华容道与算法实现
本科计算机算法（实验）材料
湖南工业大学教务处
目录
一、序言 (1)
二、对棋盘布局的说明 (1)
三、棋盘布局的表示方法 (2)
四、棋盘布局存储方案 (2)
五、基本算法描述 (3)
六、数据结构设计 (4)
6.1、广度优先的树型结构 (4)
6.2、堆栈结构输出最少步数 (5)
6.3、引用环形链表解决求解下一步走法的问题 (5)
6.4、AVL树（平衡树） (6)
七、AVL（平衡树） (7)
八、程序解题过程 (9)
九、代码设计 (14)
十、Chessman的设计 (18)
十一、Layout的设计 (23)
十二、快速排序法 (25)
十三、TreeLinkedList的设计 (26)
十四、CircularLinkedList的设计 (30)
十五、Mediator的设计 (34)
十六、WinHRD的设计 (37)
十七、性能大比拼 (40)
十八算法的改进 (42)
18.1、8字节棋局表示 (43)
18.2、对解题效率的提升 (45)
18.3、使用HashTable (45)
18.4、对解题效率的提升 (49)
附录 (50)
一、序言
这个学期给学生上《设计模式》的课程，有些学生提出找些题目练练手，增强一些实战经验，我决定让他们编写"华容道"游戏。说实在的，当时并没有深思熟虑。后来自己仔细想想，发现这里面东西还真不少，甚至包括下学期我才给他们开设的课程《数据结构》中的大量内容。所以我决定自己先来尝试一下。
其实编写"华容道"的想法早在上大学时就有了，那时候我在《科学》杂志上读到胡华旦的一篇文章《"华容道"难题的计算机解》后心潮澎湃，非得用C语言写一个，可最终因为种种原因没有做成，现在也是圆我的一个梦想吧。
目前网上能够搜索到很多"华容道"计算机解的源代码，但用面向对象语言站在数据结构以及设计模式角度编写的几乎没有。我想尝试成为第一个吃螃蟹的人。在正式开始写这个系列之前，我曾经考虑过很久将代码定位在一个什么层面上，是教学还是应用。其实数据结构与设计模式的应用是一个很自然的事情，不应该为了模式而模式，但出于教学目的又必须明确用了哪些模式，这又违背了模式的思想，我会尽量找到一个合适的平衡点。另外，为了兼顾内存使用和运算效率以及通用性的要求，最好能够应用泛型编程，但目前绝大多数人恐怕还在使用.net 2003，所以我最终选择了放弃泛型技术。
最后，由于本人水平有限，而且是边做边写，难免会有些疏漏，希望大家能够谅解。
二、对棋盘布局的说明
我们在程序中研究的棋盘布局的限制条件是：最大子只允许有一个；最小子允许有4或8个（棋子总数相应为10至12个），其余棋子任选；棋盘上必须和只允许有两个空格。
另外需要明确的就是棋盘上任意两个相同形状、相同摆放的棋子是"同质"的，在计算机看来没有任何区别。如图：
图1 棋盘布局
计算机将认为以上两个棋局是完全相同的，也就是说计算机不会记录"人物"信息，只存储"布局"信息。这样做的目的一方面可以减少内存空间占用，另外一方面可以将UI与解题过程剥离开，降低耦合，允许各自变化。
三、棋盘布局的表示方法
在程序中描述一个棋盘布局的：
棋盘状态说明：用12个整数来表示棋盘的开始状态，每个整数用两位表示，目前的算法只支持5员大将，大将可以横放，也可以竖放。棋盘的大小为高度5，宽度4，从上到下，从左到右为棋子位置来排号，其中第一位是曹操的位置，2－6代表5员大将，7－10代表4个小卒，11－12代表两个空格的位置。整个棋盘的取值范围是1-20,当曹操走动第14个位置时行走成功。初始化的状态"021801040912101114151720"代表"横刀立马"布局。
图2 棋盘布局表示方法
在这个表述中，12个整数将占用12×4＝48个字节。即便用字符串来描述的化，每个布局还是要占用24个字节的长度。在进行一个复杂棋局的运算中，这样的布局要生成几万个，会占用1M左右的空间。算上其它内容，内存占用还会更大。
如果抛弃"人物"信息，内存占用将大大降低。经过优化后，可以使用4个字节来描述一个布局（10子或12子布局均可）。这样，我们只需使用一个Int32便可。具体设计方案以及基本算法描述我会在下一篇文章中公布。续第一部分《华容道系列－开篇》、
四、棋盘布局存储方案
华容道棋盘布局经过优化后可以存储在4个字节中，确切的说是3字节零两个二进制位（10子）布局。经过简单调整后，也可以将12子布局存储在4个字节当中。不过12子布局的走法过于简单，所以在今后的文章中，布局全部指10子布局，
软件只针对10子布局开发。设计方案如下：
图3棋盘布局存储方案
上图演示了两种布局的存储结构。棋子总共分成5类，分别是最大子、横放、竖放、卒以及空格（在这里将空格认为是一个棋子）。将最大子记做A，单独存储。其它4种棋子可以使用两个二进制位来描述，分别是：
00－空格，01－卒，10－竖放，11－横放
一个布局共有此类子（含空格）11个，共占用22个二进制位。A子用4个二进制位来记录（可表示16种变化），其取值可以是十进制1～12中的一个，表示A 子在所有棋子中的位置。因此，一盘布局仅需26个二进制位，其余6个二进制位作为保留位。
在棋子排放上，从棋盘左上角开始，每个棋子的摆放位置都选取最小可用的行、列坐标位置作为摆放位置（如图），并在合适的时候插入A子（根据A的顺序号）。
这样，一个布局仅需一个Int32就可以记录下来。在后面的内容中，不管是建立A VL平衡树还是广度优先的搜索算法都是针对Int32进行的。一个布局可以和一个整数相互转换（在后续内容中将给出代码实现方案）。
五、基本算法描述
华容道求解过程不外乎罗列所有可能的走法，采用广度优先的树形结构进行计算机搜索，当搜索到符合解的布局时便终止搜索。并从树型结构中追溯出解题的全过程。因此需要每个布局保留一个指向上步布局的引用。为了保证合理的内存使用，每次都要检索当前布局是否在前面已经出现过，如果有重复布局，则自动剔除。用图形的方式描述出来便是：
图4 用图形的方式描述
在后续的章节中，我们将应用数据结构的知识来构建华容道求解过程中所需要的数据结构，内容将涉及链表、树、A VL平衡树、堆栈等结构，尽量在确保合理内存占用的情况下简化计算机求解过程。
六、数据结构设计
针对上面说到的解题方法，设计如下的数据结构：
6.1、广度优先的树型结构
由于整个棋局的可行解可以描述成一个树型结构，并且为了得到最少移动步数需要采用广度优先的搜索算法，因此考虑将链表与树型结构整合起来，便于进行广度搜索。如图，当我们试图搜索第三步可行解时，只需要顺着第二步的链表依次搜
索便可以实现了。
图5 链表与树型结构整合
6.2、堆栈结构输出最少步数
由于在树型结构设计上，每个子节点都保留了一个对父节点的引用。所以一旦找到最优解，我们就需要从最底层向上追溯所有移动步骤（如下图）。但这个顺序与走棋的顺序正好相反。借助一个堆栈结构实现后进先出便把这个次序逆转过来了。
图6 堆栈结构输出
