电-力-声 类比

电－力－声类比

引言：电－力－声类比是应用电路理论来解决力学与声学问题。

定义：根据描述电振荡系统的微分方程和描述力学振动系统及声振动系统的微分方程在形式上的相似性，常将力学量和声学量与相应的电学量作类比，以便借助电路理论来分析力学振动和声振动的规律，称电－力－声类比。

类比方法有二种：一种为阻抗型类比，也称正类比；另一种为导纳型类比，也称反类比。§5-1电路元件及基本的电振荡器

在电学系统的分析中，经常用电路图来描述元件与元件之间的关系，从而研究电磁运动的规律。通过电路分析，有时不必去求解微分方程，而能直接了解系统的工作情况和特点。即使要作定量分析研究，通过形象的电路图，利用克希霍夫电路定律，再去建立微分方程，也要简单得多。

电路图最容易应用于集中参数的系统，因为集中参数元件的唯一变量是时间。在电声学研究的系统中（如电声换能器），在低频时，大都近似地等效成集中参数系统，只要采用类比的办法，把力学或声学系统画成等效类比线路图，然后利用电路理论来研究系统的工作情况和特点。

1.基本电路元件：

电容元件：

瞬态：E＝

1

C e

∫I dt I＝Ｃe

dE

dt

E

瞬态：E= L e

dI

dt I=

1

L e∫E dt

电阻抗：Z e＝

E

I

2.基本的电振荡器：

（1）串联谐振电路：

I R L

如左图：I－电流（安培），E－电压（伏特）

e

Lｅ－电感（享利），Ｃｅ－电容（法拉），Rｅ－电阻（欧姆）

由上图可得：E ＝

R ｅI ＋ L e dI dt + 1

C e

∫I dt

对于作简谐变化的稳态电流值有：I ＝ I 0 e j ωt

则：E ＝R e I + jωL e I +

1jωC e I=(R e + jωL e + 1

jωC e ) I = Z e I

式中Z e 为串联回路的阻抗 I ＝

E

Z e

即为熟知的欧姆定律 （2）并联谐振电路

I '－为电流（安培），E '

－为电压（伏特）， E '

ｅ

'

L ｅ'

－为电感（享利），Ｃｅ

'

－为电容（法特）， ○ R ｅ'－为电阻（欧姆）

由上图可得：I '

＝E 'R e

' + 1L e ' ∫E 'dt +C e ' dE '

dt 对于作简谐变化的电压有：E '=E 0' e

jωt

则：I '

=E '

R e ' +1jωL e ' E '+ jωC e 'E ' = (1R e ' + 1jωL e 1 + jωC e ')E ' = 1Z e ' E '

1Z e ' =(1R e ' +1jωL e ' + jωC e ') = 1R e ' + j(ωC e '－1 ωL e

' )

§5-2力学元件和基本的力学振动系统： 1.力学元件：

F 表示外力 F K 表示弹性力 F R 表示阻力 M M 表示质点质量 K M 表示弹性系数 C M 表示顺性系数 R M

C M ＝1

K M 又称为力顺 R M 表示阻力系数，又称为力阻

由牛顿第二定律得：F = ma

即M M

dv

dt = F + F K + F R

其中：①弹性力：F K 根据虎克定律有：F K =－K M ξ=－1

C M

∫Vdt ξ为质点M M 离开平衡位置的位移，V 为质点振动速度,

负号表示质点移的方向与弹性力方向相反 ②阻力：

F R =－R M dξ

dt =－R M V 式中负号表示阻力总是与系统的运动方向相反。

∴M dv dt = F －1

C M ∫Vdt －R M V

∴F= M M dv dt + R M V + 1

C M

∫Vdt

F I '

C M

E

'

C e

'

并联谐振电路相比较：

与并联谐振电路比较I '

＝

E 'R e ' + 1L e

' ∫E 'dt + C e

'dE

'

dt F －I '，V －E '，M M －C e '，R M －1R e

' ，C M －L e '

对简谐作用力F ＝F 0 e

jωt

F ＝M M jωv + R M V + 1jωC M V = ( R M + j ωM M + 1

jωC M )V = Z M V

式中Z M ＝ R M + jωM M + 1

jωC M 称为力阻抗

R M 为力阻，jωM M 称为质量抗，1

jωC M

称为弹性抗

§5-3两种力电类比及其相互转换：

串联谐振回路 并联谐振回路

L e dI dt +R e I + 1C e ∫I dt = E = Z e I C e dE dt + E R e + 1L e

∫Edt = I =

1Z e E

+ 阻抗型类比 － 导纳型类比

M M dv dt + R M V + 1C M ∫

Vdt = F = Z M V 力学系统 1.阻抗型类比：

比较上面三个方程式：若把力阻抗Z M 类比于电阻抗Z ｅ，称为阻抗型类比。对应类

比关系：F －E ，R M －R ｅ，M M －L ｅ，C M －C ｅ

由此可得出力学振动系统的阻抗型类比线路图。 F(E) C M (C ｅ)

