北师大版八年级上册数学第四章一次函数的复习专题

第四章：一次函数

一、基本概念

（一）变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vt

s=中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量

是________，常量是_________.

（二）函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把

y称为因变量，y是x的函数。

（三）如何判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应练习：1、下列四个图形中，不能表示y是x的函数的是（）

2、下列变量之间的关系：（1）多边形的对角线条数与边数；（2）三角形

面积与它的底边长；（3）x-y=3中的x与y；（4）3

2-

=x

y中的y与x；

（5）圆面积与圆的半径。其中成函数关系的有（）．

A．2个 B.3个 C.4个 D.5个

（四）如何判断一个函数是否为一次函数：

（1）右边是关于x的整式

（2）自变量x的次数为1

（3）自变量x的系数0

≠

k

练习：1、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1

x

(4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次

函数的有（）

（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个

2、下列函数中，x 是自变量，y 是x 的函数，哪些是一次函数？

（1）x y 3=；（2）x

y 3-=；（3）13+-=x y ；（4）2x y = 3、已知3)1(+-=k x k y 是x 的一次函数，那么k= .

4、下列函数：①x 3y π=、②6x 8y -=、③x 1y =、④x 821y -=、⑤1x 4x 5y 2+-=中 是一次函数的有 ；是正比例函数的有 （只填序号）

5、有下列函数：①3x y -=、②x

8y -=、③、)x 81(x x 8y 2-+=、④6x y +=、⑤x 43y -=、 ⑥5x 2y 2-=中是一次函数的有 ；是正比例函数的有 （只填序号）

6、若函数m 5x )2m (y -+-=是一次函数，则m ；若此函数是正比例函数，则

m

7、已知函数：m 21x )10m (y -+-=

①m 为何值时，这个函数是一次函数？ ②m 为何值时，这个函数是正比例函数？

解：①根据一次函数的定义，可得m-10 0，

所以当 时，这个函数是一次函数。

②根据正比例函数的定义，可得m-10 0且1-2m 0;

所以当 时，这个函数是正比例函数

8、当m 为何值时，函数)4()2(32-+--=-m x m y m 是一次函数？

（五）如何判断一个函数是正比例函数：

（1）自变量的次数为1

（2）自变量的系数0≠k

（3）常数项0=b

练习：1、某函数x x m y +-=2)13(（m 是常数）是关于x 的正比例函数，则下列判断正确的 是（ ）

A 、31>

m B 、31=m C 、3

1

2、若12+y 与5-x 成正比例，则（ ）

A 、y 是x 的一次函数

B 、y 与x 没有函数关系

C 、y 是x 的函数，但不是一次函数

D 、y 是x 的正比例函数

3、下列函数是正比例函数的是（ ）

A 、x y 8-=

B 、x

y 8-= C 、652+=x y D 、15.0--=x y 4、函数12-+-=m x mx y ，当m 取 时，它是正比例函数

4、当m 取何值时，)2(32++=-m x y m

是正比例函数？

（六）函数自变量的取值范围：

⑴整式：自变量取一切实数；

⑵分式：分母不为零；

⑶偶次方根：被开方数为非负数；

⑷零指数与负整数指数幂：底数不为零；

⑸在实际问题中，自变量的取值范围必须保证每个量都有意义。

例题：一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg 物体后，弹簧总长是13.5cm ，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm ，求自变量x 的取值范围.

分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.

解：由题意设所求函数为y=kx+12

则13.5=3k+12，得k=0.5

∴所求函数解析式为y=0.5x+12

由23=0.5x+12得：x=22

∴自变量x 的取值范围是0≤x ≤22

练习：1、下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）

A 、、

、 D 、

2、下列函数中自变量的取值范围是全体实数的是（ ）

A 、841-=

x y B 、275+=x y C 、x y = D 、1

12-=x y 3、已知函数22

1+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2325≤<-y B.2523<

+=x x y 中的自变量x 的取值范围是（ ） A 、0≥x B 、1-≠x C 、0>x D 、0≥x 且1-≠x

4、函数y =x 的取值范围是___________

5、函数2

1-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是 （七）函数解析式（表达式/关系式）：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做 解析式。

（八）函数的表示方法

⑴列表法：用 列出自变量与因变量的对应值，表示两个变量之间的关系。

⑵关系式法：用 表示两个变量之间的函数关系。

⑶图象法：用 表示两个变量之间的函数关系。

函数的三种表示方法的优缺点是什么？

⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。

⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。

⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。

（九）函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

（十）描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标， 描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

二、一次函数与正比例函数的图象及性质

1、正比例函数 表达式：y=kx （0≠k ）

图象：过（0，0）、（1，k ）两点的一条直线

性质：（1）当k>0时，图像经过一、三象限，y 随x 的增大而增大

（2）当k<0时，图像经过二、四象限，

表达式的确定：待定系数法：设、代、求、写

倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴

2、一次函数

y=kx ＋b(k,b 是常数，k ≠0)

当x=0时，b 为函数在y 轴上的截距。

图象：过（0，b ）和（-

k

b ，0）两点的一条直线 一次函数与 y 轴交点的坐标总是（0，b)， x 轴总是交于（k

b -，0） 性质：（1）????>>0

0b k 直线经过第一、二、三象限

（2）??

??<>00b k 直线经过第一、三、四象限 y 随x 的增大而增大 （3）????><0

0b k 直线经过第一、二、四象限

（4）??

??<<00b k 直线经过第二、三、四象限 y 随x 的增大而减小 表达式的确定：待定系数法：设、代、求、写

倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.

