高一【解析版】泰兴市2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

2012-2013学年江苏省泰州市泰兴市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．

1．（5分）若点P（m，n）（n≠0）为角600°终边上一点，则等于

．

考点：任意角的三角函数的定义．

专题：计算题．

分析：

直接利用三角函数的定义，表示出=tan600°，然后利用诱导公式化简，求解即可．解答：解：由三角函数的定义知

=tan600°=tan（360°+240°）=tan240°=tan60°=，

∴==．

故答案为：

点评：本题是基础题，考查三角函数的定义，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．

2．（5分）根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2）．x ﹣1 0 1 2 3

e x0.37 1 2.72 7.39 20.08

x+2 1 2 3 4 5

考点：函数零点的判定定理．

专题：常规题型；压轴题．

分析：本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题．在解答时，应先将方程的问题转化为函数零点大致区间的判断问题，结合零点存在性定理即可获得解答．

解答：解：令f（x）=e x﹣x﹣2，

由表知f（1）=2.72﹣3＜0，f（2）=7.39﹣4＞0，

∴方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2）．

答案为：（1，2）．

点评：本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．

3．（5分）如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为{2，8}．

考点：V enn图表达集合的关系及运算．

专题：图表型．

分析：分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、C的交集中的元素去掉B中元素得到的集合，由集合A、B、C计算即可得答案．

解答：解：根据题意，分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、C的交集中的元素去掉B 中元素得到的集合，得到的集合，

又由A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，

则A∩C={2，5，8}，

∴阴影部分表示集合为{2，8}

故答案为：{2，8}．

点评：本题考查Venn图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合，注意答案必须为集合（加大括号）．

4．（5分）P，Q分别为直线3x+4y﹣12=0与6x+8y+6=0上任意一点，则PQ的最小值为3．

考点：两点间的距离公式；两条平行直线间的距离．

专题：计算题．

分析：可得PQ的最小值即两平行线3x+4y﹣12=0与3x+4y+3=0间的距离，由距离公式可得．解答：解：直线6x+8y+6=0可变形为3x+4y+3=0，

则PQ的最小值即两平行线3x+4y﹣12=0与3x+4y+3=0间的距离d，

代入公式可得d==3，所以PQ的最小值为3，

故答案为：3

点评：本题考查点到直线的距离公式，得出要求的即两平行线间的距离是解决问题的关键，属中档题．

5．（5分）（2012?虹口区二模）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为4．

考点：循环结构．

专题：图表型．

分析：由已知中的程序框图及已知中输入2，可得：进入循环的条件为S≤2，即P=1，2，3，4，模拟程序的运行结果，即可得到输出的P值．

解答：

解：当P=1时，S=1+；

当P=2时，S=1++；

当P=3时，S=1+++；

当P=4时，S=1++++=；

不满足S≤2，退出循环．

则输出P的值为4

故答案为：4．

点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．

6．（5分）将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为．

考点：等可能事件的概率．

专题：计算题．

分析：根据题意，分析可得将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，由分步计数原理可得共有63=216种情况，进而分两种情况讨论骰子落地时向上的点数能组成等差数列的情况，可得符合条件的情况数目，由等可能事件的概率计算公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，则共有63=216种情况，

它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：

①若落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或

3，4，5或4，5，6；共有6种可能，每种可能的点数顺序可以颠倒，即有2种情况；

即有6×2=12种情况，

②若落地时向上的点数全相同，有6种情况，

∴共有12+6=18种情况，

落地时向上的点数能组成等差数列的概率为=；

故答案为．

点评：本题考查等可能事件的概率计算，注意题干中“向上的点数能组成等差数列”，向上的点数不要求顺序，如“2，1，3”也符合条件．

7．（5分）（2010?卢湾区一模）已知函数的图象过点A（3，7），则此函的最小值是6．

考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的图象．

专题：计算题．

分析：

把点A代入函数式求得a，求得函数的解析式，然后把解析式整理成x﹣2++2利用基本不等式求得函数的最小值．

解答：解：依题意可知3+a=7

∴a=4

∴f（x）=x+=x﹣2++2≥2+2=6（当且仅当x﹣2=即x=4时等号成立）

故答案为：6

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式基础知识的灵活应用．

8．（5分）（2010?嘉定区一模）若关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（，），则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x2﹣4x?cosθ+2＜0与不

