2013-2014海淀期中数学考试试题及答案 word版本

海淀区九年级第一学期期中测评

数学试卷

（分数：120分时间：120分钟） 2013.11

班级姓名学号 成绩

试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上做答无效. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．

是符合题意的． 1．一元二次方程2

230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是

A. 1,2,3--

B. 1,-2,3

C. 1,2,3

D. 1,2,3- 2．在角、等边三角形、平行四边形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A ．角B ．等边三角形 C ．平行四边形 D ．圆 3．函数2y x =

-中，自变量x 的取值范围是

A ．2≠x

B ．2≤x

C ．2>x

D ．2≥x

4．如图，点A 、B 、C 在O ⊙上，若110AOB ∠=，则ACB ∠的大小是 A ．35B ．

45 C ．55D ．

110

5．用配方法解方程09102

=++x x ,配方正确的是 A ．16)5(2=+x B ．34)5(2=+x C ．16)5(2=-x D ．25)5(2=+x

6．如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是 A ．

60B ．

72 C ．90D ．120 7．若

230a b ++-=，则a b +的值为

A ．-1

B ．1

C ．5

D ．6

O

C

B

A

8．如图，⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为

10，如果过点P 作弦，

那么长度为整数值的弦的条数为 A ．3 B ．4

C ．5

D ．6

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．如图，将ABC △绕点C 顺时针旋转至''A B C △的位置，若 15ACB ∠=，120B ∠=，则'A ∠的大小为________．

10．已知一元二次方程有一个根是0，那么这个方程可以是

（填上你认为正确的一个方程即可）．

11．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为⊙O 上的两点，若 40=∠ABD ，则BCD ∠的大小为 ．

12．下面是一个按某种规律排列的数阵：

1

第1行

2 3 2

第2行

5 6 7 22 3

第3行 10 11 23 13 14 15 4 第4行

根据数阵排列的规律，则第5行从左向右数第5个数为，第n （3≥n ，且n 是整数）行从左向右数第5个数是（用含n 的代数式表示）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：36324?+÷．

14．用公式法解一元二次方程：241x x +=．

15．如图，ABC △与AED △均是等边三角形，连接BE 、CD ．请在图中找出一条与CD 长度相等的线段，并证明你的结论．

结论：CD =． 证明：

O

D

C

B

A

P

O

E

D C

B

A

16．当15-=x 时，求代数式522-+x x 的值．

17．如图，两个圆都以点O 为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点．

求证：AC =BD ． 证明：

18．列方程（组）解应用题：

如图，有一块长20米，宽12米的矩形草坪，计划沿水平和竖直方向各修一条宽度相同的小路，剩余的草坪面积是原来的3

4

，求小路的宽度．

解：

四、解答题（每小题5分，共20分）

19．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -++=的一个根为2. (1) 求m 的值及另一根；

（2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．

20．如图，DE 为半圆的直径，O 为圆心，DE =10，延长DE 到A ，使得EA =1，直线AC 与半圆交于

B 、

C 两点，且 30=∠DAC ．

（1）求弦BC 的长； （2）求AOC △的面积．

21．已知关于x 的方程0)1(22

2

=++-k x k x 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；

（2）求证：1-=x 不可能是此方程的实数根．

D

C

B

A O E

C

A

D

B

O

22．阅读下面的材料：

小明在研究中心对称问题时发现：

如图1，当点1A 为旋转中心时，点P 绕着点1A 旋转180°得到1P 点，点1P 再绕着点1A 旋转180°得到2P 点，这时点P 与点2P 重合.

如图2，当点1A 、2A 为旋转中心时，点P 绕着点1A 旋转180°得到1P 点，点1P 绕着点2A 旋转180°得到2P 点，点2P 绕着点1A 旋转180°得到3P 点，点3P 绕着点2A 旋转180°得到4P 点,小明发现P 、

4P 两点关于点2P 中心对称.

（1）请在图2中画出点3P 、4P ， 小明在证明P 、4P 两点关于点2P 中心对称时，除了说明P 、2P 、

4P 三点共线之外，还需证明；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，当)3,0(1A 、)0,2(2 A 、)0,2(3A 为旋转中心时，点)

4,0(P 绕着点1A 旋转180°得到1P 点；点1P 绕着点2A 旋转180°得到2P 点；点2P 绕着点3A 旋转180°得到3P 点；点3P 绕着点1A 旋转180°得到点4P 点. 继续如此操作若干次得到点56P P 、、，则点2P 的坐标为，点2017P 的坐为．

图

3

图 2

图1

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知关于x 的一元二次方程02)12(2=++-x m mx ． （1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值； （3）若此方程的两个实数根分别为1x 、2x ，

