应力应变公式7

我所认识的应力应变关系

我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后,在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用,由于受到力的作用就会产生相应的变形;或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多,例如材料、环境、加载类型(载荷、温度)、加载速度(动载荷、静载荷)等,当然,本构关系有很多类型,包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系,那么首先来叙述一下简单情况本构关系,所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零, 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化,应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段,AB 为非线弹性阶段,故OB 为初始弹性阶段,C 点位初始屈服点,()s σ+为初始屈服应力,CBA 为弹性阶段卸载,这一阶段中E σε=, 初始弹性阶段结束之后,应力继续增大,进入塑性阶段,CDE 为强化阶段,应变强化硬化,EF 为颈缩阶段,应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载,

例如在D 点卸载至零,应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点,且'DO ∥OA ,其中'O O 为塑性应变p ε,DG 为弹性应变e ε,总应变为它们之和。此后再继续加载,应力应变关系沿ODEF 变化,D 点为后继屈服点,OD 为后继弹性阶段,()'s σ+为后继屈服应力,值得一提的是初始屈服点只有一个,而后继屈服点有无数个(由加载历史决定)。若在卸除全部载荷后反向加载,弹性阶段'COC ,()()s s σσ+-=,而在强化阶段'DOD ,()()s s σσ+->,称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性,主要表现在:弹性应力应变关系是线性,且是单值对应关系,而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态,那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢?如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的,忽略T 、t 的影响,忽略净水压力对塑性变形的影响,可以将应力应变关系归结为不同的类型,包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示: 理想线弹性模型 理想刚塑性模型

应力应变计算方法

钢筋砼梁应力应变计算方法的探讨 摘要:对于钢筋砼梁应力应变的计算,分别用桥梁规范中弹性体假定的应力计算方法和以砼处于弹塑性阶段的应力计算方法进行分析,通过算例比较两者计算结果的差异,提出一些个人的见解。 关健词:桥梁工程;钢筋砼梁;应力应变值;计算方法;基本假定;弹性;弹塑性 0 前言 钢筋砼梁属于受弯构件。按《公路钢筋砼及预应力砼桥涵设计规范》(以下简称《桥规》)要求,对于钢筋砼受弯构件的设计,首先按承载能力极限状态对梁进行强度计算,从而确定构件的设计尺寸、材料、配筋量及钢筋布置,以保证截面承载能力要大于荷载效应;另外,尚需按正常使用极限状态对构件进行应力、变形、裂缝计算,验算其是否满足正常使用时的一些限值的规定。为检验钢筋砼梁的施工是否满足设计要求,均应对形成该梁的材料(钢筋及砼)进行强度检验,但由于砼的养护环境、工作条件及钢筋的加工、布置等方面,均存在试样与实际构件之间的差异,因而不能完全地说明该构件的工作性能。有时,按需要可对梁进行直接加载试验以量测荷载效应值,通过实测值与理论计算值的比较,以检验其工作性能是否能满足设计和规范的要求。通常情况下,我们不能直接测定梁体的应力值,只能通过实测梁体的应变值,进而求算其应力值。但钢筋砼结构属于非匀质材料,不能直接运用材料力学计算公式进行其应力及应变的计算,因此,本文按弹性阶段应力计算和弹塑性阶段应力计算2种方法进行分析比较。 1 按弹性阶段计算应力的方法 钢筋砼梁在使用阶段的工作状态可认为与施工阶段的工作状态相同,都处于带裂缝工作阶段,因此可按施工阶段的应力计算方法进行计算。 1.1 基本假定 《桥规》规定:钢筋砼受弯构件的施工阶段应力计算,可按弹性阶段进行,并作以下3项假定。 1.1.1 平截面假定 认为梁的正截面在梁受力并发生弯曲变形后,仍保持为平面,平行于梁中性轴的各纵向纤维的应变与其到中性轴的距离成正比,同时由于钢筋与砼之间的粘结力,钢筋与其同一水平线的砼应变相等。其表达式为: εh/x=εh′/(h0-x) εg=εh′ 式中:εh′-为与钢筋同一水平处砼受拉平均应变; εh-为砼受压平均应变; εg-为钢筋平均拉应变; x-为受压区高度; h0-为截面有效高度。 1.1.2 弹性体假定 假定受压区砼的法向应力图形为三角形。钢筋砼受变构件处在带裂缝工作阶段,砼受压区的应力分布图形是曲线形,但曲线并不丰满,与直线相差不大,可以近似地看作呈直线分布,即受压区砼的应力与应变成正比。 σh=εhEh 式中:σh-为砼应力; εh-为砼受压平均应变; E h-为砼弹性模量。 1.1.3 受拉区砼完全不能承受拉应力 在裂缝截面处,受拉区砼已大部分退出工作,但在靠近中和轴附近,仍有一部分砼承担着拉应力。由于其拉应力较小,内力偶臂也不大,因此,不考虑受拉区砼参加工作,拉应力全部由钢筋承担。 σg=εgEg 式中:σg-为钢筋应力; εg-为受拉区钢筋平均应变; E g-为钢筋弹性模量。 1.2采用换算截面计算应力 根据同一水平处钢筋应变与砼的应变相等,将钢筋应力换算为砼应力,则钢筋应力为砼应力的n g 倍(n g=E g/E h)。由上述假定得到的计算图式与材料力学中匀质梁计算图非常接近,主要区别是钢筋砼梁的受拉区不参予工作。因此,将钢筋假想为受拉的砼,形成一种拉压性能相同的假想材料组成的匀质截面,即为换算截面,再按材料力学公式进行应力计算。 1.2.1受压区边缘砼应力