图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位得到y=kx ＋b ；

当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位得到y=kx ＋b 。

3、直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系

（1）k 1=k 2且b 1=b 2 两直线重合；

（2）k 1=k 2且b 1 ≠b 2 两直线平行；

（3）k 1≠k 2且b 1 ≠b 2 两直线相交；

（4）k 1≠k 2 b 1=b 2两直线相交于y 轴上即点（0，b ）：

三、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），.即横坐标或纵坐标为0的点.

四、巩固练习

1、已知正比例函数(35)

y m x

=+，则当m______________时；y随x的增大而减小。

当m 时，y随x的增大而增大.

2、已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且

y1>y2，则x1与x2的大小关系是（）

A. x1>x2

B. x1

C. x1=x2

D.无法确定

3、一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

4、若23

y x b

=+-是正比例函数，则b的值是（）

A.0

B.2

3

C.

2

3

- D.

3

2

-

5、函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )

A.0

<

k B.1

>

k C.1

≤

k D.1

<

k

6、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函

数关系式是_______________．

7、平行四边形相邻的两边长为x 、y ，周长是30，则y 与x 的函数关系式是 __________．

8、若关于x 的函数1(1)m y n x -=+是一次函数，则m = ，n .

9、函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

10、若直线a x y +-=和直线b x y +=的交点坐标为(8,m ),则=+b a ____________.

11、已知函数y ＝3x +1，当自变量增加m 时，相应的函数值增加（ ）

Ａ．3m +1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m －1

12、若m ＜0, n ＞0, 则一次函数y=mx+n 的图象不经过 （ ）

A.第一象限

B. 第二象限

C.第三象限

D.第四象限

13、一条直线b kx y +=，其中6,5=-=+kb b k ，那么该直线经过（ ）

A 、第二、四象限

B 、第一、二、三象限

C 、第一、三象限

D 、第二、三、四象限

14、判断点A （2，4），B （-2，5）是否在函数y=3x-2的图象上。

解：当x=2时，y= ； 当x=-2时，y= ≠ 。

所以点A （2，4） ；

点B （-2，5） 。

15、已知点A （a+2，1-a ）在函数y=2x+1的图象上，求a 的值。

（分析：因为点A 在函数y=2x+1的图象上，所以点A 的坐标满足函数的关系式，即将x=a+2，y=1-a 代入中，即可求出a 的值）

解：根据题意得，

解得：a= 。

16、下列各点：（1，2）、（-2，1）、（1，-2）、（-1，2

1），在函数y=2x 图象上的有： 。 17、一次函数y=-3x-4与x 轴交于 ，与y 轴交于 。

18、已知一次函数y=3x+1经过点（a ，1）和点（-2，b ），则a= ，b= 。

19、函数y=2x和y=ax+4的图象交于点A（m，3）则a的值为。

20、已知直线y=-2x+4，它与x轴的交点为A，与y轴的交点为B。

（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积（O为坐标原点）；（3）求点O到AB的距离

（提示：点在坐标轴上，纵（横）为0，从而可得A、B的坐标；再求出OA、OB的长度，从而得面积；再根据面积相等可得点O到AB的距离）

解：

21、若一次函数y=-x+b的图象经过点（0，-3），求b的值．

22、若函数y=-2mx-（m2-9）的图象经过原点，求m的值．

23、求直线y=2x+4与x轴和y轴的交点坐标．

24、已知y=-2x-1的图象上有一点P（-1，k），求点P到x轴，y轴的距离．

五、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数表达式。（1）设——设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）代——因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和 y2=kx2+b ……②

（3）求——解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）写——最后得到一次函数的表达式。

练习：1、已知一次函数y ＝kx+b 的图象经过点（－2，5），并且与y 轴相交于点P ，直线y ＝2

1-x+3与y 轴相交于点Q ，点Q 恰与点P 关于x 轴对称，求这个一次函数的表达式。

2、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y 元是行李质量x (千克)的一次函数，其图象如下图所示．

(1)写出y 与x 之间的函数关系式；

(2)旅客最多可免费携带多少千克行李？

3、 已知一次函数的图象经过点（2，1）和（－1，－3）。

（1）求此一次函数的解析式；

（2）求此一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积；

（3）若一条直线与此一次函数的图象相交于（－2，a ）且与y 轴交点的纵坐标为5，求这条直线的解析式。

4、已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图像过点（0,2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式。

5、已知正比例函数的图象经过点A （-2，-3），求正比例函数的表达式。

6、已知y 是x 的一次函数，并且当0=x 时，1=y ；当2=x 时，3=y ，求它的表达式。

7、已知直线y=kx+b 经过点（1，2）和点（-1，4）

（1）求这条直线的解析式；

（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（3）求图象与坐标轴围成的三角形的面积。

8、在弹性限度内，弹簧的长度y （cm ）是所挂物体质量x （kg ）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长为9cm ；当所挂物体的质量为3kg 时，弹簧长为12cm 。写出y 与x 之间的关系式，并求出所挂物体的质量为6kg 时弹簧的长度。

9、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2x 3

2y 1+-=与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线b kx y 2+=经过点C （1，0）且与线段AB 交于点P ，并把△ABO 分成两部分。

⑴求△ABO 的面积；

⑵若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等，求点P 的坐标及直线

CP 的函数表达式。

10、如图，矩形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、C 两点的坐标分别为（3，0）、（0，5）。

（1）直接写出B 点坐标；

（2）若过点C 的直线CD 交AB 边于点D ，且把矩形OABC 的周长分为1∶3两部分，求直线CD 的解析式；