初中几何中线段和与差最值问题

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点：

1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：

（2）点A 、B 在直线同侧：

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

m

m B m

A B

m

n m

n

n m

n

n

n m

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.

变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.

二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：

点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：

2、两点在直线同侧：

（二）动点在圆上运动

点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：

m n

m

n

m n

m

m

2、点与圆在直线同侧：

三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：

作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 同侧：

练习题 1．如图1，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．

2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4

,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N

分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ．

3、如图3，在锐角三角形ABC 中 ，

AB=BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。

m

m

Q Q

4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .

5、如图5，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．

6、如图6，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．

7、如图7菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一

个动点，则PE+PB 的最小值为 ．

8、如图8，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是

9、如图9，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm ．

10、如图10所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM=2，N 是 AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为 ．

11、如图11，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点， 则PA ＋PB 的最小值为( )

(A)2 (B)

(C)1 (D)2

解答题

1、如图，正比例函数x y 21=

的图象与反比例函数x

k

y =（k ≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知三角形OAM 的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小.

2、如图，一元二次方程0322

=-+x x 的二根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）． （1）求此二次函数的解析式；

（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； （3）在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．

3、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，3） ，△AOB 的面积是3. （1）求点B 的坐标；

（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的 坐标；若不存在，请说明理由.

4．如图，抛物线y ＝35x 2－18

5x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M

点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的

某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，

并求出这个最短路程的长．

5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．

6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC

的周长最短．

7、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、

y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F 的坐标.

二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：

1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：

解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 异侧：

解析：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’ 练习题

1. 如图，抛物线y ＝－14x 2

－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．

(1)求点A 、点B 的坐标；

(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA －PB ≤AB ； (3)当PA －PB 最大时，求点P 的坐标.

2. 如图，已知直线y ＝2

1

x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝

2

1x 2

＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．

B

3、在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－4，－1）和（－2，－5）；点P 是y 轴上的一个动点：

⑴点P 在何处时，PA ＋PB 的和为最小？并求最小值. ⑵点P 在何处时，∣PA—PB∣最大？并求最大值.

4. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，

点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ． （1）求点D 的坐标；

（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？

若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．

5、抛物线的解析式为2

23y x x =-++，交x 轴与A 与B,交y 轴于C. ⑴在其对称轴上是否存在一点P ，使⊿APC 周长最小，若存在，求其坐标； ⑵在其对称轴上是否存在一点Q ，使∣QB—QC∣的值最大，若存在求其坐标.

6、已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．

（1）试直接写出点D的坐标；

（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该

抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．

①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；

②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？

7、如图，已知抛物线C1的解析式为y=-x2+2x+8，图象与y轴交于D点，并且顶点A在双曲线上．

（1）求过顶点A的双曲线解析式；

（2）若开口向上的抛物线C2与C1的形状、大小完全相同，并且C2的顶点P始终在C1上，证明：抛物线C2一定经过A点；

（3）设（2）中的抛物线C2的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交于E点，当D、O、E、F四点组成的四边形的面积为16.5时，先求出P点坐标，并在直线y=x上求一点M，使|MD-MP|的值最大．

8、如图,已知抛物线2

43

y x bx c =

++ 经过A(3，0)，B(0，4) . （1）求此抛物线解析式；

（2）若抛物线与x 轴的另一交点为C ，求点C 关于直线AB 的对称点C ’的坐标；

（3） 若点D 是第二象限内点，以D 为圆心的圆分别与x 轴、y 轴、直线AB 相切于点E 、F 、H ，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P ，使得|PH －PA |的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。

三、其它非基本图形类线段和差最值问题

1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

1、如图12，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ） A ． 222+ B ．52 C 。 62 D ． 6

2、已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:

（1）如图13，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；

（2）如图14，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；

（3）如图15，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时， 求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.

3、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =

1

2

. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.

（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF =，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2

所示．

求证：BE -DE =2CF ；

（1）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点， 求线段CF 长度的最大值．

4、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；

⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长.

B C A D E F B D

E A

F C B

A

C 1图2

图备图

5、如图，二次函数y=-x2+bx+c与x轴交于点B和点A（-1，0），与y轴交于点C，与一次函数y=x+a交于点A和点D．

（1）求出a、b、c的值；

（2）若直线AD上方的抛物线存在点E，可使得△EAD面积最大，求点E的坐标；（3）点F为线段AD上的一个动点，点F到（2）中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标．