【名师测控】2016春九年级数学下册 3.1 圆教案 (新版)北师大版
圆
【教学内容】3.1圆
【教学目标】
知识与技能学会用集合的观点描述圆，掌握圆的有关定义，在探索点与圆位置关系的过程，理解点与圆的位置关系
过程与方法经历探索圆的有关定义，了解各个定义之间的区别。探索点和圆的位置三种关系，并学会如何判断点和圆位置关系。
情感、态度与价值观
引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，使学生对圆的知识产生浓厚学习兴趣。【教学重难点】
重点：圆及其有关概念，点与圆的位置关系．
难点：对用集合的观点描述圆的理解
【导学过程】
【知识回顾】
什么叫做圆？一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一端点A旋转而成的图形是否是一个圆？
【情景导入】圆是我们生活中很常见的图形，圆的很多知识生动有趣，你有信心学好吗？，【新知探究】
探究一、
圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的组成的图形，其中定点是圆心，定长是半径。以O为圆心的记作⊙O，读作“圆O”。
探究二、圆的有关定义：
1、叫做弦，叫做直径。
2、叫做弧，叫做半圆。
3、叫做等圆，叫等弧。
长度相等的弧是等弧吗？为什么？
探究三、
⊙O是一个半径为r的圆，在圆内、圆外、圆上分别取一点，点到圆心的距离为d,请你用r 与d的大小关系刻画它们的位置关系。
点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内。
【知识梳理】
本节课我们学习与圆有关的定义，理解点与圆的三种位置关系及判断方法。
【随堂练习】
1、如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．
2、如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．
3、已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．
4、设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．
5、城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？
6、由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
九年级数学下册第三章圆3.1圆教案(新版)北师大版
、教学目标 1. 知道圆的有关定义及表示方法 . 2. 掌握点和圆的位置关系 . 3. 会根据要求画出图形 . 二、课时安排 1 课时 三、教学重点 点和圆的位置关系 . 四、教学难点 点和圆的位置关系 . 五、教学过程 （一）导入新课 生活中关于圆的图形展示， 引导学生认识圆并谈谈对圆的理解： （二）讲授新课 活动 1：小组合作 3.1 圆 观察车轮，你发现了什 么？ 车轮为什么做成圆
车轮做成三角形、正方形可以吗？ 探究 1：（1）如图， A，B 表示车轮边缘上的两点， 点离与 B， O之间的距离有什么关系？ （ 2）C 表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳地滚动， C，O之间的距 离与 A， O之间的距离应满足什么关系？ 明确：车轮边缘上任意两点到轴心的距离都相等 , 任意一点到轴心的距离是一个 定值 . 圆上的点到圆心的距离是一个定值 . 探究 2：投圈游戏 一些学生正在做投圈游戏 , 他们呈“一”字排开 , 这样的队形对每个人公平 吗 ?你认为他们应当排成什么样的队形 ? 为了使投圈游戏公平 , 现在有一条 3 米长的绳子 , 你准备怎么办 ? 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点称为 圆心，定长称为半径 . 注意： 1. 从圆的定义可知 : 圆是指圆周而不是圆面 O表示车轮的轴心， A，O 之间的距
2. 确定圆的要素是：圆心、半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可 . 以点 O为圆心的圆记作：⊙ O，读作：“圆 O”. 探究 3：圆的有关性质 战国时期的《墨经》一书中记载：“圜，一中同长也”.古代的圜（ huán）即圆，这句话 是圆的定义，它的意思是： 圆是从中心到周界各点有相同长度的图形 . 提问：如果一个点到圆心距离小于半径 , 那么这个点在哪里呢 ?大于圆的半径呢 ?反过来呢? 试根据圆的定义填空： 1.圆上各点到 ___________ 的距离都等于______________ . 2.到定点的距离等于定长的点都在 ____ . 探究 4：点与圆的位置关系 如图，设⊙O 的半径为 r，A点在圆内， B点在圆上， C点在圆外，那么 OA 2016最新版初三下册数学知识点总结 第一天 第一章 直角三角形边的关系 ※一. 正切： 正切．． 即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan ; 正弦，即斜边 的对边A A ∠=sin ; 余弦，即斜边 的邻边 A A ∠= cos ; ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= sin 2 A+cos 2 A=1 (5)直角三角形的内切圆半径2c b a r -+= (6)直角三角形的外接圆半径c R 2 1 = ※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。用字母i 表示，即A l h i tan == （第二天）第三章 圆 1. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d 北师大版九年级数学圆测试题及答案 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289- 九年级数学圆测试题 一、选择题 1．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最 小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ． 2b a + B ．