6.3、引用环形链表解决求解下一步走法的问题
在分析1中，我将链表和树整合在了一起，究其原因就是为了便于广度搜索。实际上我们还面临着以下几个问题：
第一，4个字节的棋局表示虽然减小了存储空间，但不利于求解。为了实现步法移动，我们至少要分清棋子的上下左右，4字节的表示方式很难达到这一点。我
们需要另外一种带方位的棋局表示方式以便进行求解，而这种表示方式的棋局数量还不能太多，在使用完后要及时释放，否则就会占用大量内存。
第二，为了降低系统模块间的耦合度，尽量让带方位的棋局表示与4字节表示剥离开，两者能够独立变化。
出于上面两点考虑，我决定引入"池"的概念。胡华旦的《"华容道"难题的计算机解》一文中记录了某一步走法的最大可能布局数（树型结构某层级的最多布局数）在200到800之间（10棋子），或1400左右（11棋子），或1800左右（12棋子）。由于我们只研究10棋子布局，所以这个池的大小设置在800比较合适（实际检验的结果是池的大小在1100左右，因为上一步走法与下一步走法存在相关性，并且10子布局中某一步最大可能布局数经检验会大于1000）。通过一个环形链表（加入必要的溢出检验）可以很容易的达到目的。设计如下：
图7 环形链表解决
环形链表中的每一个节点都是一个带方位关系的布局表述，有了这个环形链表，就可以将在分析1中的链表结构从树型结构中剥离开了。
6.4、AVL树（平衡树）
每当我们求解得到下一步的一个可行走法后，都要检查该走法完成后的棋盘布
局是否在以前搜索过的布局中出现过，如果出现过的化则直接剔除，不再添加到树型结构和环形链表中。这就需要一个检索的过程。
我们知道，在一个未排序的队列中进行检索是一个很耗时的工作，需要遍历每个结点。如果经过排序则可以使用二分法迅速定位。我们可以把所有出现过的布局组织到一个结构中，这个结构应当满足以下两点：一是能够快速的进行查找，二是不允许该结构中出现重复值。在这里，A VL树是再合适不过了。它基于二叉树，并且不允许树中两个节点具有相同取值，同时还可以保证最高的检索效率。在下一篇文章中我将重点介绍A VL树，并说明它在华容道求解过程中的应用。（待续）
七、AVL（平衡树）
平衡树其实就是一特殊结构的二叉树。由于二叉树的搜索算法的性能取决于二叉树的结构，如果二叉搜索树构造出来是线性的，搜索算法的效率不高。如果结构合理，则查找速度较快。实际上，树的高度越小，查找速度越快。大家可以比较一下下面两个二叉树在检索时，哪个效率更高一些：
图8 二叉搜索树与AVL树的比较
A VL树（也称作平衡树），在这种树型结构中，二叉树结构近似于平衡。A VL 树具有如下特征：
1.根的左子树和右子树的高度差的最大值为1。
2.根的左子树和右子树都是A VL树。
补充：A VL树中不允许出现重复值，这正好与我们的目的相同。
在对A VL 树执行插入操作时，我们通过"旋转"达到确保高度差的目的。如图：
图9 AVL 树执行插入操作"旋转"实例
A VL树的重构过程就是"旋转"，有两种类型的旋转，左旋与右旋。常见的旋转方法如下：
图10 AVL树左旋与右旋
举个例子：
图10 AVL树实例
注：以上所有图片均来自 D.S.Malik与P.S.Nair著的《Data Structures Using Java》一书。
八、程序解题过程
在这部分内容中，我们通过一个简化的实际例子来看看在华容道求解过程中，循环链表、A VL树以及树之间是如何相互协作的。首先我们假设所有的棋子只能向
下移动（这样可以大大减少树中的节点数量），我们来看系统如何搜索所有可行步骤：首先，系统初始化各个部件。环形链表中维护了三个指针：current指明当前运算到了哪个布局；last指针指向当前搜索层级的最后一个布局；
图11 环形链表实现
alocate指针指向下一个可分配的布局，所有这些布局都是可以循环反复使用的。
TreeLinkedList初始化根节点以及Current指针。这个指针用来表示树型结构中子节点的父节点是谁。例如当前初始布局有两个可行的"下一步"，那么这两个布局的父节点就是Current指针指向的节点。
A VLTree用初始布局的整数值初始化根节点。系统为华容道求解做好了准备。
第一步：当初始化完成后，系统开始进行搜索运算。首先计算当前步中所有布局（现在只有一个初始布局）的可行走法，并将可行走法追加到allocate分配的空间中。每次移动CircularLinkedList中的current指针时，同步移动TreeLinkedList中的Current指针，确保父节点的正确性。另外，每计算得到一个可行的"下一步"布局，都先将其转换为整数表示，并在AVL树中判断有无重复值。如果没有重复值，便确认CircularLinkedList中分配的空间，同时向TreeLinkedList中添加节点。
图12 环形链表在华容道中分析
这里需要我们注意的是，TreeLinkedList中添加的节点还包括一个"走法"信息。如Move 6 Down和Move 7 Down。这两个走法分别被附加到了两个青颜色的节点上。但是，这里的走法其实是黄颜色节点的"走法"。黄颜色节点通过该"走法"得到子节点的"布局"。所以在最终通过堆栈获取所有步骤时，我们要将走法"上移"到父节点，以标识父节点如何走得到子节点。（此处可以参考本文最后关于Stack部分的内容）第二步：当前步求解完成后，便进入下一步求解（在CircularLinkedList中调用NextStep方法），重新设置好current、last、allocate指针。从上图中我们可以看出，出现了重复布局，该重复布局被A VLTree检测出来，于是allocate分配的空间没能被正确ConfirmAllocation，因此下次需要分配一个布局空间时，仍然会将该布局分配出去。
图13 环形链表结点移动
图14 环形链表移动实现
第三步：该步操作与上一步基本相同，需要注意的是A VLTree在插入布局整数11144021时发生了"旋转"操作，因此确保树拥有最小高度，和最好的检索效率。除此之外，我们还应注意"无解"判断。当某一搜索深度的可行解为0时，我们便说该
棋局"无解"。如下图所示：
图15 移动后的棋盘分布
该棋局便是一个"无解"棋局。
最后，假设在我们移动完棋子A后，我们得到了最优解，我们看一看如何通过
堆栈结构将解题步骤完整的罗列出来。
图16 堆栈实现
在对堆栈执行Push时，需要注意的是将移动方法"上移"，这样通过Pop操作就可以得到正确的解题步骤了。
到此为止，我们便完成了一个完整的解题循环。
完整的程序代码可以从https://www.360docs.net/doc/a217365763.html,/Files/zhenyulu/HRD.rar下载九、代码设计
在看完了解题过程后，下面来看一看具体的代码设计方案：
