初中圆知识点及练习题
第三章圆
【课标要求】
（1）认识圆并掌握圆的有关概念和计算
①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性.
②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素.
③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理.
④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.
⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理.
⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念.
⑦掌握圆内接四边形的性质
（2）点与圆的位置关系
①能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系.
②知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图.
（3）直线与圆的位置关系
①能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.
②了解切线的概念.
③能运用切线的性质进行简单计算和说理.
④掌握切线的识别方法.
⑤了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念.
⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.
（4）圆与圆的位置关系
①了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系.
②能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系.
③掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算
（5）圆中的计算问题
①掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量.
②掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用.
③了解圆锥的高、母线等概念.
④结合生活中的实例(模型)了解圆柱、圆锥的侧面展开图.
⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用.
⑥能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积.
2、基础知识
（1）掌握圆的有关性质和计算
①弧、弦、圆心角之间的关系:
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.
②垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.
④圆内接四边形的性质:
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.
（2）点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为，圆的半径为，
则点在圆外；点在圆上；点在圆内．
②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆.
③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
（3）直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．
②切线的性质:与圆只有一个公共点；
圆心到切线的距离等于半径；
圆的切线垂直于过切点的半径.
③切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.
④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
⑥切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
（4）圆与圆的位置关系
①圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.
设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.
由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦.
③两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.
两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.
两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.
④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.
（5）与圆有关的计算
①弧长公式：扇形面积公式：
（其中为圆心角的度数，为半径）
②圆柱的侧面展开图是矩形．
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．
圆柱的侧面积＝底面周长×高 圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积
③ 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．
④ 圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积
3、能力要求
例1 如图，AC 为⊙O 的直径，B 、D 、E 都是⊙O 上的点，求∠A+∠B +∠C 的度数.
【分析】由AC 为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE ，这样将∠CAD （∠A ）、∠C 放在了△AEC 中，而∠B 与∠EAD 是同弧所对的圆周角
相等，这样问题迎刃而解．
【解】 连结AE ∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠AEC=90O ∴∠CAD +∠EAD+∠C =90O ∵
∴∠B=∠EAD
∴∠CAD +∠B+∠C =90O
【说明】这里通过将∠B 转化为∠EAD ，从而使原本没有联系的∠A 、∠B 、∠C 都在 △AEC 中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90O ．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法． 练习二
一、知识点： ㈠、确定圆的条件
1．过已知两点的圆的圆心组成的图形是_____________________________________， _____________________________________确定一个圆．
2.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的_______，它是三角形_______________________的交点；这个三角形叫做圆的__________________- 3．三角形外心的位置：
锐角三角形的外心在_________________________; 直角三角形的外心是_________________________; 钝角三角形的外心在_________________________． ㈡直线和圆的位置关系
1．直线和圆的位置关系有三种：（1）_____________；（2）____________；（3）____________
2．当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相交，此时圆心到直线的距离_______半径； 当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相切，此时圆心到直线的距离_______半径； 当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相离，此时圆心到直线的距离_______半径； 3．切线的性质：圆的切线___________________
如图可表述为：_______________
______________PA O ?
??? 是的切线
或：PA 切⊙O 于点A ?____________________________
4．判定直线为圆的切线：经过_____________，并且垂直于_______________
的直线
P
A
是圆的切线。
如图可表述为：_______________
______________
PA O
?
?
?
?
是的切线
5．和三角形各边____________的圆叫做三角形的___________，它的圆心叫做三角形的__________，是三角形__________________________________的交点; 这个三角形叫做圆的__________________-
6.过圆外一点可引圆的______条切线，这个点到各个切点的距离________。
二、一些常见关系及辅助线作法：
7.已知⊙O中，直径CD⊥AB于点E，
⑴若a＝r，则∠AOB＝_______o，d＝______（用含r的代数式表示）．
⑵若a
r，则∠AOB＝_______o，d＝______（用含r的代数式表示）．
⑶若a
r，则∠AOB＝_______o，d＝______（用含r的代数式表示）．
8. 已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙I的外切三角形。设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r。
⑴若△ABC的周长为s，则△ABC的面积与s，r的关系为_______________________．
⑵若△ABC是边长为a的等边三角形，则R＝_______，r＝______（用含a的代数式表示）．
⑶若△ABC是直角边长为a, b，斜边长为c的直角三角形，则R＝_______，r＝______________（用含a, b, c的代数式表示）．
⑷若△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，则R＝_______，r＝_______（用含a的代数式表示）．
⑸若△ABC是腰长为a，顶角为120o的等腰三角形，则R＝_______（用含a的代数式表示）．
9.已知直线是圆的切线，常作的辅助线是连接_____________得________________
10.证明一条直线是圆的切线方法：
⑴证明直线和圆只有一个公共点（不常用）
⑵已知直线和圆有一个公共点时所作的辅助线为_____________，证明______________
⑶已知中没有说明直线和圆的公共点时所作的辅助线为_____________，证明______________
11. 作△ABC的外接圆的方法：分别作两边的________________，使这两条直线交于点O，以Ｏ为圆心，OA为半径作圆。所作的圆就是△ABC的外接圆。
12．作△ABC的内切圆的方法：⑴分别作两内角的________________，使这两条线段交于点I；⑵过I作IE⊥BC于E；⑶以I为圆心，IE为半径作圆。所作的圆就是△ABC的内切圆。
三、课堂练习题：
13．下列命题中，真命题的个数是（）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形。③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在的圆的圆心的坐标。
第14题第15题第16题
15. 图中△ABC外接圆的圆心坐标是
16. 如图，方格纸上一圆经过（2，5），（2，－3）两点，则该圆圆心的坐标为
17. 一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在___________地方，才能最省力地顾及到三个洞口。
18.圆外切平行四边形是_____________形，圆内接平行四边形是_______形。
19．已知直线a：y＝x－3和点A（0，－3），B（3，0）.设P为a上一点，试判断P、A、B是否在同一个圆上。
20.如图，已知圆的内接三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD的延长线与
△ABC外接圆的交点。
（1）求证：AB2＝AD·AE
（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）问的结论成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。