混凝土受压应力-应变全曲线方程(描述)

混凝土受压应力-应变 全曲线方程

混凝土受压应力-应变全曲线方程 混凝土的应力-应变关系是钢筋混凝土构件强度计算、超静定结构内力分析、结构延性计算和钢筋混凝土有限元分析的基础,几十年来,人们作了广泛的努力,研究混凝土受压应力-应变关系的非线性性质,探讨应力与应变之间合理的数学表达式,1942年,Whitney 通过混凝土圆柱体轴压试验,提出了混凝土受压完整的应力应变全曲线数学表达式,得出了混凝土脆性破坏主要是由于试验机刚度不足造成的重要结论,这一结论于1948年由Ramaley 和Mchenry 的试验研究再次证实,1962年,Barnard 在专门设计的具有较好刚性且能控制应变速度的试验机上,试验了一批棱柱体试件以及试件两靖被放大的圆柱体试件,试验再次证明,混凝土的突然破坏并非混凝土固有特性,而是试验条件的结果,即混凝土的脆性破坏可用刚性试验机予以防止,后来由很多学者(如M.Sagin ,P.T.Wang ,过镇海等)所进行的试验,都证明混凝土受压应力-应变曲线确实有下降段存在,那么混凝土受压应力与应变间的数学关系在下降段也必然存在,研究这一数学关系的工作一刻也没有停止。 钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。但是,对钢筋混凝土的力学性能还不能说已经有了全面的掌握。近年来,随着有限元数值方法的发展和计算机技术的进步,人们已经可以利用钢筋混凝土有限元分析方法对混凝土结构作比较精确的分析了。由于混凝土材料性质的复杂性,对混凝土结构进行有限元分析还存在不少困难,其中符合实际的混凝土应力应变全曲线的确定就是一个重要的方面。 1、混凝土单轴受压全曲线的几何特点 经过对混凝土单轴受压变形的大量试验大家一致公认混凝土单轴受压变过程的应力应变全曲线的形状有一定的特征。典型的曲线如图1所示,图中采用无量纲坐标。 s c c E E N f y x 0,,=== σ εε 式中, c f 为混凝土抗压强度;c ε为与c f 对应的峰值应变;0E 为混凝土的初始弹性模量;s E 为峰值应力处的割线模量。