2b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小 明同学设计 了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上， 读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 图24—A 图24—A 图24—A —2 图24—A 图24—A 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ． 310 B ．5 12 C ．2 D ．3 11．如图24—A —7，两个半径都是4cm 的圆外切于点C ，一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、C 、 G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬 行，直到行走2006πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ） A ．D 点 B ．E 点 C ．F 点 D ．G 点 二、填空题 图24—A 图24—A 课题: 圆 【学习目标】 1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义. 2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系 【重点难点】 重点：会确定点和圆的位置关系.。 难点：初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题. 【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。 【自主学习】（自学课本Ｐ65---P67思考下列问题） 1、举例说出生活中的圆。 2、车轮为什么做成圆形 3、你是怎样画圆的你能讲出形成圆的方法有多少种吗 【合作探究】（由自主学习第四题归纳总结下列概念） 1、圆的集合定义 （集合的观点） 2、圆的运动定义：_______________ （运动的观点） 圆心：半径： 3、圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“”，读作 “”． 4、同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到（圆心）的距离 都等于半径）； （2）到定点的距离等于的点都在同一个圆上． 5、与圆的有关概念讨论圆中相关元素的定义．如图，你能说出弦、 直径、弧、半圆的定义吗 弦：； 直径： ； 弧： ； 弧的表示方法： ； 半圆： ； 等圆： 等弧“ 优弧： 劣弧： ； 6、点和圆的位置关系：在平面内任意取一点P ，点与圆有哪几种位置关系若⊙O 的半径为r ， 点P 到圆心O 的距离为d ，那么： 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 【训练案】 1、设AB=3cm ，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点A 和点B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形；（2）到点A 和点B 的距离都 ?? ? 《圆》教案 学习目标 1．知识技能：理解圆及相关概念，理解点与圆的位置关系，并能解决相关问题． 2．过程与方法：经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程． 3．情感态度：在学习中体会圆的实际应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识．初步培养学生以定义为依据分析问题解决问题的良好习惯． 教学重点 1．圆的相关概念； 2．点与圆的位置关系． 教学难点 1．概念的融会贯通； 2．在具体问题中的点与圆的位置关系． 教学过程 一、情境导入： 用准备好的一根线可以围成怎样的图形？学生活动，用课件演示圆的形成过程． 设计意图：通过实际活动激发学生的学习兴趣，学生可以围成三角形，平行四边形，圆形等，引入圆． 二、温故知新： 复习回顾 1．举例说出生活中的圆． 2．结合圆的定义了解圆心和半径． 3．圆的周长公式圆的面积公式S= 三、交流展示： 阅读课本P65—P66找到相关概念． 1．圆的定义： 以点O为圆心的圆，记作“”，读作“”． 决定圆的位置，决定圆的大小． 2．弦：连接圆上任意两点的叫做弦． 直径：经过圆心的叫做直径． 是圆中最长的弦． 3．弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆． 优弧：半圆的弧叫做优弧．用个点表示，如图中叫做优弧． 劣弧：半圆的弧叫做劣弧．用个点表示，如图中叫做劣弧． 4．等圆：能够的两个圆叫做等圆． 等弧：在同圆或等圆中，能够的弧叫做等弧． 四、提炼新知 点与圆的位置关系． 圆O的半径为r，点到圆心的距离为d． （1）点在圆内，即d 课时教学设计首页 授课时间2016年月日 授课时间2016年月日 教师行为学生行为 2、请你说一说为什么上述游戏中排成圆形（或圆弧 形）队形比较公平？ 二、冋题引申，探究圆的定义. 1、观察下列画圆的过程, 你能 根据自己的理解试着给圆下个 定义吗？课堂变化及处理主要环节的效果 一、创设问题情境，激发学生兴趣? 1、如图3-1 一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈 目标都是图中的花瓶。如果他们呈“一”字型排开, 这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当什么样的队形才公平？学生积极思考把自己带入游戏的快乐中， 并举手回答： 如果单纯考虑队形因素，即只考虑 “距离”对投圈结果的影响，那么排成 圆形（或圆弧形）队形比较公平。 学生抢答： 因为圆上的点道圆心的距离相等 引导学生发现：每一人 到玩具的距离相等时才 公平.为抽象出“平面上 到定点的距离等于定长 的所有点组成的图形叫 做圆”的概念做准备. 2、你能在图中找到圆心，半径，并会表示这个圆吗? 学生通过阅读课文独立回答 圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线 段OA的长度叫作这个圆的半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记 作“O O”，读作“圆O”通过游戏引出圆的概念教学时要对学生合理的想法给予肯定并引导完善 学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形； 授课时间2016年月日教师行为学生行为 4、请你说一说圆上各点、定点、定长有何关系呢？ (1 )圆心的距离都等于定长 (2)到定点的距离等于定长的点 5、那么确定一个圆要几个要素： 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小. 三、进一步探究圆的相关概念，培养学生的自学探究精神。 请同学们结合图3-2小组交流讨论解决以下问题. 弦：直径： 弧、弧的表示方法: 半圆：等圆：等弧： 优弧：劣弧: 四、问题深入，探究点和圆的关系 1、在平面上任取一点，这点可能 在圆的什么地方？ 2、如图3-3所示，O O是 一个半径为r的圆，圆上分别取一点，点到圆心的 距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位 置特征吗? 小组讨论，组内互相交流协商、组内 统一意见?各组派代表表述本组讨论 结果? 学生根据自己的理解口头作答， 最后由一名学生小结? 学生通过自己阅读课文，与同伴交 流完成圆的相关概念的认识。 学生抢答： 这点可能在圆外、在圆上、或在圆 内。 学生口答并完成课文66页想一想。 点P在圆外，？ d> r; 点P在圆上，？ d= r; 点P在圆内，？ d v r. 课堂变化及处理 主要环节的效果学 生发言踊跃，思维得到 了有效的激发，多数学 生能抓住到定点的距离 相等的条件，只是表达 还不够准确、完善? 对还有疑虑的问题, 教师可以作引导性讲 解生回答教师引导 通过此问题的探究，使 学生理解点与圆的位置 关系，并体会定性分析 与定量分析的关系? 3.1 圆 学习目标: 经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系． 学习重点: 圆及其有关概念，点与圆的位置关系． 学习难点: 用集合的观念描述圆． 学习过程: 一、例题讲解： 【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系． 【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法． 【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC． 【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x ＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置． 【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？ 【例6】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？ 二、随堂练习 1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由． 2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是． 三、课后练习 1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（） A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径 C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大 2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（） A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不确定 3．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（）A．甲圆内B．乙圆外C．甲圆外，乙圆内D．甲圆内，乙圆外4．以已知点O为圆心作圆，可以作（） A．1个B．2个C．3个D．无数个 5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（） A．1个B．2个C．3个D．无数个 6．已知⊙O的半径为3．6cm，线段OA=25/7cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．A点在圆外B．A点在⊙O上C．A点在⊙O内D．不能确定 7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（） A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O 上或⊙O外 8．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm 为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有． 课时教学设计首页 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 一、创设问题情境，激发学生兴趣. 1、如图3-1一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈 目标都是图中的花瓶。如果他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当什么样的队形才公平？ 2、请你说一说为什么上述游戏中排成圆形（或圆弧形）队形比较公平? 二、问题引申，探究圆的定义. 1、观察下列画圆的过程， 你能根据自己的理解试着 给圆下个定义吗？ 2、你能在图中找到圆心，半径，并会表示这个圆吗？学生积极思考把自己带入游戏的 快乐中，并举手回答： 如果单纯考虑队形因素，即只考虑 “距离”对投圈结果的影响，那么 排成圆形（或圆弧形）队形比较公 平。 学生抢答： 因为圆上的点道圆心的距离相等 学生小组合作、分组讨论，通过动 画演示，发现圆可以看成是平面上 到定点的距离等于定长的所有点 组成的图形； 学生通过阅读课文独立回答 圆心：固定的端点叫作圆心； 半径：线段OA的长度叫作这个圆 的半径． 圆的表示方法：以点O为圆心的 圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 引导学生发现：每一 人到玩具的距离相 等时才公平.为抽象 出“平面上到定点的 距离等于定长的所 有点组成的图形叫 做圆”的概念做准 备. 