(i)=-2+h.^2*q(i);

end

for i=1:N-2

c1(i)=1+h*p(i)/2;

end

for i=2:N-1

a1(i-1)=1-h*p(i)/2;

end

A=diag(b1)+diag(a1,-1)+diag(c1,1);

d1(1)=h*h*r(1)-(1-h*p(1)/2)*s;

for i=2:N-2

d1(i)=h.^2*r(i);

end

d1(N-1)=h.^2*r(N-1)-(1+h*p(N-1)/2)*t;

D=d1';

Y=inv(A)*D;

x(N)=[];

x1=linspace((-1)*3*a/2,(-1)*a/2,100);

for i=1:100

v1(i)=3.2e-19;

end

y1=exp(beta*x1);

v=kk*sin(omiga*x)+kk;

for i=1:99

e(i)=E;

end

x2=linspace(a/2,3*a/2,100);

for i=1:100

v2(i)=3.2e-19;

end

y2=exp((-1)*beta*x2);

subplot(2,1,1);

hold on;

plot(x1,v1);

plot(x,v);

plot(x,e,'r');

plot(x2,v2);

title('势阱');

subplot(2,1,2);

hold on;

ylim([0,0.5]);

plot(x1,y1.^2);

plot(x,Y.^2);

plot(x2,y2.^2);

title('粒子分布概率');

b、程序运行结果

图3 正弦势阱仿真结果（红线代表粒子能量）

五、心得体会

在这次课程设计中，我们运用到了以前所学的专业课知识，比如MATLAB 等。虽然过去从未独立应用过它们，但我发现在学习过程中带着问题去学效率很高，这是我们组这次做这次课程设计的又一收获。

其次，要做好这次课程设计就必须做到：在设计之前，对一维方势阱、薛定谔方程等有一个系统的了解，要有一个清晰地思路和一个完整的方案；在设计时，不能妄想一次就成功，反复修改、不断改进是必经之路。在课设过程中遇到问题是很正常的，这并不可怕，从错误中学习才是最重要的，我们将每次遇到的问题都记录下来，并讨论、分析，以免再遇到同样的问题。发现、提出。分析。解决问题和实践能力的提高都会受益于我们以后的学习、工作和生活。在设计的过程中我们也发现了自己的不足，对所学知识理解的很含糊，掌握的不够牢固，感觉理论上已经掌握，但运用起来仍有意想不到的困难，我们通过在小组中讨论交流、查阅有关资料进行自学使得这次课程设计最后顺利完成，虽然历经了不少艰辛，但我们学到了很多，收获巨大。

通过这次课程设计，激发了我们学习的兴趣，这对我们今后的学习产生了积极地影响，同时，我们也了解到了理论知识与实践相结合的重要意义，学会了坚持、耐心和努力。

六、参考文献

[1] 李荣华．《微分方程数值解（第4版）》．高等教育出版社

[2] 陈鄂生．《量子力学基础教程》．山东大学出版社．2002

[3] 尹建武．《一维中心不对称方势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数》．2002

七、小组分工

1、仿真组：何朝雄、熊涛、张思、李红燕（负责人：何朝雄）

2、PPT组：周啸霄、熊昭苏、包诗薇、王美玲、颉秋寒（负责人：王美玲）

3、报告撰写组：熊岱麒、李惟妮、詹旭娜、章梦瑶（负责人：熊岱麒）