我们首先从Core开始，在Core.dll里面定义了系统所需的最基本的数据类型以及相关的接口。其中枚举ChessmanType与MoveMethod分别定义了棋子的类型以及棋子移动的方法。
public enum ChessmanType
{
Blank = 0,
Solider = 1,
VChessman = 2,
HChessman = 3,
General = 99
}
public enum MoveMethod
{
Up,
Down,
Left,
Right,
Up2,
Down2,
Left2,
Right2,
Turning,
Nothingness //没有任何移动
}
ChessStep定义了棋局中的"一步"棋。包括当前棋盘布局的整数表示、移动了哪一个棋子以及如何移动。当华容道自动解题程序完成后，将返回一个ChessStep[]数组，记录每一步的走法。我们可以通过实现IResultHandler接口的"HandleResult (ChessStep[] steps)"方法来达到这一目的。IResultHandler接口将在后面加以介绍。
public struct ChessStep
{
public short chessmanNum;
public MoveMethod moveMethod;
public int layout;
}
Position与BlankPosition是两个结构"structure"，用来记录棋子的位置以及某一棋盘上空格的位置。BlankPosition中有一IsBlank(int x, int y)方法，用来判断坐标为
(x,y)的点是否是空格。
public struct Position
{
public int x;
public int y;
public Position(int x, int y)
{
this.x = x;
this.y = y;
}
}
public struct BlankPosition
{
public Position Pos1;
public Position Pos2;
public BlankPosition(Position pos1, Position pos2)
{
this.Pos1 = pos1;
this.Pos2 = pos2;
}
public bool IsBlank(int x, int y)
{
if( x == Pos1.x && y == Pos1.y)
return true;
if( x == Pos2.x && y == Pos2.y)
return true;
return false;
}
}
之所以选择使用结构而不是类是因为struct是值类型的，而class是引用类型。在本程序中，struct要比class更有效率。关于struct与class的区别在这里就不再详细讨论了。我们看下面一段程序：
Position P1 = new Position(0,0);
Position P2;
P2 = P1;
P2经过赋值后，P2.x与P2.y都与P1相同，并且这种赋值不是"引用"赋值，修改P2中x、y的值并不会影响P1中x、y的值。
HRD.Core命名空间下除了这些基本类型的定义外，还定义了一系列接口，主要是用来达到解耦目的。在上篇文章中，我们看到了TreeLinkedList、CircularLinkedList 以及A VLTree之间如何协作工作，但在实际代码设计中，这将带来严重的耦合问题。组件与组件之间联系过于紧密，造成无法有效的剥离。为此，程序在设计时引入了"中介者"模式，设计了一个Mediator，所有组件仅与Mediator打交道，这样耦合便被"松动"了。
Mediator的定义如下：
public class Mediator
{
private IAVLTree _avlTree;
private ICircularList _circleList;
private ITreeList _treeList;
private IResultHandler _resultHandler;
…………
}
其中IA VLTree、ICircularList、ITreeList便是参与运算的三种数据结构。其具体定义可以参考具体的程序源代码。（可以参考https://www.360docs.net/doc/a217365763.html,/zhenyulu/archive/2005/02/03/101426.html里面的代码，但不是最终版本，可能会与本文有所出入）。
这里还有一个接口定义，就是IResultHandler接口。刚才已经提到过。我们可以将一个实现了该接口的对象传递给Mediator对象，这样，当系统运算完成后便会调用IResultHandler中的特定方法，将结果回传。
public interface IResultHandler
{
void HandleResult(ChessStep[] steps);
void HandleInfo(int currentStep);
}
IResultHandler定义了两个方法HandleResult与HandleInfo。HandleResult用来处理程序产生的结果，结果以ChessStep数组的形式传入。HandleInfo可以被用来处理程序运算过程中的一些中间信息。这里我只提供了一个信息，那就是当前搜索层次是什么。它通过currentStep参数传入。如果需要，用户可以重新定义该接口以获取更多的信息（例如搜索了多少个节点等）。IResultHandler接口的具体使用方法可以参考源代码中WinHRD或ConsoleHRD中的实现。
HRD.Core命名空间下还定义了Layout以及Chessman，此外还有一个CallBackDelegate的定义，这些将在后续的文章中再加以介绍。
十、Chessman的设计
整个程序中一个非常关键的环节就是Chessman（棋子）的设计以及Layout（棋盘布局）的设计。这次先说说Chessman的设计。
由于我的程序只针对10子布局，所以一个Layout应当包括10个棋子，分别归属于General、HChessman、VChessman与Soldier。下面是抽象Chessman类的部分定义：
public abstract class Chessman
{
protected Position _position;
protected Position _newPosition = new Position(-1,-1);
protected BlankPosition _newBlankPosition = new BlankPosition();
// 构造函数
public Chessman(Position position)
{
this._position = position;
}
// …………此处省略一些属性的定义
回溯法与分支限界法的分析与比较
