四边形讲义

第十九章四边形

测试1 平行四边形的性质(1)

学习要求：

1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；

2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．

(一)课堂学习检测

1．填空题：

(1)两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形

ABCD记作________。

(2)平行四边形的两组对边分别________且________；平行四边形的两组对角分别

________；两邻角________；平行四边形的对角线________；平行四边形的面积＝底边长×________．

(3)在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝________，∠B＝________．

(4)若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为_______．

(5)若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是_______．

(6)若过□ABCD的对角线交点O作一直线，交BC、AD于E、F，若BE＝2cm，AF＝2.8cm，

则BC＝_______．

(7)若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝_______．

(8)在□ABCD中，AB＝5，AD＝8，若∠A、∠D的平分线分别交BC于E、F点，则EF

＝_______．

2．选择题：

(1)平行四边形一边长是6cm，周长是28cm，则这边的邻边长是( )．

(A)22cm (B)16cm (C)11cm (D)8cm

(2)在□ABCD中，若AC、BD交于O点，则图中有( )对全等的三角形．

(A)8 (B)6 (C)4 (D)12

(3)平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为

( )．

(A)5 (B)6 (C)8 (D)12

(二)综合运用诊断

3．已知：如图，□ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：AE＝CF．

4．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．

5．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．

(1)求证：DE＝FB；

(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．

6．已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．

求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．

(三)拓广、探究、思考

7．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．

8．如图，某村有一四边形池塘ABCD，其四个角上各有一棵古树，由于抗旱的需要，对池

塘进行扩建，使扩建后的池塘为一平行四边形，且面积为原池塘面积的2倍，扩建的过程中还要保护好四个角上的四棵古树，请你设计扩建的方案．

测试2 平行四边形的性质(2)

学习要求：

能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．

(一)课堂学习检测

1．填空题：

(1)平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则四个内角分别为__________．

(2)□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是

__________．

(3)平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过__________cm．

(4)如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，

AB＝6，AD＝10，则CD＝__________；AB与CD的距离为__________；AD与BC 的距离为__________；∠D＝__________．

(5)□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多

10cm，则AB＝__________，BC＝__________．

(6)在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为__________．

(7)在□ABCD中CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝__________，AB＝

__________．

(8)在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的

面积为__________．

2．选择题：

(1)下列说法：

①平行四边形具有四边形的所有性质；

②平行四边形是中心对称图形；

③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；

④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．其中正确说

法的序号是( )．

(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④

(2)平行四边形一边长是12cm，那么它的两条对角线的长度可以是( )．

(A)8cm和16cm (B)10cm和16cm

(C)8cm 和14cm (D)8cm 和12cm

(3)以不共线三点A 、B 、C 为顶点的平行四边形共有( )个．

(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数

(4)如图，已知□ABCD 的对角线AC 上有两点E 、G ，且,2

1GC FG AF ==

则四边形BGDE 的面积是□ABCD 面积的( )．

(A)31 (B)2

1 (C)3

2 (D)4

3 (5)如图，若E 是□ABCD 的AD 边上一点，F 是BE 的中点，则有( )．

(A)S □ABCD ＝5S △BCF (B)S □ABCD ＝4S △BCF

(C)S □ABCD ＝3S △BCF (D)S □ABCD ＝2S △BCF

(二)综合运用诊断

3．已知：如图，在□ABCD 中，从顶点D 向AB 作垂线，垂足为E ，且E 是AB 的中 点，已知□ABCD 的周长为8.6cm ，△ABD 的周长为6cm ，求AB 、BC 的长．

4．已知：如图，在□ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．

(三)拓广、探究、思考

5．已知：如图，O 为□ABCD 的对角线AC 的中点，过点O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点E 、F 在直线MN 上，且OE ＝OF ．

(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；

(2)求证：∠MAE＝∠NCF．

6．已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF 的面积为2cm2，求□ABCD的面积．

测试3 平行四边形的判定(1)

学习要求：

初步掌握平行四边形的判定定理．

(一)课堂学习检测

1．填空题：

(1)平行四边形的判定的方法有

从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；

②两组对边__________的四边形是平行四边形；

③一组对边__________的四边形是平行四边形．

从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．

从角的条件有：⑤两组对角__________的四边形是平行四边形．

注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形__________是平行四边形．

(2)四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形________(填

“是”或“不是”或“不一定是”)平行四边形．

(3)一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这四边

形为__________．

(4)四边形ABCD中，AC、BD为对角线，BO＝4，CO＝6，当AO＝__________．DO＝

__________．时，这个四边形是平行四边形．

(5)如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且__________∥__________时，这个四边形是

