黑龙江省哈师大附中2011届高三上学期期末考试(数学理)

黑龙江省哈师大附中2011届高三上学期期末考试

数学试题（理科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给了的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，在答题卡相应题目的答题区域内作答） 1．设全集U 是实数集R ，2{|4},{|13}M x x N x x =>=<<，则图中阴影部分所表示的

集合是

（ ）

A ．{|21}x x -≤<

B ．{|22}x x -≤<

C ．{|12}x x <≤

D ．{|2}x x <

2．已知数列{}n a 为等差数列，且1713212,tan()a a a a a π++=+则的值为

（ ）

A B ．C ．D ．3

-

3．若函数()f x 是偶函数，且当[0,)x ∈+∞时，()1,(1)0f x x f x =--<则的解集是（ ） A ．（-1，0） B ．（-∞，0）∪（1，2） C ．（1，2） D ．（0，2） 4．如图，向量a b -等于

（ ）

A ．

1224e e --

B ．1242e e --

C ．123e e -

D ．123e e -+

5．当(1,)x ∈+∞时，函数a y x =的图象恒成直线y x =的下方，则a 的取值范围是（ ）

A ．01a <<

B ．0a <

C ．1a <

D ．1a >

6．ABC ?中下列三式：0,0,0AB AC BA BC CA CB ?>?>?>

中能够成立的不等式个数

（ ） A ．至多1个 B ．有且仅有1个 C ．至多2个 D ．至少2个

7．如图，ABCD 是边长为1的正方形，O 为AD 中点，抛物F 的顶点为O 且通过点C ，则

阴影部分的面积为 （ ）

A ．

14 B ．12

C ．13

D ．34

8．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）的任意

121

21

12,(),|()()|||x x x x f x f x x x ≠-<-

恒成立的是

（ ）

A ．1

()f x x

=

B ．()||f x x =

C ．()2x f x =

D ．2()f x x =

9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且2

EF =

，则下列结论中错误的是

（ ）

A ．AC BE ⊥

B ．EF//平面ABCD

C ．三棱锥A —BEF 的体积为定值

D ．异面直线A

E ，B

F 所成角为定值

10．设2()|2|f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围是 （ ）

A ．(0,2)

B ．(0,2]

C ．(0,4]

D ．

11．从双曲线22

135

x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -等于（ ）

A

B

C

D 12．已知圆的方程为2

2

4x y +=，P 是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平

面区域||||x y a +≥覆盖，则实数a 的取值范围是

（ ）

A ．1a ≥

B ．1a ≤

C ．01a <≤

D ．0a ≤

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在答题卡相应题目的答题区域内作

答。） 13．一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直

角三角形，若拼成一个棱长为6的正方体，需要这样的几何体 个。

14．点P 是曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是 。

15．如下图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有

(1,)n n n N >∈个点，每个图形总的点数记为n

a ，则

2

3

34

45

2

1

02011

999

9

a a a a a a a a ++++= 。

16．对于函数()1||

x

f x x =

+，下列结论正确的是 （注：将所有正确．．命题的序号都填上） ①x R ?∈，都有()()0f x f x -+=；

②(0,1)m ?∈，使得方程()f x m =有两个不等的实数解；

③(1,)k ?∈+∞，使得函数()()g x f x kx =-在R 上有三个零点；

④121212,,,()().x x R x x f x f x ?∈≠≠若则

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在

答题卷相应题目的答题区域内作答） 17．（本小题满分10分）

已知函数()cos(2)2sin()sin().3

4

4

f x x x x π

π

π

=-

+-

+

（1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-上的值域。

18．（本小题满分12分）

在各项为正的等比数列{}n a 中，首项11a =，数列{}n b 满足12311().2

64

n a

n b b b b ==

,且 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1122 2.n n a b a b a b +++< 19．（本小题满分12分）

三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，1AA ⊥面ABC ，,2BC AC BC AC ⊥==，AA 1=3，D 为

