导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用

【考纲说明】

1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

【知识梳理】

一、导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y

??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y

??有极限，我们

就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →?x x y

??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。

说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y

??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，

或说无导数。

（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；

（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+)

()(00；

（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y

x ??→?0lim

。

二、导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数

①0;C '= ②()

1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '=⑥()ln x

x

a a a '

=; ⑦

()1ln x x '=

; ⑧()1

l g log a a o x e

x '=.

四、两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

.)'

''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，

即：

.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则'

''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

.)(''Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

?

?? ??v u ‘=2'

'v uv v u -（v ≠0）。

形如y=f [x

(?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：

一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(

如果在某区间内恒有'

f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

2、极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值：

一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?(x)在(a ，b)内的极值；

②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数?(x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分

(1)概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0

在每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式In ＝∑n

i f

1

＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n

→∞即△x →0时，和式In 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：

?b

a

dx

x f )(，即?

b

a

dx

x f )(＝

∑=∞

→n

i n f

1

lim (ξi)

△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式：

?dx 0＝C ； ?dx x m

＝1

11++m x

m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；

?x 1

dx ＝ln x ＋C ；?dx e x ＝x e ＋C ；

?dx a x

＝a a x ln ＋C ；?xdx cos ＝sinx ＋C ；?xdx sin ＝－cosx ＋C （表中C 均为常数）。

(2)定积分的性质 ①?

?=b

a b

a

dx

x f k dx x kf )()(（k 为常数）；

②

?

??±=±b

a b a

b a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；

③?

??+=b

a

c

a b

c

dx

x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

(3)定积分求曲边梯形面积

由三条直线x ＝a ，x ＝b(a

?=b

a

dx

x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x)，y 2＝f 2(x)（不妨设f 1(x)≥f 2(x)≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a

围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝

?

?-b

a

b

a

dx

x f dx x f )()(21。

【经典例题】

【例1】（2012广东）曲线y=x 3-x+3在点(1,3)处的切线方程： 。

【解析】先对函数y=x 3-x+3求导，得：y=3x 2-1。代入点(1,3)求出斜率，k=2。设切线方程为y-3=2(x-1)，得切线方程为：y=2x+1。 【例2】（2012辽宁）已知P ，Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A 的纵坐标为 。 【解析】抛物线变形为：y=

2

1x 2

。求导y ,=x 。代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为：4，-2。点P ，Q 两点坐标为(4,8)，(-2,2)。得出两切线为：y=4x-8，y=-2x-2。两直线交点为(1,-4)。所以交点的纵坐标为-4。 【例3】（2011课标）已知函数f(x)=x

b

x aInx ++1，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。 (1)求a ，b 的值；

(2)如果当x>0，且x ≠1时，f(x)>

x

k

x Inx +-1，求k 的取值范围。 【解析】(1)f ,(x)=

2

2)1()

1

(

x b x Inx x x a -

+-+由于直线x+2y-3=0的斜率为21-，且过点(1,1)， 故

即 解得a=1，b=1。

(2)由（1）知ln 11x x x ++，所以22ln 1(1)(1)

()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22

(1)(1)2'()k x x

h x x -++=。

(i)设0k ≤，由22

2

(1)(1)'()k x x h x x

+--=知，当1x ≠时，'()0h x <。而(1)0h =，故 当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得

2

1

()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2

11

x

- h （x ）>0 f(x)=1

f ,(1)=2

1- b=1

b a -2=2

1-

从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k

. （ii ）设0

+1）+2x>0,故h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k

-11）

时，h （x ）>0，可得2

11

x

-h （x ）<0,与题设矛盾。 （iii ）设k ≥1.此时h ’

（x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得2

11x - h （x ）<0,与题设

矛盾。综合得，k 的取值范围为（-∞，0].