回溯法与分支限界法的分析与比较 摘要：通过对回溯法与分支限界法的简要介绍，进一步分析和比较这两种算法在求解问题时的差异，并通过具体的应用来说明两种算法的应用场景及侧重点。 关键词：回溯法分支限界法n后问题布线问题 1、引言 1.1回溯法 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法。 1.2分支限界法 分支限界法是以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树，在每一个活结点处，计算一个函数值，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解，这种方法称为分支限界法。 2、回溯法的基本思想 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少应包含问题的一个解。之后还应将解空间很好的组织起来，使得能用回溯法方便的搜索整个解空间。在组织解空间时常用到两种典型的解空间树，即子集树和排列树。确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点出发，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。 3、分支限界法的基本思想 用分支限界法解问题时，同样也应明确定义问题的解空间。之后还应将解空间很好的组织起来。分支限界法也有两种组织解空间的方法，即队列式分支限界法和优先队列式分支限界法。两者的区别在于：队列式分支限界法按照队列先进先出的原则选取下一个节点为扩展节点，而优先队列式分支限界法按照优先队列
华容道解法附图
华容道解法 华容道解法（1）——横刀立马 首先规定一下棋子的名称： 最大的“曹”，横着放的“关”，竖着放的“飞”，最小的“兵”。 横刀立马81步 兵左1格，飞下，关右，兵下，飞右，兵上1，兵左，飞下，关左，兵上折右，兵上，飞右，兵右折下，关下，二兵左，二飞上，二兵右，关下，兵下折左，二飞左，飞下，曹右， 飞右，二兵上，飞左，飞下，曹左， 飞上，飞右，兵上，兵左折上，关右，二飞下，兵左，曹下， 兵右，兵上折右，兵上，飞上，飞左，兵左折下，曹下， 兵下折左，飞左，飞上，曹右， 兵下1，上兵下1，兵右，二飞上，兵左，兵下，曹左， 飞下，飞右，二兵右，飞右，飞上，曹左， 二兵下，飞左，飞上，兵右折上，关上，二兵右，曹下， 二兵左，关上，兵上折右，曹右！ 华容道解法（2）——层层设防 层层设防102步 关左、兵下折左、兵下、飞下、曹右、 飞右、二兵上、二关左、飞左、兵上、兵右折上、关右、二关下、兵下折右、兵下、飞左、曹左、
二兵上、飞右、关右、兵下、兵左、关上、兵右、关上、关左、飞下、兵下、二关右、兵右、飞下、曹左、 兵左折上、关上、飞上、二兵右、关右、飞下、曹下、 二兵左、关上、兵上折右、曹右、 兵下、兵左折下、关左、兵上折左、飞上、兵上、二关右、飞右、二兵下、曹左、兵左、兵下、飞下、关右、曹上、 二兵上、飞上、关左、关下、飞下、兵右、兵上、飞右、兵右折下、曹下、 关左、二兵上、二飞上、关上、关右、二兵下、曹下、 关下、二兵左、二飞上、二关上、二兵右、曹下、 关左、兵上折右、曹右！ 华容道"横刀立马1"通关步骤(81步) 右下卒左一，黄下，关右，左上卒下，马右，左下卒上一，下卒左一，马下，关左，右卒上右，下卒上二，马右，左上卒右下，关下，上二卒左二，黄上，马上，下二卒右二，关下，右上卒下左，马左，黄左，赵下，曹右，张右，左二卒上二，马左，张下，曹左，赵上，黄右，下卒上二，下卒左上，关右，张下，马下，中卒左二，曹下，上卒右二，左卒上右，左下卒上二，马上，张左，中卒左下，曹下，右上卒下左，赵左，黄上，曹右，上卒下二，上卒下一，上卒右一，马上，张上，下卒左，下中卒下，曹左，黄下，赵右，上二卒右，马右，张上，曹左，上二卒下二，赵左，黄上，下卒右上，关上，下二卒右二，曹下，中二卒左二，关上，左下卒上右，曹右. -------------------------------------------------------------------------------- 华容道"横刀立马2"通关步骤(90步) 二卒下，关下，右上卒左一，黄上，左上卒右，马上，下卒右，左下卒左，关下，
回溯搜索算法
补充2 回溯法 解回溯法的深度优先搜索策略 z理解回溯法的深度优先搜索策略。 z掌握用回溯法解题的算法框架 （1）递归回溯 （2）迭代回溯 （3）子集树算法框架 （4）排列树算法框架 通过应用范例学习回溯法的设计策略 z通过应用范例学习回溯法的设计策略。
Sch2-1z Sch2-1 方法概述搜索算法介绍 （1）穷举搜索 （2）盲目搜索 —深度优先(DFS)或回溯搜索( Backtracking); —广度优先搜索( BFS ); (Branch &Bound) —分支限界法(Branch & Bound)；—博弈树搜索( α-βSearch) （3）启发式搜索 —A* 算法和最佳优先( Best-First Search ) —迭代加深的A*算法 —B*AO*SSS*等算法B , AO , SSS 等算法 —Local Search, GA等算法
Sch2-1z Sch2-1 方法概述搜索空间的三种表示： —表序表示：搜索对象用线性表数据结构表示； —显示图表示：搜索对象在搜索前就用图（树）的数据结构表示； —隐式图表示：除了初始结点，其他结点在搜索过程中动态生成。缘于搜索空间大，难以全部存储。 z 搜索效率的思考：随机搜索 —上世纪70年代中期开始，国外一些学者致力于研究随机搜索求解困难的组合问题，将随机过程引入搜索； —选择规则是随机地从可选结点中取一个从而可以从统计角度分析搜选择规则是随机地从可选结点中取一个，从而可以从统计角度分析搜索的平均性能； —随机搜索的一个成功例子是：判定一个很大的数是不是素数，获得了第个多式时算法 第一个多项式时间的算法。
三国华容道附摆图解法
三国华容道附摆图解法 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
华容道""通关步骤(37步) 赵左，黄下，张下，上卒下二，曹右，左下卒右上，关上，马上，赵上，黄左，张下，二卒下，曹下，上二卒右，关上，马上，赵上，黄上，张左，二卒下，曹下，马右，赵上，黄上，张上，下二卒左，曹下，黄右，张上，右卒上左，曹左。 "1"通关步骤(81步) 右下卒左一，张下，关右，左上卒下，马右，左下卒上 一，下卒左一，马下，关左，右卒上右，下卒上二，马 右，左上卒右下，关下，上二卒左二，张上，马上，下 二卒右二，关下，右上卒下左，马左，张左，黄下，曹 右，赵右，左二卒上二，马左，赵下，曹左，黄上，张 右，下卒上二，下卒左上，关右，赵下，马下，中卒左 二，曹下，上卒右二，左卒上右，左下卒上二，马上， 赵左，中卒左下，曹下，右上卒下左，黄左，张上，曹右，上卒下二，上卒下一，上卒右一，马上，赵上，下卒左，下中卒下，曹左，张下，黄右，上二卒右，马右，赵上，曹左，上二卒下二，黄左，张上，下卒右上，关上，下二卒右二，曹下，中二卒左二，关上，左下卒上右，曹右。 “2"通关步骤(90步) 二卒下，关下，右上卒左一，黄上，左上卒右，马 上，下卒右，左下卒左，关下，左上卒下右，马 右，下卒上一，关左，下卒左，黄下，上卒右，右 中卒上，下卒上，关右，左卒下，马左，中二卒 左，右上卒左，黄上，关右，中下卒下，上卒下 右，马右，下卒上二，下卒左上，关左，卒下右，
