基于CS理论的LFM信号DOA估计

第２６卷第１２期计算机应用研究ＶｏＬ２６Ｎｏ．１２２００９年１２月ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＲ七ｓｅａｒｃｈｏｆＣｏｍｐｕｔｅ玛Ｄｅｃ．２００９

基于ＣＳ理论的ＬＦＭ信号ＤＯＡ估计水

杨璋，程旺宗

（西南交通大学信息科学与技术学院，成都６１００３１）

摘要：针对常用ＩｊＦ＇Ｍ（１ｉｎｅａｒ“ｑＩＩｅｎｃｙｍｏｄｕｌａｔｅｄ）信号ＤＯＡ（ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｏｆａｒｒｉｖａｌ）估计算法采样数据量大，在低信噪比情况下估计效果不理想的问题，提出一种基于ｃｓ（ｃｏｍｐ瑚∞ｄ靶ｎｓｉｎｇ或ｃ响ｐｒｅ鲳ｉｖｅｓ蛐ｐｌｉｎｇ）理论的ＬＦＭ信号ＤＯＡ估计新方法。实验仿真验证了ＣＳ理论的基本原理及运用其进行删信号ＤＯＡ估计的可行性。

关键词：压缩感知；信号模型；阵列模型；原子库；波迭方向估计

中图分类号：ＴＮ９１ｌ文献标志码：Ａ文章编号：１００１－３６９５（２００９）１２—４６４２－０３

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００ｌ?３６９５．２００９．１２．０６７

ＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆＬＦＭｓｉｇｎａｌｓｂａｓｅｄｏｎｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｓｅｎｓｉｎｇ

ＹＡＮＧＺＩＩ肌ｇ，ＣＨＥＮＣＷａｎｇ—ｚｏｎｇ

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０引言

随着雷达技术和通信技术的发展。线性调频（ＬＦＭ）信号得到了广泛的应用，利用阵列信号确定空间信号的波达方向（ＤＯＡ）有着及其重要的意义。对于非平稳宽带信号的ＤＯＡ估计，常用方法是基于空间时频分布（ｓＴＦＤ）的子空间法（如Ｗｉ印ｅｒ－ｖｉｕｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｗＶＤ），ｗＶＤ子空间算法就是利用信号的ｗＶＤ良好的时频聚集性，先得到信号的空间时频域的数据协方差矩阵，然后对该矩阵进行特征值分解张成子空间（信号和噪声），这样就能利用子空间法得到ＤＯＡ估计。但是Ｌ兀ＩＩ信号的ＷＶＤ时频聚集性在低信噪比的情况下下降明显，特别是对于多信源，ｗＶＤ的交叉项严重影响算法效果，使得在低信噪比时基本不能进行准确的估计。

为了改进在低信号比和多信源情况下的估计效果，本文基于ｃｓ理论¨’２１提出一种新的ＬＦＭ信号的ＤＯＡ估计方法，Ｄｏ－ｎｏｈ０【３’提出：只要信号是稀疏的或可压缩的，就能使用很少的随机采样点高概率的还原信号。

１ＬＦＭ信号模型和阵列模型

１．１信号模型

考虑典型的ＬＦＭ信号：

巾ｈｘ—ｈ（厶Ｈ等ｔ２）】㈩．其中以为中心频率（起始频率）；《为调频斜率，幅度为ｌ。

ＬＦＭ信号的瞬时频率表达式为

以ｔ）＝。岛＋丘ｆ（２）瞬时频率随时间呈线性关系。假设以采样频率，对信号进行采样，采样点为Ⅳ＝１，２，３，…，Ⅳ，则信号表达式可以转换为

咖，＝唧Ｈ争ｎ＋持）】㈤简化问题为

咖）＝ｅ印陋（厶ｎ＋茜）】（４）由奈奎斯特采样定律可知Ｚ＞２（厶＋Ｋ），又由宽带信号的定义Ｈ］，带宽和中心频率之比值介于１０％～２５％的称为宽带信号（ｗＢ），故厶∈（ｏ，ｏ．５］，Ｋ∈［一Ｏ．１，０．１］。

均匀线阵模型如图ｌ所示。

ｌ２３工

图ｌ均匀线阵模型

１．２阵列模型

阵列模型为阵元数￡的均匀线性阵列，阵元间距为ｄ，假设有叮个ＬＦＭ信号从不同方向入射到阵列上，则第ｍ个阵元的输出为ｍ＝１，２，３，…，三，ｉ＝１，２，３，…，ｇ。

‰（Ｉ）－耋Ｊｆ（Ｉ—ｒ。ｉ）＋ｎ。（Ｉ）（５）

＿

ｒ哪＝÷（ｍ—１）ｄ８ｉｎ（巩）（６）

收稿日期：２∞９．０３．１５：修回日期：２００９．０５．０４．基金项目：国家自然科学基全资助项目（６０７７２０８４）；四川省重点科技计划项目（０４ＧＧ０２１．Ｏ加一５，２００６ｘｌ，一０３８）；四Ｊ１１省应用基础研究项目（０４ｊＹ０２９?０５９－２ｔ２０（剐１３?１１４）