通过游戏引出圆的 概念教学时要对学 生合理的想法给予 肯定并引导完善 A O 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 4、请你说一说圆上各点、定点、定长有何关系呢？（1）圆心的距离都等于定长 （2）到定点的距离等于定长的点 5、那么确定一个圆要几个要素: 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小． 三、进一步探究圆的相关概念，培养学生的自学探究精神。 请同学们结合图3-2小组交流讨论解决以下问题．弦：直径： 弧、弧的表示方法： 半圆：等圆： 等弧：优弧：劣弧： 四、问题深入，探究点和圆的关系 1、在平面上任取一点， 这点可能在圆的什么地方? 2、如图3-3所示，⊙O是 一个半径为r的圆，圆上分别取一点，点到圆心的距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗？小组讨论, 组互相交流协商、组 统一意见.各组派代表表述本组 讨论结果. 学生根据自己的理解口头作答， 最后由一名学生小结. 学生通过自己阅读课文，与同伴 交流完成圆的相关概念的认识。 学生抢答: 这点可能在圆外、在圆上、或在 圆。 学生口答并完成课文66页想一 想。 点P在圆外，?d＞r； 点P在圆上，?d＝r； 点P在圆，?d＜r. 学生发言踊跃，思维 得到了有效的激发， 多数学生能抓住到 定点的距离相等的 条件，只是表达还不 够准确、完善. 对还有疑虑的问题， 教师可以作引导性 讲解生回答教师引 导 通过此问题的探究， 使学生理解点与圆 的位置关系，并体会 定性分析与定量分 析的关系. 九年级总复习知识点总结-------圆 几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式： 1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180 R n π；（3）圆的面积S=πR 2 . （4）扇形面积S 扇形 = LR 2 1360 R n 2 = π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如 图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图： （1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高) （2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 = LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径） 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心 ? 两边中垂线的交点 ? 三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心 ? 两内角平分线的交点 ? 三角形的内切圆的圆心. 4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径） 直线与圆相交 ? d ＜r ； 直线与圆相切 ? d=r ； 直线与圆相离 ? d ＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径 且R ≥r ） 两圆外离 ? d ＞R+r ； 两圆外切 ? d=R+r ； 两圆相交 ? R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ? d=R-r ； 两圆内含 ? d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长 为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直 平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线 的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到 两条直线距离都相等的一条直线。 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点; 1、 点在圆内 d r 2、 点在圆上 d r 点C 在圆 点B 在圆 内; 上; 3、点在圆外 d r 点A 在圆外; 2、直线与圆相切 d r 有一个交点; 3、直线与圆相交 d r 有两个交点 ; 外离（图1）无交点 d R r ; d R r ; 外切（图2）有一个交点 相交（图3）有两个交点R r d R r ； 内切（图4）有一个交点 d R r ； 内含（图5）无交点 d R r ； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦 中考总复习九：圆 一、基础知识和基本图形 1．确定圆的条件： 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 2．圆的有关性质： （1）垂径定理及推论：落实，，构成的直角三角形． （2）圆心角、圆周角、弧、弦及弦心距之间的关系： 3．直线与圆： （1）直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： ①直线和圆相交d＜r； ②直线和圆相切 d ＝r；知交点，连半径，证垂直；不知交点，作垂直，证半径。 ③直线和圆相离 d ＞r． （2）切线的性质定理及判定定理、切线长定理．（轴对称） 4．圆和圆的位置关系： 设圆的半径分别为R和r (R ＞r ) 、圆心距为d，则： 两圆外离d＞R＋r；两圆外切d = R＋r； 两圆相交R–r＜d＜R＋r；两圆内切d = R–r； 两圆内含d＜R一r (同心圆d = 0 )． 5．有关圆的计算 （1）扇形弧长和扇形面积． （2）三角形的内切圆． （3）圆锥的侧面展开． （4）有关阴影面积．（割补法） 二、例题 1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的半径R ＝2，sin B ＝，则弦AC 的长为______________． 分析：如何利用好圆的半径，如何把角B 放到一个直角三角形中去运用三角函数值，这就需要作直 径，并构造直径所对的圆周角，这样就把角B 转化到直角三角形中了。 解答：作直径AO ，交圆O 于D ，连CD 利用勾股定理求得： AC=3 2．如图， 分别是 的切线， 为切点， 是⊙O 的直径，已知 ， 的度数为（ ）． A ． B ． C ． D ． 