中卒下二，黄左，赵下，曹右，张右，左二卒上二，马左，张下，曹左，赵上，黄右，下卒上二，下卒左上，关右，张下，马下，中卒左二，曹下，上卒右二，左卒上右，下卒上二，马上，张左，中卒左下，曹下，右上卒下左，赵左，黄上，曹右，上卒下二，上卒下一，上卒右一，马上，张上，下卒左，下中卒下，曹左，黄下，赵右，上二卒右，马右，张上，曹左，上二卒下二，赵左，黄上，下卒右上，关上，下二卒右二，曹下，中二卒左二，关上，左卒上右，曹右。
搜索与回溯算法介绍
搜索与回溯算法介绍 一、概述： 计算机常用算法大致有两大类：一类叫蛮干算法，一类叫贪心算法。前者常使用的手段就是搜索，对全部解空间进行地毯式搜索，直到找到指定解或最优解。后者在求最优解问题的过程中，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最优解。 二、搜索与回溯： 这里着重介绍搜索与回溯。当很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解时可以利用搜索与回溯的技术求解。回溯是搜索算法中既带有系统性又带有跳跃性的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索。在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，然后继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进。如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。 【建立解空间】 问题的解应该如何描述，如何建立呢？问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。借助图论的思想，可以用图来描述，图的定义为G，由顶点集和边集构成，顶点即实实在在的数据、对象，而边可以抽象为关系，即顶点间的关系，这种关系不一定非要在数据结构上表现出来，用数据结构的语言来描述，如果关系是一对一，则为线性表，如果关系是一对多，则为树，如果关系是多对多，则为图，如果完全没有关系，则为集合。但在数据结构中这种关系不一定非要在数据的存储性质上一开始就表现出来，譬如，你可以用一个数组表示一个线性表，也可以表示完全二叉树，同样也可以用邻接表表示一个图，对于关系的描述不是数据结构本身的描述，而是算法的描述，正如数据结构是离不开特定的算法一样，不可分开单独而谈。 确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向
华容道解法(带图解超完整直接打印效果)
华容道"横刀立马1"通关步骤(81步) 右下卒左一黄下 关右 左上卒下 马右 左下卒上一下卒左一 马下 关左 右卒上右 下卒上二 马右 左上卒右下关下 上二卒左二黄上 马上 下二卒右二 关下 右上卒下左 马左 黄左 赵下 曹右 张右 左二卒上二 马左 张下 曹左 赵上 黄右 下卒上二 下卒左上 关右 张下 马下 中卒左二 曹下 上卒右二 左卒上右 左下卒上二 马上 张左 中卒左下 曹下 右上卒下左 赵左 黄上 曹右 上卒下二 上卒下一 马上 张上 下卒左 下中卒下 曹左 黄下 赵右 上二卒右 马右 张上 曹左 上二卒下二 赵左 黄上 下卒右上 关上 下二卒右二 曹下 中二卒左二 关上 左下卒上右 曹右. 张飞曹操赵云 马超 关羽 黄忠卒卒 卒卒
华容道"横刀立马2"通关步骤(90步) 二卒下 关下 右上卒左一黄上 左上卒右马上 下卒右 左下卒左关下 左上卒下右马右 下卒上一关左 下卒左 黄下 上卒右 右中卒上下卒上 关右 左卒下 马左 中二卒左 右上卒左 黄上 关右 中下卒下 上卒下右 马右 下卒上二 下卒左上 关左 卒下右 中卒下二 黄左 赵下 曹右 张右 左二卒上二 马左 张下 曹左 赵上 黄右 下卒上二 下卒左上 关右 张下 马下 中卒左二 曹下 上卒右二 左卒上右 下卒上二 马上 张左 中卒左下 曹下 右上卒下左 赵左 黄上 曹右 上卒下二 上卒下一 上卒右一 马上 张上 下卒左 下中卒下 曹左 黄下 赵右 上二卒右 马右 张上 曹左 上二卒下二 赵左 黄上 下卒右上 关上 下二卒右二 曹下 中二卒左二 关上 左卒上右 曹右. 张飞曹操赵云卒关羽卒 马超卒卒 黄忠
回溯算法实例一
【问题】填字游戏 问题描述：在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。 可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的填入的整数，寻找下一个解。 为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的顺序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。 回溯法找一个解的算法： { int m=0,ok=1; int n=8; do{ if (ok) 扩展; else 调整; ok=检查前m个整数填放的合理性; } while ((!ok||m!=n)&&(m!=0)) if (m!=0) 输出解; else 输出无解报告； } 如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。相应的算法如下： 回溯法找全部解的算法： { int m=0,ok=1; int n=8; do{ if (ok) { if (m==n) { 输出解； 调整； } else 扩展; } else 调整; ok=检查前m个整数填放的合理性; } while (m!=0); }
回溯算法的应用
回溯算法的应用 课程名称：算法设计与分析 院系：************************ 学生姓名：****** 学号：************ 专业班级：***************************** 指导教师：****** 2013年12月27日