应力与应变关系

一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里,应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说,应力描述了连续介质内部之间通过力(而且是通过近距离接触作用力)进行相互作用的强度。 具体说,如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二,那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然,即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下,这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同,所以,必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说,担当此任的就是应力张量,简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中,除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”,另外,还定义了压缩时以截面边长(或直径)改变量除以原边长(或直径)而得的“横向应变”。 对大多数材料,横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一,二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系(物理方程)。E σε=(应力=弹性模量*应变) 4、许用应力(allowable stress ) 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低,需要预先确定一个衡量的标准,这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时,这个零件或构件在运转中是安全的,否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为:静强度设计中用屈服极限(yield limit )或强度极限(strength limit );疲劳强度设计中用疲劳极限(fatigue limit )。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料(大多数结构钢和铝合金)以屈服极限为基准,除以安全系数后得许用应力,即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。(许用应力=屈服极限/安全系数) 脆性材料(铸铁和高强钢)以强度极限为基准,除以安全系数后得许用应力, 即[]()/2~5b n n σσ==。(许用应力=强度极限/安全系数) 表3机床静力学分析结果总结

弹塑性力学定理和公式

应力应变关系 弹性模量 ||广义虎克定律 1.弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c 体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料,这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定,通常称为物性方程,反映弹性体变形的物理本质。 A 各向同性材料的广义虎克定律表达式(见表3-3 广义胡克定律表达式)对于圆柱坐标和球坐标,表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标,表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时,虎克定律可写成更简单的形式,即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中,i,j=x,y,z;在圆柱坐标中,i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。

弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中,需要确定15个未知量,即6个应力分量,6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定,即 (1)3个平衡方程[式(2-1-22)],或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程[式(2-1-29)],或简写为 (3)6个物性方程[式(3-5)或式(3-6)],简写为 或 2.边界条件 弹性力学一般问题的解,在物体内部满足上述线性方程组,在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系,即力的边界条件为 式中,l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的,求解体内各点的位移、应变和应力。 b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为

应力应变关系

1.应力 物体由于外因(受力、湿度、温度场变化等)而变形时,在物体内各部分之间产生相互作用的内力,以抵抗这种外因的作用,并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。 在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力,同截面相切的称为剪应力或切应力。 应力仪或者应变仪是来测定物体由于内应力的仪器。一般通过采集应变片的信号,而转化为电信号进行分析和测量。 方法是:将应变片贴在被测定物上,使其随着被测定物的应变一起伸缩,这样里面的金属箔材就随着应变伸长或缩短。很多金属在机械性地伸长或缩短时其电阻会随之变化。应变片就是应用这个原理,通过测量电阻的变化而对应变进行测定。一般应变片的敏感栅使用的是铜铬合金,其电阻变化率为常数,与应变成正比例关系。 通过惠斯通电桥,便可以将这种电阻的比例关系转化为电压。然后不同的仪器,可以将这种电压的变化转化成可以测量的数据。 对于应力仪或者应变仪,关键的指标有:测试精度,采样速度,测试可以支持的通道数,动态范围,支持的应变片型号等。并且,应力仪所配套的软件也至关重要,需要能够实时显示,实时分析,实时记录等各种功能,高端的软件还具有各种信号处理能力。另外,有一些仪器是通过光谱,膜片等原理设计的。 应力的单位:应力的单位是Pa,简称帕(这是为了纪念法国科学家帕斯卡Blaise· pascal而命名的),即牛顿/平方米(N/ ㎡)。 2.应变 物体在受到外力作用下会产生一定的变形,变形的程度称应变。应变有正应变(线应变),切应变(角应变)及体应变。正应变公式为 ,式中l是变形的前长度,Δl是其变形后的伸长量。 应变单位:应变是形变量与原来尺寸的比值,用ε表示,即ε=ΔL/L,无量纲,常用百分数表示。 3.弹性模量 一般地讲,对弹性体施加一个外界作用,弹性体会发生形状的改变(称为“应变”),“弹性模量”的一般定义是:应力除以应变。 材料在弹性变形阶段,其应力和应变成正比例关系(即符合胡克定律),其比例系数称为弹性模量。又称杨氏模量,弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质,是物体弹性变形难易程度的表征,用E表示。定义为理想材料有小

