x b y ++=
的图象向右平移2个单位
后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么
0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( (答：C)
③函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的
a
1得到的。如（1）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的
13
（纵
坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：(36)f x +)；（2）如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______(答：12
x =-
)．
④函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.
19、函数的对称性。
①满足条件()()f x a f b x +=-的函数的图象关于直线2
a b x +=对称。如已
知二次函数)0()(2
≠+=a bx ax
x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程
x x f =)(有等根，则)(x f ＝_____(答：2
12
x x -
+)；
②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；
③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=；
④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；
⑤点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+；曲线
(,)0f x y =关于直线y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。特
别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为(,)0f y x =；点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=。如己知函数
33(),(23
2
x f x x x -=
≠
-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像
是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是___________（答：
221
x y x +=-
+）；
若f(a －x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=2
b a +对称;两函数y=f(a+x)与
y=f(b-x)图像关于直线x=
2
a b -对称。
提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如（1）已知函数)(1)(R a x
a a x x f ∈--+=。求证：函数)
(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称图形。
⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=。如若函数x x y +=2
与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答：2
76x x ---）
⑦形如(0,)a x b y c a d b c cx d
+=≠≠+的图像是双曲线，对称中心是点(,)d a c c
-。
如已知函数图象C '与2
:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______（答：2）
⑧|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。如（1）作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；（2）若函数
)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称
（答：y 轴）
20.求解抽象函数问题的常用方法是：
为自己的锦绣前程努力奋进，青春会因你的努力而精彩！
（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±； ②幂函数型：2
()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()()()
x f x f y
f y =
；
③指数函数型：()x f x a = ----------()()()f x y f x f y +=，()()()
f x f x y f y -=
；
④对数函数型：()log a f x x = ---()()()f xy f x f y =+，()()()x
f f x f y y
=-；
⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-。
如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-
)2
(T f __（答：0）
21.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数
具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域为B,则f[f -1(x)]=x(x ∈B),f -1
[f(x)]=x(x ∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。
如：已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））； 22、题型方法总结
Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 Ⅱ求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2
()f x a x b x c =++；顶点式：2
()()f x a x m n =-+；零点式：
12()()()f x a x x x x =--）。如已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，
且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：
2
1()212
f x x x =
++）
（2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。如（1）已知
,
s i n )c o s 1(2
x x f =-求()
2
x
f 的解析式（答
：
2
4
2
()2,[f x x x x =-+∈）；（2）若2
2
1)1(x
x
x x f +
=-，则函数
)1(-x f =_____（答：2
23x x -+）；（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且
当),0(+∞∈x 时，)1()(3
x x x f +
=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________
（答：
(1x -
）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义
域应是()g x 的值域。
（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。如（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：
汗水是勤劳，汗水是甘甜知识在于积累
2()33
f x x =--
）；（2）已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，
且()f x +)(x g = 1
1-x ,
则()f x = （答：2
1
x x -）。
Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;
零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x ∈[a,b]时g(x)的值域；
如：若函数)(x f y =的定义域为??
?
?
??2,21
，则)(l og 2
x f 的定义域为__________
（答：{}42|≤≤x x ）；（2）若函数2
(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）． Ⅳ求值域:
①配方法：如：求函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；
②逆求法（反求法）：如：3
13
x x
y =
+通过反解，用y 来表示3x ，再由3x
的取
值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））；
③换元法：如（1）2
2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,
]8
-）；
（2
）2
1y x =++_____（答：[)3,+∞）
t =，0t ≥。
运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
如：2sin 11co s y θθ
-=
+的值域（答：3
(,]2
-∞）；
⑤不等式法
――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值。如设
12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则
2
12
21)(b b a a +的取值范围是
____________.（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求
1(19)y x x x
=-
<<，2
2
9sin 1sin y x x
=+
+
，()3lo g 5y x =--的值域为
______（答：80(0,
)9、11[
,9]2
、[)0,+∞）；
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如（1）已
有志者，事竟成；破釜沉舟，百二秦关终归楚；苦心人，天不负；卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。
知点(,)P x y 在圆22
1x y +=上，求
2
y x +及2y x -的取值范围
（答：[]3
3
-
、
[）；（2）
求函数y =
[10,)+∞）；
⑧判别式法：如（1）求2
1x y x
=
+的值域（答：11,22?