【例4】（2012山东）已知函数f(x) = x

e

k

x +ln （k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行。 （Ⅰ）求k 的值；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）设g(x)=(x 2+x) '()f x ,其中'()f x 为f(x)的导函数，证明：对任意x ＞0，2

1)(-+

【解析】由f(x) = x

e k x +ln 可得=')(x

f x e

x

k x ln 1

--，而0)1(='f ，即01=-e k ，解得1=k ； （Ⅱ）=')(x f x

e

x

x ln 11

--，令0)(='x f 可得1=x ， 当10<--='x x x f ；当1>x 时，0ln 11

)(<--='x x

x f 。

于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数；在),1(+∞内为减函数。

（Ⅲ）x

x e

x x x x e x

x x x x g ln )(1ln 11

)()(222+--=--+=， 当1≥x 时， 0,0,0ln ,012

2

>>+≥≤-x

e x x x x ，2

10)(-+<≤e

x g .

当10<

)()(-+<+--=--+=e e

x x x x e x

x x x x g x

x 。 只需证2

2

2

1()ln (1)x

x x x x e e ---+<+，然后构造函数即可证明。

【例5】（2012北京）已知函数

2(1)

()a x f x x -=

，其中0a >.

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；

（Ⅲ）设

2

()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）

【解析】（Ⅰ）

3(2)

()a x f x x -'=

，（0x ≠），在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.

所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2).

（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则00

2

0000

3

0(1)10(2)

1a x y x x y a x x -?

=???

--=??-?=?? 解得0

1x =，1a =. （Ⅲ）()g x =l n (1)x x a x --，则()l n 1g x x a '=+-解()0g x '=，得1e a x -=，

所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，在区间

1

(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. 当1e 1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e ]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e )e e g a a =+-.

当1

e

e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e ]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =.

当1

1

(e )(1)ee 0g g a a -=+->，解得

e e 1a <

-，所以，e 1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e )e e g a a =+-，

e

2

e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =.

综上所述，当

e

0e 1a <<

-时，()g x 最大值为(e )e e g a a =+-，

当

e

e 1a ≥

-时，()g x 的最大值为(1)0g =.

【例6】（2012重庆）已知函数3

()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c - (1)求a 、b 的值；(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值。

【解析】错误！未找到引用源。(Ⅰ)因3

()f x ax bx c =++ 故2

()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值

故有(2)0(2)16f f c '=??=-?即1208216a b a b c c +=??++=-? ,化简得12048a b a b +=??+=-?解得112a b =??=-?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3

()12f x x x c =-+,2

()312f x x '=-

令()0f x '=，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈-

时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞时()0f x '>，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数。 由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-由题设条件知1628c +=得12c =，

此时(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-。

【例7】（2011安徽）设()1x

e f x ax

=+，其中a 为正实数

（Ⅰ）当a 4

3

=

时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

【解析】（1）f ' (x)=x

2

22ax 1e

12ax -ax ）

（）（++当a=34时令f ' (x)=0解得x=21或x=23 当x ??? ??

∞∈21-，时，f ' (x)>0;当x ??

? ??∈2321，时，f ' (x)<0;

当x ??

? ??∞+∈，

23，f ' (x)>0,所以f(x)在x=21处取得极大值，在x=2

3

处取得极小值。 （2）若()f x 为R 上的单调函数则f ' (x)恒大于等于零或f ' (x)恒小于等于零， 因为a>0所以Δ=（-2a ）2-4a ≤0，解得0

【课堂练习】

一、选择题

1.（2011全国）曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ）

A

31 B 21 C 3

2

D 1 2.（2010课标全国）曲线2

+=x x

y 在点(-1,-1)处的切线方程为（ ）

A y=2x+1

B y=2x-1

C y=-2x-3

D y=-2x-2 3.（2012陕西）设函数f(x)=xe x ,则（ ）

A x=1为f(x)的极大值

B x=1为f(x)的极小值

C x=-1为f(x)的极大值

D x=-1为f(x)的极大值 4.（2008广东理）设R a ∈，若函数x e y ax

3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ）

A ．3->a B. 3-

>a D. 3

1-

5．（2008江西、山西、天津理科）函数3

31x x y -+=有（ ）

A 极小值－1，极大值1

B 极小值－2，极大值3

C 极小值－2，极大值2

D 极小值－1，极大值3

6.（2006湖南理科）设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,

)()()()(x g x f x g x f '+'＞0.且()03g =-，.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）

