二次根式经典提高练习习题(含答案)[1] 2
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培优二次根式
（一）判断题：（每小题1分，共5分）
1．ab 2
)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ）
3．2)1(-x ＝2
)1(-x ．…（ ）
4．ab 、3
1b a 3、b
a
x 2-
是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，
3
1，2
9x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：（每小题2分，共20分）
6．当x __________时，式子3
1
-x 有意义． 7．化简－
8
1527102
÷3
1225a ＝ ． 8．a －12
-a 的有理化因式是____________．
9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122
+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2
2
22d
c ab
d c ab +-＝______．
12．比较大小：－
7
21_________－
3
41．
13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋
3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．
15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．
（三）选择题：（每小题3分，共15分）
16．已知2
33x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）
（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0
17．若x ＜y ＜0，则2
2
2y xy x +-＋2
2
2y xy x ++＝………………………（ ）
（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 18．若0＜x ＜1，则4)1(2
+-x
x －4)1(2
-+
x
x 等于………………………（ ） （A ）
x 2 （B ）－x 2
（C ）－2x （D ）2x 19．化简a
a 3
-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a
20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）
（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）
2)(b a -+- （D ）2
)(b a ---
（四）计算题：（每小题6分，共24分）
21．（235+-）（235--）；
22．11
45-－
7114
-－7
32+；
23．（a 2
m n －m
ab mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n ；
24．（a ＋
b a ab b +-）÷（b ab a +＋a
ab b
-－ab b a +）（a ≠b ）．
（五）求值：（每小题7分，共14分）
25．已知x ＝2323-+，y ＝2
323+-，求3
22342
32y x y x y x xy x ++-的值．
26．当x ＝1－2时，求
2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的值．
六、解答题：（每小题8分，共16分）
27．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100
991
+）．
28．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋2
1
．求x y y x ++2－x y y x +-2的值．
（一）判断题：（每小题1分，共5分） 1、【提示】2
)2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2、【提示】
2
31
-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．
3、【提示】2
)1(-x ＝|x －1|，2
)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左
边x 可取任何数．【答案】×． 4、【提示】
3
1
b a 3、b
a
x 2-
化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5、2
9x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分）
6、【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9．
7、【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．
8、【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12
-a ． 9、【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？
x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．
11、【提示】2
2
d c ＝|cd |＝－cd ．
【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2
)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．
12、【提示】27＝28，43＝48．
【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，48
1
的大小，最后比较－
281与－48
1
的大小． 13、【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．
【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．
【点评】1+x ≥0，
3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．
15、【提示】∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．
【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分） 16、【答案】D ．
【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．
∴
222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．
222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ．
【点评】本题考查二次根式的性质2
a ＝|a |．
18、【提示】(x －
x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1
)2．又∵ 0＜x ＜1， ∴ x ＋x 1＞0，x －x
1
＜0．【答案】D ．
【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －
x
1
＜0． 19、【提示】3
a -＝2
a a ?-＝a -·2
a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20、【提示】∵ a ＜0，
b ＜0，
∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2
)(b -，ab ＝))((b a --．
【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2
)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）计算题：（每小题6分，共24分）
21、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2－2
)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．
【解】原式＝
1116)114(5-+－711)711(4-+－7
9)
73(2--＝4＋11－11－7－3＋
7＝1．
23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．
【解】原式＝（a 2
m n －m
ab
mn ＋
m n
n m ）·221b a n m
＝
21b n
m m n ?－mab 1n m mn ?＋
22b ma n n
m n m ? ＝21b
－ab 1＋221
b a ＝2221b a ab a +-．
24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．
【解】原式＝
b
a a
b b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--
＝b a b
a ++÷)
)((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----
＝
b a b
a ++·)
())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．
【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．
（五）求值：（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．
【解】∵ x ＝
2
323-+＝2
)23(+＝5＋26，
y ＝
2
323+-＝2
)23(-＝5－26．
∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．
3
2234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164?＝652
．
【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从
而使求值的过程更简捷．
26、【提示】注意：x 2＋a 2＝2
22)(a x +，
∴ x 2＋a 2－x 2
2
a x +＝2
2
a x +（2
2
a x +－x ），x 2－x 2
2
a x +＝－x （2
2
a
x +－x ）． 【解】原式＝
)
(2
222x a x a x x
-++－
)
(22
2
22x a x x a x x -++-＋
2
2
1a
x +
＝
)
()
()2(2
2
2
2
2222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-
＝)
()(222222
22222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)
()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝
)
()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ ＝
x 1
．当x ＝1－2时，原式＝2
11-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)
(2222x a x a x x
-++－)
(2222
2x a x x a
x x -++-＋2
2
1a
x +
＝)11
(
2
222a x x
a x +-
-+－)11
(
22x x a x --+＋
2
21a x +＝x 1．
六、解答题：（每小题8分，共16分） 27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．
【解】原式＝（25＋1）（
1212--＋2323--＋3434--＋…＋99
10099
100--） ＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]
＝（25＋1）（1100-）
＝9（25＋1）．
【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．
28、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[???≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].