?
-?
??
?
）；（2）
求函数3
y x =+的值域（答：1[0,]2
）如求211
x x y x ++=
+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞ ）
⑨导数法;分离参数法;―如求函数3
2
()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最
小值。（答：－48） 用2种方法求下列函数的值域：①32([1,1])32x y x x +=
∈--②
)0,(,32
-∞∈+-=
x x
x x
y ；③)0,(,1
32
-∞∈-+-=
x x x x
y
⑤解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.⑥恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a ≥f(x)恒成立?a ≥[f(x)]max,;a ≤f(x)恒成立?a ≤[f(x)]min ; ⑦任意定义在R 上函数f （x ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f （x ）＝()()g x h x ＋ 其中g （x ）＝f x f x
2
（）＋（－）
是偶函数，h （x ）＝f x f x
2
（）－（－）
是奇函数
⑦利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=
()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性
是______（答：偶函数）；（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不
等式()c o s f x x <
的解集是_____________（答：
(,1)(0,1)(
,3)2
2
ππ-
- ）；（4）设()f x 的定义域为R +
，对
任意,x y R +
∈，都有()()()x f f x f y y =-，且1x >时，()0f x <，又1
()12
f =，
①求证()f x 为减函数；②解不等式2
()(5)
f x f x ≥-+-.（答：(][)0,14,5 ）．
23、导数几何物理意义:k=f /
(x 0)表示曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。
V ＝s /
(t)表示t 时刻即时速度,a=v ′(t)表示t 时刻加速度。如一物体的运动方程是2
1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）
即使通向成功的道路上没有灯光，我们也要摸索着辨认那紧闭的命运门，然后举起手来咚咚咚地把它敲响！
24、基本公式:m m -10(C );(x )m x (m Q )C ''==∈为常数
25、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数3
()3f x x x =- 过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程（答：30x y +=或
24540x y --=）。
⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f /
(x)≥0得增区间;解不等式f /
(x)≤0得减区间;注意f /
(x)=0的点; 如：设0>a 函数ax x x f -=3
)(在
),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______（答：03a <≤）；
⑶求极值、最值步骤:求导数;求
)(='x f 的根;检验
)
(x f '在根左右两侧符号,若左正
右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：（1）函数
512322
3
+--=x x
x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；15-）；
（2）已知函数3
2
()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b ＋c 有最__值__答：大，152
-
）（3）方程010962
3=-+-x x x 的实根的个数为__（答：1）
特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，
()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，
一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数()322
1f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为____（答：－7） 三、数列、 26、a n ={
)
,2()
1(*
11N n n S S n S n n ∈≥-=- 注意验证a 1是否包含在a n 的公式中。
27、)
*,2(2)(111中项常数｝等差
｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=?=-?-+-
?,,,);0()(2
=+=?+=?B A b a Bn An
s b an a n n 的二次常数项为一次
2
n n -1n 1n 1n
a a a (n 2,n N )a }q ();a 0n
n a a +-?=?≥∈??=?
≠?｛等比定 ?
m ;a a 1
1n =?-=??=?-n
n n q m m s q
如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）
28、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式)0
(0011
???≥≤??
?≤≥++n n n n a a a a 或,或用二次函数处理;(等比前n 项积?)，由此你能求一般数
不要因为一些不应该出现的细微错误丢分只要你认真审题、认真答题，你就会有出色表现。
列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006） 29、等差数列中a n =a 1+(n-1)d;S n =d
n n na 2
)
1(1-+
=d
n n na n
2
)
1(--
=
2
)
(1n a a n +
等比数列中a n = a 1 q n-1
;当q=1,S n =na 1 当q≠1,S n =q
q a n
--1)1(1=
q
q a a n --11
30.常用性质：等差数列中, a n =a m + (n －m)d, n
m a a d n m --=
;当m+n=p+q,a m +a n =a p +a q ；
等比数列中，a n =a m q n-m
; 当m+n=p+q ，a m a n =a p a q ；
如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则
10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则
3132310l o g l o g l o g a a a +++=
（答：10）。
31.常见数列：{a n }、{b n }等差则{ka n +tb n }等差;{a n }、{b n }等比则{ka n }(k ≠0)、?