求代数式5)(2))(12()(212

2213231+++++-+x x x x m x x m 的值．

24．已知在ABC △中，

90=∠ACB ，26==CB CA ，AB CD ⊥于D ，点E 在直线CD 上，

CD DE 2

1

=

，点F 在线段AB 上，M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点. （1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：

___________，___________；

（2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证：

45=∠CNE ； （3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得 45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由．

D

C

B

A

N

M F

E

D C

B

A 图1

备用图

25．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且10=AB ，点M 为线段AB 的中点．

（1）如图1，线段OM 的长度为________________；

（2）如图2，以AB 为斜边作等腰直角三角形ACB ，当点C 在第一象限时，求直线OC 所对应

的函数的解析式； （3）如图3，设点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，且10=DE ，以DE 为边在第三象限

内作正方形DGFE ，请求出线段MG 长度的最大值，并直接写出此时直线MG 所对应的函数的解析式．

G

F

E

D

x

y O A

B

M

图1

图2

C

x

y

O

A

B

M B

A

O

y

x

图3

海淀区九年级第一学期期中练习

2013.11

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知:

1.为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.

2.若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.

3.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1

2

3

4

5 6 7 8 答案

A D D C

A

B

B

C

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．45°；10．20x x -=(二次项系数不为0,且常数项为0均正确)；11．50°；12．21，622+-n n (每空2分)．

三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13．（本小题满分5分）

解：36324?+÷

818=+………………………………………………………………………2分

2322+=…………………………………………………………………4分 25=.……………………………………………………………………………5分

14．（本小题满分5分）

解：原方程可化为2+410x x -=，……………………………………………………1分

141a ,b ,c ===-,

2441(1)=20>0,?=-??-…………………………………………………………2分

方程有两个不相等的实数根,

244202522

b b a

c x a -±--±===-±，……………………………………4分

即122525x ,x =-+=--．……………………………………………………5分

15．（本小题满分5分）

结论:CD BE =．……………………………………………………………………1分 证明： △ABC 与△AED 是等边三角形，

∴AE AD =，AB AC =，60CAB DAE ∠=∠=．…2分 ∴CAB DAB DAE DAB ∠-∠=∠-∠，

即CAD BAE ∠=∠．………………………………3分

在△CAD 和△BAE 中，

E

D C

B

A

AC AB,CAD BAE,AD AE,=??

∠=∠??=?

∴△CAD ≌△BAE ．…………………………………………………………4分 ∴CD =BE ．…………………………………………………………………5分

16．（本小题满分5分）

解： 15-=x ，

∴15x +=．

∴5)1(2=+x ．………………………………………………………………1分

∴2215x x ++=．………………………………………………………………2分

∴224x x +=．…………………………………………………………………3分 ∴225451x x +-=-=-．……………………………………………………5分

17．（本小题满分5分）

证明：过点O 作AB OM ⊥于M ，…………………………1分

由垂径定理可得DM CM BM AM ==,．……………3分

∴DM BM CM AM -=-．…………………………4分 即BD AC =．…………………………………………5分

18．（本小题满分5分）

解：设小路的宽度是x 米．………………………………………………………1分

由题意可列方程，3

(20)(12)20124

x x --=??．……………………………2分

化简得, 232600x x -+=．

解得, 12302x ,x ==．………………………………………………………3分

由题意可知3020x =>不合题意舍去，2x =符合题意.…………………4分 答：小路的宽度是2米.……………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）

解：（1）∵关于x 的一元二次方程210x mx m -++=的一个根为2，

∴22210m m -++=.……………………………………………………1分 ∴5m =.……………………………………………………………………2分

∴一元二次方程为2560x x -+=.

解得1223x ,x ==.…………………………………………………………3分

∴5m =，方程另一根为3.

（2）当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时三角形的周长为

2+3+3=8；………………………………………………………………4分

当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，此时三角形的周长为2+2+3=7. ………………………………………………………………5分

M

O

D

C

B

A

20．（本小题满分5分）

解：（1）过点O 作OM ⊥BC 于M .

由垂径定理可得：BM=CM .…1分

∵30DAC ∠=, ∴12

OM OA =.

∵直径DE =10， EA =1，

∴=5OD OC OE ==.

∴516O A O E EA =+=+=. ∴3OM =.…………………2分

在R t △COM 中，222225316CM OC OM =-=-=. ∴4CM =. ∴4BM =.

∴+8BC BM CM ==.……………………………………………………3分 (2)在R t △AOM 中，222226327AM OA OM =-=-=.

