一元二次方程

一元二次方程
一元二次方程

实际问题与一元二次方程

类型1商品销售问题

1、某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单定为每件多少元?

1、变式训练:某精品店购进甲乙两种小礼品,已知1件甲礼品的进价比1件乙礼品的进价多1元,购进2件甲礼品与1件乙礼品共需11元。(1):求甲礼品的进价:

(2)经市场的调查发现,若甲礼品按6元/件销售,每天可卖40件,若按5元/件销售,每天可卖60件。假设每天销售的件数y与销售x之间满足一次函数的关系,求y与x之间函数关系式;

(3)在2的条件下,当甲礼品的销售定为多少时,才能使每天销售甲礼品的利润为60元?

2、变式训练:某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?

类型2传播问题

1、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?

变式训练1:某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

变式训练2:有2人患了流感,经过两轮传染后共有128人患了流感。

(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?

(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?

类型3:增长率

白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2014年达到82.8公顷.(1)求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率;

(2)若年增长率保持不变,2015年该镇绿地面积能否达到100公顷?

变式训练1:某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么关于x的方程是?

1、如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m 长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?

变式训练1:若设计了如图所示的水渠,则水渠的宽度又为多少?(只列方程,不求解)方程:。

变式2 若把水渠由直线改为斜线如图(3)所示,则水渠的宽度又为多少?(直接写出答案)

水渠的宽度为。

1、如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动,

(1)P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33cm2?

(2)P、Q两点从出发开始到几秒时,点P和点Q的距离是10cm?

变式训练:如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B

以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm2?

(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5cm?

(3)如果P、Q分别从A、B同时出发,△PBQ的面积能否等于7cm2?说明理由.由此思考:

△PBQ的面积最多为多少cm2?

一元二次方程

1)x^2-9x+8=0 答案:x1=8 x2=1 (2)x^2+6x-27=0 答案:x1=3 x2=-9 (3)x^2-2x-80=0 答案:x1=-8 x2=10 (4)x^2+10x-200=0 答案:x1=-20 x2=10 (5)x^2-20x+96=0 答案:x1=12 x2=8 (6)x^2+23x+76=0 答案:x1=-19 x2=-4 (7)x^2-25x+154=0 答案:x1=14 x2=11 (8)x^2-12x-108=0 答案:x1=-6 x2=18 (9)x^2+4x-252=0 答案:x1=14 x2=-18 (10)x^2-11x-102=0 答案:x1=17 x2=-6 (11)x^2+15x-54=0 答案:x1=-18 x2=3 (12)x^2+11x+18=0 答案:x1=-2 x2=-9 (13)x^2-9x+20=0 答案:x1=4 x2=5 (14)x^2+19x+90=0 答案:x1=-10 x2=-9 (15)x^2-25x+156=0 答案:x1=13 x2=12 (16)x^2-22x+57=0 答案:x1=3 x2=19 (17)x^2-5x-176=0 答案:x1=16 x2=-11 (18)x^2-26x+133=0 答案:x1=7 x2=19 (19)x^2+10x-11=0 答案:x1=-11 x2=1 (20)x^2-3x-304=0 答案:x1=-16 x2=19 (21)x^2+13x-140=0 答案:x1=7 x2=-20 (22)x^2+13x-48=0 答案:x1=3 x2=-16 (23)x^2+5x-176=0 答案:x1=-16 x2=11 (24)x^2+28x+171=0 答案:x1=-9 x2=-19 (25)x^2+14x+45=0 答案:x1=-9 x2=-5 (26)x^2-9x-136=0 答案:x1=-8 x2=17 (27)x^2-15x-76=0 答案:x1=19 x2=-4 (28)x^2+23x+126=0 答案:x1=-9 x2=-14 (29)x^2+9x-70=0 答案:x1=-14 x2=5 (30)x^2-1x-56=0 答案:x1=8 x2=-7 (31)x^2+7x-60=0 答案:x1=5 x2=-12 (32)x^2+10x-39=0 答案:x1=-13 x2=3 (33)x^2+19x+34=0 答案:x1=-17 x2=-2 (34)x^2-6x-160=0 答案:x1=16 x2=-10 (35)x^2-6x-55=0 答案:x1=11 x2=-5 (36)x^2-7x-144=0 答案:x1=-9 x2=16 (37)x^2+20x+51=0 答案:x1=-3 x2=-17 (38)x^2-9x+14=0 答案:x1=2 x2=7 (39)x^2-29x+208=0 答案:x1=16 x2=13 (40)x^2+19x-20=0 答案:x1=-20 x2=1 (41)x^2-13x-48=0 答案:x1=16 x2=-3 (42)x^2+10x+24=0 答案:x1=-6 x2=-4