作者简介：扬璋（１９８２一），男．四川达州人。硕士研究生，主要研究方向为信号与信息处理（声ⅡＩｉｄ９９９９＠１６３．咖）；程旺宗（１９８４?），男，湖北黄冈人，项士研究生，主要研究方向为信号与信息处理．

万方数据

第１２期杨璋，等：基于ｃｓ理论的ＬＦＭ信号ＤＯＡ估计?４６４３?

“牡ｅｘｐ【卢盯（胁等ｒ２）】

以小ｅｘｒｈ（厶ｎ＋精）】将式（７）代入式（５）得（７）

石］，ｐ越小矩阵性能越好。同时观测值肘需要满足的条件为

肘≥水ｌ０９２（ＭＫ）（１８）（８）

‰（Ｉ）＝ｊ｝．ｅ一伽恤“≯）７眦＋Ｍ麻‘屯（Ｉ）＋ｎｍ（￡）（９）可以得到ＬＦＭ信号的阵列模型：

ｚ（ｆ）＝墨口。（口，ｆ）ｓｌ（ｔ）＋Ⅳ（ｆ）＝Ａ（伊，１）ｓ（ｆ）＋Ⅳ（ｆ）（Ｉｏ）＾（日．ｆ）＝【口ｌ（口，ｔ），。２（口。１），…，口。（日，‘）】（１１）

ｄｌ（口，ｆ）＝【１，…，ｅ。正１ｕｂ＋‘一）７脚￡＋Ｍ，１ｉｆｉ】Ｔ（１２）考虑到延时ｆｊ：Ｉ．很小可以忽略掉该项，所以得到最终表示为ｑ（峨，ｆ）＝【ｌ，ｅ一皿”蛐＋卸）７１．，…．ｅ一西妇＋印）７毗】Ｔ（１３）时间离散信号的表达式为

毛（巩，厅）＝【ｌ，…，ｅ一正。妇＋‘叫）由叫扣】Ｔ５ｉ（ｎ）（１４）其中以和ｔ为已知的参数，需要估计的是每个ⅡＭ信号毛的到达角吼‘引。

２压缩感知理论

２．１压缩感知理论的基本概念

一维离散时间信号ｓ，可以看做是Ⅳ×ｌ维的列向量虹乃］，ｎ＝１，２，…，Ⅳｏ空间信号可以用Ⅳ×ｌ维的基向量｛嘭｝兰。的线性组合表示。信号ｓ可以表示为

Ⅳｃ是一个很小的常数［３’引。文献［９］指出随机高斯矩阵与大多数固定正交基构成的矩阵不相关。

最后是从观测值并中恢复原信号，即解式（１６）中的０，由于观测值肘远小于信号长度，ｖ，对求解欠定方程组式（１６）是无解的。文献［３，６，ｌＯ］指出：针对可压缩信号ｓ，求解欠定方程组的问题转换为最小岛范数问题：

ｍｉｎ０怕ｌＩｏｓ．Ｌｚ＝蕊＝巾怕（１９）等价于：

ｍｉｎｌＩｅｏｓ．Ｌ

ｚ＝籼＝中怕（２０）但是求解ｚｏ范数问题是一个ＮＰ问题¨ｏ］，Ｃｈｅｎ等人【１１１指出：求解更简单的ｚ．优化问题会产生同等的解，上式变为

ｍｉｎｌＩｅ忆ｓ．Ｌｚ＝咖＝甜旧’（２１）这就使问题变成了一个凸优化问题，在有噪声的条件下：聋；＝（①，，Ｊ）＋‰；ｆ＝ｌ，２，３，…，肘，吼Ｅ∥为噪声，最终求解式为

ｍｉｎ¨ｚ—ｏ‘，，ｅ０ｉ＋Ａ８ｅ４ｌ（２２）需要求的参数为９，即原信号ｓ在基甲上的稀疏表达式可以化简为线性规划，解该类问题可以使用：局部最优的贪婪追踪算法，包括匹配追踪（ＭＰ）㈦、正交匹配追踪（ＯＭＰ）【１３Ｊ、树型匹配追踪（ＴＭＰ）㈨；全局最优的基追踪（ＢＰ）［３?８３等。