等式2x2﹣4x?sinθ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（，π），则θ=．

考点：一元二次不等式的解法；同角三角函数基本关系的运用．

专题：计算题．

分析：由题意若不等式x2﹣4 xcos2θ+2＜0的解集为（a，b）则不等式2x2﹣4xsin2θ+1＜0的解集（）；由一元二次方程与不等式的关系可知，，

整理，结合三角函数的辅助角公式可求θ

解答：解：设不等式x2﹣4 xcos2θ+2＜0的解集为（a，b），由题意可得不等式2x2﹣

4xsin2θ+1＜0的解集（）

由一元二次方程与不等式的关系可知，

整理可得，

∴，且θ∈（，π），

∴

故答案为：

点评：本题以新定义为载体，考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化关系，方程的根与系数的关系，考查了辅助角公式的应用．是一道综合性比较好的试题．

9．（5分）（2010?如皋市模拟）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2．

考点：数列的求和．

专题：计算题．

分析：先根据a n+1﹣a n=2n，对数列进行叠加，最后求得a n=2n．进而根据等比数列的求和公式答案可得．

解答：解：∵a n+1﹣a n=2n，

∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）++（a2﹣a1）+a1

=2n﹣1+2n﹣2++22+2+2

=+2=2n﹣2+2=2n．

∴S n==2n+1﹣2．

故答案为2n+1﹣2

点评：本题主要考查了数列的求和．对于a n+1﹣a n=p的形式常可用叠加法求得数列通项公式．10．（5分）（2010?福建）已知函数和g（x）=2cos （2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是

．

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：计算题；压轴题．

分析：

先根据函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．

解答：解：由题意知，ω=2，

因为，所以，由三角函数图象知：

f（x）的最小值为，最大值为，

所以f（x）的取值范围是．

故答案为：．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想．

11．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，

则k的值是．

考点：二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜截式方程．

分析：

先由不等式组画出可行域，再根据直线把△ABC面积等分可知该直线过线段AB的中点，然后求出AB中点的坐标，最后通过两点确定斜率公式求得k值．

解答：解：画出可行域△ABC，如图所示

解得A（1，1）、B（0，4）、C（0，），

又直线过点C且把△ABC面积平分，

所以点D为AB的中点，则D（，），

所以k==．

故答案为．

点评：本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域及直线的斜截式方程．

12．（5分）设y=f（x）函数在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：

，取函数f（x）=a﹣|x|（a＞1），当时，函数f K（x）

值域是．

考点：函数的值域．

专题：函数的性质及应用．

分析：

由于f（x）=a﹣|x|∈（0，1]，由于当时，若f（x）≤K，则；

若f（x）＞K，则，由此可得函数f K（x）的值域

解答：

解：当a＞1时，f（x）=a﹣|x|∈（0，1]，由于当时，若f（x）≤K，则

；

若f（x）＞K，则，

故答案为．

点评：本题主要考查求函数的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

13．（5分）已知△ABC所在平面上的动点M满足2?=﹣，则M点的轨迹过△ABC的外心．

考点：平面向量数量积的运算；三角形五心．

专题：计算题．

分析：

由数量积的运算结合题意可得，即M在BC的垂直平分线上，过△ABC

的外心．

解答：

解：2?=﹣=，

∴，∴，

∴，∴，

∴M在BC的垂直平分线上，∴M点的轨迹过△ABC的外心，

故答案为：外

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的外心的性质，属中档题．14．（5分）（2012?黄州区模拟）若不等式a+≥在x∈（，2）上恒成立，则实数a的取值范围为a≥1．

考点：函数恒成立问题．

专题：计算题．

分析：先分离常数，然后构造函数，因为构造的函数中含有绝对值，所以要对给定的区间分段去掉绝对值变成分段函数，根据图象可求出最大值，这样就可以求出参数的取值范围．

解答：

解：不等式即为a≥+，在x∈（，2）上恒成立．

而函数f（x）=+=的图象如图所示，

所以f（x）在（，2）上的最大值为1，所以a≥1．

故答案为：a≥1

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，方法是分离常数之后构造函数，转化为函数求最值问题，本题中含绝对值，所以考虑先取绝对值．

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70） (90)

100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；

（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）

（3）从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．

考点：频率分布直方图．

专题：应用题．

分析：（1）先根据矩形的面积表示频率，以及各组的频率和等于1，建立等式关系，求出第一组的频率，然后利用第一组的频率乘以样本容量求出第一组的频数；

（2）根据矩形的面积表示频率，求出成绩60及以上的频率和，利用样本估计总体，对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，从而得到这次考试物理学科及格率；

（3）先求出“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数，然后用1减去低于50分的概率，即可求出所求．

解答：解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于5（0分）的频率为：

f1=1﹣（0.015×2+0.03+0.025+0.005）×10=0.1（3分）

所以低于5（0分）的人数为60×0.1=6（人）（5分）

（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分）的为第一组，

频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75

所以，抽样学生成绩的合格率是75%（（8分）．）

于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%（9分）．

（3）“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数分别是6，9．

所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：

（14分）

点评：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，小长方形的面积等于频率，各个矩形面积之和等于1，以及概率等问题，属于中档题．