分析：本题利用圆心角与圆周角的关系，以及切线长定理解决 解答：D 3．如图，梯形 中， ， ， ， ，以 为圆心在梯形内 画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是_____________． 分析：要求扇形面积，关键是确定半径和圆心角 解答：过A 作AE ⊥BC 于E ，可求得∠B 为60度，AE=，所以最大扇形面积为4。 4．在 中， ， ．如果圆 的半径为 ，且经过点 ，那么线 段的长等于______________． 分析：此题应分类讨论，考虑圆心O 在BC 上和在BC 下两种情况 解答：5或3 《圆》教学设计 圆是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》九年级下册第三章第一节内容，本章主要研究圆的性质及与圆有的关的应用；本节要求经历形成圆的概念的过程， 经历探索点与圆位置关系的过程，理解圆的概念，理解点与圆的位置关系。因此本节的重点是理解圆的概念，理解点与圆的位置关系。 本节课的具体学习任务：经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系.一堂数学课，既要让学生获得具体的数学知识，又要让学生在获得知识的过程中，提高数学思维能力，掌握一些数学的分析方法，从而形成一定的数学素养.经历形成圆的概念的过程有两个目标，一是得到圆的概念，这是基础目标；二是经历由生活现象揭示其数学本质的过程，培养抽象思维，这是能力目标.经历探索点与圆位置关系的过程，初步体会定性分析与定量分析之间的关系. 【知识与能力目标】 1．经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程. 2．理解圆的概念，理解点与圆的位置关系. 【过程与方法目标】 1.经历由生活现象揭示其数学本质的过程，培养抽象思维和归纳概括的能力. 2.经历探索点与圆位置关系的过程，让学生体会定量分析对图形性质的判定方法. 【情感态度价值观目标】 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求 知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识． 【教学重点】 理解圆的概念，理解点与圆的位置关系 【教学难点】 圆定义的理解 多媒体课件 第一环节情境引入（获取信息，体会特点） 活动内容：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.思考：这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ 活动目的：引导学生发现：每一人到玩具的距离相等时才公平.为抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”的概念做准备. 实际教学效果：这个问题的思考过程中，多数学生能够发现关键条件是每一人到玩具的距离相等，对归纳圆的定义起到了很好地启发作用. 第三环节动手操作 活动内容： （1）请大家用自己的方式在草稿纸上画一个圆. 要求：①尝试用多种方法；②观察、思考圆的形成过程. （2）教师演示用圆规和绳子画圆. 活动目的： 增加对圆的感性认知，为抽象出圆的定义做准备. 实际教学效果： 利用绳子画圆收到了意想不到的效果，绳子一端固定，一端系着粉笔，其长度不会改变，在画出圆的过程中，学生对粉笔与固定点的距离始终没有改变有着强烈的直观认识，反响热烈. 练习三 一、知识点： ㈠、温故而知新 1．在同圆或等圆中，如果在两条弦、两条弧、两个圆心角中有_____组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 2. 垂径定理：垂直于弦的直径_____________这条弦，并且平分弦所对的两条_______。 3. 垂径定理的逆定理：平分弦（不是__________）的直径__________这条弦，并且平分弦所对的两条___ 4. 圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的__________等于这条弧所对的__________的一半。 ___________________所对圆周角相等。在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的______相等。 直径所对的圆周角是________，____________的圆周角所对弦是直径。 5．圆的切线 ⑴判定：经过直径________，并且与这条直径_____________的直线是圆的切线。 ⑵性质：圆的切线垂直于___________的直径。 6．三角形的外心 ________________________确定一个圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的_____________________________的交点。 7．三角形的内心 与三角形的三边都_______的圆叫做三角形的________圆，它的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心是三角形的三条________________________的交点。 ㈡和圆有关的位置关系 8．点和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_______________________的距离为d，则⑴点在圆内?_______________；⑵点在圆上?_______________；⑶点在圆外?_____________________。 9．直线和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_______________________的距离为d，则 ⑴直线和圆没有公共点?直线和圆_______________?d_____r； ⑵直线和圆有惟一公共点?直线和圆_______________?d_____r； ⑶直线和圆有两个公共点?直线和圆_______________?d_____r. 10．圆和圆的位置关系： ☆若两圆半径不等，有五种位置关系。设两圆的半径分别为R，r（R＞r）,____________为d。 ⑴两圆没有公共点且每一圆上的点在另一圆外?两圆_______________? d _________________； ⑵两圆有惟一公共点且每一圆上的点在另一圆外?两圆_______________?d________________； ⑶两圆有两个公共点?