?
??
?n b 1、{a n b n }、?
????
?n n b a 等比;{a n }等差,则{}n
a
c (c>0)成等比.{b n }(b n >0)等比,则{log c b n }(c>0且c ≠1)等差。
32.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三数可设a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3 (为什么？) 如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
33. 等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列。
等比数列{a n }的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列。
如：公比为-1时，4S 、8S -4S 、12S -8S 、…不成等比数列
34.等差数列{a n },项数2n 时,S 偶-S 奇＝nd;项数2n-1时,S 奇-S 偶＝a n ; 项数为n 2时，则
q
S S =奇
偶;项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.
35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构. 分组法求数列的和：如a n =2n+3n 、错位相减法求和：如a n =(2n-1)2n 、裂项法求和：如求和：111
112
123
123n
+
+
++
=
+++++++ （答：
21
n n +）、倒序相
三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。———《论语》
加法求和：如①求证：01235(21)(1)2n n
n n n n C C C n C n +++++=+ ；②已知
22
()1x
f x x
=
+，则111(1)(2)(3)(4)()()()2
3
4
f f f f f f f ++++++＝___（答：7
2
）
36.求数列{a n }的最大、最小项的方法（函数思想）：
①a n+1-a n =……?????<=>000 如a n = -2n 2+29n-3 ②??
?
??<=>=+111
1 n
n a a (a n >0) 如
a n =n
n
n 10
)1(9+ ③ a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n =
156
2
+n
n
求通项常法: （1）已知数列的前n 项和n s ,求通项n a ，可利用公式:
??
?≥-==-2)
(n S S 1)
(n S a 1n n 1n
如：数列{}n a 满足
122
111252
2
2
n n
a a a n +
++
=+ ，求n a （答：{
1
14,1
2,2
n n n a n +==
≥） （2）先猜后证
（3）递推式为1n a ＋＝n a ＋f(n) (采用累加法)；1n a ＋＝n a ×f(n) (采用累积法)； 如已知数列{}n a 满足11a =，n
n a a n n +
+=
--111(2)
n ≥，则n a =________
（答：1n a =
）
（4）构造法形如1n n a ka b -=+、1n
n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列如①已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1
23
1n n a -=- ）；
（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合
理运用 a n ＝（a n －a n-1）+(a n-1－a n-2)+……＋（a 2－a 1）＋a 1 ； a n ＝11
22
n 1n 1
n n a a a a a a a
－－－?
（6）倒数法形如11n n n a a k a b
--=
+的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知
1111,31
n n n a a a a --==
+，求n a （答：132
n a n =-）；②已知数列满足1a =1
，
=n a （答：2
1n a n
=
）
37、常见和：1123(1)2n n n ++++=+ ，222
112(1)(21)6
n n n n +++=++ ，
明日复明日，明日何其多？我生待明日，万事成蹉跎。———《明日歌》
3333
2
(1)
123[
2
n n n +++++=
四、三角
38、终边相同(β=2k π+α); 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：
211||22
S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈
. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该
扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22
cm ）
39、函数y=++?)sin(?ωx A b （0,0>>A ω）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=
ω
π
2,频率?φ=k π时奇函数;φ=k π+
2
π
时偶函数.③对称轴处y 取最值,对称中心
处值为0;余弦正切可类比. 如（1）函数522y sin x π
??
=-
???