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结 1、一元二次方程的一般式:2 0 (0)ax bx c a ++=≠,a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项。 2、一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 (也可以使用因式分解法) ①2 (0)x a a =≥ 解为:x = ②2 ()(0)x a b b +=≥ 解为:x a += ③2 ()(0)ax b c c +=≥ 解为:ax b += ④2 2() ()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:()ax b cx d +=±+ (2)因式分解法:提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法 (3)公式法:一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠,用配方法将其变形为:222 4()24b b ac x a a -+= ①当2 40b ac ?=-> 时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:1,22b x a -=② 当2 40b ac ?=-=时,右端是零.因此,方程有两个相等的实根:1,22b x a =- ③ 当2 40b ac ?=-<时,右端是负数.因此,方程没有实根。 注意:虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用。 备注:公式法解方程的步骤: ①把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:2 0 (0)ax bx c a ++=≠,并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ?=-,并判断方程解的情况。 ③代公式:1,2x = 3、一元二次方程的根与系数的关系 法1:一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为: 1222b b x x a a -+-== 所以:12b x x a += +=-, 221222()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?===

专题11 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(解析版)

提升训练2.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、选择题 1.用配方法解方程2680x x --=时,配方结果正确的是( ) A .2(3)17x -= B .2(3)14-=x C .2(6)44x -= D .2(3)1x -= 【答案】A 【解析】 用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8=0时,配方结果为(x ﹣3)2=17, 故选A . 2.若1x ,2x 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个根,则12x x 的值是( ) A .4 B .-3 C .-4 D .3 【答案】D 【解析】 ∵一元二次方程x 2+4x+3=0的二次项系数a=1,常数项c=3, ∴x 1?x 2=c a =3. 故选D . 3.一元二次方程2320x x =--的两根分别为12x x ,,则下列结论正确的是( ) A .1212x x =-=, B .1212x x ==-, C .123x x =+ D .122x x = 【答案】C 【解析】 ∵方程2320x x =--的两根为12x x ,, ∴1212+=-3,2b c x x x x a a ===- ∴C 选项正确. 故选C

4.若1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根,则1122x x x x ++的值为( ) A .1 B .-1 C .3 D .-3 【答案】A 【解析】 因为1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根, 所以12122,1x x x x +=?=- 所以1122x x x x ++=2-1=1 故选A 5.若,,则以,为根的一元二次方程是( ) A . B . C . D . 【答案】A 【解析】 ∵ , ∴ , 而 , ∴ , ∴, ∴以,为根的一元二次方程为 . 故选:A . 6.若代数式2x 2-5x 与代数式x 2 -6的值相等,则x 的值是( ) A .-2或3 B .2或3 C .-1或6 D .1或-6. 【答案】B 【解析】 因为这两个代数式的值相等, 所以有: 2x 2-5x=x 2-6, x 2-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0,

一元二次方程应用题——分类

增长率问题:1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价:1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元。(3)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大。”你认为对吗?请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游,推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游,共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游? 图 1

一元二次方程 习题100道

一元二次方程百题 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 (1)0142 =-x (2)2)3(2=-x (3)()512 =-x (4)()162812 =-x (5)2 225x =; (6)2(1)9x -=; (7)2 (61)250x --=. (8)2 81(2)16x -=. (9)2 5(21)180y -= (10)21 (31)644 x += (11)26(2)1x +=; (12)25(21)180y -= (13)21(31)644 x += (14)26(2)1x +=; (15)2 ()(00)ax c b b a -=≠,≥ 二、用配方法解下列一元二次方程。 (16)0662 =--y y (17) x x 4232=- (18)9642 =-x x

(19)210x x +-= (20)23610x x +-= (21)2 1(1)2(1)02x x ---+ = (22)22540x x --= (23)210x x --= (24)2 3920x x -+=. (25)2 310y y ++=. (26).210x x +-= (27).23610x x +-= (28).21 (1)2(1)02 x x ---+= (29).23610x x --= (30) 22540x x --= (31)210x x --= (32)2 3920x x -+=. (33)0542 =--x x

(34)01322 =-+x x (35)07232 =-+x x (36)01842 =+--x x (37)022 2=-+n mx x (38)()0022 2 >=--m m mx x 三、用公式解法解下列方程。 (39)0822 =--x x (40)2 2 314y y -= (41)y y 32132=+ (42)x 2 +4x +2=0 ; (43)3x 2 -6x +1=0; (44)4x 2 -16x +17=0 ; (45)3x 2 +4x +7=0. (1)2x 2 -x -1=0; (46)4x 2 -3x +2=0 ;