AC 的中点。

（1）求证：EF//平面PCD ；

（2）若PA AB a ==。求棱锥P —EFC 的体积。

20．（本小题满分12分）

在海岛A

P ，上午11时，测得一轮

船在海岛北偏东30°，俯角为30°的B 处。到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，

俯角为60°的C 处。

（Ⅰ）该船的航行速度是每小时多千米？

（Ⅱ）又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D 处，此时船距岛有多远？ 21．（本小题满分12分）

已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

14

y x =

的焦

点，离心率等于

5

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于M 点，若

12,AF MA BF MB λλ== ，求证：1

2

12

λλλλ+为定值，点F 即是椭圆C 的右焦点。

22．（本小题满分12分）

已知函数

()(0).2

f x x x π

=

-<<

（1）求()f x 的导数()f x '；

（2）求证：不等式3

3

sin cos (0,]2

x x x π

>在上恒成立；

（3）求22

11()(0)2sin g x x x x π

=-<≤的最大值。

参考答案

一．选择题：

1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．D 7．C 8．A 9．D 10．A 11．C 12．B 二．填空题 13． 3 14．2 15．

2010

2009

16．（1）（4） 三．解答题:

17．解：（I ）)4

sin()4

sin(2)3

2cos()(π

π

π

+

-

+-

=x x x x f

=)4

sin()4

cos(

2)3

2cos(π

π

π

+

+--

x x x

)

6

2sin(2sin 232cos 212cos )3

2cos()2

2sin()3

2cos(π

π

π

π

-=+-=--

=+

--

=x x x x

x x x

由Z k k x k x ∈+=

?+

=-

,3

22

6

2π

ππ

ππ

所以，该函数的最小正周期为π，图象的对称轴方程为Z k k x ∈+=,3

2π

π……8分 （II ）因为]6

5,3[62],2,12[π

πππ

π-∈-∴-

∈x x 所以，该函数的值域为]1,2

3

[-

…………12分

18．解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ， n a

n b a )2

1

(,11== ， .)21

(,)21(,21,)21(,12131211d d a n b b b b a n ++===∴==∴………………3分

由64

1

321=b b b ，解得d=1．…………5分

.1)1(1n n a n =?-+=∴…………6分

（2）由（1）得.)2

1(n

n b =

设n n n n n b a b a b a T )2

1

()21(3)21(2211322211?++?+?+?

=+++= ，

则.)2

1()21(3)21(2)21(1211432+?++?+?+?=n n n T

两式相减得.)21

()21()21()21(2121132+?-++++=

n n n n T ………………9分

n n n n n n n T 2212)21(2211]

)21(1[2

1211--=?---?=∴-+．………………11分

2.22

21222111<+++∴<---n n n n b a b a b a n

又

19．解：（1）连接C B 1,交1BC 于点O ，则O 为C B 1的中点， D 为AC 中点，

OD ∴∥A B 1，又?A B 1平面1BDC ，?OD 平面1BDC ，∴A B 1∥平面1BDC ——————4分 （2）⊥1AA 面ABC ,AC BC ⊥,1AA ∥1CC ,⊥1CC 面ABC ,

则⊥BC 平面1AC ,AC CC ⊥1，以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，—————————————5分 则()()()0,0,0,0,0,1,0,2,0),3,0,0(1C D B C ,11(1,0,3),(0,2,3)C D C B ∴=-=-

。 设平面1C DB 的法向量为(,,)n x y z = ，则(6,3,2)n =-

。 ————————6分

又平面BDC 的法向量为()10,0,3CC =

，

∴二面角1C BD C --的余弦值1112

cos ,7

C C n C C n C C n ?==?