由图运用电路克希霍夫定律可直接列出方程。

而不必用力平衡的方法来得出。 串联谐振回路 2.导纳型类比

对并联谐振电路有： F （I ）

C e dE dt +E Re +1L e ∫E dt = I= 1

Z e

E ｅ

(C M )

∴ I '

= (1R e ' + 1jωL e

' + jωC e ')E '= 1Z e E 并联谐振回路

对力学振动系统有：M M

dv dt + R M V+ 1

C M ∫

V dt =F = Z M V ∴ E ＝(R M + jωM M + 1

jωC M

)V= Z M V

把力阻抗Z M 类比于电导纳1

Z e

' 称为导纳型类比

即F －I '

，V 类比于E '

，R M －1R e

' ，M M －Ｃｅ

' , C M －L ｅ'

由此可得出力学振动系统的导纳型类比线路图：

E '

ｅ'

M 3.转换法则：

一个力学振动系统，既可以画成阻抗型的类比线路，也可以画成导纳型的类 比线路，而这两种类比线路所描述的却是同一物理事实。 其转换法则：

（1）一种类比图中的串（并）联元件，变为另一种类比图中的并（串）联元件。 （2）一种类比图中的电阻（电导）性元件，变为另一种类比图中的电导（电阻） 性元件。

一种类比图中的电感（电容）性元件，变为另一种类比图中的电容（电感） 性元件。

电压（电流）源变为电流（电压）源。

（3）一种类比线路的网孔中，各串联元件上各降落之和，相当于另一种类比线 路中一个分支点的流量之和。 §5-4力学线路图的画法

阻抗型电路图 导纳型力学线路图

①电流线把各个元件贯穿 ①力线把各个元件贯穿起来形 在一起，形成电路图； 成力学线路图

②电位的相对性：跨在元 ②速度的相对性：跨在力学元 件两端的量是电位差，其 件两端的量是速度差，因为 零电位端即接地端； 力学系统的运动速度相对于

惯性坐标系的，因此，速度 为零的一端是接地端。

③在电流分叉点Σ

n i=1

I i =0符 ③在力的作用点，符合动力

合克希霍夫第一定律。 学平衡条件，即：Σ

n i=1

F i =0

根据以上三点分析，可仿效电路图的画法来画出力学系统的类比线路图。应当指 出，用力线和电流线的类比作出的力学线路图，必然是导纳型的。如果需要作出阻抗 型的力学线路，则当需按法则进行转换。

【例1】单振子强迫振动系统在外力F 作用下，试求解这个系统的运动。

M

V=0导纳型类比图

我们从外力F（即恒流源）出发，引出一条力线，力线到达M M时分成三支，分别与三个力相平衡：一支穿过M M，与惯性力相平衡终止于刚性壁（因元件的速度都是相对于惯性坐标系的，所以力线穿过元件M M到达零速度的刚性壁）另一支穿过力阻元件R M，与摩擦力相平衡，终止于刚性壁（力阻R M与质量M M 一起运动，因而其速度也是相对于惯性坐标系的）；还有一支穿过弹簧C M与弹性力相平衡，终止于刚性壁（力顺元件C M的速度也是相对于惯性坐标系的）这三条分支线最后都汇合于刚性壁，即都联接于“接地端”。