一元二次方程(含答案)

第十六期:一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的,一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样,一般分值在6-9分左右。 知识点1:一元二次方程及其解法 例1:方程0232 =+-x x 的解是( ) A .11=x ,22=x B .11-=x ,22-=x C .11=x ,22-=x D .11-=x ,22=x 思路点拨:考查一元二次方程的解法,一元二次方程的解法有:一是因式分解法;二是配方法;三是求根公式法.此题可以用此三种方法求解,此题以因式分解法较简单,此式可以分解为(x -1)(x -2)=0,所以x -1=0或x -2=0,解得x 1=1,x 2=2.故此题选A. 例2:若2 20x x --= ) A B C D 思路点拨:本题考查整体思想,即由题意知x 2-x=2, 所以原式=3 3 23 123222= +-+,选A. 练习: 1.关于x 的一元二次方程2x 2-3x -a 2 +1=0的一个根为2,则a 的值是( ) A .1 B C . D .2.如果1-是一元二次方程2 30x bx +-=的一个根,求它的另一根. 3.用配方法解一元二次方程:x 2-2x -2=0. 答案:1.D. 2.解: 1-是230x bx +-=的一个根, 2(1)(1)30b ∴-+--=.解方程得2b =-.

∴原方程为2230x x --= 分解因式,得(1)(3)0x x +-= 11x ∴=-,23x =. 3.移项,得x 2-2x=2. 配方x 2-2x+12=2+12, (x -1)2=3. 由此可得x -1=±3, x 1=1+3,x 2=1-3. 最新考题 1.(2009威海)若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-,则另一个根是______. 2.(2009年山西省)请你写出一个有一根为1的一元二次方程: . 3.(2009山西省太原市)用配方法解方程2250x x --=时,原方程应变形为( ) A .()216x += B .()216x -= C .()2 29x += D .()2 29x -= 答案:1.1; 2.答案不唯一,如2 1x = 3. B 知识点2:一元二次方程的根与系数的关系 例1:如果21,x x 是方程0122 =--x x 的两个根,那么21x x +的值为: (A )-1 (B )2 (C )21- (D )21+ 思路点拨:本题考查一元二次方程02 =++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理,两根之和是a b - , 两根之积是a c ,易求出两根之和是2。答案:B 例2:设一元二次方程2 730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x , 则12x x += ,x 1、·x 2 .

解一元二次方程(公式法)

应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程(m+1)22m x ++(m-2)x-1=0提出了下列问题. (1)若使方程为一元二次方程,m 是否存在?若存在,求出m 并解此方程. (2)若使方程为一元二次方程m 是否存在?若存在,请求出. 你能解决这个问题吗? 分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m 2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0. (2)要使它为一元一次方程,必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解:(1)存在.根据题意,得:m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时,m+1=1+1=2≠0 当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去) ∴当m=1时,方程为2x 2-1-x=0 a=2,b=-1,c=-1 b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9 134 ±= x 1=,x 2=-12 因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x 1=1,x 2=- 12. (2)存在.根据题意,得:①m 2+1=1,m 2=0,m=0 因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意. ②当m 2+1=0,m 不存在. ③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意. 当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0, 解得:x=-1 当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-?1时,其一元一次方程的根为x=- 13. 布置作业 1.教材P 45 复习巩固4. 2.选用作业设计:

(完整版)一元二次方程的应用练习题及答案

一元二次方程的应用 1.某地区2014年投入教育经费2500万元,2016年投入教育经费3025万元. (1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率; (2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2017年该地区将投入教育经费多少万元. 2.白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2014年达到82.8公顷. (1)求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率; (2)若年增长率保持不变,2015年该镇绿地面积能否达到100公顷? 3.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定位多少元? 4.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售. (1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示); (2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?

5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件; (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多? 6.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具. (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把化简后的结果填写在表格中: 销售单价(元)x 销售量y(件) 销售玩具获得利润w(元) (2)在(1)问条件下,若商场获得了10000元销售利润,求该玩具销售单价x应定为多少元. 7.利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地,求矩形的长和宽.