回溯法的应用 摘要：回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。 回溯法，其意义是在递归直到可解的最小问题后，逐步返回原问题的过程。而这里所说的回溯算法实际是一个类似枚举的搜索尝试方法，它的主题思想是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。 回溯算法是尝试搜索算法中最为基本的一种算法，其采用了一种“走不通就掉头”的思想，作为其控制结构。在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。 全排列和求最优解问题是比较经典的问题，我们可以采用多种算法去求解此问题，比如动态规划法、分支限界法、回溯法。在这里我们采用回溯法来解决这个问题。 关键词：回溯法全排列最优值枚举
回溯算法的一些例题
回溯算法 搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。回溯是搜索算法中的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进,如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。 递归回溯法算法框架[一] procedure Try(k:integer); begin for i:=1 to 算符种数 Do if 满足条件 then begin 保存结果 if 到目的地 then 输出解 else Try(k+1); 恢复：保存结果之前的状态{回溯一步} end; end; 递归回溯法算法框架[二] procedure Try(k:integer); begin if 到目的地 then 输出解 else for i:=1 to 算符种数 Do if 满足条件 then begin 保存结果 Try(k+1); end; end;
例 1：素数环：把从1到20这20个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。【算法分析】非常明显，这是一道回溯的题目。从1 开始，每个空位有 20（19）种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的数的和是一个素数。第 20个数还要判断和第1个数的和是否素数。 〖算法流程〗1、数据初始化； 2、递归填数： 判断第J种可能是否合法； A、如果合法：填数；判断是否到达目标（20个已填完）：是，打印结果；不是，递归填下一个； B、如果不合法：选择下一种可能； 【参考程序】 program z74;框架[一] var a:array[0..20]of byte; b:array[0..20]of boolean; total:integer; function pd(x,y:byte):boolean; var k,i:byte; begin k:=2; i:=x+y; pd:=false; while (k<=trunc(sqrt(i)))and(i mod k<>0) do inc(k); if k>trunc(sqrt(i)) then pd:=true; end; procedure print; var j:byte; begin inc(total);write('<',total,'>:'); for j:=1 to 20 do write(a[j],' '); writeln; end; procedure try(t:byte); var i:byte; begin for i:=1 to 20 do if pd(a[t-1],i)and b[i] then begin a[t]:=i; b[i]:=false; if t=20 then begin if pd(a[20],a[1]) then print;end
回溯算法
五、回溯法 回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。 1、回溯法的一般描述 可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi 的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。 解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。 我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着 j（j
华容道解法附图87516
华容道解法 华容道解法(1)——横刀立马 首先规定一下棋子的名称: 最大的“曹”,横着放的“关”,竖着放的“飞”,最小的“兵”。 横刀立马81步 兵左1格,飞下,关右,兵下,飞右,兵上1,兵左,飞下,关左,兵上折右,兵上,飞右,兵右折下,关下,二兵左,二飞上,二兵右,关下,兵下折左,二飞左,飞下,曹右, 飞右,二兵上,飞左,飞下,曹左, 飞上,飞右,兵上,兵左折上,关右,二飞下,兵左,曹下, 兵右,兵上折右,兵上,飞上,飞左,兵左折下,曹下, 兵下折左,飞左,飞上,曹右, 兵下1,上兵下1,兵右,二飞上,兵左,兵下,曹左, 飞下,飞右,二兵右,飞右,飞上,曹左, 二兵下,飞左,飞上,兵右折上,关上,二兵右,曹下, 二兵左,关上,兵上折右,曹右！ 华容道解法(2)——层层设防 层层设防102步
关左、兵下折左、兵下、飞下、曹右、 飞右、二兵上、二关左、飞左、兵上、兵右折上、关右、二关下、兵下折右、兵下、飞左、曹左、二兵上、飞右、关右、兵下、兵左、关上、兵右、关上、关左、飞下、兵下、二关右、兵右、飞下、曹左、兵左折上、关上、飞上、二兵右、关右、飞下、曹下、二兵左、关上、兵上折右、曹右、兵下、兵左折下、关左、兵上折左、飞上、兵上、二关右、飞右、二兵下、曹左、兵左、兵下、飞下、关右、曹上、二兵上、飞上、关左、关下、飞下、兵右、兵上、飞右、兵右折下、曹下、关左、二兵上、二飞上、关上、关右、二兵下、曹下、关下、二兵左、二飞上、二关上、二兵右、曹下、关左、兵上折右、曹右！ 华容道"横刀立马1"通关步骤(81步) 右下卒左一,黄下,关右,左上卒下,马右,左下卒上一,下卒左一,马下,关左,右卒上右,下卒上二,马右,左上卒右下,关下,上二卒左二,黄上,马上,下二卒右二,关下,右上卒下左,马左,黄左,赵下,曹右,张右,左二卒上二,马左,张下,曹左,赵上,黄右,下卒上二,下卒左上,关右,张下,马下,中卒 左二,曹下,上卒右二,左卒上右,左下卒上二,马上,张左,中卒左下,曹下,右上卒下左,赵左,黄上,曹右,上卒下二,上卒下一,上卒右一,马上,张上,下卒左,下中卒下,曹左,黄下,赵右,上二卒右,马右,张上,曹左,上二卒下二,赵左,黄上,下卒右上,关上,下二卒右二,曹下,中二卒左二,关上,左下卒上右,曹右、------------------------------------ 华容道"横刀立马2"通关步骤(90步) 二卒下,关下,右上卒左一,黄上,左上卒右,马上,下卒右,左下卒左,关下,左上卒下右,马右,下卒上一,关左,下卒左,黄下,上卒右,右中卒上,下卒上,关右,左卒下,马左,中二卒左,右上卒左,黄上,