３基于ＣＳ理论的ＬＦＭ信号ＤＯＡ估计

?＝。邑研嚷或，＝怕（１５’３．１建立过完备原子库

其中：９为系数组成的Ⅳｘｌ维的列向量。假如把９的分量按从大到小顺序排列，其按一定量级呈现幂次（州ｅｒ．１洲）速度衰减，明显大的系数个数为Ｋ个，在ｆ０范数意义下可表示为Ｋ＝０ａ０。则可以认为信号为Ｋ稀疏№】，并且可以用Ｋ项稀疏表示很好地逼近原信号。压缩感知理论的主要思想是：把原信号５投影到另一个与变换基甲不相关的朋×．７、ｒ维观测矩阵①上，得到』Ｉｆ×１维的随机采样信号茹肘＜＜Ⅳ，实现了对原信号ｓ的压缩采样。表达式为

茗＝０ｌ＝ｏ＇ｆ，ｅ（１６）并且可以凭借随机采样信号毒，通过将非凸问题转换为凸优化问题求解来精确重建原信号ｓ。

２．２压缩感知理论的基本要求

首先原信号ｓ必须是稀疏的或则可压缩的，并为其找到一个最佳的稀疏域甲，Ｍａｌｌａｔ¨１提出了超完备库下的信号稀疏表示方法，说明了使用超完备冗余字典作为信号稀疏域的必要性。ｃＳ理论同时指出信号稀疏度越强（Ｋ值越小）重建原信号误差越小旧１。

其次是找到合理的观察矩阵ｏ，根据ｃｓ理论，要实现信号ｓ到∞上的投影，即原信号ｓ的压缩采样过程（得到肘个观察值肘＜＜Ⅳ）同时保证能高概率地从肘次观测中重构出原信号ｓ或信号ｓ在基甲下的稀疏系数向量ｅ。这就需要０甲满足有限等距性质（ｒｅ８ｔｒｉｃｔｅｄｉ８０ｍｅｔｒｙｐｍｐｅｒｔｙ，ＲＩＰ）。文献［８］提出若ｍ与甲满足不连续特性（不相干特性），则其很大概率上满足ｍＰ性质，当ｍ与甲是∥空间的一组正交基时，定义。和甲之间的相关性因子：

ｐ（ｏ，甲）２√ｎ×ｌ？曝。Ｉ（妒‘，屯）Ｉ（１７）其中：９。和甲；分别为矩阵中和甲的列向量。卢（０，甲）“ｌ，

根据每个ＬＦＭ信号的形式特点建立过完备原子库Ｇ，ｓｉ（凡）为１×，ｖ的离散ＬＦＭ信号厶和峨为已知的参数，研为需要估计的ＤＯＡ参数，取值是口，∈【一９０。～９００】（，＝１，２，３，…，．，，．，为角度参数搜索个数），原子参数由参数啡单独决定，ｐ，按照需要的搜索精度均匀地取值，构造出原子库Ｇ为．，×（Ⅳ＋￡）的矩阵：

ｇｊ２

ｌ

ｅ，【ｐ（＿－．皿霄（．兀田＋后ｉ托／＾，）ｄｓｉｎ吩／ｃ）

ｊ

唧（一．，２１ｒ（，０＋ｔ‘，Ｉ／＾７）（￡一１）ｄ８ｉｎ毋／ｃ）

Ｇ＝［ｇ，，ｇ：，…，ｇＪ］Ｔ．ＬＦＭ信号ｓ可以表示为

５＝∞（２４）其中：ｅ为信号ｓ在原子库上投影的稀疏的系数表达式。３．２建立ＣＳ观察矩阵

一般情况下高斯随机矩阵可以作为通用的观察矩阵０，本文中使用近似伽分解¨纠的方法来改善高斯随机矩阵性能，同时对分解后的开矩阵对角线的值进行归一化处理，最后得到的矩阵作为观测矩阵①，可以得到更好的估计效果。

３．３由式（１６）得到随机投影观测值ｘ

本次投影完成了对信号，的压缩采样，得到肘个随机采样点（Ｍ＜＜Ⅳ），可以利用这肼个随机采样点来恢复原稀疏表达式曰，从而完成原信号ＤＯＡ估计。

３．４ＬＦＭ信号的ＤＯＡ估计

使用式（２２）作为解凸优化问题的目标函数，求解信号的稀疏表达式Ｄ，找到ｅ中的最大值的坐标，在原子库Ｇ中查找此坐标位置的口值，即可得到ＤＯＡ参数∥１６’１引（对于多信源估计需查找最大几个值的坐标下对应的口值）。