2141[???
???
?==y x
【解】要使y 有意义，必须???≥-≥-014041[x x ，即???
?
??
?≥
≤.4
14
1
x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21． 又∵
x y y x ++2－x y
y x +-2＝2)(x y y
x +－2)(x
y y x - ＝|x
y y
x +|－|x
y y
x -|∵ x ＝4
1，y ＝21，∴ y x ＜x
y
．
∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2y
x 当x ＝41，y ＝21
时，
原式＝22
1
41
＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而
求出y 的值．
《二次根式》培优试题及答案
1 《二次根式》提高测试 （一）判断题：（每小题1分，共5分） 1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）【提示】 2 )2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2．3－2的倒数是3＋2． （ ）【提示】 231-＝432 3-+＝－（3＋2）．【答案】×． 3． 2 )1(-x ＝2)1( -x ．…（ ）【提示】 2 )1(-x ＝|x －1|，2)1( -x ＝x －1（x ≥1） ．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4． ab 、 3 1 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ）【提示】 3 1 b a 3、b a x 2- 化成最 简二次根式后再判断．【答案】√． 5． x 8， 3 1，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 2 9x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子 3 1 -x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－ 8 15 27102 ÷3 1225a ＝_．【答案】－2a a ． 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a － 12-a 的有理化因式是____________． 【提示】（a －12 -a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12 -a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122 +-x x ＝________________． 【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10．方程 2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】2 2d c ＝|cd |＝－cd ． 【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2 )(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）． 12．比较大小：－721_________－3 41 ．【提示】27＝28，43＝48． 【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－ 28 1 与－48 1的大小． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 【答案】40． 【点评】 1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0． 15．x ，y 分别为8－ 11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．
二次根式中考真题及详解
二次根式 知识梳理 知识点1．二次根式 重点：掌握二次根式的概念 难点：二次根式有意义的条件 式子a （a ≥0）叫做二次根式． 例1下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 解题思路：运用二次根式的概念，式子a （a ≥0）叫做二次根式． 答案：1）、3）、4）、5）、7） . 例2若式子 3 x -有意义，则x 的取值范围是_______． 解题思路：运用二次根式的概念，式子a （a ≥0）注意被开方数的范围，同时注意分母不能为0 答案：3x > 例3若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50 x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 练习1使代数式43 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 211x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 答案：1. D 2. C ： 知识点 2．最简二次根式 重点：掌握最简二次根式的条件 难点：正确分清是否为最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 例1.在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件，答案：C
(完整版)二次根式经典题型分类复习
二次根式复习 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0) a b = ≥> (0,0) a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>
常考题型： 题型一、形如： 若见到“a 为二次根式”或“a 有意义”，则马上可以得到 a≥0 例1、式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x <1 B ．x ≥1 C ．x ≤－1 D ．x <－1 变式1、要使式子 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x≥﹣2 C ．x≥2 D ．x≤2 变式2、若代数式 1 x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 变式3、式子 有意义的x 的取值范围是（ ） A ． x≥﹣且x≠1 B ． x≠1 C ． D ． 题型二、二次根式的运算（加减乘除）b a ab ?=（a≥0，b≥0）b a b a = （a≥0，b>0） 基础练习1、实数0.5的算术平方根等于（ ）. A.2 B.2 C. 22 D.2 1 基础练习2、16的算术平方根是（ ） A. 4± B. 4 C. 2± D. 2 例1、下列运算正确的是（ ） A ． x 6+x 2=x 3 B ． C ． （x+2y ）2=x 2+2xy+4y 2 D ． 例2、计算1 489 3 -的结果是（ ） (A)3-. (B)3. (C)11 33 - . (D) 11 33 . 例3、下列计算正确的是（ ） ． 4 B ． C ． 2 = D ． 3 例4、下列各式计算正确的是（ ） A ． 3a 3+2a 2=5a 6 B ． C ． a 4?a 2=a 8 D ． （ab 2）3=ab 6
