【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：10.12 独立重复试验与二项分布]

10．12 独立重复试验与二项分布

一、选择题

1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4

5

，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概

率是( )

A.12125

B.16125

C.48125

D.96125

解析：由独立重复试验的概率公式得P 3(2)＝C 23????452·????1－45＝48125

. 答案：C

2．从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )

A.18

B.14

C.25

D.12

解析：P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝C 22

C 23＋C 22＝14，故选B. 答案：B

3．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的

方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1

2

，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概

率是( )

A.????125 B ．C 25???

?125 C ．C 35????123

D ．C 25C 15???

?125 解析：质点在5次运动过程中必然向右运动两次，向上运动3次，由于每次向右、向上

的概率都是12

，故所求概率为C 25????125或C 35????125. 答案：B

4．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，δ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2

解析：由P (ξ＜4)＝0.8知P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2，故P (0＜ξ＜2)＝0.3.故选C. 答案：C

5．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列

{a n }：a n ＝?

????

－1，(第n 次摸取红球)，

1，(第n 次摸取白球)，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为

( )

A ．C 57????132·????235

B ．

C 27????232·???

?135 C ．C 57????132·????135 D ．C 37????132·???

?232 解析：由S 7＝3知在7次摸球中有两次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13

，则S 7＝3的概率为C 27????232·????135

. 答案：B

6．从甲袋内摸出1个红球的概率是13，从乙袋内摸出1个红球的概率是1

2

，从两袋内各

摸出1个球，则2

3

是( )

A ．两个球不都是红球的概率

B ．两个球都是红球的概率

C ．至少有1个红球的概率

D ．两个球中恰好有1个红球的概率

解析：A 项中，P ＝1－13×12＝5

6

.

B 项中，P ＝13×12＝1

6

，

C 项中，P ＝1－????1－12????1－13＝23

， D 项中，P ＝1

3×????1－12＋????1－13×12＝12

. 答案：C 二、填空题

7．设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3

10

，在事件A 发生的条件下，

事件B 发生的概率为1

2

，事件A 发生的概率为__________．

解析：由题意知：P (AB )＝310，P (B |A )＝1

2

，

∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝3

1012

＝3

5

.

答案：35

8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为__________．

解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.

根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

答案：0.72

9．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________．(精确到0.01)

解析：P ＝C 35×(0.80)3×(0.20)2＋C 45×(0.80)4×0.20＋(0.80)5

≈0.94. 答案：0.94 三、解答题 10．某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿(假设每辆车最多只赔

偿一次)，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，1

11

，且各车是否发生事故

相互独立，求一年内该单位在此保险中：

(1)获赔的概率；

(2)获赔金额X 的分布列．

解析：设A k 表示第k (k ＝1,2,3)辆车在一年内发生此种事故，由题意知A 1，A 2，A 3相互

独立，且P (A 1)＝19，P (A 2)＝110，P (A 3)＝1

11

.

(1)该单位一年内获赔的概率为：

1－P (A 1A 2A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)

＝1－89×910×1011

＝311

. (2)X 的所有可能取值为0,9 000,18 000,27 000. P (X ＝0)＝P (A 1A 2

A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)

＝89×910×1011＝811

. P (X ＝9 000)＝P (A 1A

2

A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A

1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111＝11

45

. P (X ＝18 000)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A

2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝19×110×1011＋19×910×111＋89×110×111＝3

110

. P (X ＝27 000)＝P (A 1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×111＝1990. ∴X

11.名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．

解析：(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题意知，A 与B 相互独立，且P (A )＝0.6，P (B )＝0.75.

所以，该下岗人员没有参加过培训的概率为 P (AB )＝P (A )·P (B )＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. 所以该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.

(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布，即ξ～B (3,0.9)，

P (ξ＝k )＝C k 30.9k ×0.13－k

，k ＝0,1,2,3， 所以ξ的分布列是12.某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是1

2

，构造数列{a n }，使a n ＝

?

????

1 当第n 次出现正面时－1 当第n 次出现反面时，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *) (1)求S 8＝2时的概率；

(2)求S 2≠0且S 8＝2时的概率．

解析：(1)设出现正面的次数为X ，则X ～B ???

?n ，12， 由S 8＝2知：X ＝5，于是S 8＝2的概率为：

P (X ＝5)＝C 58·????125????1－123＝C 58·????128＝732

. (2)S 2≠0即前两次掷硬币，有两次正面或两次反面，于是S 2≠0时，前两次是正面的概率为：

P 1＝????122C 36·????126＝C 36

????128

＝20256，

前两次是反面的概率为：P 2＝????122C 56????126＝6

256 故S 2≠0且S 8＝2时的概率为：

P ＝P 1＋P 2＝26256＝13

128.