， ——————7分

则二面角1C BD C --

的正切值

2

。 ————————8分 （法二）过C 做CE BD ⊥交BD 于点E ，连接1C E 。 1C C ⊥ 面ABC ，1C C BD ∴⊥又CE BD ⊥， BD ∴⊥面1C CE ，则1C E BD ⊥，

则1C EC ∠是二面角1C BD C --的平面角。 -------------------6分

11tan C C CD BC BD CE C EC BD CE ?==

=∠===

8分 （3）假设存在这样的点P ，设(2,0,)P h ，则(2,0,)CP h =

， ————————9分

n 是面1BDC 的法向量， (,,)n x y z =

，

则(6,3,2)n =-

。—————————10分

若CP ⊥面1BDC ，则CP ∥n

，即()()2,0,2,6,3h λ=-，

此时λ不存在，————11分

∴在侧棱1AA 上不存在点P ，使得CP ⊥面1BDC 。 ——————————12分

20．解：

（1）B 处的俯角为30°，

则60,903BPA PA BAP BA ∠=?=∠=??=，—————2分， C 处的俯角为60°，

则30,901CPA PA CAP CA ∠=?∠=??=，—————4分， 又B 处为北偏东30°，C 处为北偏西 60°， 则90BAC ∠=?

，所以BC = ——————5分

则船的航行速度为

1060

BC

= ——————6分 （2

）sin sin ACD ACB ∠=∠== ——————7分

sin sin(30)sin cos30cos sin 30ADC ACB ACB ACB ∠=∠-?=∠?-∠?=

————9分

在ACD 中由正弦定理，知

sin sin sin sin AD AC ACD

AD AC ACD ADC ADC

∠=?=?∠∠∠，11

分，3113AD ===。 ——————12分

21．解：

（1）设椭圆C 的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，

则由题意知1b =

，c e c a =

=?=，

222

2

415

a b c a a =+=+

?= ————3分

椭圆C 的方程为2

215

x y += ——————4分 （2）证明：设,,A B M 点的坐标分别为()()11220(,),,,0,A x y B x y M y ， 易知F 点的坐标为（2，0）。————5分

1111022220(2,),(,),(2,),(,)AF x y MA x y y BF x y MB x y y =--=-=--=-

由1AF MA λ= 有，11111122x x x x λλ--=?=， ——————6分

由2BF MB λ= 有，222222

22x x x x λλ--=?=， ——————7分

则12

12121212

1212121212222()22242()x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ--+

++-==--?-++?，（※） ——————9分

设直线:(2)AB y k x =-代入椭圆方程2

215

x y +=，

有2

2

2

2

(15)202050k x k x k +-+-=

由韦达定理22121222

20205

,1515k k x x x x k k

-+==++ 代入（※） ——————11分

有2212121222

121212

22

20205

222()21515102020542()421515k k x x x x k k k k x x x x k k λλλλ-?-?++-++===--?-++-?+

++。 ———12分 22．解：（1）24'

2

3

31()cos sin cos 13f x x x x -=+- —————2分

（2）由（1）知24'

2

3

31()cos sin cos 13

f x x x x -=+-，

其中(0)0f =，令'

()()f x h x =，

147

'

2

333

21

4()cos (sin )2sin cos cos sin cos (sin )333h x x x x x x x x x ---????=-++--?? ?????

7

334

sin cos 09

x x -=>，

在0,

2x π??

∈ ??

?

上恒成立， ————————5分

则()h x 即'()f x 在0,

2π??

??

?

上为增函数，

故''()(0)0f x f >=，所以()f x 在0,

2π??

??

?

上为增函数，

故()(0)0f x f >=

x >，则sin x x >

33sin cos x x x ∴> ————7分

当2

x π

=

时，33

sin cos x x x >显然成立，

于是有3

3

sin cos 0x x x ->在0,

2π??

??

?

上恒成立。——————8分

（3）33'

3

3

332(sin cos )

()2sin cos 2sin x x x g x x x x x x

---=-+= ——————10分

由（2）知33

sin cos 0x x x ->在0,

2π??

??

?

上恒成立，

则()33'332sin cos ()0sin x x x g x x x

-=

>在0,2π??

???

上恒成立，

()g x 在0,2π??

???

单增，——————11分

于是2

4

()()12

g x g ππ≤=-

，max 2

4

()1g x π∴=-

。 ————————12分