三角形截长补短证明全等专题辅导与练习

A

D C

E B A B C

D E

F

A

D

A

D

全等三角形提优训练

一．倍长“中线”问题

例1. 如图，已知点D 是BC 边上的一点，CD =AB ， ∠ADB =∠BAD ，AE 是△ABD 中线，试说明AC =2AE

练习1. 已知点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE =∠CDE 猜想AB 与CD 数量关系，并说明理由.

练习2．已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上 的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．

二．形变质“不变”问题

例2. (1)如图，在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点F ， 求∠AFE 的大小.

(2)在等边△ABC 中，分别延长CB 和AC ，在CB 和AC 的 延长线上分别取点D 和点E ，使得BD ＝CE ，AD 与BE 所在直线 相交于点F ，问第(1)题的结论是否仍然成立？并说明理由.

(2)在等边△ABC 中，分别延长BC 和CA ，在BC 和CA 的 延长线上分别取点D 和点E ，使得BD ＝CE ，AD 与BE 所在直线 相交于点F ，问第(1)题的结论是否仍然成立？并说明理由.

练习. 如图，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BD ，E 为OC 上一点，AG ⊥BE 于点G ，直线AG 交直线BD 于点F ．

（1）试问线段OE 、OF 存在什么关系？写出你的结论并证明 .

（2）若E 为OC 延长线上一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？画图并证明你的结论．

三．动中求“定”问题

例3. 如图所示，等边三角形ABC 的边长为2，点P 和Q 分别从A 和C 两点同时出发，做匀

速运动，且它们的速度相同．点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC ?的延长线运动，设PQ 与直线AC 相交于点D ，作PE ⊥AC 于E ，当P 和Q 运动时，线段DE 的长是否改变？证

明你的结论．

1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高，点E 在边AB 上，且BE =BC ，过点E 作EF //AC ，交CD 于F 点，连接BF ． (1)若BC =10, BD =6，线段EF 的长；(2)求证：∠CBF =45°-2

1

∠DCB .

CDE CBF ?

2.（10分）如图，在正方形ABCD 中，E 是正方形内一点，F 是正方形外一点，且 EDC FBC ∠=∠,.DE BF = （1）求证：；

（2）试判断CEF 的形状，并证明你的结论； （3）当1,2,135BE CE BEC ==∠=

时，求DE 的值.

24．如图，正方形ABCD 中，点E 是BA 延长线上一点，连接DE ，点F 在DE 上且DF=DC ，DG

⊥CF 于G ，DH 平分∠ADE 交CF 于点H ，连接BH . （1）若DG =2，求DH 的长； （2）求证：BH+DH =2CH .

第24题图

G

H

F A

C

B

D

E

24. 如图,ABC ?中,AD 为BC 边中线，作CE AC C ⊥于,交AD 延长线于点E,过点B 作BF ∥CE 交AD 于点F. (1) 求证:DF DE =

(2) 若AD=DE+2BD , ABC DCE BAC ∠=∠+∠,求证：

○

1AD BC ⊥

○2(21)CE AB =-

1.如图，在△ABC 中，∠ACB =45°，AD 是△ABC 的高，在AD 上取点E ，使

得DE =DB ，连接CE 并延长，交边AB 于点F ，连接DF .

(1)求证：AB =CE ；(2)求证：BF +EF =2FD

（第1题图） （第2题图）

2.如图，△ABC 中，∠ABC=45°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，BM 交CD 于点E ，且点E 为CD 的中点，连接MD ，过点D 作ND ⊥MD 于点D ，DN 交BM 于点N ． （1）若BC=22，求△BDE 的周长； （2）求证：NE －ME=CM ．

F

E

D

C B

A

N

M E C

D B A

（第3题图）（第4题图）

3、如图正方形ABCD的边长为6, 点E在边AB上，连接ED过点D作FD⊥DE与BC的延长

线相交于点F, 连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．

(1)若BD＝BF，求BE的长；

(2)若∠2＝2∠1,求证：HF＝HE＋HD．

4、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.

在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC

（1）求证：BE=CF；

（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.

求证：①ME⊥BC；②DE=DN.

5、在正方形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE的延长线于点F，连接DF，过点

D作DG⊥DF交AE于点G．

（1）求证：△AGD≌△CFD；

（2）若E为CD的中点，求证：CF+EF=GE．

6、如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE＝CF，ED、FC交于

点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH。

（1）若DE＝10，求线段AB的长；

（2）求证：DE－HG＝EG。

（第5题图）（第6题图）

一、选择题

1．下列三角形不一定全等的是（）

F

E D C B A

A ．有两个角和一条边对应相等的三角形

B ．有两条边和一个角对应相等的三角形

C ．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形

D ．三条边对应相等的两个三角形 2．下列说法：

①所有的等边三角形都全等②斜边相等的直角三角形全等③顶角和腰长对应相等的等腰三角形全等

④有两个锐角相等的直角三角形全等其中正确的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3.如图，AB 平分∠CAD ，E 为AB 上一点，若AC=AD ，则下列结论错误的是（ ）