∴33AM =.……………………………………………………………………4分 ∴+334AC AM CM ==+. ∵OM ⊥AC , ∴119(334)336222

AOC

S

AC OM =

?=?+?=+.……………………………5分

21．（本小题满分5分）

解：(1)∵关于x 的方程0)1(222=++-k x k x 有两个不相等的实数根,

∴224(1)4=8+4>0k k k ?=+-.………………………………………………2分 ∴1

>2

k -

.…………………………………………………………………3分 (2)∵当1-=x 时，左边=222(1)x k x k -++

22(1)2(1)(1)k k =--+?-+

223k k =++…………………………………………4分 2(+1)20k =+>．

而右边=0,

∴左边≠右边．

∴1-=x 不可能是此方程的实数根．……………………………………5分

22.（本小题满分5分）

（1）正确画出34P P 、点（图略）．………………………………………………1分

224=P P P P ．……………………………………………………………………2分

（2）（-4，-2）．…………………………………………………………………3分

（0,2）．……………………………………………………………………5分

M

E

C

A D

B O

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23.（本小题满分7分）

解：（1）由题意可知0m ≠．

2(21)42m m ?=+-??

22=441(21)0m m m -+=-≥．……………………………………………2分

∴此方程总有两个实数根．

（2）方程的两个实数根为2

(21)(21)2m m x m

+±-=，

∴121

2x ,x m

==

．…………………………………………………………4分 ∵方程的两个实数根都是整数，且m 为整数，

∴1m =±．…………………………………………………………………5分

（3）∵原方程的两个实数根分别为1x 、2x ，

∴211(21)20mx m x -++= 222(21)20mx m x -++=．……………………………………………………6分

∴5)(2))(12()(2122213231+++++-+x x x x m x x m

=1

3232

11222[(21)2]+[(21)2]+5mx m x x mx m x x -++-++

=1

2211222[(21)2]+[(21)2]+5x mx m x x mx m x -++-++

=12005x x ?+?+

=5．…………………………………………………………………………7分

24.（本小题满分8分）

（1）AE ⊥CM ，AE =CM ．……………………………………………………2分

（2）如图，过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,，连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H .

∵ 90=∠ACB ,26==CB CA ,

∴∠CAB =∠CBA =45°，AB=2212CA CB +=. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥,

∴CD=AD=BD =162

AB =. ∵M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =,

∴4 2.AF DF ==，

∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴2222+3+4=5.FG AG AF =

=

F

H

N

G

M E

D

C

B

A

∴.FG FM =……………………………………………………………………3分 在△CAG 和△CBM 中， CA CB CAG CBM AG BM =??

∠=∠??=?

，，

， ∴△CAG ≌△CBM ．

∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠．

∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠=．………………………4分 在△FCG 和△FCM 中， CG CM FG FM CF CF =??

=??=?

，，

， ∴△FCG ≌△FCM ．

∴FCG FCM ∠=∠．………………………………………………………5分 ∴45FCH ∠=.

由（1）知AE ⊥CM ， ∴90CHN ∠=

∴ 45=∠CNE .………………………………………………………………6分 （3）存在.

AF =8.…………………………………………………………………………8分

25.（本小题满分7分）

（1）5;…………………………………………………………………………………1分 （2）如图1, 过点C 分别作CP ⊥x 轴于P ，CQ ⊥y 轴于Q ．

∴∠CQB =∠CPA =90°，

∵∠QOP =90°，

∴∠QCP =90°． ∵∠BCA =90°，

∴∠BCQ =∠ACP ． ∵BC=AC ，

∴△BCQ ≌△ACP ．

∴CQ=CP ．………………………………3分 ∵点C 在第一象限,

∴不妨设C 点的坐标为(a ，a )(其中0a ≠)．

设直线OC 所对应的函数解析式为kx y =，

∴a ka =，解得k =1，

∴直线OC 所对应的函数解析式为x y =．…………………………………4分 （3）取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM .

∵∠AOB=90°，

∴OM =

1

52AB =．

同理ON =5．

F

y O

B

D

G

N

E

A

M

x

图2

Q C x

y O A B

P 图1

∵正方形DGFE ，N 为DE 中点，DE=10， ∴NG =2222=+10555DN DG =+=．

在点M 与G 之间总有MG ≤MO +ON +NG (如图2)，

由于∠DNG 的大小为定值，只要1

2

DON DNG ∠=∠,且

M 、N 关于点O 中心对称时，M 、O 、N 、G 四点共线,此时等号成立（如图3）.………………………5分

∴线段MG 取最大值10+55．………………6分

此时直线MG 的解析式x y 25

1+-=．……………………………………7分

N

M B

A

O

y

x

D

E

G

图3