21.直线AB经过⊙O上一点C，且OA＝OB，CA＝CB，求证直线AB是⊙O的切线。
22.直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠
ADC，CE平分∠BCD，则以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？
四、课后练习题：
1. Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 ，AC＝12 则其外接圆半径为
2. 若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆直径是
3. 等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O中，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积是
4. 在Rt△ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4，那么Rt△ABC的外接圆的面积为
5. 等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为
6．边长为6的正三角形的内切圆的半径是（）
C. D. 2
7．△ABC中∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于Ｄ，若BC＝12CM，则⊙A的半径d为cm 8. 如图，AB是⊙Ｏ的直径，∠CAB＝30°，过C作⊙Ｏ的切线交AB的延长线于D，OD＝15cm，则AB＝
cm
第8题第13题第15题
A D
E
B C
9. 已知等边三角形ABC的边长为2，那么这个三角形的内切圆的半径为。
10. Rt △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以C为圆心作⊙C 与AB相切，则⊙C的半径为。
11. 已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP＝3，那么直线l与⊙O的位置关系是
12. 若一个直角三角形的斜边长为10，其内切圆半径为2，则这个三角形的周长是。
13. 如图，PA切⊙Ｏ于点A，PO交⊙Ｏ于点Ｂ，若PA＝６，BP＝4，则⊙Ｏ的半径为（）
A. 5
4 B.
5
2 C.2 D.5
14. 以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
15如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点
⑴作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）
⑵如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，
求该残破圆轮片的半径。
16．已知圆的直经为13cm，如果直线和圆心的距离为4.5cm，那么直线和圆有公共点。
17. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
18．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD （1）求证：CD是⊙O的切线
（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长。
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC 的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D 为圆心，DB的长的半径作圆，求证：
（1）AC是⊙D的切线
（2）AB+EB＝AC
20．一个圆球放置在V形架中，如图是它的平面示意图，CA和CB是⊙O的切线，切点分别为A，B，如
果⊙O的半径为且AB＝6m，求∠ACB的度数。
21. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD是△ABC的高，⊙O的直径AE交BC于点F，点P在BC的延长线上，∠CAP＝∠B
（1）求证：PA是⊙O的切线
（2）求证：PC·PB＝PD·PF
圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交??
《圆》知识点归纳及相关题型整理
第五章中心对称图形（二） ——知识点归纳以及相关题目总结 一、和圆有关的基本概念 1.圆： 把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦：连接圆上任意两点的线段。 5.直径：经过圆心的弦。 6.弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同） 9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 10.圆心角：顶点在圆心的角。 11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。 12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形： ①定义：各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥： ①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 6.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。 推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 7.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 8.直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 10.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 12.圆的切线垂直于经过切点的半径。 13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。
圆的知识点总结与典型例题
圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以 圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推 出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两 条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 °的圆周角所对的弦是直径；推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对 角。 探8.轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； 2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； 3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1.已知：如图1，在。O中，半径0M丄弦AB于点N。 图1 ①若AB = , ON = 1，求MN的长； ②若半径0M = R，/ AOB = 120。，求MN的长。 解：①??? AB =，半径0M 丄AB，二AN = BN =
圆的知识点总结史上最全的
A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； - 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d D B B A 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； / （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD " 圆心角定理 ~ 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ~ 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 " BC BD =AC AD = 《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂 线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ?d r >?无交点； 2、直线与圆相切 ?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交 ?d r 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）?无交点 ?d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ?d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ?R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点 ?d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ?d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 图1 图 3 r R d 图2 初三数学圆的知识点总 结及例题详解 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数 是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离 为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝, 那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 ? B ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D D C A O ? D B C A O ? D B C A O 圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； A 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧 AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 B D 圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当042 2 >-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2 E D C ，半径2 422F E D r -+= . (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??-- 2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且 0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交?? 圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50 7．已知：如图，⊙O 中,弧A B 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . A.100° B.130° C.200° D.50 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. A.3 B.4 C.5 D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定 6．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D ? D B C A O ? D B C A O ? D B C A O 第五章 中心对称图形（二） ——知识点归纳以及相关题目总结 一、和圆有关的基本概念 1.圆： 把线段OP 的一个端点O 固定，使线段OP 绕着点O 在平面内旋转1周，另一个端点P 运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径。 