A.BC=BD

B.CE=DE

C.BA 平分∠CBD

D.图中有两对全等三角形

4.AD 是△ABC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下 列结论中错误的是 ( )

A.DE=DF

B.AE=AF

C.BD=CD

D.∠ADE=∠ADF

5.在△ABC 中，∠B=∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是130°，那么△ABC 中与这个

角对应的角是（ ）．

A ．∠A

B ．∠B

C ．∠C

D ．∠B 或∠C

6.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AD=CD ，BD=ED ，若∠ABC=54°，则∠E=（ ）． A ．25° B ．27° C ．30° D ．45°

7.如右图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分

∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，且AB ＝10 cm ，则△BED 的周长为 ( ) A ．5 cm B ．10 cm; C ．15 cm D ．20 cm

8．如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BOF ≌△COE ；③点O 在∠BAC 的角平分线上，其中正确的结论有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个

9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，则( )

A 、AF=2BF;

B 、AF=BF;

C 、AF>BF;

D 、AF

E

D

C

B A D A C

E B C B

A E F O

二、填空题

1.如果△ABC ≌△A ’B ’C ’，若AB ＝A ’B ’，∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠A ’＝ °

2.如图，若BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DC=DC ，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=________。

3.如图，△ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连结BE 、CF ，若AB=?AC ，添加条件___________后，△ABE ≌△ACF （请填写一个适合的条件即可）

11.如图，已知∠A=90°，BD 是∠ABC 的平分线，AC=10，

DC=6，则D?点到BC 的距离是__________．

三、解答题

1.如图，AE 是∠BAC 的平分线，AB=AC 。 (1)若点D 是AE 上任意一点，则△ABD ≌△ACD ； (2)若点D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立

吗？试说明你的猜想。 2．已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，?PN ⊥CD 于N ，判断PM

与PN 的关系．

3．如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，

?∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ，求AO+BO 的值．

F E

D C B A G

C B A E F P

D A C B

M

N

P D

A C

B O B A C

D

E

4.如图，∠ABC=90°，AB=BC，BP为一条射线，AD⊥BP，CE⊥PB，若AD=4，EC=2. 求DE的长。

5．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE?⊥AC，BF ⊥AC，若AB=CD，

可以得到BD平分EF，为什么？若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为如图所示时，其余

条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．

6.如图，OE=OF，OC=OD，CF与DE交于点A，求证：

①∠E=∠F；?②AC=AD。

7.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线

BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.

(1)求证：BG=CF;

(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

8.已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。

(1)求证：∠ABE=∠C；

(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC 于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。

G

D F

A

C B

E

G

D F

A

C

B

E

F

E

D C

B

A

G

F

E

D

C

A

O

10.如图(1)，AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。

若过O点的直线旋转至图(2)、(3)的情况，其余条件不变，那么图中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由。

11.

15.

一、选择题（每题３分，共１８分）

1．下列命题①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角.它们的逆命题是真命题的个数是( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2．命题“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的结论是 ( ) (A)在这条线段的垂直平分线上 (B)线段的垂直平分线上有个点 (C)这点在这条线段的垂直平分线上 (D)这点在垂直平分线上 3．下列命题中，真命题是（ ）

A.相等的角是直角

B.不相交的两条线段平行

C.两直线平行，同位角互补

D.经过两点有具只有一条直线

.4。命题：①对顶角相等；②平面内垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的

角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 5．只用无刻度的直尺就能作出的图形是（ ）

A.延长线段AB 至C ，使BC ＝AB

B.过直线L 上一点A 作L 的垂线

C.作已知角的平分线

D.从点O 再经过点P 作射线OP 6．用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（ ） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS

23．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点C A 、到

直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长为 .

24．如图，等边△ABC ，B 点在坐标原点，

C 点的坐标为（6，0），点A 关于x 轴对称点A?′的坐标为_______．

五、解答题（共24分）

25．如图，在□ABCD 中，F E 、分别是边BC 和AD 上的点. 请你补充一个条件，使CDF ABE ??≌，并给予证明.（９分）

26．“太湖明珠”无锡要建特大城市,有人建议无锡(A )、 江阴（B ）、宜兴（C ）三市共建一个国际机场，使飞 机场到江阴、宜兴两城市距离相等，且到无锡市的距离

最近.请你设计机场的位置（要保留作图痕迹哦！）.（８分）

27.ABC Δ的三边分别为a,b,c 且a=22n m -,b=2mn,c=2

2n m +(m>n,m,n 是正整

数)，ABC Δ是直角三角形吗？说明理由。（８分）

28．如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF 与GE ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点. （1）G 点一定是AB 的中点吗？说明理由；

（2）钉这两块木条的作用是什么？（９分）

六、实践与探究．在ABC ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=；

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. （１３分）

G F E D C B

A