16．（14分）已知向量，，x∈R，设函数

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及相应的自变量x的取值集合；

（II ）当且时，求的值

考点：

三角函数的最值；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数． 专题：

计算题；转化思想． 分析

：

（Ⅰ）通过向量关系求出数量积，然后利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为：，即可求函数f （x ）的最大值，借助正弦函数的最大值求出相应的自

变量x 的取值集合； （II ）当

且时，直接得到

，求出

，化简

的表达式，利用两角和的正弦函数，整体代

入，

，求得

的值． 解

答： （Ⅰ）∵，

，

∴

=（sinx ，cosx+sinx ）?（2cosx ，cosx ﹣sinx ）=2sinxcosx+cos 2

x ﹣sin 2

x （1

分）

=sin2x+cos2x （3分） =

（4分）

∴函数f （x ）取得最大值为

．（5分）

相应的自变量x 的取值集合为{x|（k ∈Z ）}（7分）

（II ）由得，即 因为，所以

，从而

（9

分）

于是

=

=

=（14分）

点评本题是中档题，考查了向量的数量积的计算，二倍角和两角和的正弦函数，三角函数的最值，考查转化思想，整体代入思想，合理应用角的变形，二倍角公式的转化，是本题

：的难点，注意总结应用．

17．（14分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），直线l2：﹣4x+2y+1=0和直线l3：x+y

﹣1=0，且l1与l2的距离是．

（1）求a的值；

（2）求l3到l1的角θ；

（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1

的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是：？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．

考点：两条平行直线间的距离；点到直线的距离公式．

分析：本题考查的知识点是两条平行直线间的距离、线线夹角及点到直线的距离公式，（1）由l1与l2的距离是，我们代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关

于a的方程，解方程即可求a的值；

（2）由已知中l1：2x﹣y+a=0（a＞0），直线l3：x+y﹣1=0，我们易得到直线l3及l1的斜率，代入tanθ=||，即可得到l3到l1的角θ；

（3）设P（x0，y0），由点到直线距离公式，我们可得到一个关于x0，y0的方程组，解方程组即可得到满足条件的点的坐标．

解答：

解：（1）l2即2x﹣y﹣=0，

∴l1与l2的距离d==．

∴=．∴|a+|=．

∵a＞0，∴a=3．

（2）由（1），l1即2x﹣y+3=0，∴k1=2．而l3的斜率k3=﹣1，

∴tanθ===﹣3．

∵0≤θ＜π，∴θ=π﹣arctan3．

（3）设点P（x0，y0），若P点满足条件②，

则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x﹣y+C=0上，

且=，即C=或C=，

∴2x0﹣y0+=0或2x0﹣y0+=0；

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，

有=，

即|2x0﹣y0+3|=|x0+y0﹣1|，

∴x0﹣2y0+4=0或3x0+2=0．

由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能．

联立方程2x0﹣y0+=0和x0﹣2y0+4=0，应舍去．解得x0=﹣3，y0=，

由2x0﹣y0+=0，x0﹣2y0+4=0，

解得x0=，y0=．

∴P（，）即为同时满足三个条件的点．

点评：（1）线线间距离公式只适用两条平行直线，且要将直线方程均化为A、B值相等的一般方程．

（2）线线夹角只能为不大于90°的解，故tanθ=||．

18．（16分）已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）．

（1）求函数f（x）的定义域、值域；

（2）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于任意x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；其他不等式的解法．

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）利用函数的性质求函数的定义域和值域．

（2）要使函数在x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0，则实质是求函数f（x）在[﹣1，+∞）上的最大值是否满足条件．

解答：解：（1）由4﹣a x≥0，得a x≤4．当a＞1时，x≤log a4；当0＜a＜1时，x≥log a4．即当a＞1时，f（x）的定义域为（﹣∞，log a4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[log a4，+∞）．

令t=，则0≤t＜2，且a x=4﹣t2，∴f（x）=g（t）=4﹣t2﹣2t﹣1=﹣（t+1）2+4，

当t≥0时，g（x）是t的单调减函数，∴g（2）＜g（t）≤g（0），即﹣5＜f（x）≤3，∴函数f（x）的值域是（﹣5，3]．

（2）若存在实数a，使得对于任意x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0，则区间[﹣1，+∞）是定义域的子集．