的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数3
1f (x )a x b s in x (a ,b =++为常数），且57f ()=，则
5f ()-=______（答：－5）；（3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心
和对称轴分别是__________、____________（答：12
8
k (
,)(k Z )ππ-
∈、
28
k x (k Z )ππ=
+
∈）；（4）
已知f (x )sin (x )c o s(x )θθ=+++为偶函数，
求θ的值。（答：6
k (k Z )πθπ=+
∈）
④变换:φ正左移负右移；b 正上移负下移;
)
sin()sin(sin 1|
|Φ+=???????→?Φ+=????→?=Φx y x y x y ωω
倍
横坐标伸缩到原来的
左或右平移
)
sin(sin sin |
|
1
Φ+=????→?=???????→?=Φ
x y x y x y ωωω
ω
左或右平移横坐标伸缩到原来的
b
x A y x A y b A +Φ+=????→?Φ+=???????→?)sin()sin(|
|ωω上或下平移
倍
纵坐标伸缩到原来的
40、正弦定理:2R=A a sin =
B
b sin =
C
c sin ; 内切圆半径r=
c
b a S ABC ++?2余弦定理：a 2
=b 2
+c 2
-2bc A
cos
,bc
a
c b A 2cos
2
2
2
-+=
;1
11
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B =
==
术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°＝等
41、同角基本关系：如：已知
11
tan tan -=-αα，则
α
αααcos sin cos 3sin +-＝____；
2cos sin sin
2
++ααα＝_________（答：3
5-
；
5
13）；
42、诱导公式简记:奇变．．偶不变．．．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)． 43、重要公式： 22cos 1sin 2α
α
-=
；22cos 1cos
2
α
α+=
．；
α
αα
αα
αα
s
i n c o s 1c
o s 1s i n c
o s 1c o s 12
t
a n -=
+=
+-±
=;
2
sin
2
cos
)
2sin 2
(cos
sin 12
θθθθθ±=±=
±
如：函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )+
∈的单调递增区间为
___________（答：51212
[k ,k ](k Z )π
π
ππ-
+
∈）
巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，22
αβαβ++=?
，
(
)()2
2
2
αβ
β
α
αβ
+=-
-
-等）
，如（1）已知2tan()5
αβ+=
，1tan (4
4
πβ-
=
，那么tan ()4
πα+
的值是_____（答：
322
）；（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3co s()5
αβ+=-
，则y 与x
的函数关系为______（答：43(
1)5
5
y x x =-
<<）
44、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ
+=
+(其中
tan b a
θ=
)如：（1）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是
______(答：32
-
)；（2）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?=
(答：－2)；
五、平面向量
45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。)、共线向量、相等向量 注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 46、加、减法的平行四边形与三角形法则:AC
BC AB =+;CB
AC AB
=-
47+≤±≤-41、（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：
①0a b a b ⊥??=
；
②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b
，特别地，22,a a a a a =?== ；当a
只有不畏艰难，善于思考，就能拿高分
是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b 、
不反向，0a b ?< 是θ为钝角的必要非充分条件；③||||||a b a b ?≤
。如（1）已知)2,(λλ=→a ，
)2,3(λ=→
b ，如果→
a 与→
b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43
λ<-
或
0λ>且13
λ≠
）；
48、向量b 在a 方向上的投影︱b ︱cos θ
49、
→
1
e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→
→→+=2
211e e a
λλ(21,λλ唯一)
特别：. OP ＝12O A O B λλ+
则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件如平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足
=?→
?OC ?→
??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______
（答：直线AB ）
50、在A B C ?中，①1()3
P G P A P B P C =++
?G 为A B C ?的重心，特别地0P A P B P C P ++=? 为A B C ?的重心；②P A P B P B P C P C P A P ?=?=??
为A B C ?的垂心；
③向量()(0)||
||
A C A
B A B A
C λλ+≠
所在直线过A B C ?的内心(是B A C ∠的角平分线所在直线)；
④||||||0A B P C B C P A C A P B P ++=?
A B C ?的内心；
⑤S ⊿AOB ＝A
B B A y x y x -2
1
;
如：（1）若O 是A B C 所在平面内一点，且满足2O B O C O B O C O A -=+-
，
则A B C 的形状为____（答：直角三角形）；（2）若D 为A B C ?的边B C 的中点，
A B C ?所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++= ，设||
||
A P P D λ=
，则λ的值为
___（答：2）；（3）若点O 是A B C △的外心，且0
O A O B C O ++=
，则A B C △的内
角C 为____（答：120
）； 51、 P 分21P P 的比为λ,则P P 1=λ
2P P ,λ＞0内分;λ＜0且λ≠-1外分.
OP
＝λ
λ++12
1
OP OP
;若λ＝1 则OP ＝
2
1(1
OP +2
OP );设P(x,y),P 1(x 1,y 1),
100℅的付出，就有100℅的成功
P 2(x 2,y 2)则???
????++=++=.