从物理上来看，质量M M，力阻R M，力顺C M三个元件的速度都相同，因此它们在导纳型类比线路图中应是并联的。

由导纳型类比图可得：

V

1

jωM M

+

V

1

R M

+

V

jωC M= F

M M(jωv) + R M V +

1

C M

V

jω= F

M M

dv

dt+ R M V +

1

C M∫V dt = F0e

jωt

由类比线路图得到的是代数方程组，求解代数方程比解微分方程容易得多。

【例2】隔振系统

外力F作用弹簧的一端，从F出发引

一条力线，穿过C M到达M M，此时，

力线将分为两个分支，分别与惯性力和

R M 摩擦力相平衡，其一穿过M M而终止于

惯性系统（地）另一条则穿过R M终止

刚性地面，此二条分支共同汇合于地

端。

V1－V

jωC M=

V

1

jωM M

+

V

1

R M

jωM M V + R M V +

1

jωC M V =

1

jωC M V1

∴M M dv dt + R M V+ 1C M

∫V dt = 1C M

∫V 1 dt

§5-5声学元件及基本的声振动系统 1． 赫姆霍兹共鸣器：

赫姆霍兹共鸣器是最基本的声振动系统。

该共鸣器必须符合下列条件：

①a 、l 、V

1/3

《λ

a 为开口半径, l 为开口长度，V

1/3

为腔体线

度

②开口管内体积S l 《V 其中S 为开口的截面积蓄 S=πa 2 ③器壁为刚性的,它不会把腔内媒质的疏密过程传递到腔外去 根据条件①短管内媒质可以看作一个质点 根据条件②短管可以看成是一个质量元件

根据条件③体腔内压强的变化相当于作用在管内质量上的弹性力,亦即起了力学系统 弹簧的作用.

设开口管中媒质的质量为M M 则M M ＝ρl S

腔体内媒质的力顺C M ＝V ρC 2S 2

开口管内媒质运动的摩擦力阻为R M

若在开口处有声压P=P A e jωt

的作用，则该振动系统的运动方程为：

M M d 2ξdt = SP A e jωt

－R M dξdt －1C M

ξ

∴M M dv dt + R M V+ 1C M

∫V dt = SP A e jωt

V 为开口管空气柱的运动速度

M M S dv dt ＋R M S V ＋1C M S ∫

V dt ＝P A e jωt

若令U ＝VS U 为体积速度 则运动方程为：

M M S 2 du dt + R M S 2 U+ 1C M S 2 ∫

U dt ＝ P A e jωt

M A du dt + R A U+ 1C A

∫U dt = P A e jωt

其M A ＝M M S 2 ＝ρ0l S 为声质量 C A ＝C M S 2

＝V 0ρC 2 为声容(或声顺) Z A ＝P U = R A + j （ωM A －1

ωC A

）为声阻抗

Z A 为声欧姆 1声欧姆＝1牛顿·秒/米5

与串联谐振电路比较：E ＝R e I + L e dI dt + 1

C e ∫I dt

P = R A U+ M A du dt + 1

C A

∫U dt

U R A M A

串联谐振电路 等效声学线路

类比的声学系统（同电学、力学线路图一样，声学线路图也有类似的）特点： ①声流线：流过各个声学元件的是声流线即体积速度流线；

②压强的相对性：在元件两端是压强差，对于大气压强P O 端，可接地； ③在元件交界处∑U i =0

注意用声流线与电流线相类比画出的图是阻抗型的。

[例]

M A1 C A1 C A2

R A1 R A2

C A2

§5-6 变量器 V M M S=1

C A

如果存在由力学振动策动声振动的系统（如扬声器箱等），则从力学线路的输出端，应当连结着声学线路。但由于力阻抗和声阻抗的量纲不一致，因而这两种线路不能直接相连，必须经过一个变量器，才能把它们连接起来。

设有一个如上图所示的力学一声学综合系统，有一简谐力F 1作用在质量M M 为的活塞上，活塞受力振动，其振动速度为V ，腔体内的声压为P ，容积速度为U ，活塞面积为S 在外力（简谐力）作用在面积为S ，质量为M M 的活塞上，使活塞振动，振速为V ，活塞振动时压迫空气进入腔内，单位时间流入腔内的流量为U ，形成的逾压为P 1.活塞与腔体接触的界面处的力学与声学特性： 设活塞振动时，推动腔内空气的力为F 2

