第二讲 线性规划+立体几何(一)(含答案)

第二讲 线性规划+立体几何(一)

知识点1、线性规划问题的基本步骤

(1) 定域——画出不等式(组)所表示的平面区域, 注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应;

(2) 平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l , 平行移动直线, 让其与平面区域有公共点, 根据目标函数的几何意义确定最优解, 要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义; (3) 求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标, 代入目标函数, 求出最值.

知识点2、空间几何体的三视图、直观图:

(1) 正视图: 物体前后方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和长度. (2) 侧视图: 物体左右方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和宽度. (3) 俯视图: 物体上下方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的长度和宽度. 圆柱的三视图 圆锥的三视图

注: 三视图之间的投影规律: 正视图与俯视图---长对正; 正视图与侧视图---高平齐; 俯视图与侧视图---宽相等.

(4)直观图: 一个物体, 从直观看上去的图形, 叫做直观图, 一般可用斜二测画法实现.

① 画出相应的x′ 轴和y′ 轴, 且使

∠x′O′y′＝45°或135° ;

② 已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段, 在直观图中分别画出平行于x ′ 轴和y ′ 轴的线段.

③ 已知图形中平行于x 轴的线段在直观图

中长度保持不变, 平行于y 轴的线段长 度变成原来的一半.

题型一 已知约束条件, 求目标函数最值

1、设x , y 满足约束条件????

?x ＋y －7≤0，

x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，

则z ＝2x －y 的最大值为( B )

A. 10

B. 8

C. 3

D. 2

解析 画出可行域如图所示, 可知当过点A 时z 最大, 由?

????x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得?????x ＝5，y ＝2， 即A (5, 2), 则z max ＝2×5－2＝8. 题型二 带参数的线性规划问题

2、(2015·山东卷)已知x , y 满足约束条件????

?x －y ≥0，

x ＋y ≤2，y ≥0，

若z ＝ax ＋y 的最大

值为4, 则a ＝( )

A. 3

B. 2

C. －2

D. －3

解析 可行域如图阴影部分所示. 易知A (2, 0), 由?

????x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1, 1). 由z ＝ax ＋y , 得y ＝－ax ＋z . ∴当a ＝－2或a ＝－3时, z ＝ax ＋y 在O (0, 0)处取得最大值, 最大值为z max ＝0, 不满足题意, 排除C, D 选项; 当a ＝2或3时, z ＝ax ＋y 在A (2, 0)处取得最大值, ∴2a ＝4, ∴a ＝2, 排除A, 故选B. 答案 B 【特别注意】

(1) 当最值是已知时, 目标函数中的参数往往与直线斜率有关, 解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.

(2) 当目标函数与最值都是已知, 且约束条件中含有参数时, 因为平面区域是变动的, 所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口, 先确定最优解, 然后变动参数范围, 使得这样的最优解在该区域内即可.

(3) 线性规划求最值问题要明确目标函数的几何意义: (1)目标函数为一次函数, 几何意义可等价为横、纵截距, 平移直线即可求出最值; (2)目标函数为二次函数, 可等价距离的平方, 但要注意求距离最值时, 若利用垂线段, 需考虑垂足是否在可行域内, 所以此时更要注意数形结合的重要性; (3)目标函数为一次函数绝对值, 可构造点到直线的距离, 但莫忘等价变形(即莫忘除以系数); (4)目标函数为一次分式, 可等价直线的斜率.

3.(2010年浙江理) 若实数x , y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥??

--≤??-+≥?

且x y +的最大值为9, 则实

数m =( C )

(A)2- (B)1- (C)1 (D)2

4、已知动点P (x , y )在过点???

?－3

2，－2且与圆M : (x －1)2＋(y ＋2)2＝5相切的两条直线和x －y ＋1＝0所围成的区域内, 则z ＝|x ＋2y －3|的最小值为( )

A.55

B. 1

C. 5

D. 5

解析 由题意知, 圆M : (x －1)2＋(y ＋2)2

＝5的圆心坐标为

(1, －2). 过点????－32，－2的直线方程可设为y ＝k ????x ＋3

2－2, 即kx －y ＋3

2

k －2＝0.

因为直线kx －y ＋3

2

k －2＝0和圆M 相切, 所以

???

?

k ×1＋2＋32k －21＋k

2

＝5, 解得k ＝±2, 所以两条切线方程分别为l 1: 2x －y ＋1＝0, l 2: 2x ＋y ＋5＝0.由直线l 1, l 2和x －y ＋1＝0所围成的区域如图所示.

z ＝|x ＋2y －3|＝5|x ＋2y －3|

5

的几何意义为可行域内的点到直线x ＋2y －3＝0的距离的5倍.

由图知, 可行域内的点B 到直线x ＋2y －3＝0的距离最小, 则z min ＝|0＋2×1－3|＝1, 故选B. 答案 B

5、若

x , y 满足条件????

?x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，

且z ＝2x ＋3y 的最大值是5, 则实数a 的值为________.

解: 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示, 则当直线z ＝2x ＋3y 过点A (a , a )时, z ＝2x ＋3y 取得最大值5, 所以5＝2a ＋3a , 解得a ＝1. 答案1.

题型三 三视图的相关问题

6、(2008广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点)得到几何体如图2, 则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )

7、(2008海南、宁夏)

在该几何体的正视图 中,

, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段, 则a +b 的最大值为( C )

A.