1,12121λλλλy y y x x x ;中点???????+=+=2,22121y y y x x x 重心???????++=++=3y y y y ,3
x x x x 321321
52、点),(y x P 按),(k h a =
平移得)
,(y x P ''',则P P ' ＝a
或??
?+='+='k
y y h x x 函数)(x f y =按
)
,(k h a =
平移得函数方程为：)(h x f k y -=-如（1）按向量a
把(2,3)-平移到(1,2)-，
则按向量a
把点(7,2)-平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数x y 2sin =的
图象按向量→
a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→
a ＝________（答：
)1,4
(π-
）
六、不等式
53、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，则
b
a 11>。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改
变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；
54、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较
2
1
log
log
21+t t a
a
和的大小（答：当1a >时，
11lo g lo g 2
2
a a
t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，1
1lo g lo g 2
2
a a
t t +≥（1
t =时取等号））；（2）设2a >，12
p a a =+
-，2
42
2
-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：
p q >）
55、常用不等式：若0,>b a ，（1
22
11a b a b
+≥≥
≥
+（当且仅当
b a =时取等号） ；（2）a 、b 、
c ∈R ，
2
2
2
a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则
b b m a
a m
+<
+（糖水的浓度问题）。
百练百胜，高考大捷
如：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）
基本变形：①≥+b a ；≥+2
2
(
b a ；
注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数)2
1(4294>
--
=x x
x y 的最小值 。（答：8）
②若若21x y +=，则24x
y
+的最小值是______
（答：； ③正数,x y 满足21x y +=，则y
x
11+
的最小值为______
（答：3+；
56、
b
a b a b a +≤±≤-(何时取等？)；|a|≥a ；|a|≥－a
57、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。⑤放缩法方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12
；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )
2
5
lg 3lg (
5lg 3log 2
=<=+
2
)
1()1(++<
+n n n n
⑷利用常用结论： Ⅰ、k k k k k 2
1111<+
+=
-
+；
Ⅱ、k
k k k k
11
1)1(112
--=
-<
； 1
11)
1(112
+-
=
+>
k k
k k k
（程度大）
Ⅲ、
)1
11
1
(
21
)
1)(1(1
1
112
2
+--=
+-=
-<
k k k k k
k
； （程度小）
⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：
已知2
22a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；
已知12
2≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；
已知12
22
2=+
b y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；
已知12
22
2=-b y
a x
，可设θθtan ,sec b y a x ==；
人生能有几回搏，此时不搏待何时
⑦最值法,如：a>f max (x),则a>f(x)恒成立.
58、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方
④公式法：|f(x)|>g(x)? ;|f(x)|如（1）解不等式3
2
(3)(1)(2)0x x x +-+≥。（答：{|13x x x ≥≤-或或2}x =-）；
（2）解不等式
2
()1
a x
x a R a x >∈-（答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a
>
或0}x <；0a <时，1{|
0}x x a
<<或0}x <）
七、立几
60. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α、a ∩α=A (a ?α) 、a ?α③平面与平面:α∥β、α∩β=a
61. 常用定理:①线面平行α
αα////a a b b a ???
?
??
??;αββα////a a ??
??
?;ααββα//a a a ???
?
??
?⊥⊥
②线线平行:b
a b a a ////???
???
=??βαβα
;
b a b a //??
??
⊥⊥αα;b a b a ////???
???
=?=?γβγαβ
α;b
c c a b a //////?
?
??
③面面平行:β
αββαα////,//,???
?
??
=???b a O b a b a ;
βαβα//??
??
⊥⊥a a ;
γ
αβγβα//////??
??
④线线垂直:b
a b a ⊥?????⊥αα;所成角900
；
PA a AO a a PO ⊥???
?
??
⊥?⊥αα(三垂线);逆定理?
⑤线面垂直:α
αα⊥???
?
??
⊥⊥=???l b l a l O
b a b a ,,;βαβ
αβ
α⊥???
?
??
⊥?=?⊥a l a a l ,;βαβ
α⊥??
??
⊥a a //;αα⊥??
??
⊥b a b
a //
⑥面面垂直：二面角900
;
β
ααβ⊥??
??
⊥?a a ;
βααβ⊥??
??