平行四边形．

2．选择题：

(1)下列命题中，正确的是( )．

(A)两组角相等的四边形是平行四边形

(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形

(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形

(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(2)已知：四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，如果只给出条件“AB ∥CD ”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：

①如果再加上条件“BC ＝AD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；

②如果再加上条件“∠BAD ＝∠BCD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； ③如果再加上条件“OA ＝OC ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；

④如果再加上条件“∠DBA ＝∠CAB ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．其中正确的说法是( )．

(A)①和② (B)①③和④ (C)②和③ (D)②③和④

(3)能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )．

(A)已知平行四边形的两邻边

(B)已知平行四边形的相邻两角

(C)已知平行四边形的两对角线

(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长

(二)综合运用诊断

3．已知：如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF ∥BE ． 求证：(1)△AFD ≌△CEB ；

(2)四边形ABCD 是平行四边形．

4．已知：如图，DB ∥AC ，且,2

1AC DB E 是AC 的中点，求证：BC ＝DE ．

5．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF ＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD的中点．

6．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE

(1)猜想DF与AE的关系；(2)证明你的猜想．

7．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．

求证：CF∥AE．

(三)拓广、探究、思考

8．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边形？

其中有几个是平行四边形？请分别画出相应的图形加以说明．

测试4 平行四边形的判定(2)

学习要求：

进一步掌握平行四边形的判定方法．

(一)课堂学习检测

1．填空题：

(1)如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是________．

第(1)题

(2)如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，图中共有________个平行四边形．

第(2)题

(3)已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出

________个平行四边形．

(4)已知三条线段分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出

________个平行四边形．

(5)已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是________．

第(5)题

2．选择题：

(1)能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．

(A)一组对边平行，另一组对边相等

(B)一组对边平行，一组对角互补

(C)一组对角相等，一组邻角互补

(D)一组对角相等，另一组对角互补

(2)能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．

(A)AD＝BC，AB∥CD(B)∠A＝∠B，∠C＝∠D

(C)AB＝BC，AD＝DC(D)AB∥CD，CD＝AB

(3)能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．

(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3 (C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶2

(4)如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中共有平行四边形的个数为

( )．

(A)2 (B)3

(C)4 (D)5

(5)以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作( )．

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

(6)□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，

则C点的坐标为( )．

(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)

(7)如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则

图中与OA相等的其它线段有( )．

(A)1条(B)2条

(C)3条(D)4条

(二)综合运用诊断

3．已知：如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可)．

(1)连结________；

(2)猜想：________＝________；

(3)证明：

4．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．

5．已知：如图，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．

求证：(1)△ACD≌△CBF；

(2)四边形CDEF为平行四边形．

(三)拓广、探究、思考

6．下列判断是否正确？正确的说明原因，错误的举出反例．

(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

(2)一组对角及一组对边分别相等的四边形必是平行四边形；

(3)一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．

7．已知四边形ABCD，考虑(1)AB∥CD，(2)BC∥AD，(3)AB＝CD，(4)BC＝AD，(5)∠A＝∠C，(6)∠B＝∠D．任取上述条件中的两个，能否都能得出四边形ABCD是平行四边形的结论？说明理由．

测试5 平行四边形的性质与判定

学习要求：

能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．

(一)课堂学习检测

1．填空题：

(1)平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度

数为___________．

(2)从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行

四边形的各内角的度数为___________．

(3)在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝___________．

(4)在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范

围是___________．

(5)□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB

的周长为___________cm．

(6)如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD

的面积是___________．

(7)□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°，AD＝7，BD＝10，则□ABCD

的面积为___________．

(8)如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正

好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为___________．

(9)如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，则

S△DMC___________S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)

(二)综合运用诊断

2．已知：如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠F AB．AB ＝a，AD＝b，

(1)求证：△EFC是等腰三角形；

(2)求EC＋FC．

3．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．

4．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．

5．已知：如图，在□ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF，AF、BE交于G，CE、DF交于H．

求证：EF与GH互相平分．

(三)拓广、探究、思考

6．如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB 向终点B匀速运动，设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是( )

7．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB 交AC、BC于点E、F，作GH∥BC交AB、AC于点G、H，作MN∥AC交AB、BC于M、N，请你猜想EF＋GH＋MN的值是多少？其值是否随点P位置的改变而变化？并证明你的结论．