B. C. 4

D. 解: 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算. 如图 设长方体的高宽高分别为,,m n k , 由题意得

=

,

=1n ?=

,

a =

,

b =, 所以

22(1)(1)6a b -+-=228a b ?+=, 22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴,

4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号.

8、一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图是一个正三角形, 求这个几 何体的外接球的表面积.

A 组 专项基础训练题组

1. (2015·衡水中学期末)已知约束条件????

?x －2y ＋1≤0，

ax －y ≥0，

x ≤1

表示的平面区域为D , 若区域D 内至少

有一个点在函数y ＝e x 的图象上, 那么实数a 的取值范围为( )

E

F D

I

A H G B

C E F

D

A

B

C

侧视 图1 图2

B

E

A ． B

E

B ．

B

E

C ．

B E

D ．

A. [e, 4)

B. [e, ＋∞)

C. [1, 3)

D. [2, ＋∞) 解析 如图: 点(1, e)满足ax －y ≥0, 即a ≥e.

答案 B

2、(2010年北京理7)设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥??

-+≥??-+≤?

表示的平面

区域为D, 若指数函数y=x

a 的图像上存在区域D 上的点, 则a 的取值范围是 (A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞]

解析: 这是一道略微灵活的线性规划问题, 作出区域D 的图象, 联系指数函数x

y a =的图象, 能够看出, 当图象经过区域的边界点(2,9)时, a 可以取到最大值3, 而显然只要a 大于1, 图象必然经过区域内的点A.

3、(2010年福建理8)设不等式组x 1x-2y+30y x ≥??

≥??≥?

所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1

Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( B )

A.

285 B.4 C. 12

5

D.2 解: 由题意知, 所求的||AB 的最小值, 即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍, 画出已知不

等式表示的平面区域, 如图所示, 可看出点(1, 1)到直线3490x y --=的距离最小, 故||AB 的最小值为

|31419|

245

?-?-?

=, 所以选B.

4、(2016·福建卷改编)若变量x , y 满足约束条件????

?x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于

________.

解: 如图, 可行域为阴影部分, 线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x

－z , 由图形可知当y ＝2x －z 过点?

???－1，1

2时z 最小, z min ＝2×(－1)－12＝－52. 答案:5

2

.

5、(2009广东)用单位立方块搭一个几何体, 使它的主视图和俯视图 如右图所示, 则它的体积的最小值与最大值分别为( C ) A. 9与13 B. 7与10 C. 10与16 D. 10与15

6、(2006辽宁)如图, 半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -, 则此正六棱锥的侧面积是 .

解: 显然正六棱锥P ABCDEF -的底面的外接圆是球的一个大圆, 于是可求得底面边长为2, 又正六棱锥P ABCDEF -的高依题意可得为2,

依此可求得

.

主视图

7、一个物体由几块相同的正方体叠成, 它的俯视图如图所示, 方格中的数字对应该正方体对应的层数, 请回答下列问题: (1) 该物体共有 层?

(2) 画出正视图与侧视图, 并涂黑以标记最高位置相应正方体.

(3) 一共需要 个小正方体? 解: (1) 三层.

(2) 如右图所示.

(3) 需要11块小正方体.

8、一个画家有14个边长为1m 的正方体, 他在地面上把它们摆成如右图所示的形式, 然后他把露出的表面都涂上颜色, 那么被涂上颜色的总面积为 . 解: 分别画出该组合体的三视图如下:

根据三视图可知其露出的表面积为6×2＋6×2＋9＝33(m 2

).

B 组 专项能力提升题组

1、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件??

?

??≥≤--≤-+m x y x y x 03203, 则实数m 的最大值为( )

A.

21 B. 1 C. 2

3

D. 2 解: 可行域如下:

所以, 若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件??

?

??≥≤--≤-+m x y x y x 0320

3,

则m

m 23≥-, 即1≤m .

2、(2012年江苏)已知正数a b c ，

，满足: 4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b

a

的取值范围是 .

解: 4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，

可化为: 354a c a b

c c

a b c c

b

e c

??+≥???+≤?

???≥?. 设

==a b

x y c c

，, 则题目转化为: 已知x y ，满足35

400x x y x y y e

x >y >+≥??+≤?

?≥???

，, 求y

x 的取值范围

.

作出(x y ，)所在平面区域(如图). 求出=x y e 的切线的斜率e , 设过切点()00P x y ，的切线为

()=0y ex m m +≥, 则

00000

==y ex m m

e x x x ++, 要使它最小, 须=0m . ∴

y

x

的最小值在()00P x y ，处, 为e . 此时, 点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间. 当(x y ，)对应点C 时, =45=205=7=7=534=2012y x y x y y x y x y x

x --??????

?--??, ∴y

x 的最大值在C 处, 为7. ∴y x

的取值范围为[] 7e ，, 即b

a 的取值范围是[] 7e ，.

4、一空间几何体的三视图如图所示, 求该几何体的体积.

解: 该空间几何体为一圆柱和一

四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1, 高为2, 体积为2π, 四棱锥的底面边长为2, 高为3, 体

积为2

123

233

?

=

, 故该几何体的体积为23

2π.

9、一个空间几何体都是边长为1的小正方体构成的. 右图是

这些小正方体组成的几何体的主视图和俯视图.

(1) 请你画出这个几何体的各种可能的左视图; 解: 左视图有以下五种情形:

(2) 若组成这个几何体的小正方形的块数为n , 请你写出n 的所有可能值. 解: n ＝8, 9, 10, 11.