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2); (3). 分析:用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值,再代入公式计算,

一元二次方程根与系数的关系(11.3)

一元二次方程根与系数的关系 一、验根 1.判断下列各方程后面括号内的两个数是不是前面方程的根。 (1)x2+5x+4=0 (1,4);(2)2x2-3x+1=0 (1 2 ,1); (3)x2+5x=6 (2,3);(4)x2-(3+2)x+6=0 (3,2)。 二、不解方程,直接找出方程的两根之和与积 1.3x2-2x-1=0的两根之积为,两根之和为。 2.3x2-x=0的两根之积为。 3.2x2-1=0的两根之积为。 4.2x2+(3-4)x-23=0的两根之和为。 5.3x2-2(x+1)=2的两根之和为,两根之积为。 6.若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数,则b= 。 7.若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为负倒数,则b= 。 8.若ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为零,则c= 。 9.若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根都为零,则b= ,c= 。 10.已知关于x的一元二次方程x2-px+6=0的两根恰是一矩形的长和宽,则这个矩形的面积= 。 三、求有关根的式子的值 1.已知方程x2+4x-6=0的两个根是α和β,求下列代数式的值。 (1)(α+2)(β+2);(2)α2β+β2α; (3)1 α+1 β ; (4)α2+β2; (5)(α-β)2;(6)β α+α β ; (7)α3+β3; (8)|α-β|; (9)α-β。 2.已知x2+11x+16=0的两根为x1,x2;求x2 x1+x1 x2 的值。 3.已知实数a,b满足a2-a-11=0,b2-b-11=0,且a≠b,求a2+b2的值。 4.已知a4+2a2-5=0,1 b +2 b -5=0,且a2≠1 b ,求ba 4+a2 b 的值。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点 教学重点:根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点:根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键:对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 主要知识点: 一、一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式: )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤:就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a ,一次项的系数为b ,常数项的系数为c 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式 5、韦达定理

一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总 (一)传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后,由每盒200 元下调至128 元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主 干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共 互赠了182 件,这个小组共有多少名同学? 6. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72 张,这个小组共有多 少人? 7. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700 台?

(二)平均增长率问题 变化前数量×(1x)n=变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤,2003 年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90 元降到了40 元,求平均每 次降价率是。 3. 某种商品,原价50 元,受金融危机影响, 1 月份降价10%,从2 月份开始涨价, 3 月份的售价为64.8 元,求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求 每次降价的百分率? 5. 为了绿化校园,某中学在2007 年植树400 棵,计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。

21一元二次方程教案(表格形式,打包11套)-10

21.2.4一元二次方程的根与系数关系 一、教材分析知道一元二次方程的根与系数的关系,学习运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 二、学情分析 已经知道因式分解中的十字交叉法,这对认识一元二次方程的根与系数的关系,学生有点基础,再多加练习,是能够学会的。 三、教学目标 1.知道一元二次方程的根与系数关系. 2.学会运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 四、教学重点难点重点 一元二次方程的根与系数关系难点 对根与系数关系的理解和推导

五、教学过程设计 一、复习引入 导语:一元二次方程的根与系数有着密切的关系,早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系,你能发现吗? 二、探究新知 1.课本思考 分析:将(x- x1)(x-x2)=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2), q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根,则一次项系数等于两根和的相反数,常数项等于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根x1、x2. 的和与积. x2+3x+2=0; x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗? 分析:这个方程的二次项系数等于2,与上面情形有所不同,求出方程两根,再通过计算两根的和、积,检验上面的结论是否成立,若不成立,新的结论是什么?4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的a不一定是1,它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗? 分析:利用求根公式,求出方程两根,再通过计算两根的和、积,得到方程的两个根x1、x2和系数a,b,c的关系,即韦达定理,也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到,根与系数的关系由求根公式得到,因此,任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根x1、x2. 的和与积. ○13x2+7x+2=0;3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0;3x2-7x-2=0; ○25x-1=4x2;5x2-1=4x2+x 6.拓展练习 ○1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1,3,则b= ,c= . ○2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则另一个根是 ,k的值是 . ○3若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数,则p= ; 若两个根互为倒数,则q= . 分析:方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数;方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次

最新一元二次方程应用题精选(含答案)

1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.