二次根式单元测试题经典3套
二次根式单元测试题一 一、 填空题(每题2分，共20分) 1、当a 时， 有意义 2、计算： 3、计算： 4、计算： (a >0,b >0,c >0) 5、计算： = = 6、 7、 则 2006个3 2006个4 8、 9、观察以下各式： 利用以上规律计算： 10、已知 二、 选择题(每题3分，共30分) 11、若32+x 有意义，则 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 12、化简 的结果是 ( ) A 、0 B 、2a -4 C 、4 D 、4-2a 13、能使等式 成立的条件是 ( ) A 、x ≥0 B 、x ≥3 C 、x >3 D 、x >3或x <0 14、下列各式中,是最简二次根式的是 ( ) A 、x 8 B 、b a 25 C 、2294b a + D 、 15、已知 ,那么 的值是 ( ) A 、1 B 、-1 C 、±1 D 、4 16、如果 ，则a 和b 的关系是 ( ) A 、a ≤b B 、a b 17、已知xy >0，化简二次根式 的正确结果为 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 18、如图，Rt △AMC 中，∠C=90°， ∠AMC=30°，AM ∥BN ，MN=2 cm ， BC=1cm ，则AC 的长度为 ( ) A 、23cm B 、3cm C 、3.2cm D 、 ()=-2 31）（a -1()=2232）（=??? ? ????? ??--2511）（==-?）（）（273 11=73)1(a 38)2(=->2,0xy xy 化简如果=+=+= +222222444333443343，，= +22444333 =+-20062005)12()12(343412323112121-=+-=+-=+，，()= +??? ??++++++++120062005200613412311 21 = ??? ? ?-???? ??+-=+=x y y x 11111313，则，2 3-≥x 23-≤x 32-≥x 32-≤x 2)2 (2-+-a a 3 3-=-x x x x 2 y 51 =+x x x x 1-1212 2-=+-?-b ab a b a 2 x y x -y y -y -y --3M A N B C cm 32 3
《二次根式》培优专题一精编版
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式： 二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ） 5. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。 JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）. \ b （4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub . （5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式，都适用于二次根式的运算. （6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简： 二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是： 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝U a 2、 b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2
二次根式(中考精选题)(汇编)
期末复习(一) 二次根式 各个击破 命题点1 二次根式有意义的条件 【例1】 要使式子 x ＋3 x －1 ＋(x －2)0有意义，则x 的取值范围为____________． 【思路点拨】 从式子的结构看分为三部分，二次根式、分式、零次幂，每一部分都应该有意义． 【方法归纳】 1．(潍坊中考)若代数式x ＋1 （x －3）2 有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．x ≥－1 B ．x ≥－1且x ≠3 C ．x ＞－1 D ．x ＞－1且x ≠3 2．若式子x ＋4有意义，则x 的取值范围是__________． 命题点2 二次根式的非负性 【例2】 (自贡中考)若a －1＋b 2－4b ＋4＝0，则ab 的值等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 【方法归纳】 这一类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0构造方程求未知数的解，通常利用的非负数有：(1)||x ≥0；(2)x 2≥0；(3)x ≥0. 3．(泰州中考)实数a ，b 满足a ＋1＋4a 2＋4ab ＋b 2＝0，则b a 的值为( ) A ．2 B.12 C ．－2 D ．－1 2 命题点3 二次根式的运算 【例3】 (大连中考)计算：3(1－3)＋12＋(13 )－ 1. 【思路点拨】 先去括号、化简二次根式及进行实数的负整指数幂的运算，把各个结果相加即可．
【方法归纳】 二次根式的运算是实数运算中的一种，运算顺序与运算律都遵循有理数的运算顺序与运算律． 4．(泰州中考)计算：1 2 12－(3 1 3 ＋2)． 命题点4 与二次根式有关的化简求值 【例4】 (青海中考)先化简，再求值：y 2－x 2x 2－xy ÷(x ＋2xy ＋y 2x )·(1x ＋1 y )，其中x ＝2＋3，y ＝2－ 3. 【思路点拨】 运用分式的运算法则先化简原式，然后将x 和y 的值代入化简后的式子求值即可． 【方法归纳】 将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算． 5．(成都中考)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1. 命题点5 与二次根式有关的规律探究 【例5】 (黄石中考)观察下列等式： 第1个等式：a 1＝1 1＋2 ＝2－1；
二次根式知识点及典型例题练习
第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3)
例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54
《二次根式》典型例题和练习题
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( )
A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4
二次根式培优习题
《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性：二次根式a 中被开方数a ≥0，且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ； . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a 初中数学二次根式经典测试题