材料力学公式汇总

材料力学重点及其公式 材料力学的任务 (1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 变形固体的基本假设 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类: 表面力、体积力;静载荷、动载荷。 内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上和内力。 应力: dA dP A P p A = ??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变:线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 (1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲;(5)组合变形。 静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不在变化的载荷动载荷:载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限 b σ破坏,塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为: []3 n s σσ=, []b b n σσ=,强度条件: []σσ≤??? ??=max max A N ,等截面杆 []σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=?1,沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为:l l ?= ε,A P A N ==σ。横向应变为:b b b b b -=?=1'ε,横向应变与轴向应变的关系为:μεε-=' 。 胡克定律:当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即 εσE =,这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得:EA Nl l = ? 静不定:对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φ ρ γρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φρ γτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力:t p W T R I T == max τ;圆轴扭转的强度条件: ][max ττ≤=t W T ,可以进行强度校核、截面设计和确

应力应变关系

应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习,第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下,理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量,即应力应变需要9个分量,于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态,及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理,此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下

(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下,主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里,由于应变主轴与应力主轴重合,各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,,,CCCxxyz111213 ,,,,,,,CCCyxyz212223 ,,,,,,,CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的,即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同,即,同理有和CC=3132等,则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里,各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中,同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,,[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,,[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,

真实应力应变

真实应力=工程应力*(1+工程应变) 真实应变=Ln(1+工程应变) 这是现行的通用做法,应该是不会出问题的。 不过用此法时推导真实应力的过程中假设结构体积不变,俺觉得是有问题的,如果考虑体积变化,则真实应力为:真实应力/工程应力=(1 + 工程应变)/(1 +工程应变- 2 工程应变* 泊松比) 或者:真实应力/工程应力=1/(1 - 工程应变* 泊松比)^2 后两者很相近,且比上述做法要低不少。 请您仔细读以下说明: Run ROR's Keygen, Use the serial number for installation, Write down the Registration ID, After installation, Copy the "orglab.lic" file to "C:\Program Files\OriginLab\OriginPro75\FLEXlm". Start OriginPro, When ask for registration, Select I'm already registered. Enter the Registration ID. OK! 解压程序包后,注意crack 这个东东~~备用。 1. 运行注册机,用生成的sn 安装软件,next 2. 记下您相应sn 的ID 以备后用(sn 和id 应该是相互对应滴一组~~) 3. 安装完成后先不运行程序,把orglab.lic 这个文件复制到您的程序安装目录下(不一定是c 盘) X:\program files \ originlab \ originpro75 \ FLEXLM 文件夹下 4. 然后起动程序,按照要求输入刚记下的ID →就应该ok 了吧~~ 如果不行可能是其他原因,您要是能抓一些问题出现时的图片更有助于问题的解决! 当然,仍安装不上也可能是您的程序或系统或其他问题。 Luck! 安装搜狗输入法,在哪个键盘符号上点右键,点第二项,希腊字母里面去选就是了 αβγδεδεζηθικλμνπξζηυθχψω ΑΒΓΓΔΕΖΘΗΚ∧ΜΝΞΟ∏Ρ∑ΤΥΦΦΧΨ абвгде?жзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюя

我所认识的应力应变关系讲解

我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后,在 物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用,由于受到力的作用就会产生相 应的变形;或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力 和应变也必然存在一定的关系。 一应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多,例如材料、环境、加载类型(载荷、温度) 、 加载速度(动载荷、静载荷)等,当然,本构关系有很多类型,包括弹性、塑性、 粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系,那么首先来叙述一下简单情况 图中0A 为线弹性阶段,AB 为非线弹性阶段,故0B 为初始弹性阶段,C 点位 初始屈服点, J ?为初始屈服应力,CBA 为弹性阶段卸载,这一阶段中二=E ;, 初始弹性阶段结束之后,应力继续增大,进入塑性阶段, CDE 为强化阶段,应变 强化硬化,EF 为颈缩阶段,应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载, 本构关系,所谓简单情况就是六个应力分量 J 、y 、z 、?邓* zx 只有一个不为零, 六个应变分量 1-