从腔体向活塞方向看去，活塞这个力学系统呈现的力阻抗为Z M =F 2V

从活塞向腔体方向看去，腔体这个声学系统呈现的声阻抗为Z A =P U =P

V ·S

又因为活塞作用于腔中气体的力，在数值上等于腔中逾压作用在活塞上的力即F 2＝PS

∴P U ＝F 2S VS ＝F 2V ·1S 2 即Z A ＝ Z M

S 2

2.与电路中变压器比较

Z 2= E 2I 2 = nE 1I

n =n 2Z 1 S:1 Z M =F 2V ＝PS ·1U S

＝P U

·S 2=Z A S 2

Z A =1

S 2 ·Z M

力声变量器相当于n ＝1

S 的“变压器”，于是我们把力学线路和声学线路通过变量器统一

画在一张图上了。根据所讨论问题的性质，可把力学端的元件等效到声学端，把图变成一个

等效的声学线路，也可以把声学端元件等效到力学端，它们之间的转换关系，符合理想变压器的运算法则。

F1

M M

S2

M M S:1

F2 p

C A

去掉变量器，将力学线路反映到后

F2 C A

S2

声学线路

相应声学元件即可

力学元件通过变量器等效致声学

声学端元件通过变量器，变成等效力学线路图端，变成等效声学线路图

如果希望把变量器去掉，把后面的声学线路反映到前面来的力阻抗

Z M=S2Z A=S21

jωC M =

1 jωC M

C M=C A S2

声学端元件通过变量器，变成等效力学线路图。

【例1】闭箱式扬声器

电－力－声类比的方法在声学，特别在电声器件的分析和设计中得到广泛的应用。

现代在设计高音质扬声器系统时，为了改善低频辐射效果，常常把扬声器单元放在

一只密闭的木质箱子中，组成一个闭箱式扬声器系统。

设由于电－力换能结果作用在纸盆振动系统上的简谐力为F

①首先考虑力学系统，因为

纸

盆振动系统具有质量M M，力阻R M

及力顺C M。由力F流出的力线作用

R M在纸盆上分成三支，分别与惯性力、M M阻尼力、弹性力相平衡，因而画出C M的导纳型力学线路图里M M、R M、

C M是并联的。

导纳型力学线路图阻抗型力学线路图

②再考虑声学部分，因纸盆振动产生了体积流，声流线从纸盆出发，穿过附加在膜前，膜后的声辐射阻抗Z A1和Z A2，再穿过由于腔体贡献的声容C A中止于刚性壁，声学部分的阻抗型线路图为：

其中P为由于纸盆振动在

紧靠纸盆处产生的声压

Z A1为振盆前的声辐射阻抗

C A Z A2为振盆后的声辐射阻抗

P0

声学部分阻抗型力学线路图

③在阻抗型力学线路图和阻抗型声学线路图之间加进一个力声变量器，就可以得到闭箱系统的阻抗型力－声线路图，其中S为振盆有效面积。

S:1

F C A

阻抗型力－声线路图

为计算方便，可去掉变量器，得到总的阻抗型力学线路图

C A

S2

由上图再结合电路部分就可以对闭箱的电声性能进行详细的讨论，由于闭箱空气弹性贡献的力顺

C A

S2将附加在纸盆本身的顺性以C M上，并且它们是串联的，它们的等效力顺就决定了闭箱系统的固有共振频率

【例2】倒相箱式扬声器

所谓倒相箱式扬声器，实际上就是在闭箱安装扬声器的面板上再开一个与扬声器纸盆面积差不多的孔。A3

A3由于扬声器纸盆振动在前后方引起的空气振动是反相的，但是向箱内辐射的声波，经过箱体的作用，再通过孔向外辐射时，它的位相与纸盆前面所辐射声波的位相可以非常接近，于是扬声器向外辐射的声波可以得到加强。

声流线穿过膜片前面与后面的辐射阻抗Z A1与Z A2以后分成两支，一支穿过腔体贡献的声容C A终止于箱壁，另一支穿过开孔的声质量M A3和辐射阻抗Z A3，汇合于大气压强P O，因而倒相箱的声学部分线路如上右图。

§5-7电－力－声线路类比关系

1.类比关系：

串联电路 并联电路

L e dI dt + R e I + 1C ∫I dt = E C e dE dt + E R e + 1L e ∫E dt = I

阻抗型 导纳型

M A du dt + R A U+ 1C A ∫U dt = P M M dv dt + R M V+ 1

C M

∫V dt = F

声学系统 力学系统 2.电－力－声线路图的分析

3.阻抗型和导纳型类比线路图的互相转换： （1）互相转换的必要性：

对力学振动系统，用力线方法直接画出导纳型比较合适，对声学振动系统用声流线方法画出阻抗型比较合适。

但对电、力、声共存的系统，混杂的线路处理很困难。一般是将力学振动系统的导纳型转换成阻抗型。统一线路类型后再进行运算，因此互相转换是完全必要的。 （2）转换规律

导纳型线路（阻抗型） 阻抗型线路（导纳型）

电感符号 C

M 名称不变 电容符号 即：C M C M

恒流源符号 F 名称不变 恒压源符号 F

电导名称元件符号不变电阻名称即：G

M

R M

串联元件并联元件

串联元件两端“电压”之和分支点的“电流”总和

串联元件两端“降落”之和分支点的“流量”总和

（3）转换步骤：

①在每个元件的两侧画一个“0”点，用虚线连接各“0”点，使每根虚线都要通过且只能通过一个元件上，形成闭合回路。

②按转换规律改变元件符号或名称

[例]