初中数学二次根式经典测试题 一、选择题 1．5 x+有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥5B．x>-5 C．x≥-5 D．x≤-5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】 Q式子5 x+有意义， ∴x+5≥0，解得x≥-5. 故答案选：C. 【点睛】 本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 2．二次根式2 a+在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 a＋在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；分析已知和所求，要使二次根式2 易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 a＋在实数范围内有意义， 解：∵二次根式2 ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．下列计算正确的是（） A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误； C、原式= ×=，所以C选项错误； D、原式==3，所以D选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．下列式子为最简二次根式的是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：选项A，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A符合题意；选项B，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B不符合题意； 选项C，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C不符合题意； 选项D，被开方数含分母， D不符合题意， 故选A． 5．2 (21)12 a a -=-，则a的取值范围是（） A． 1 2 a≥B． 1 2 a>C． 1 2 a≤D．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 2 (21) a-=|2a-1|，则|2a-1|=1-2a，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 2 (21) a-=|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a， ∴2a-1≤0， ∴ 1 2 a≤． 故选：C．
初三数学二次根式经典习题
二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a ②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。 2021中考分类二次根式解析 一、选择题 1．(2021?安徽)计算8×2的结果是( ) A ．10 B ．4 C ． 6 D ．2 2. (2021?湖南衡阳)函数1+=x y 中自变量x 的取值范围为( B )． A ．0≥x B ．1-≥x C ．1->x D ．1>x 3. (2021?江苏扬州)下列二次根式中的最简二次根式是 ( ) A 、30 B 、12 C 、8 D 、 21 4. (2021?江苏苏州)若()2m = -，则有 A ．0＜m ＜1 B ．-1＜m ＜0 C ．-2＜m ＜-1 D ．-3＜m ＜-2 【难度】★☆ 【考点分析】考察实数运算与估算大小，实数估算大小往年中考较少涉及，但难度并不大。 【解析】化简得:m = - 2 ，因为- 4 < - 2 < - 1(A+提示:注意负数比较大小不要 弄错不等号方向)，所以-2 < - 2 < -1。故选C 。 5. (2021?山东济宁) x 必须满足 A.x ≤2 B. x ≥2 C. x ＜2 D.x ＞2 6. (2021?浙江杭州)若1k k <+k < 二、填空题 1. (2021?南京)若式子x +1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 2. (2021?南京)计算5×153 的结果是 ． 3. (2021?四川自贡)化简2= . 考点:绝对值、无理数、二次根式 分析:2值得正负，再根据绝对值的意义化简. 略解:2 20< 22= 4. (2021?四川自贡)若两个连续整数x y 、 满足x 1y <<，则x y +的值是 . 考点:无理数、二次根式、求代数式的值. 分析:1值是在哪两个连续整数之间. 略解:∵23 ∴314<< ∴,x 3y 4== ∴x y 347+=+=；故应填 7 . 5. (2021?四川资阳)已知:()260a +，则224b b a --的值为_________． 三．解答题 1. (2021?江苏苏州) 计算(0 52+--． 【考点分析】考察实数计算，中考必考题型。难度很小。 【解析】解:原式=3+5-1=7. 安徽岳西县城关中学 李庆社(246600) 二次根式知识点归纳和题型归类 二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质： 鳥<0)； ［爲工Og叭2“)= 9-0)；3^ ★4 L 4. 积的算术平方根的性质：、’、：、「??「〔； E=^a>Of Z>>0) 5. 商的算术平方根的性质：* . 6. 若7 '. 知识点二、二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号 (2) 注意每一步运算的算理； 2. 二次根式的加减运算先化简，再运算， 3. 二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用 .利用二次根式的双重非负性来解题 （岛 0 （a > 0）,即一个非负数的算术平方根是一个非负数。 ） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。A 、弋3 ； i" 2 2 ?等式 J （X 1） = 1 — x 成立的条件是 _____________ . 3?当x _____________ 时，二次根式 J2x 3有意义. 4. x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 (2) （4）若 x （x 1） . X I X 1，则x 的取值范围是 _______ （ 5）若X 3 . X 3 ,则x 的取值范围是 ______________________ \ X 1 J x 1 6若J3m 1有意义，则m 能取的最小整数值是 _____________ ;若J 20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ___________ 7. 当X 为何整数时， ______________________________________ 10X 1 1有最小整数值，这个最小整数值为 。 8. 