例如在D点卸载至零,应力应变关系自D点沿DO'到达O'点,且DO' II OA其中 00'为塑性应变;p,DG为弹性应变;e,总应变为它们之和。此后再继续加载,应力应变关系沿ODEF变化,D点为后继屈服点,0D为后继弹性阶段,Cs'.为后继屈服应力,值得一提的是初始屈服点只有一个,而后继屈服点有无数个(由加载历史决定)。若在卸除全部载荷后反向加载,弹性阶段COC',、二s . - ;「s_,而在强化阶段DOD',匚_,称为Bauschinger效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性,主要表现在:弹性应力应变关系是线性,且是单值对应关系,而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态,那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢?如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的,忽略T、t的影响,忽略净水压力对塑性变形的影响,可以将应力应变关系归结为不同的类型,包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幕强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示:

材料力学公式最全总汇

外力偶矩计算公式(P功率,n转速) 弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式(杆件横截面轴力FN,横 截面面积A,拉应力为正) 轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正) 纵向变形和横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样标距l1;拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d1) 纵向线应变和横向线应变 泊松比 胡克定律 受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 承受轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形计算公式

轴向拉压杆的强度计算公式 许用应力,脆性材料,塑性材料 延伸率 截面收缩率 剪切胡克定律(切变模量G,切应变g ) 拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 圆截面对圆心的极惯性矩(a)实心圆 (b)空心圆 圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩T,所求点到圆心距离r ) 圆截面周边各点处最大切应力计算公式 扭转截面系数,(a)实心圆 (b)空心圆 薄壁圆管(壁厚δ≤ R0 /10 ,R0 为圆管的平均半径)扭转切应力计算公式

圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GHp的关系式 同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同(如阶梯轴)时 或 等直圆轴强度条件 塑性材料;脆性材料 扭转圆轴的刚度条件? 或 受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式, 平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 平面应力状态的三个主应力, ,

主平面方位的计算公式 面内最大切应力 受扭圆轴表面某点的三个主应力,, 三向应力状态最大与最小正应力, 三向应力状态最大切应力 广义胡克定律 四种强度理论的相当应力 一种常见的应力状态的强度条件, 组合图形的形心坐标计算公式, 任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯

弹性模量定义与公式

弹性模量 开放分类:基本物理概念工程力学物理学自然科学 “弹性模量”的一般定义是:应力除以应变,即弹性变形区的应力-应变曲线的斜率:其中λ 是弹性模量,【stress应力】是引起受力区变形的力,【strain应变】是应力引起的变化与 物体原始状态的比,通俗的讲对弹性体施加一个外界作用,弹性体会发生形状的改变称为“应 变”。材料在弹性变形阶段,其应力和应变成正比例关系(即胡克定律),其比例系数称为 弹性模量。弹性模量的单位是达因每平方厘米。“弹性模量”是描述物质弹性的一个物理量, 是一个总称,包括“杨氏模量”、“剪切模量”、“体积模量”等。所以,“弹性模量”和“体积模量” 是包含关系。 编辑摘要 基本信息编辑信息模块 中文名:弹性模量其他外文名:Elastic Modulus 定义:应力除以应变类型:定律 定义/弹性模量编辑 混凝土弹性模量测定仪图册 弹性模量modulusofelasticity,又称弹性系数,杨氏模量。 弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质。是物体变形难易程度的表征。用E表示。