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦：连接圆上任意两点的线段。 5.直径：经过圆心的弦。 6.弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同） 9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 10.圆心角：顶点在圆心的角。 11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。 12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形： ①定义：各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥： ①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 6.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。 推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 7.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 8.直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 10.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 12.圆的切线垂直于经过切点的半径。 13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。 14.从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 三、和圆有关的位置关系 1.点和圆： 如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么 2.直线和圆： ①直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。 点P 在圆内 点P 在圆上 点P 在圆外 d 多边形和圆的初步认识知识讲解 【要点梳理】 要点一、多边形及正多边形 1. 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连 组成的封闭平面图形.其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 如下图： D /■ 人/ E C E 五边形正六边形 要点诠释： 正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； 2.相关概念： 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角. 夕卜角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的 对角线. 要点诠释: (1) 过n边形的一个顶点可以引(*3)条对角线，n边形对角线的条数为n(n 3). 2 (2) 过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n- 2)个三角形. 类型一、多边形及正多边形 G l.如图，(1)从正六边形的顶点A出发,可以画出___________________ 条对角线，分别用字母表示出来为_____________________ ; ( 2)这些对角线把六 边形分割成__________ 个三角形. E D 【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成 的三角形的个数即可? 【答案】(1) 3,线段AC线段AD线段AE; (2) 4. 【总结升华】 (1) n边形有n个顶点,n条边,n个内角. (2) 过n边形的每一个顶点有(n -3)条对角线,n边形总共n(n 3)条 2 对角 线? (3) n边形从一个顶点出发，分别连接这个顶点和其余各顶点，可以分割(n — 2)个三角形. 举一反三： 【变式】(2015春?郑州期末)过多边形某个顶点的所有对角线，将 这个多边形分成7个三角形，这个多边形是( ) A .八边形 B .九边形C.十边形 D .十一边形 【答案】B 若一个多边形的内角和等于720°则从这个多边形的一个顶点引出对角线条. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角 线的条数是( ) A. 27 B. 35 C. 44 D. 54 2.同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们， 你知道吗？ 一、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 二、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线 ∴ 平分 三、圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行： ； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 四、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长： 扇形面积 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 = （2）圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 典型例题 例1．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（） A．130° B．100° C．50° D．65° 例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径． 例3．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，?求正六边形的周长和面积． 例4．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2． （1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？ 例5、如图，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°. (1)求图中阴影部分的面积； (2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. 例6.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留）． （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与 此扇形围成一个圆锥？请说明理由． （3）当⊙O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 数学周测试卷 一、选择题（共8小题；共40分） 1. 如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边 形的周长是 圆的知识点总结 （一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外 接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 ４．垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧; 推论1 (１）平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧; (２)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论１可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个, 就可推出另外三个：①过圆心;②垂直于弦；③平分弦(不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角 或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等; 推论2半圆(或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 ７. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8．轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 (１)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆; （２）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线；（3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 [例题分析] 例1. 已知:如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦ＡB于点N。 图1 ①若AB=,ON＝1，求MＮ的长； ②若半径OM=Ｒ，∠ＡOB＝12０°,求ＭＮ的长。 解:①∵ＡB=，半径OM⊥AＢ, ∴AN＝ＢN= ∵ON=１，由勾股定理得OA＝2 ∴ＭN＝OM－ON=OA－ＯN=1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝1２0°∴∠AOＭ=60° 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . A.100° B.130° C.200° D.50 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. A.3 B.4 C.5 D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定 6．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D ? D B C A O ? D B C A O ? D B C A O 圆知识点 、圆的概念 集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 3 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 、 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） 3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 四、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1 :（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论, 即： ①AB是直径②AB_CD ③CE=DE ④弧BC二弧BD ⑤弧AC二弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在Θ O 中，I AB // CD .?.弧AC =弧BD 五、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相 等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中 的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：① AOB "DOE :② AB=DE ； ③OC =OF :④弧BA二弧BD 六、圆周角定理I 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 1 、 点在圆内― d ： ： —点C在圆内; 2 、 点在圆上― d = r—点B在圆上; 3 、 点在圆外— d r—点A在圆外; 1、直线与圆相离— d ? r = 尢父点； 2 、 直线与圆相切— d = r—有一个交点; 3 、 直线与圆相交— d ：—有两个交点; 、点与圆的位置关系 三、直线与圆的位置关系 O A D E O D C A O B A圆知识点总结及典型例题.docx圆知识点总结及典型例题
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