两圆_______________?___________________________； ⑷两圆有惟一公共点且其中一圆上的点除公共点外都在另一圆内?两圆____________?d__________； ⑸两圆没有公共点且其中一圆上的点都在另一圆内?两圆____________?__________________. 特例：d＝0时，两圆的圆心重合，此时称两圆____________ 注：_________和___________统称为相离，_________和___________统称为相切。 2019-2020年九年级数学第三章圆教案北师大版 学习目标:经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系． 学习重点:圆及其有关概念，点与圆的位置关系． 学习难点:用集合的观念描述圆． 学习方法:指导探索法. 学习过程: 一、例题讲解： 【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C 为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系． 【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法． 【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC． 【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－2x＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置． 【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？ 二、随堂练习 1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由． 2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是． 三、课后练习作业：小结： 教后记： §3.2 圆的对称性（第一课时） 学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理． 学习重点:垂径定理及其应用． 学习难点:垂径定理及其应用． 学习方法:指导探索与自主探索相结合。 学习过程: 一、举例： 【例1】判断正误： （1）直径是圆的对称轴． （2）平分弦的直径垂直于弦． 【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高． 【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长． 【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长． 二、练习： 课后练习: 作业：小结： 教后记： §3.2 圆的对称性（第二课时） 学习目标:圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 学习重点:圆心角、弧、弦之间关系定理． 学习难点:“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 学习方法:指导探索法. 学习过程: 一、例题讲解： 【例1】已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是的中点,试确定四边形OACB 的形状,并说明理由. 圆的专题专练含答案 一、解答题 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC 于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF 的外接圆． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF； (3)若CD=1，EH=3，求BF及AF长． 2.如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为BE?的中点， 过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC． (1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若AD=2，AC=√6，求AB的长． 3.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D， AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积． 4.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC 是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长 交AB的延长线于点F． (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π) 5.如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D 为BC?的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F， 连接DA． (1)求证：EF为半圆O的切线； (2)若DA=DF=6√3，求阴影区域的面积．(结果保 留根号和π) 6.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，过 D作DE⊥BD交AB于点E，经过B，D，E三点作⊙O． (1)求证：AC与⊙O相切于D点； (2)若AD=15，AE=9，求⊙O的半径． 7.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O， 交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)如果BC=8，AB=5，求CE的长． 第三章圆 §3.1 车轮为什么做成圆形 学习目标: 经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系． 学习重点: 圆及其有关概念，点与圆的位置关系． 学习难点: 用集合的观念描述圆． 学习方法: 指导探索法. 