定义为理想材料在小形变时应力与相应的应变之比。 根据不同的受力情况,分别有相应的拉伸弹性模量(杨氏模量)、剪切弹性模量(刚性模量)、体积弹性模量等。它是一个材料常数,表征材料抵抗弹性变形的能力,其数值大小反映该材料弹性变形的难易程度。 对一般材料而言,该值比较稳定,但就高聚物而言则对温度和加载速率等条件的依赖性较明显。 对于有些材料在弹性范围内应力-应变曲线不符合直线关系的,则可根据需要可以取切线弹性模量、割线弹性模量等人为定义的办法来代替它的弹性模量值。 线应变/弹性模量编辑 弹性模量图册 对一根细杆施加一个拉力F,这个拉力除以杆的截面积S,称为“线应力”,杆的伸长量dL 除以原长L,称为“线应变”。线应力除以线应变就等于杨氏模量E=( F/S)/(dL/L) 剪切应变: 对一块弹性体施加一个侧向的力f(通常是摩擦力),弹性体会由方形变成菱形,这个形变的角度a称为“剪切应变”,相应的力f除以受力面积S称为“剪切应力”。剪切应力除以剪切应变就等于剪切模量G=( f/S)/a 体积应变/弹性模量编辑 对弹性体施加一个整体的压强p,这个压强称为“体积应力”,弹性体的体积减少量(-dV)除以原来的体积V称为“体积应变”,体积应力除以体积应变就等于体积模量: K=P/(-dV/V) 在不易引起混淆时,一般金属材料的弹性模量就是指杨氏模量,即正弹性模量。 单位:E(弹性模量)兆帕(MPa) 意义/弹性模量编辑 弹性模量是工程材料重要的性能参数,从宏观角度来说,弹性模量是衡量物体抵抗弹性变形能力大小的尺度,从微观角度来说,则是原子、离子或分子之间键合强度的反映。凡影响键

材料力学的基本计算公式

材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式(P功率,n转速) 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式(杆件横 截面轴力F N,横截面面积A,拉应力为正) 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正) 4.纵向变形和横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样 标距l1;拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d1) 5.纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律

8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9.承受轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆的强度计算公式 11.许用应力,脆性材料,塑性材 料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律(切变模量G,切应变g ) 15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系 式 16.圆截面对圆心的极惯性矩(a)实心圆 (b)空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩 T,所求点到圆心距离r)

18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数,(a)实心圆 (b)空心圆 20.薄壁圆管(壁厚δ≤ R0/10 ,R0为圆管的平均半 径)扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关 系式 22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的 直径不同(如阶梯轴)时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料;脆性材料 25.扭转圆轴的刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力 计算公式,

27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 28.平面应力状态的三个主应力 , , 29.主平面方位的计算公式 30.面内最大切应力 31.受扭圆轴表面某点的三个主应力,, 32.三向应力状态最大与最小正应力 , 33.三向应力状态最大切应力 34.广义胡克定律

关于应力应变状态问题资料.doc

关于应力应变状态问题(含组合变形) 2009年10月29日星期四 应力应变状态重点公式: 基本公式:ατασσσσσα2sin 2cos 2 2xy y x y x --++= ατασσσσσα2sin 2cos 2290xy y x y x +--+=+ο ατασστα2cos 2sin 2xy y x +-= y x xy σστα--=22tan ()22max 42 1 2xy y x y x τσσσσσ+-++= ()22 min 421 2xy y x y x τσσσσσ+--+= 应力圆的绘制及其应用:①、强调单元体的面与应力圆上的点一一对应关系。即:点面对应,转向相同,转角两倍。②、确定任意斜截面上的应力;②、确定主应力的大小和方向;③、三向应力圆的绘制及其应用。 广义胡可定律及其公式: (){}z y x x E σσμσε+-=1 G xy xy τγ= (){}x z y y E σσμσε+-=1 G yz yz τγ= (){}y x z z E σσμσε+-= 1 G zx zx τγ= (){}32111σσμσε+-=E ;(){}13221σσμσε+-=E ;(){}21331σσμσε+-=E 习题:P255 7.7、7.9、7.10、7.12、7.14、7.19、7.26、7.27、7.28、7.37、