若 2004 a V a 2005 a ，则 a 20042= _____________________ ;若 y 4，则 x y _________ m 2 9 . 9 m 2 2 — 9. 设 m 、n 满足 n ，贝V . mn = ________ 。 m 3 10. 若三角形的三边 a b 、c 满足a 2 4a 4 - b 3=0,则第三边c 的取值范围是 ____________________________ 11. 若 |4x 8| x y m 0，且 y0 时，则（ ） A 、0 m 1 B 、m 2 C 、m 2 D m 2 二.利用二次根式的性质 a 2=|a|= a （a b ） （即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 ）来解题 u （a 0） a （a 0） 3.若化简| 1-x | - x 2 8x 16的结果为2x-5则（ ） 4.已知a , b , c 为三角形的三边，则 (a b c)2 , (b c a)2 . (b c a)2 = 5.当-3 《二次根式》培优 一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。 时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解 基础巩固 1.化简： （1 ） （2 （3 （4 ） （5 （6 ） 解：（1 ）. （2 3. （3 ） （4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0= 二次根式与一元二次方程经典练习题aa??aa??A、、 B 、D、 ??2 C一、选择题ba,对于所有实数），下列等式总能成立的是（8. ）1．下列式子一定是二次根式的是（ 22b?b??aaba?ba??22x2x??2?x2?x B. A. ．AD． B ． C ． ??22??2222b?aa?b?1?m3b?aa??b D. C. ）m有意义，则2能取的最小整数值是（．若 m=3 ．m=0 A．Bm=1 ．DC．m=2 29x?），以下说法中不正确的是（ 9. 对于二次根式2xx? A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数的结果是（）3．若x<0，则x3 它的最小值为 D. C. 它是最简二次根式 2 2 ．—C．0D．2 或—B 0 A．227?5?2b?aa??b10. 下列式子中正确的是（）A. ?? B. ( 4．下列说法错误的是）28?649a?6a?是二次根式B.A．是最简二次根式 2?3?4?3?x??bxba?ax D. C. 222216?xb?a4 D.的最小值是．C 是一个非负数二、填空题22nn24?5)?(2?)(?0.3D.2 C.6 B.5 A.4 5．是整数，则正整数的最小值是（）；②11.①。 yx?a3311??aa?9?计算。12．化简：计算= ________13．的结果为（）．化简6ay?x365 ??21xx??2x133011。14．化简：的结果是113033030．B ．A ．C ．D3030 2?? _____________??1x?5x?时，。5x1 15．当≤＜1?????20012000．把．7a 根号外的因式移入根号内的结果是（）______________33???22a．16。 二次根式小结与提高 一、基本概念 （一）二次根式 下列式子，哪些是二次根式，、 1x x>0） -1x y +x ≥0，y?≥0）． （二）最简二次根式 1（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）． A （y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对 2．（x ≥0） 3．_________． （三）同类二次根式 1．以下二次根式：；是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 2．在、、是同类二次根式的有______ 3．若最简根式3a a 、b 的值． （四） “分母有理化” 1.把下列各式的分母有理化 （1 （2； （3； （4． 二、二次根式有意义的条件： 1．（1）当x 在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 11x +在实数范围内有意义？ （3）当x 是多少时， x +x 2在实数范围内有意义？ （4）当__________ （5）当__________时， 有意义。 2. x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 3．已知，求x y 的值． 4. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。 5 ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 6.已知111-的整数部分为a ，小数部分为b ，试求()()111++b a 的值 三、二次根式的非负数性 1，求x y 的 2.2440y y -+=，求xy 的值。 四、?????-==a a a a 02 a=0 的应用 1． a ≥0 ）． A C ．2．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式（1-a ）=1； 乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 3．化简 ）． A ．．4．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）． A ．．5. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│ 五、求值问题: 1.当y 求x 2-xy+y 2的值 2．已知a 2b-ab 2 =_________． 3. 已知2310x x -+= a>0 a ＜0 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算 例1. 化简a a 1-的结果是（ ） A ．a - B ．a C ．-a - D ．-a 分析：本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B 形式最简单, 所以选B;还有的同学觉得应有一个负号和原式对应,所以选A 或D;这些都是错误的.本 题对概念的要求是较高的,题中隐含着0a <这个条件,因此原式的结果应该是负值,并 且被开方数必须为非负值. 解：C. 理由如下: { ∵二次根式有意义的条件是1 0a -≥,即0a <， ∴原式= 211 ()()()a a a a a ---=--?-=--.故选C. 例2. 把（a －b ）－1 a － b 化成最简二次根式 解： — 例3、先化简，再求值： 11()b a b b a a b ++++，其中a=51+，b=51 -． 3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。（1）； （2） ! 4、比较数值 （1）、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b 培优专题：二次根式
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