由（1）知，a＞1不满足条件；所以0＜a＜1，且log a4≤﹣1，即．

令t=，由（1）知，f（x）=4﹣t2﹣2t﹣1=﹣（t+1）2+4，

由f（x）≤0，解得t≤﹣3（舍）或t≥1，即有≥1解得a x≤3，

由题意知对任意x∈[﹣1，+∞），有a x≤3恒成立，因为0＜a＜1，所以对任意x∈[﹣1，

+∞），都有a x≤a﹣1．所以有a﹣1≤3，解得，即．∴存在，

对任意x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0．

点评：本题的考点是与指数函数有关的复合函数的定义域和值域问题，解决此类问题的关键是利用换元，将函数进行转换判断．

19．（16分）如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方解放路上选取A点，在A、B间修建徐新路．

（1）如果在A点看市中心O和点B视角的正弦值为，求在点B处看市中心O和点A视角的余弦值；

（2）如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为，A点距市中心的距离

为3km，求南徐新路的长度；南徐新城南徐新路健康路BB西北东A南O解放城解放城正东路

（3）如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定两点A、B的位置．

考点：在实际问题中建立三角函数模型．

专题：应用题．

分析：

（1）由题意∠A0B=，∠BAO为税角，sin∠BAO=，由于；∠OBA=﹣∠BAO，故由差角公式求值即可；

（2）如图在三角形AOB中用余弦定理求解即可．

（3）根据题设条件用余弦定理将南徐新路AB的长度表示出来，再结合基本不等式求最值即可．

解答：

解：（1）由题可得∠A0B=

，∠BAO 为税角，sin ∠BAO=，

故cos ∠BAO=，cos ∠OBA=cos （

﹣∠BAO ）=

=

（2）OA=3，S=OA ×OB ×sin ∠BOA=OB ×3×sin =

，

∴OB=5，由余弦定理可得

=9+25+15=49，∴AB=7

（3）∵BA ×4=×OA ×OB ×sin ∠BOA ，∴OA ×OB=

AB

=OA 2

+OB 2

+OA ×OB ≥3OA ×OB=3×

AB ，

∴AB ≥8，等号成立条件是OA=OB=8

答：当AB 最短时，A ，B 距离市中心O 为8公里． 点评： 本题考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数模型解决实际问题，三角

函数模型是一个非常重要的模型，在实际生活中有着很广泛的运用．

20．（16分）定义数列{a n }：a 1=1，当n ≥2时，其中r ≥0

常数．

（Ⅰ）若当r=0时，S n =a 1+a 2+…+a n ； （1）求：S n ；

（2）求证：数列{S 2n }中任意三项均不能构成等差数列； （Ⅱ）求证：对一切n ∈N *

及r ≥0，不等式

恒成立．

考点：

反证法与放缩法；数列的求和；不等式的证明． 专题：

计算题；证明题；压轴题． 分析： （1）先计算数列的前8项猜想数列的特点，数列{a 2k ﹣1}、{a 2k }（k ∈N *

）均为等比数列，从而利用等比数列的求和公式求解即可；对于否定性的结论的证明，往往利用反证法证

明；

（1）欲证此不等式

恒成立，先对左边式子利用拆项法求和，后再进

行放缩即得． 解答： 解：（1）当r=0时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8．

从而猜出数列{a 2k ﹣1}、{a 2k }（k ∈N *

）均为等比数列． （2分）

∵a2k=a2k﹣1=2a2k﹣2，a2k+1=2a2k=2a2k﹣1，

∴数列{a2k﹣1}、{a2k}（k∈N*）均为等比数列，∴a2k﹣1=a2k=2k﹣1．（4分）

①∴S2k=2（a1+a3+a5++a2k﹣1）=2（2k﹣1）=2k+1﹣2，S2k﹣1=S2k﹣2+a2k﹣1=2k﹣2+2k﹣1=3×2k ﹣1﹣2，

∴．（6分）

②证明（反证法）：假设存在三项

S m，S n，S p（m，n，p∈N*，m＜n＜p）是等差数列，

即2S n=S m+S p成立．

因m，n，p均为偶数，

设m=2m1，n=2n1，p=2p1，（m1，n1，p1∈N*），

∴，

即，

∴，

而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾；（10分）

（2）∵a2k=a2k﹣1+r=2a2k﹣2+r，

∴a2k+r=2（a2k﹣2+r），∴{a2k+r}是首项为1+2r，

公比为2的等比数列，∴a2k+r=（1+2r）?2k﹣1．

又∵a2k+1=2a2k=2（a2k﹣1+r），∴a2k+1+2r=2（a2k﹣1+2r），

∴{a2k﹣1+2r}是首项为1+2r，公比为2的等比数列，

∴a2k﹣1+2r=（1+2r）?2k﹣1．（12分）

∴

=

=，

∴

=．∵r≥0，∴．

∴． （16分）

点评： 本题主要考查了等差数列、等比数列、不等式证明中的反证法与放缩法以及数列的求和，是一道综合性很强的题目，属于难题．