华容道局最佳解法
华容道破解通关步骤（附图） 1、"横刀立马1" （81 步） 右下卒左一，黄下，关右，左上卒下，马右，左下卒上一，下卒左一， 马下，关左，右卒上右，下卒上二，马右，左上卒右下，关下，上二卒 左二，黄上，马上，下二卒右二，关下，右上卒下左，马左，黄左，赵 下，曹右，张右，左二卒上二，马左，张下，曹左，赵上，黄右，下卒 上二，下卒左上，关右，张下，马 下，中卒左二，曹下，上卒右二，左 卒上右，左下卒上二，马上，张左，中卒左下，曹下，右上卒下左，赵 左，黄上，曹右，上卒下二，上卒下一，上卒右一，马上，张上，下卒 左，下中卒下，曹左，黄下，赵右，上二卒右，马右，张上， 曹左，上 二卒下二，赵左，黄上，下卒右上，关上，下二卒右二，曹下，中二卒 2、"横刀立马2" （90 步） 二卒下，关下，右上卒左一，黄上，左上卒右，马上，下卒右，左下卒左， 关 下，左上卒下右，马右，下卒上一，关左，下卒左，黄下，上卒右，右中 卒上， 下卒上，关右，左卒下，马左，中二卒左，右上卒左，黄上，关右， 中下卒下，上卒下右，马右，下卒上二，下卒左上，关左，卒下右，中卒下 二，黄左，赵 下，曹右，张右，左二卒上二，马左，张下，曹左，赵上，黄 右，下卒上二，下卒左上，关右，张下，马下，中卒左二，曹下，上卒右 左卒上右，下卒上二，马 上，张左，中卒左下，曹下，右上卒下左，赵左， 黄上，曹右，上卒下二，上卒下一，上卒右一，马上，张上，下卒左，下中 卒下，曹左，黄下，赵右，上二卒右，马右，张上，曹左，上二卒下二，赵 左，黄上，下卒右上，关上，下二卒右二，曹下，中二卒左二，关上，左卒上右，曹右。 3、"齐头并前” （74步） 关下，右中卒下，右上卒左，黄上，关右，左中卒下二，左上卒右，马上, 下卒左，中上卒下二，马右，左下卒上二，下卒左上，关左，中卒下右， 中上卒下二，黄左，赵下，曹右，张右，左二卒上二，马左，张下，曹左, 赵上，黄右，下卒上二，下卒左上，关右，张下，马下，中卒左二，曹下, 上卒右二，左卒上 右，左下卒上二，马上，张左，中卒左下，曹下，右上 卒下左，赵左，黄上，曹右，上卒下二，上卒下一，上卒右一，马上，张 上，下卒左，下中卒下，曹左， 黄下，赵右，上二卒右，马右，张上，曹 左，上二卒下二，赵左，黄上，下卒右上，关上，下二卒右二，曹下，中 二卒左二，关上，左下卒上右，曹右。 左二，关上，左下卒上右，曹右。
回溯算法
回溯算法 学习重点： 1、理解回溯法的基本思想； 2、掌握回溯法解题的基本算法。 ` 学习过程: 一、回溯法的基本思想 回溯法又称试探法。回溯法的基本做法是深度优先搜索，是一种组织得井井有条的、能避免不必要重复搜索的穷举式搜索算法。 回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。 具体说,就是：在搜索(依次用各种方法一一去试探)的过程中，当在P点有N种选择，则从第一种开始尝试，若第K种可行，即这一步搜索成功，打上标记，再向前(即 P+1点)搜索；如在P 点搜索失败(所有的方法都试探过，没有一种可行)，为了摆脱当前的失败，就返回搜索进程中的上一点(即P-1点)，再用第K+1种方法(假设上次在P-1点用第K种方法搜索成功，必须明确以前用过的方法不能再用，否则会陷入死循环)再去搜索，重新寻求解答。这样搜索回溯，再搜索再回溯，如能搜索到终点，问题有解，如最后回溯到出发点，问题就无解。 这种在搜索的过程中，先对深度大的点进行扩展的算法，叫深度优先搜索法。 设搜索深度指针为P，搜索方法指针为I，可把深度优先搜索算法写成如下形式： P=0：I=0 DO I=I+1(搜索到一种方法) IF 搜索方法有效 THEN 试探产生临时新结点 IF 符合条件 THEN P=P+1(深入一步)，新结点记录，I=0，再全方位搜索 IF到达终点 THEN 结束搜索，输出结果 END IF ELSE(搜索的方法无效) I=上次搜索的方法(下一轮将用I的下一方法去搜索)，P=P-1(后退一步返回上结点) END IF L00P UNTIL P=0 IF P=0 THEN ’深度指针P为0，表示已退到起始状态，是本题无解的标志无解
华容道主流布局的解法
华容道及解法 这是一个由经典的故事发展而成的益智玩具。鹿港“曹瞒兵败走华容，正与关公狭路逢。只为当初恩义重，放开金锁走蛟龙”。这首诗是《三国演义》里，作者对赤壁之战关公放走曹*的感慨。“华容道”这一古老的智力游戏，就取意于这段故事。由于该游戏变化多端，精深莫测，具有百玩不厌等特点，被称为世界“智力游戏界的三大不可思议的游戏”之一。 棋子的游戏规则是：只准利用2个空平面移动，不许把棋子重叠，也不许跨过任何棋子，要想法用最少的步数把曹*移到出口。只许曹*出去，别的棋子不许出去。本游戏的目的就是通过移动各个棋子，帮助曹*从初始位置移到棋盘最下方中部。 首先规定一下棋子的名称：最大的“曹”，横着放的“关”，竖着放的“飞”，最小的“兵”。 横刀立马解法共81步 兵左1，飞下，关右，兵下，飞右，兵上1，兵左，飞下，关左，兵上折右，兵上，飞右，兵右折下，关下，二兵左，二飞上，二兵右，关下，兵下折左，二飞左，飞下，曹右，飞右，二兵上，飞左，飞下，曹左，飞上，飞右，兵上，兵左折上，关右，二飞下，兵左，曹下，兵右，兵上折右，兵上，飞上，飞左，兵左折下，曹下，兵下折左，飞左，飞上，曹右，兵下1，上兵下1，兵右，二飞上，兵左，兵下，曹左，飞下，飞右，二兵右，飞右，飞上，曹左，二兵下，飞左，飞上，兵右折上，关上，二兵右，曹下，二兵左，关上，兵上折右，曹右！回答人的补充 2010-02-20 19:52 华容道"横刀立马1"通关步骤(81步) 右下卒左一，黄下，关右，左上卒下，马右，左下卒上一，下卒左一，马下，关左，右卒上右，下卒上二，马右，左上卒右下，关下，上二卒左二，黄上，马上，下二卒右二，关下，右上卒下左，马左，黄左，赵下，曹右，张右，左二卒上二，马左，张下，曹左，赵上，黄右，下卒上二，下卒左上，关右，张下，马下，中卒左二，曹下，上卒右二，左卒上右，左下卒上二，马上，张左，中卒左下，曹下，右上卒下左，赵左，黄上，曹右，上卒下二，上卒下一，上卒右一，马上，张上，下卒左，下中卒下，曹左，黄下，赵右，上二卒右，马右，张上，曹左，上二卒下二，赵左，黄上，下卒右上，关上，下二卒右二，曹下，中二卒左二，关上，左下卒上右，曹右. -------------------------------------------------------------------------------- 华容道"横刀立马2"通关步骤(90步) 二卒下，关下，右上卒左一，黄上，左上卒右，马上，下卒右，左下卒左，关下，左上卒下右，马右，下卒上一，关左，下卒左，黄下，上卒右，右中卒上，下卒上，关右，左卒下，马左，中二卒左，右上卒左，黄上，关右，中下卒下，上卒下右，马右，下卒上二，下卒左上，关左，卒下右，中卒下二，黄左，赵下，曹右，张右，左二卒上二，马左，张下，曹左，赵上，黄右，下卒上二，下卒左上，关右，张下，马下，中卒左二，曹下，上卒右二，左卒上右，下卒上二，马上，