四种常用强度理论: 最大拉应力理论(第一强度理论)[]σσ≤1 最大伸长线应变理论(第二强度理论)()[]σσσμσ≤+-321 最大切应力理论(第三强度理论)[]σσσ≤-31 畸变能密度理论(第四强度理论)()()()[] []σσσσσσσ≤-+-+-21323222121 01、十、图示为一平面应力状态下的单元体。试证明任意互相垂直截面上的正应力之和为常数。即:ο90++=+αασσσσy x 或min max σσσσ+=+y x 。(7分)(2009吉大) 02、4、已知平面应力状态如图(应力单位MPa ),试计算主应力大小及方位,在图上标出主应力方位。(15分)(2009北工大) 题二.4图 03、5、已知铸铁构件上危险点的应力状态如图3-5所示。若铸铁拉伸许用应力[σ]+= 30MPa ,试校核该点处的强度。(15分)(2008华南理工)

第七章 应力和应变分析 强度理论

第七章 应力和应变分析 强度理论 一、是非题 7.1 纯剪切单元体属于单向应力状态。 ( ) 7.2 纯弯曲梁上任一点的单元体均属于二向应力状态。 ( ) 7.3 不论单元体处于何种应力状态,其最大剪应力均等于23 1σσ?。 ( ) 7.4 构件上一点处沿某方向的正应力为零,则该方向上的线应变也为零。 ( ) 7.5 在单元体上叠加一个三向等拉应力状态后,其形状改变比能改变。 ( ) 二、选择题 7.6 过受力构件内任一点,取截面的不同方位,各个面上的( )。 A. 正应力相同,剪应力不同 B. 正应力不同,剪应力相同 C. 正应力相同,剪应力相同 D. 正应力不同,剪应力不同 7.7 在单元体的主平面上( )。 A. 正应力一定最大 B. 正应力一定为零 C. 剪应力一定最小 D. 剪应力一定为零 7.8 当三向应力圆成为一个圆时,主应力一定满足( )。 A. 21σσ= B. 32σσ= C. 31σσ= D. 21σσ=或32σσ= 7.9 图示单元体,已知正应力为σ,剪应力为2στ= ,下列结果中正确的是( )。 A. στ43max =,E z σε= 题7.9图 B. στ23max =,()μσε?=1E z C. στ21max =,E z σε= D. στ2 1max =,???????=21μσεE z 7.10 以下结论中( )是错误的。 A. 若0321=++σσσ,则没有体积改变 B. 若σσσσ===321,则没有形状改变 C. 若0321===σσσ,则既无体积改变,也无形状改变 D. 若321σσσ>>,则必定既有体积改变,又有形状改变 7.11 以下几种受力构件中,只产生体积改变比能的是( );只产生形状改变比能的是( )。 A. 受均匀内压的空心圆球 B. 纯扭转的圆轴 C. 轴向拉伸的等直杆

应力应变关系

我所认识的应力应变关系 一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习,第三章的本 构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下,理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 εσ X X E = 在三维应力状态下需要9个分量,即应力应变需要9个分量,于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态,及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理,此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下

(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下,主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里,由于应变主轴与应力主轴重合,各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: 111213x x y z C C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++ 313233z x y z C C C σεεε=++ (2-3) x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的,即有 112233 ==C C C ; y ε和z ε对x σ的影响相同,即1213=C C ,同理有2123=C C 和 3132 =C C 等 ,则可统一写为: 112233==C C C a =

122113312332=====C C C C C C b = (2-4) 所以在主应变空间里,各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中,同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ? =-+?? ? =-+?? ? =-+?? 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ?=???=???=?? v 泊松比 2(1) E G ν= +剪切模量 E :弹性模量/杨氏模量 虎克定律 E G σε τγ== 对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。 2 屈服条件 拉伸与压缩时的应力——应变关系曲线 P A l l l στ=-= BC CD DE ?? ??? :屈服阶段 :强化阶段塑性阶段:局部变形阶段