A ),3()0,3(+∞?-

B )3,0()0,3(?-

C )∞+,3(∪)3,∞(

D )3,0(∪)3,∞( 7. （2007海南、宁夏理）曲线1

2

e x y =在点2

(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．

29e 2

Ｂ．2

4e

Ｃ．2

2e D .2

e

8. （2008湖北理）若f(x)=2

1ln(2)2

x b x -

++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞）Ｃ.(]1,-∞- D.（-∞，-1）

9．（2005江西理科）已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中)(x f '是函数))(的导函数x f ，下面四个图象中

)(x f y =的图象大致是 （ ）

A B Ｃ D （1） （2006江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（ ） A 32 B 329- C

3

32

D 335

二、填空题：

的切线方程是

11.（2007湖北文）已知函数)(x f y =的图象在M （1，f （1））处

x y 2

1

=

+2，f(1)—f ’(1)=______________. 12.（2007湖南理）函数3

()12f x x x =-在区间[33]-，

上的最小值是 . 13.（2008全国Ⅱ卷理）设曲线ax

y e =在点(01)，

处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =

. 14.（2006湖北文）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则)r (2

'?π＝2πr

○

1，○1式可以用语言叙述为： 对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○

2式可以用语言叙述为： . 三、解答题：

15.（2005重庆文）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：

21

242005

p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）

。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本)。

16.（2008重庆文）设函数32

()91(0).f x x ax x a =+--若曲线y =f (x )的斜率最小的切线与直线12x +y =6平行，求：

（Ⅰ）a 的值; （Ⅱ）函数f (x )的单调区间.

17.（2008全国Ⅰ卷文、理）已知函数3

2

()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???

，

内是减函数，求a 的取值范围． 3.（2006浙江理）设曲线x e y x

(-=≥0）在点M （t, t -e ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）。

（Ⅰ）求切线l 的方程；

（Ⅱ）求S （t ）的最大值。

19.（2007海南、宁夏文）设函数2

()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）求()f x 在区间3144

??-????

，的最大值和最小值．

20.（2007安徽理）设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）. （Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.

【课后作业】

一、选择题

1.（2005全国卷Ⅰ文）函数93)(2

3

-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( ) A 2

B 3

C 4

D 5

2．(2008海南、宁夏文）设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A 2

e

B e

C

ln 2

2

D ln 2

3．（2005广东）函数13)(2

3

+-=x x x f 是减函数的区间为（ ） A ),2(+∞ B )2,(-∞ C )0,(-∞ D （0，2） 4.（2008安徽文）设函数1

()21(0),f x x x x

=+

-< 则()f x （ ） A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数 5．（2007福建文、理）已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时（ ） A f’(x)>0，g’(x)>0 B f’(x)>0，g’(x)<0

C f’(x)<0，g’(x)>0

D f’(x)<0，g’(x)<0

6.（2008全国Ⅱ卷文）设曲线2

ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( ) A 1

B

1

2

C 12

-

D 1-

7．（2006浙江文）3

2

()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）

A -2

B 0

C 2

D 4 8．（

若函数f(x)=x 2+b x +c

f /(x)的图象是（ ）

9．（2005全国卷Ⅱ理科）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ） A (

2π，23π) B (π，2π) C (2

3π，25π

) D (2π，3π)

10. （2012重庆）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,

()f x ，且函数,

(1)()y x f x =-的图像如图所示，则下列结

论中一定成立的是

（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -

A x D C x B

（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 二、填空题：

11.（2007浙江文）曲线

32

242y x x x =--+在点(1，一3)处的切线方程是 . 12.（2006重庆文科）曲线3

x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的

面积为 .

13．（2007江苏）已知函数3

()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则

M m -= .