测试6 三角形的中位线

学习要求：

理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．

(一)课堂学习检测

1．填空题：

(1)①三角形的中位线：连结三角形两边_________叫做三角形的中位线．

②三角形的中位线定理是三角形的中位线_________第三边，并且等于_________．

(2)如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别

为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是_________．

(3)△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的

周长为_________．

2．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

3．已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：△ABE的面积等于△ACD的面积．

4．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．

(二)综合运用诊断

5．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．

6．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB ＝5，AC＝7，求ED．

7．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．

求证：∠AHF＝∠BGF．

(三)拓广、探究、思考

8．经过三角形一边的中点，且平行于三角形第二边的直线是否平分第三边？提出你的猜想并证明你的结论．

9．利用第8题的结论证明：

已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．

测试7 矩形

学习要求：

理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理．

(一)课堂学习检测

1．填空题：

(1)①矩形的定义：_________________的平行四边形叫做矩形．

②矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形所有的性

质，还有：矩形的四个角___________；矩形的对角线___________；矩形是轴对称图形，它的对称轴是___________．

③矩形的判定：一个角是直角的___________是矩形；对角线___________的平行四边

形是矩形；有___________个角是直角的四边形是矩形．

(2)矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝

___________cm，BC＝___________cm．

(3)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________．

(4)矩形的对角线长为,

2两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________．

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(5)如图，E为矩形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE向上折叠，使点B落在DC

边上的F点处．若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________．

2．选择题：

(1)下列命题中不正确的是( )．

(A)直角三角形斜边中线等于斜边一半

(B)矩形的对角线相等

(C)矩形的对角线互相垂直

(D)矩形是轴对称图形

(2)若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．

(A)3.6cm (B)7.2cm (C)1.8cm (D)14.4cm

(3)矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．

(A)14cm (B)28cm (C)20cm (D)22cm

(4)在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形

又能拼成三角形和梯形的是( )．

(二)综合运用诊断

3．已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．

(1)求证：四边形ABCD为矩形；

(2)若作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，

求证：BE＝CF．

4．已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，从两条对角线的交点O 作OF⊥AD于F，且OF＝2，求BD的长．

5．已知：如图，在□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA 的平分线，AQ与BN相交于P，CN与DQ相交于M，试说明四边形MNPQ是矩形．

6．已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD互相平分于点O，∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．

7．已知：如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为24平方米的矩形饲养场地ABCD，设BC为x米，AB为y米．

(1)求y与x的函数关系式；

(2)延长BC至E，使CE比BC少1米，围成一个新的矩形ABEF，结果场地的面积增加

了16平方米，求BC的长．

测试8 菱形

学习要求：

理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理．

(一)、课堂学习检测

1．填空题：

(1)菱形的定义：_______________的平行四边形叫做菱形．

(2)菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的_________还

有：菱形的四条边_________；菱形的对角线_________，并且每一条对角线平分_________；菱形的面积等于_________，它的对称轴是_________．

(3)菱形的判定：一组邻边相等的_________是菱形；四条边_________的四边形是菱形；

对角线_________的平行四边形是菱形．

(4)已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为

_________cm．

(5)若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为_________cm，面积为

_________cm2．

2．选择题：

(1)对角线互相垂直平分的四边形是( )．

(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)任意四边形

(2)顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )．

(A)矩形(B)平行四边形(C)菱形(D)任意四边形

(3)下列命题中，正确的是( )．

(A)两邻边相等的四边形是菱形

(B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

(C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形

(D)对角线垂直的四边形是菱形

(4)如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD

的周长是( )．

(A)4 (B)8

(C)12 (D)16

(5)菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．

(A)21 (B)4 (C)1 (D)2

(二)综合运用诊断

3．如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4．

求：(1)∠ABC 的度数；(2)菱形ABCD 的面积．

4．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．

求证：∠AFD ＝∠CBE ．

5．已知：如图，DE 是□ABCD 中∠ADC 的平分线，EF ∥AD 交DC 于F ．

(1)求证：四边形AEFD 是菱形；

(2)如果∠A ＝60°，AD ＝5，求菱形AEFD 的面积．

6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，点A 的坐标为(0，3)，求点B 、C 、D 的坐标．

7．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于M，EF⊥BC于F．

求证：四边形AEFM是菱形．

8．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB、CD于点E、F，连结CE、AF．

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若EF＝4，OE∶OA＝2∶5，求四边形AECF的面积．

(三)拓广、探究、思考

9．如图，菱形ABCD中，∠A＝72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．(画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数，不要求写出画法，不要求证明．注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．)