华容道14种布局的通关步骤(教学资料)
华容道14种布局的通关步骤 华容道"横刀立马1"通关步骤(81步) 右下卒左一，黄下，关右，左上卒下，马右，左下卒上一，下卒左一，马下，关左，右卒上右，下卒上二，马右，左上卒右下，关下，上二卒左二，黄上，马上，下二卒右二，关下，右上卒下左，马左，黄左，赵下，曹右，张右，左二卒上二，马左，张下，曹左，赵上，黄右，下卒上二，下卒左上，关右，张下，马下，中卒左二，曹下，上卒右二，左卒上右，左下卒上二，马上，张左，中卒左下，曹下，右上卒下左，赵左，黄上，曹右，上卒下二，上卒下一，上卒右一，马上，张上，下卒左，下中卒下，曹左，黄下，赵右，上二卒右，马右，张上，曹左，上二卒下二，赵左，黄上，下卒右上，关上，下二卒右二，曹下，中二卒左二，关上，左下卒上右，曹右. 华容道"横刀立马2"通关步骤(90步) 二卒下，关下，右上卒左一，黄上，左上卒右，马上，下卒右，左下卒左，关下，左上卒下右，马右，下卒上一，关左，下卒左，黄下，上卒右，右中卒上，下卒上，关右，左卒下，马左，中二卒左，右上卒左，黄上，关右，中下卒下，上卒下右，马右，下卒上二，下卒左上，关左，卒下右，中卒下二，黄左，赵下，曹右，张右，左二卒上二，马左，张下，
曹左，赵上，黄右，下卒上二，下卒左上，关右，张下，马下，中卒左二，曹下，上卒右二，左卒上右，下卒上二，马上，张左，中卒左下，曹下，右上卒下左，赵左，黄上，曹右，上卒下二，上卒下一，上卒右一，马上，张上，下卒左，下中卒下，曹左，黄下，赵右，上二卒右，马右，张上，曹左，上二卒下二，赵左，黄上，下卒右上，关上，下二卒右二，曹下，中二卒左二，关上，左卒上右，曹右. 华容道"齐头并前"通关步骤(74步) 关下，右中卒下，右上卒左，黄上，关右，左中卒下二，左上卒右，马上，下卒左，中上卒下二，马右，左下卒上二，下卒左上，关左，中卒下右，中上卒下二，黄左，赵下，曹右，张右，左二卒上二，马左，张下，曹左，赵上，黄右，下卒上二，下卒左上，关右，张下，马下，中卒左二，曹下，上卒右二，左卒上右，左下卒上二，马上，张左，中卒左下，曹下，右上卒下左，赵左，黄上，曹右，上卒下二，上卒下一，上卒右一，马上，张上，下卒左，下中卒下，曹左，黄下，赵右，上二卒右，马右，张上，曹左，上二卒下二，赵左，黄上，下卒右上，关上，下二卒右二，曹下，中二卒左二，关上，左下卒上右，曹右. 华容道"兵分三路"通关步骤(71步) 二卒下，关下，曹下，右上卒左，左上卒右，赵上，黄上，
算法设计与分析--回溯法
回溯算法的应用 课程名称：算法设计与分析院系： 学生姓名： 学号： 专业班级： 指导教师： 2013年12月27日
回溯算法的应用 摘要：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。 回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这就是以深度优先的方式系统地搜索问题解的回溯算法，它适用于解决一些类似n 皇后问题等求解方案问题，也可以解决一些最优化问题。 在做题时，有时会遇到这样一类题目，它的问题可以分解，但是又不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑用回溯法解决此类问题。回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。关键词：回溯法深度优先搜索递归
目录 第1章绪论 (1) 1.1 回溯算法的背景知识 (1) 1.2 回溯法的前景意义 (1) 第2章回溯算法的理论知识 (2) 2.1 回溯算法设计过程 (2) 2.2 回溯算法框架 (2) 2.3 回溯算法的一般性描述 (4) 第3章找n个数中r个数的组合问题 (5) 3.1 问题描述 (5) 3.2 问题分析 (5) 3.3 算法设计 (5) 3.4 测试结果与分析 (6) 第4章流水作业车间调度问题 (8) 4.1 问题描述 (8) 4.2 问题分析 (8) 4.3 算法设计 (8) 4.4 测试结果与分析 (10) 第5章结论 (11) 参考文献 (12)
华容道解法全集新
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回溯算法原理和几个常用的算法实例
回溯算法思想： 回溯（backtracking）是一种系统地搜索问题解答的方法。为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间（solution space），这个空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。 下一步是组织解空间以便它能被容易地搜索。典型的组织方法是图(迷宫问题)或树(N皇后问题)。一旦定义了解空间的组织方法，这个空间即可按深度优先的方法从开始节点进行搜索。 回溯方法的步骤如下： 1) 定义一个解空间，它包含问题的解。 2) 用适于搜索的方式组织该空间。 3) 用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。 回溯算法的一个有趣的特性是在搜索执行的同时产生解空间。在搜索期间的任何时刻，仅保留从开始节点到当前节点的路径。因此，回溯算法的空间需求为O （从开始节点起最长路径的长度）。这个特性非常重要，因为解空间的大小通常是最长路径长度的指数或阶乘。所以如果要存储全部解空间的话，再多的空间也不够用。 算法应用： 回溯算法的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中。 (1) 幂集问题(组合问题)(参见《数据结构》（严蔚敏）) 求含N个元素的集合的幂集。 如对于集合A={1,2,3},则A的幂集为 p(A)={{1,2,3},{1,2},{1,3},{1},{2,3},{2},{3},Φ} 幂集的每个元素是一个集合，它或是空集，或含集合A中的一个元素，或含A 中的两个元素，或者等于集合A。反之，集合A中的每一个元素，它只有两种状态：属于幂集的元素集，或不属于幂集元素集。则求幂集P（A）的元素的过程可看成是依次对集合A中元素进行“取”或“舍”的过程，并且可以用一棵状态树来表示。求幂集元素的过程即为先序遍历这棵状态树的过程。 程序：