内积空间的基本概念

Hilbert 空间

一 内积空间的基本概念

设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数

),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足

1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝_

__________)x ,y (；

3） )y ,x ()y ,x (αα=；

4）

)z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (；

称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。

定理1.1设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有：

|)y ,x (|2

)y ,y )(x ,x (≤。

设H 是内积空间，对任意H x ∈，命

),(||||x x x =

则||||?是H 上的一个范数。

例 设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义

dt t y t x y x b

a

?=________

)()(),(

则与],[2b a L 类似，),

(y x 是一个内积，由内积产生的范数为

2

12

)

|)(|(||||?=b

a

dt t x x

上一个内积介不是Hilbert 空间。

1.2 设H 是内积空间，则内积),(y x 是y x ,的连续

函数，即时x x n

→，y y n

→，),(),(y x y x n

n

→。

定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，

1） 平行四边形法则：

2

||

||y x +＋2

||

||y x -＝2)||||||(||2

2

y x +；

2） 极化恒等式：

),(y x ＝4

1

（2

||

||y x +－

2

||

||y x -＋

2

||

||iy x i +－

)||||2

iy x i -

定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。 二 正交性，正交系 1 正交性

设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x

⊥。

设M 是H 的任意子集，如果H x ∈与M 中每一元正交，称x 与M 正交，记为M x ⊥；如果N M ,是H 中两个子集，

对于任意

,M x ∈,N y ∈y x ⊥，称M 与

N

正交，记

N M ⊥。设M 是H 的子集，所有H 中与M 正交的元的全体

M 的正交补，记为⊥

M

。

定理2.1 设H 是内积空间 1） 如果H z ,y ,x ∈，z y x

+=且z y ⊥，则2

||

||x ＝

2

||

||y ＋2

||

||z ；

2） 如果

L 是H 的一个稠密子集，即H L =__

，并且

L x ⊥，则0=x ；

3）

M 是H 的任意子集，则⊥

M 是H 的闭子空间。

定理 2.2 设M 是内积空间H 中的完备凸集，则对任意

H x ∈，存在M x ∈0

，使得

||||0

x x -＝),(M x d ||||inf y x M

y -=∈

定理2.3（正交分解）设M 是Hilbert 空间H 的闭子空间，则对任意H x ∈，存在唯一的M x ∈0及⊥

∈M y ，使得

y x x +=0

2 正交系

设}{αx ，I ∈α是内积空间H 中的子集，如果β

α

≠时

0),(=βαy x ，

称}{αx ,I ∈α是中的一个正交系。设}{αx ,I ∈α是一个正交系，如果对每一上I ∈α，

1||||=αx ,称}{αx ,I ∈α是

一个标准正交系。

设}{αx ，I ∈α是H 的一个正交系，如果包含它的最小闭子空间是全空间H ，称}{αx ,I ∈α是的正交基。

定理2.4 设}{n e 是内积空间H 中的标准正交系，H x ∈，

α

α,...,1是n 个数，则当且当仅),(k

k

e x =α),...,1(n k =时，

||||1

∑-=n

k k

k

e x α取最小值。

定理2.5（Bessel 不等式）设}{n e 是内积空间H 中的标准正交系，则对任意H x ∈，有

∑≤∞

=1

2

2

||

|||),(|k k

x e x

定理2.6 设}{n e 是内积空间中的一个标准正交系，则}{n e 是完备的，当且仅当}{n e 张成的子空间L 在H 中稠密。

定理 2.7 设H 是Hilbert 空间，}{n e 是H 中的标准正交系，则}{n e 是完备的，当且仅当}{n e 是完全的。

定理 2.8 设H 是Hilbert 空间，}{n e 是H 中的标准正交系，2

}{l n ∈ξ，则存在H x ∈，使得

),(k

k

e x =ξ,...)2,1(=k

并且

2

1

2

||

||||x k k

=∑∞

=ξ

定理2.9（正交化定理）设}{n x 是内积空间H 中的可数子集，则在H 中存在标准正交系}{n e ，使得}{n x 与}{n e 张成的子空间相同。

3 可分空间的同构

定理2.10 设H 是任一可分的无穷维的Hilbert 空间，则存在

H 上到2

l

同构映射?，且?保持内积。

2

l

三 Riesz 表示定理，Hilbert 空间的共轭空间

1

Riesz 表示定理

定理3.1（Riesz 表示定理）设H 是Hilbert 空间，f 是H 上

任意有界线性泛函，则存在唯一的

H

y f

∈，使得对于每一个

H x ∈，有),()(f

y x x f =，并且有||||||||f

y f =。

2空间的共轭空间

设H 是Hilbert 空间，)(H A β∈，于是对任意H y ∈，易见),(y Ax )(H x ∈是H 上的一个有界线性泛函，因此由Riesz 表示定理，存在唯一的H z ∈，使得

),(y Ax ＝),(z x )(H x ∈

（1）

定义z By

=。

定义 设H 是Hilbert 空间，)(H A β∈，把（1）式确定的有界线性算子B 称为A 的共轭算子。

注意区别第三章第四节中定义H 上的有界线性算子A 的共轭算子*

A 。

以后说到Hilbert 空间H 上的有界算子的共轭算子A 均指（1）定义的算子B ，并且把它记为*

A ，即A 的共轭算子*

A 是由下式定

义的算子：

,(),(),(H

y x Ay x y Ax ∈= 。

定义 设H 是Hilbert 空间，A 是H 上的有界线性算子，如果

*

A ＝A ，即对任意H y x ∈,

),(),(Ay x y Ax =

则称A 是自共轭算子。

设A 是Hilbert 空间H 的有界共轭算子，以下是算子A 的一些简单性质。

1） 对任意H x ∈，),(x Ax 是实的。 2）

|),(|sup ||||1

||||x Ax A x ==

3） 算子A 的特征值是实的。

4） 对应于算子A 的不同特征值21,λλ的特征向量21,x x 是正交

的。

四

Hilbert 空间中的自共轭紧算子

引理4.1 设H 是Hilbert 空间，A 是H 上的有界共轭算子，如果存在H x ∈0，1||||

=x ，使得泛函|),(||)(|x Ax x =?在

x

点达到极大，则由0),(0=

y x 可推出=),(0

y Ax ),(0

Ay x ＝

0。

定理 4.2)(Schmidt Hilbert -

设A 是Hilbert 空间H 上

的自共轭紧算子，则存在对应于特征值}{n λ)0(≠n

λ的特征向量

构成的标准正交系}{n e ，使得每一元H x ∈可唯一地表示为

x

e x k

k

k

+∑=α，

其中)('

0A x N ∈，即满足0'

=Ax ，同时

∑=k

k

k

k

e

Ax αλ

并且如果}{n e 是无穷的，则n n λ∞

→lim ＝0。