14.（2008北京文）如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f (f (0))= ; 函数f (x )在x =1处的导数f ′(1)= . 三、解答题：

15.（2005北京理科、文科）已知函数f (x )= －x 3＋3x 2＋9x ＋a . （I ）求f (x )的单调递减区间；

（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

16.（2006安徽文）设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。 （Ⅰ）求b 、c 的值。 （Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

1. （2005福建文科）已知函数d x bx x x f +++=c )(2

3的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x .

（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.

18.（2007重庆文）用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 19．（2008全国Ⅱ卷文） 设a ∈R ，函数2

3

3)(x ax x f -=． （Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；

（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，

，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 20.（2008湖北文） 已知函数3

2

2

()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程.

【参考答案】

【课堂练习】 一、选择

1—10AADBD DDCCC (2) 填空

（1） 3 ； 12．16-； 13. 2 ； 14. 2

3R 4R 34ππ='

??

? ??,球的体积函数的导数等于球的表面积函数

三、解答题

15. 解：每月生产x 吨时的利润为)20050000()5

124200()(2

x x x x f +--

= ).

(200,2000240005

3)()

0(50000240005

1

212

3舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x

0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为：

)(31500005000020024000)200(5

1

)200(3元=-?+-=f

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.

16. 解：(Ⅰ)因为2

2

()91f x x ax x =+--, 所2

()329f x x ax '=+-2

23()9.33

a a x =---

即当2

()9.33a a x f x '=---时，取得最小值因斜率最小的切线与126x y +=平行，即该切线的斜率为-12，所以

2

2912,9.3

a a --=-=即 解得3,0, 3.a a a =±<=-由题设所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知3

2

3,()391,a f x x x x =-=---因此

212()3693(3(1)()0,1, 3.

(,1)()0,()(1(1,3)()0,()13()0,()3.()(,13f x x x x x f x x x x f x f x x f x f x f x f x f x '=--=-+'==-='∈-∞->-∞-'∈-<-'∈∞>+∞-∞-+∞令解得：当时，故在，）上为增函数；当时，故在（，）上为减函数；当x (3,+)时，故在（，）上为增函数由此可见，函数的单调递增区间为）和（，）；单调递减区13.

-间为（，）

17．解：（1）32()1f x x ax x =+++ 求导：2

()321f x x ax '=++

当2

3a

≤时，0?≤，()0f x '≥, ()f x 在R 上递增

当2

3a >，()0f x '=

求得两根为3

a x -±=

即()f x

在?-∞ ??递增

, ??

递减

,

?

+∞????

递增 （2）要使f(x)在在区间2

133??-- ???，

内是减函数，当且仅当，0)(<'x f 在2133??-- ???

，恒成立， 由)(x f '的图像可知，只需???

?

???≤??? ??-'≤??? ??-'0

31032f f ，即???????≤-≤-0323403437a a , 解得。a ≥2。所以，a 的取值范围[)+∞,2。

18.解：（Ⅰ）因为,)()(x x

e e

x f ---='=' 所以切线l 的斜率为,t --e 故切线l 的方程为).(t x e e y t t --=---即

0)1(=+-+--t e y x e t t 。

（Ⅱ）令y= 0得x=t+1, x=0得)1(+=-t e y t

所以S （t ）=

)1()1(21+?+-t e t t =t

e t -+2)1(21从而).1)(1(2

1)(t t e t S t +-='- ∵当∈t （0，1）时，)(t S '>0, 当∈t （1,+∞）时,)(t S '<0,所以S(t)的最大值为S(1)=

e

2

。 19．解：()f x 的定义域为32??-+ ???

，

∞． （Ⅰ）224622(21)(1)

()2232323

x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -

<<-时，()0f x '>；当1

12

x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．

从而，()f x 分别在区间3

12

??-- ???

，

，12

??-+ ???

，∞单调增加，在区间112??

-- ??

?

，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144??

-????，的最小值为11

ln 224f ??

-=+ ???

．

又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ????

??-

-=+--=+=- ? ? ?????

??0<．

所以()f x 在区间3144??

-????，的最大值为11

7

ln 4162f ??

=+ ???