应变花计算公式63902

1. 概述(1)平面应变状态:即受力构件表面一点处的应变情况。(2)测试原理:一般最大应变往往发生在受力构件的表面。通常用应变仪测出受力构件表面一点处三个方向的线应变值,然后确定该点处的最大线应变和最小应变及其方程。 2. 公式推导: (1 (2)设为已知。规定伸长为正,切应变 为正。)求任意方向,规定逆时针方向为正)的线应变(即方向的线应变 ① 由于的长度改变 , ② 方向)的线应变 ③ 求的切应变方向的直角改 以代替式(c )中的,求得坐标轴偏转角度:3. 结论

(1)已知可求得任意方向的 (2)已知 ,求得 (3 : 4. 5. ① 接测量时,一般是先测出任选三个方向的线应变然后利用一般公式,将 得出: 联解三式,求出,于是再求出主应变的方向与数值

④由③ 式求出,当时与二、四相限的角度相对应。 6. 直角应变花(45°应变花)测量 测得: 求得: 故 讨论: 若角度相对应。见 6. 一般公式: 测定值:代入式(a)得:

主应变方向: 故: ,穿过二,四相限.见P258,7.22题 Find:主应变及其方向 Solution:

故过二、四相限。 Example2. 若已测得等角应变花三个方向的线 试求主应变及其方向 即 (压)应力 σ45o,即得最大剪应力r max: 式中μ为泊松比。 拉(压)、弯曲、扭转,其中两种或三种力的联合作用下,不同测量要求的应变值测量方法分别见表1的10~14。 主应力方向未知时的应力测量如图1所示。在该测点沿与某坐标轴X夹角分别为α1、α2和α3的3个方向,各粘贴一枚应变片,分别测出3个方向的应变εα1 εα2和εα3根据下式

应力和应变关系

第四章应力和应变关系 一. 内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程,几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的,因此,必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的,有应力就有应变;反之,有应变则必有应力。对于每一种材料,在一定的温度下,应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性,因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态,应力应变关系的实验测试是有困难的,因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理;具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式;各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二. 重点 1. 应变能函数和格林公式; 2. 广义胡克定律的一般表达式; 3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系; 4. 各向同性材料的本构关系; 3. 材料的弹性常数。 知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式 完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系 弹性常数 各向同性弹性体应变能

格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系 各向同性弹性体的应力和应变关系 应变表示的各向同性本构关系 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形,因此外力在变形过程中作功。同时,弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系,可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化,因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式,并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系,容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能,即应变能函数。 探讨应变能的全微分,可以得到格林公式,格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的,则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理,可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点: 1. 应变能; 2. 格林公式; 3. 应变能原理。 弹性体发生变形时,外力将要做功,内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点,分析弹性体的功能变化规律。

材料力学公式超级大汇总

材料力学重点及其公式 材料力学的任务 (1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 变形固体的基本假设 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类:表面力、体积力;静载荷、动载荷。 内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上和内力。 应力: dA dP A P p A = ??=→?lim 正应力、切应力。 变形与应变:线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 (1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲;(5)组合变形。 静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不再变化的载荷。 动载荷:载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限 b σ破坏,塑性材料在其屈服极限 s σ时失效。二者统称为 极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为: []3n s σσ=,[]b b n σσ=,强度 条件: []σσ≤??? ??=max max A N ,等截面杆 []σ≤A N max

轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=?1,沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为:l l ?= ε,A P A N ==σ。横向应变为:b b b b b -=?= 1'ε,横向应变与轴向应变的关系为:μεε-=' 。 胡克定律:当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即 εσE =,这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得:EA Nl l = ? 静不定:对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φ ργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力:t p W T R I T == max τ;圆轴扭转的强度条件: ][max ττ≤=t W T ,可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形:??== l p l p dx GI T dx GI T ?;等直杆:p GI Tl =? 圆轴扭转时的刚度条件: p GI T dx d = = '??,][max max ??'≤='p GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系 ) () (x q dx x dQ =;()()x Q dx x dM =;()()()x q dx x dQ dx x M d ==2 2 Q 、M 图与外力间的关系 a )梁在某一段内无载荷作用,剪力图为一水平直线,弯矩图为一斜直线。 b )梁在某一段内作用均匀载荷,剪力图为一斜直线,弯矩图为一抛物线。

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