学习过程: 一、例题讲解： 【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系． 【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法． 【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB 的中点．求证：MC=NC． 【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x ＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置． 【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？ 【例6】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A 市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？ 二、随堂练习 1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由． 2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是 ． 三、课后练习 1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（） A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径 C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大 2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不确定 3．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（） 圆 一、教学目标 1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义. 2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系 二、教学重点和难点 重点：点与圆的位置关系 难点：用集合的观点研究圆的概念 三、教学过程 （一）情境引入： 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.思考：这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ （二）探究新知： 【探究一】圆的定义及相关概念 1. 请大家用自己的方式在学案上画一个圆. 2. 尝试给圆下一个准确的定义，写下来. 3．相关概念：弦、弧、直径、半径、半圆、等圆的相关概念 D A C B 【探究二】点和圆的位置关系 ⊙O 是一个半径为r 的圆 ，在圆内、圆上、圆外分别取一点， （1）在平面内任意取一点P ，点与圆有几种位置关系？分别是什么？ 答：有_________种，分别是_______________ ___ （2）若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么： 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r （三）尝试与交流 已知线段PQ=2cm ，画图说明满足下列要求的图形： ⑴到点P 的距离等于1cm 的所有点组成的图形； ⑵到点Q 的距离等于1.5cm 的所有点组成的图形 ⑶到点P 、Q 的距离都等于1cm 的所有点组成的图形 ⑷到点P 、Q 的距离都等于1.5cm 的所有点组成的图形 ⑸到点P 、Q 的距离都小于1.5cm 的所有点组成的图形 ⑹到点P 的距离小于2cm ，且到点Q 的距离大于2cm 的所有点组成的图形 （四）巩固训练 1、小明和小华正在练习投铅球，小明投了5.2m ，小华投了6.7m ，他们投的球分别 落在下图中哪个区域内？ ??? Q P Q Q P Q Q Q 3.1 圆 1．理解确定圆的条件及圆的表示方法； (重点) 2．掌握圆的基本元素的概念；(重点) 3．掌握点和圆的三种位置关系．(难点) 一、情境导入 古希腊的数学家认为：“一切立体图形 中最美的是球形，一切平面图形中最美的是 圆形．”它的完美来自于中心对称，无论处 于哪个位置，都具有同一形状，它最谐调、 最匀称．观察图形，从中找到共同特点． 二、合作探究 探究点一：圆的有关概念 【类型一】圆的有关概念 下列说法中，错误的是() A．直径相等的两个圆是等圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧 可能是等弧 解析：直径相等的两个圆是等圆，A选 项正确；长度相等的两条弧的圆周角不一定 相等，它们不一定是等弧，B选项错误；圆 中最长的弦是直径，C选项正确；一条直径 把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，D选项 正确．故选B. 方法总结：掌握与圆有关的概念是解决 问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第1题 【类型二】圆的概念的应用 如图，CD是⊙O的直径，点A为 DC延长线上一点，AE交⊙O于点B，连接 OE，∠A＝20°，AB＝OC，求∠DOE的度 数． 解析：由AB＝OC得到AB＝BO，则∠A ＝∠1，而∠2＝∠E，因此∠EOD＝3∠A， 即可求出∠EOD. 解：连接OB，如图，∵AB＝OC，OB ＝OC，∴AB＝BO，∴∠A＝∠1.又∵∠2＝ ∠A＋∠1，∴∠2＝2∠A.∵OB＝OE，∴∠2 ＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＋∠E ＝3∠A＝60°. 方法总结：解决此类问题要深刻理解圆 的概念，在圆中半径是处处相等的，这一点 在解题的过程中非常关键，不容忽视． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第2题 探究点二：点与圆的位置关系 【类型一】判定几何图形中的点与圆 的位置关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB ＝10，BC＝8，点D、E分别为BC、AB的北师大版数学九年级下册：圆 知识点总结
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