⊥a a //
62. 求空间角①异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,
2
πθ∈；（2）求法：平
移以及补形法、向量法。如（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于____（答：
3
3）；（2）
在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1
选择题力求一遍准确不回头（一般也没时间检查），因此读题要细心，争取读两遍以上题后再下笔，以免忙中出错，按要求解答，选择前最好再读一遍题，免得答非所问，要是再念一遍题就会避免这
上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]
；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如（1）在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，BD=1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为______（答：arcsin
4
6）；（2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的
中点，则棱 A 1B 1 与截面A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：
13
）；③二面
角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法： co s S S θ?射原＝、转化为法向量的夹角。如（1）正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角B-A 1C-A 的大小为________（答：60
）；（2）正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1所成的为30°，则二面角C 1—BD 1—B 1的大小为______
（答：
arcsin
3
）；（3）从点P 出发引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是60°，
则二面角B-PA-C 的余弦值是______（答：13
）；
63. 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系
三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)?顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S 侧cos θ=S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?;
64. 空间距离:①异面直线间距离:找公垂线; ②平行线与面间距离(两平行面间距
离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法P A n
h n
?=
.③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;
65. 求球面两点A 、B 距离①求|AB|②算球心角∠AOB 弧度数③用公式L 球面距离=θ
球心
角
×R;纬线半径r ＝Rcos 纬度。S 球=4πR 2
;V 球＝
3
4πR 3
;
66. 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;
67. 从点O 引射线OA 、OB 、OC,若∠AOB=∠AOC,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上;若A 到OB 与OC 距离相等,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上； 68. 常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行?线面平行?面面平行⑥线线垂直?线
对于运算复杂的题，你感觉三五分钟无法算出，就是会做，也不能浪费过多时间，比如2000年选面垂直?面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.
69.三面角公式:AB 和平面所成角是θ,AB 在平面内射影为AO,AC 在平面内,设∠CAO=α,∠BAC=β,则cos β=cos θcos α;长方体:
对角线长l =若长方体的
体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α,β,γ,则有cos 2α+cos 2β+cos
2
γ=1;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α,β,γ,则cos 2α+cos 2
β
+cos 2
γ=2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长;
特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：
八、解几
70.倾斜角α∈[0,π],α=900
斜率不存在;斜率k=tan α=
1
212x x y y --
71.直线方程:点斜式 y-y 1=k(x-x 1);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0 两点式:
1
211
21x x x x y y y y --=--;截距式:
1
=+
b
y a
x (a ≠0;b ≠0);求直线方程时要防止由于
零截距和无斜率造成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为a =(A,-B)
72.两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2则l 1∥l 2?k 1∥k 2,b 1≠b 2;l 1⊥l 2?k 1k 2=-1
②若l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0； ③若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零l 1∥l 2?2
12
12
1C C B B A A ≠
=
;
④l 1∥l 2则化为同x 、y 系数后距离d=2
2
21||B
A C C +-
73.l 1到l 2的角tan θ=
1
2121k k k k +-;夹角tan θ=|
1
2121k k k k +-|;点线距d=2
2
00
||B
A C By Ax
+++;
74.圆:标准方程(x －a)2
+(y －b)2
=r 2
;一般方程:x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2
-4F>0) 参数方程:??
?+=+=θ
θsin r b y cos r a x ;直径式方程(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0
75.若(x 0-a)2
+(y 0-b)2
(=r 2
,>r 2
),则 P(x 0,y 0)在圆(x-a)2
+(y-b)2
=r 2
内(上、外) 76.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt △解决弦长问题，又:ｄ>r ?相离;d=r ?相切;d77.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d>r+R ?两圆相离;d ＝r+R ?两圆相外切;|R －r|78.把两圆x 2+y 2+D 1x+E 1y+C 1=0与x 2+y 2
+D 2x+E 2y+C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(C 1-C 2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f 1(x,y)=0与曲线f 2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0
线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面
←→?←→??→??←→?←→?←?
??←→?←→?
按常规方法10分钟也难以求出，这时就该用特殊位置法求解，一分钟就够了，即按垂直于轴的情况来算，这类题往往用特殊值法、特殊图形，用选择支验证等方法大多能事半功倍
79.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 80.椭圆①方程
1b
y a
x 2
22
2=+
(a>b>0);参数方程??