万方数据

?４６４４?计算机应用研究第２６卷

４计算机仿真

该仿真在ＭＡＴＬＡＢ７．４ａ平台下进行，为了更好地描述方法性能．定义均方根误差ＲＭＳＥ。

Ｒ眦＝以而（２５）

其中：凡为估计次数；置表示第ｉ次的估计值；名。。表示真值。

实验ｌ单信源情况下基于ｃｓ理论的方法和ＷｖＤ算法估计效果比较。

单个ＬＦＭ信号从远场入射到１４阵元均匀线阵，方位角２００，阵元间距为信号最高频率对应波长的一半（Ａ／２）。ＬＦＭ信号的起始频率和调谐频率已知，分别为厶＝０．３５，｜｜｝＝Ｏ．０５，离散信号的长度为Ⅳ＝２５６，观测矩阵中使用上面所述方法改进后的高斯随机矩阵，恢复算法为ＢＰ算法。压缩采样点的数量为肘＝４０，肘＜＜Ⅳ，在信号中加入均值为０方差为ｌ的高斯白噪声，信噪比范围为一１０—２０ｄＢ，每隔５ｄＢ分别采用ＷｖＤ算法和ｃｓ算法进行１００次Ｍｏｎｔｅ．Ｃａｄｏ实验，图２给出ＤＯＡ估计的成功率曲线（ｗＶＤ算法中认为估计出来的角度误差±０．１５。为成功估计，ｃｓ方法使用原子库查找的方法，认为准确查找到相应信号模型为成功估计）。图３给出ＤＯＡ估计的均方根误差（ＲＭＳＥ）曲线（由于观测矩阵采用的是随机矩阵识别概率上会存在小的波动）。

ＳＮ刚ｄＢＳＮ刚ｄＢ

图２单信源基于、ｖＶＤ和ＣＳ方法图３单信源基于、ｎＤ和ＣＳ方法的识别概率与信噪比关系的ＲＭＳＥ与信噪比关系

由图２所示随着信噪比的提高基于ｃｓ理论的估计方法成功率迅速提高，成功估计概率明显高于ＷＶＤ算法，由图３所示均方根误差（ＲＭｓＥ）的收敛速度也快于ｗＶＤ算法。当信噪比大于Ｏ时估计成功率接近ｌ。在低信噪比的情况下使用ｃｓ理论的估计方法与使用ｗＶＤ算法相比有明显的优势。

实验２多信源情况下基于ｃｓ理论的方法和ｗＶＤ算法估计效果比较。

两个ＬＦＭ信号从远场入射到１４阵元均匀线阵，信号ｌ方位角２０。，信号２方位角为ｌＯｏ，阵元间距为信号最高频率对应波长的一半（Ａ／２），信号１的起始频率和调谐频率分别为一曲＝Ｏ．２５，｜ｉ｝．＝ｏ．０６６，信号的长度为川＝２５６；信号２的起始频率和调谐频率分别为厶＝０．２５，如＝Ｏ．０６６，信号的长度为Ｍ＝２５６。选择改进后的高斯随机观测矩阵，恢复算法为ＢＰ算法，压缩采样点的数量为ＭＩ＝坞＝４０，｜ｊＩｆ。＜＜Ⅳ１．肘２＜＜他，在两个信号中分别加入均值为Ｏ方差为１的高斯白噪声，信噪比范围同时从一１０ｄＢ到２０ｄＢ，每隔５ｄＢ分别采用ｗＶＤ算法和ｃｓ算法进行１００次Ｍｏｎｔｅ．ｃｄｏ实验，图４和５分别给出信号ｌ（２０。）和信号２（１００）ＤＯＡ估计的成功率曲线（ＷＶＤ算法中认为估计出来的角度误差±０．２５０为成功估计，ｃｓ方法使用原子库查找的方法，认为准确查找到相应信号模型为成功估计）。

从图４和５可以看出，随着信噪比的提高ｃｓ方法的估计成功率迅速提高，成功识别的概率明显高于ｗＶＤ算法。由于交叉项的影响在低信噪比情况下ｗＶＤ算法效果很差，而ｃＳ算法与ＷｖＤ算法相比仍然有明显的优势（由于观测矩阵采用的是随机矩阵识别概率上会存在小的波动）。

鲁０．

｜薹｜；

ＳＮ刚ｄＢＳＮＲ／ｄＢ图４信号ｌ（２０。）到达角的识别图５信号２（１０。）到达角的识别概率与信噪比关系概率与信噪比关系以上实验说明了基于压缩感知（ＣＳ）理论的估计方法的有效性，在少量采样点和低信噪比的情况可以实现宽带ＬＦＭ信号的ＤＯＡ估计，并且获得较好的估计效果。

５结束语

本文阐述了ＣＳ理论的基本原理，并且在ＣＳ理论指导下，对原信号进行随机压缩采样，用采样得到的很少的点实现了ＬＦＭ信号的ＤＯＡ估计。实验仿真验证了ｃｓ理论实现ＬＦＭ信号ＤＯＡ估计的可行性，并在多种信噪比和多个信源的情况下与常用的ＷｖＤ算法估计性能进行比较，体现了基于ＣＳ理论的ＤＯＡ估计方法的可行性和优越性。

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