． 20.（Ⅰ）解：根据求导法则得.0,2In 21)( x x

a

x x x f +-=' 故,0,2In 2)()( x a x x x xf x F +-='= 于是.0,2

21)( x x

x x x F -=-='

列表如下：

F （2）＝2-2In2+2a . （Ⅱ）证明：由.022In 22)2()(0 a F x F a +-=≥的极小值知， 于是由上表知，对一切.0)()(),,0( x xf x F x '=+∞∈恒有 从而当.,0)(,0)(0）内单调增加在（故时，恒有+∞'x f x f x 所以当.0In 2In 1,0)1()(12

x a x x f x f x +--=即时， 故当.1In 2In 12

+-x a x x x 时，恒有 【课后作业】

一、选择

1-10 DBDAB ACABD 一、填空

11. 520x y +-=； 12.3

8

；13. 32；14. 2 , -2 .

三、解答题 15. 解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3， 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，

所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增， 又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，

因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2． 故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．

16.解（Ⅰ）∵()3

2

f x x bx cx =++，∴()2

32f x x bx c '=++。从而

322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而2

()36g x x '=-，由此可知，

(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间；(是函数()g x 是单调递减区间；

()g x 在x =，()g x 在x =-。

一、解：(Ⅰ)由3

2

()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2）,d=2知,所以 3

2

()2f x x bx cx =+++,f '(x)=3x 2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, f '(-1)=6,

∴326,121,b c b c -+=??

-+-+=?即0,

23,

b c b c -=??-=-?解得b=c=-3。故所求的解析式为f(x)=x 3-3x 2-3x+2,

(Ⅱ) f '(x)=3x 2-6x-3,令3x 2-6x-3=0即x 2-2x-1=0,解得x 12

当, f '(x)>0;当, f '(x)<0

∴f(x)=x 3-3x 2-3x+2在∞)内是增函数,在(-∞内是增函数,在内是减函数. 18.解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为??? ?

?

-=-=230(m)35.44

1218＜＜x x x

h .

故长方体的体积为).2

3

0()

(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=

从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1， 因此x =1.当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜

3

2

时，V ′(x)＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。 从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3。 19．解：（Ⅰ）2

()363(2)f x ax x x ax '=-=-．

因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． （Ⅱ）由题设，x x a ax x g 6)1(3)(2

3

--+=．0)0(=g

当()g x 在区间[02]，

上的最大值为(0)g 时，06)1(32

3

≤--+x x a ax 对一切(]2,0∈x 都成立， 即x x x a 3632++≤

对一切(]2,0∈x 都成立．令x

x x x 36

3)(2++=?，(]2,0∈x ，则[]min )(x a ?≤

由0)

3(6

)2(3)(2

22<+-+-='x x x x ?，可知x x x x 363)(2++=?在(]2,0∈x 上单调递减， 所以[]56)2()(min =

=??x ， 故a 的取值范围是65?

?-∞ ??

?，

（2）当0≠a 时，抛物线6)1(3)(2

--+=x a ax x h 的对称轴为a

a x 2)

1(3--=， 当a<0时，02)

1(3<--

a

a ，有h(0)= -6<0, 所以h(x)在),0(+∞上单调递减，h(x) <0恒成立； 当a>0时,因为h(0)= -6<0,,所以要使h(x)≤0在(]2,0∈x 上恒成立,只需h(2) ≤0成立即可,解得a ≤5

6

;综上，a 的取值范围为65??-∞ ???

，．

20.解：(Ⅰ) f ’(x )＝3x 2+2mx －m 2=(x +m )(3x －m )=0,则x =－m 或x =3

1m , 当x 变化时，f ’(x )与f (x )的变化情况如下表：

从而可知，当x =－m 时，函数f (x )取得极大值9，即f (－m )＝－m

+m +m +1=9,∴m ＝2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f (x )=x 3+2x 2－4x +1,

依题意知f ’(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－31. 又f (－1)＝6，f (－31)＝27

68， 所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1),或y －27

68＝－5(x ＋31

)，即5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0.