?==θθ
sin b y cos a x ②定义:
相应
d |PF |=e<1;
|PF 1|+|PF 2|=2a>2c ③e=2
2a
b 1a
c
-
=
,a 2=b 2+c 2
④长轴长为2a ，短轴长为2b ⑤焦半径左
PF 1=a+ex,右PF 2=a-ex;左焦点弦)
x x (e a 2AB B A ++=,右焦点弦)
x x (e a 2AB
B A +-=⑥
准线x=c
a
2
±
、通径(最短焦点弦)
a
b 22
,焦准距p=c
b 2
⑦2
1F PF S ?=2
tan
b 2θ,当P 为短轴端
点时∠PF 1F 2最大,近地a-c 远地a+c; 81.双曲线①方程1b
y a
x 2
22
2=-
(a,b>0)②定义:
相应
d |PF |=e>1;||PF 1|-|PF 2||=2a<2c ③
e=2
2a
b 1a c
+
=
,c 2
=a 2
+b 2
④四点坐标？x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、
焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离⑥准线x=c
a
2
±
、通径(最短焦点弦)
a
b 22
,焦准距p=
c
b
2
⑦2
1F PF S ?=2
cot
b 2θ⑧渐进线
b
y a
x 2
22
2=-
或x
a b y ±
=;焦点到渐进线距离为b; 13.抛物线①方程y 2
=2px ②定
义:|PF|=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围?轴？焦点F(2
p ,0),准线x=-2
p ,④焦半径2
p x AF
A +
=;焦点弦
AB
＝x 1+x 2+p;y 1y 2=－p 2
,x 1x 2=
4
2
p
其中
A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)⑤通径2p,焦准距p;
105. B>0,Ax+By+C>0表示直线斜上侧区域;Ax+By+C<0表示直线斜下侧区域;
A>0,Ax+By+C>0表示直线斜右侧区域;Ax+By+C<0表示直线斜左侧区域; 求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系.
82.过圆x 2+y 2=r 2上点P(x 0,y 0)的切线为:x 0x+y 0y=r 2;过圆x 2+y 2=r 2
外点P(x 0,y 0)作切
线后切点弦方程:x 0x+y 0y=r 2
;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.
83.对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x 、y=-x 、y=x+m 、y=-x+m 的对称点分别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m 、a+m)、(-b+m 、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x 对称曲线为f(y,x)=0;关于轴x=a 对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题.
84.相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式
|
a |)
k 1(x x k
1AB x x 2
122
?+=
-?+=
122
y y k
11-?+
=|
a |)
k
11(y y 2
?+
=
②涉及弦中点与斜率问题
填空题得分率往往偏低，这就要求考生要细心演算，草纸写的要有条理，好发现错误，最忌讳填的不到位，不规范，比如一动直线与一线段相交，求系数a 的范围，我们一般借助数形结合求解，
常用“点差法”.如: 曲线1
b
y a
x 2
22
2
=±
(a,b>0)上A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)中点为M(x 0,y 0),
则K AB K OM =2
2a
b
;对抛物线y 2
=2px(p ≠0)有K AB ＝
2
1y y p 2+
85.轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x 1,y 1)而变化,Q(x 1,y 1)在已知曲线上,用x 、y 表示x 1、y 1,再将x 1、y 1代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等.
86.解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax 2
+Bx 2
＝1;共渐进线x a
b y ±=的双曲线标准方程
可设为
λλ(b
y a
x 2
22
2=-
为参数,λ
≠0);抛物线y 2
=2px 上点可设为(
p
2y 2
,y 0);直线的另一
种假设为x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义. 87、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=
；
（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;
（3）给出0
=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;
（4）给出()
BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知,A B 与P Q 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,A B A C λλ=
使；③若
存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+
且使,等于已知C B A ,,三点共线.
（6） 给出λ
λ++=
1OB OA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即
PB AP λ=
（7） 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出
0<=?m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m MB MA ,等于已知
AMB ∠是锐角,
（8）
给出MP MB MA =?
? ??+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+AD AB AD AB ，等于已知
ABCD 是菱形;
（10） 在平行四边形ABCD
中，给出||||A B A D A B A D +=-
，等于已知
ABCD 是矩形;
（11）在ABC ?中，给出2
2
2
OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