第11讲.一元二次方程根系关系及应用题(答案版)

1 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 方程11级 解特殊复杂方程 方程12级 特殊根问题 方程6级 方程13级 根系关系及应用题 春季班 第十一讲 春季班 第九讲 考古发现 满分晋级阶梯 漫画释义 11 根系关系及应用题

知识互联网 题型切片 编写思路 本讲主要分为两个版块,模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点,韦达定理,在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形,对于这个补充版块,有的班级理解能力强些,老师们可能会有一些富余时间,故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。 模块二练习了各个类型的应用题,希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程,并再次练习了解方程应用题的一般步骤:审、设、列、解、答,希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 2

3 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根,则方程的两个根 21,x x 和系数c b a ,,有如下关系:a c x x a b x x =?-=+2121,. 【引例】 先阅读,再填空解题: ⑴方程x 2-x -12=0 的根是:x 1=3-,x 2=4,则x 1+x 2=1,x 1·x 2=12-; ⑵方程2x 2-7x +3=0的根是:x 1=12,x 2=3,则x 1+x 2=72,x 1·x 2=3 2 ; ⑶方程x 2 -3x +1=0的根是:x 1= , x 2= . 则x 1+x 2= ,x 1·x 2= ; ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出: 如果关于x 的一元二次方程mx 2+nx +p =0(m ≠0且m 、n 、p 为常数)的两根为x 1、x 2,那么x 1+x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系?请写出来你的猜想并说明理由. ⑸在⑶的条件下,求下列各式的值:①221221x x x x +;②221211 x x + (十一学校期末) 【解析】 ;3,1;⑷1212n p x x x x m m +=-=,; ⑸①()22 12211212==31=3x x x x x x x x ++?②()() 2 221212122 222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+ 【例1】 不解方程,求下列方程两根的积与和. ⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+ 思路导航 例题精讲 典题精练 题型一:根与系数关系

一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者: 设计时间 : 文档类型: 文库精品文档,欢迎下载使用。Word 精品文档,可以编辑修改,放心下载 1.如果2是一元二次方程x 2 +bx +2=0的一个根,那么常数b 的值为 . 2.方程042=-x x 的解______________. 3.方程240x -=的根是( ) A .2x = B .2x =- C .1222x x ==-, D .4x = 4.由于甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响,在一个月内猪肉价格两次大幅下降.由原来每斤16元下调到每斤9元,求平均每次下调的百分率是多少?设平均每次下调的百分率为x ,则根据题意可列方程为 . 【参考答案】1.-3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念,会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 (1)判断一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后再进行判断, 注意一元二次方程一般形式中0≠a . (2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. (3)用配方法时二次项系数要化1. (4)用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接

1.一元二次方程:在整式方程中,只含 个未知数,并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项, 叫做一次项, 叫做常数项; 叫做二次项的系数, 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法: (1)直接开平方法:形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程,就可用 直接开平方的方法. (2)配方法:用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是:①化二 次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项,③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方,④化原方程为2 ()x m n +=的形式,⑤如果是非负数,即0n ≥,就可以用直接开平方求出方程的解.如果n <0,则原方程无解. (3)公式法:一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. (4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:①将方程的右边化为 ;②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1(湖南长沙)已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =,则实数k 的值为( ) A .1 B .1- C .2 D .2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根,所以将x=3代入原方程, 原方程成立,即06332 =--k 成立,解得k=1。故选A 。 例2(湖北仙桃)解方程:2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点,可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-

一元二次方程的起源和应用

一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义:(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数,所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,在公元前4、5世纪时,古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一。公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种不同的形式,令a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一次给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数

学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解 外,还给出根与系数的关系。我国《九章算术.勾 股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、 一元二次方程的广泛应用x例1:下列关于的方程, 哪些是一元二次方程?;(1)(2); (3);(4);22222(5); (6);(7)(8); x注意点:① 二次项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③是整 式方程;④只含有一个未知数.22例1:当k 时,关于x的方程是一元二次方程。 m例2:方程是关于x的一元二次方程,则m的 值为。2例3:若方程是关 于x的一元二次方程,则m的取值范围 是。mn2例4:若方程nx+x-2x=0是一元二次方程, 则下列不可能的是() A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2(一)、一元二次方程的一般 形式:,它的特征是:等式左2边是一 个关于未知数的二次多项式,等式右边是零,其中 叫做二次项,叫ax xa做二次项系数;叫做一次项,叫

一元二次方程应用题总结归类及典型例题库

一元二次方程应用题总结分类及经典例题 1、列一元二次方程解应用题的特点 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展,从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等. 2、列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是: “审、设、列、解、答”. (1)“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系.这一步是解 决问题的基础; (2)“设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设 元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易; (3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个 相等关系列出含有未知数的等式,即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键; (4)“解”就是求出所列方程的解; (5)“答”就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度 不能为负数,降低率不能大于100%等等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.3、数与数字的关系 两位数=(十位数字)×10+个位数字 三位数=(百位数字)×100+(十位数字)×10+个位数字 4、翻一番 翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍. 5、增长率问题 (1)增长率问题的有关公式:

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