初一学生如何学好几何证明方法浅谈

初一学生如何学好几何证明方法浅谈

学习几何离不开证明，要学好几何证明，必须做到：

一、练好几项基本功。

1、学会正确识图与画图。

所谓识图，不是指观察，分析和认识几何图形，做到既能识别表示各个概念的简单图形，又能在复杂的图形中识别出表示某个概念的那部分图形。所谓画图，就是指能独立而正确地画出表示概念的各种图形，注意“题”与“图”的对应关系，使所画图形符合题意。

2、学会正确使用几何语言。

几何语言就是几何这门学科的专用语言，它包括文字语言、符号语言、图形语言等。学好几何语言对学习几何证明很重要。学习几何语言，关键要把图形与文字、符号联系起来，掌握文字、符号、图形三种语言互译的技能。

二、掌握证明的基本结构：

∵……（??????? ）

∴……（??????? ）

其中“∵”后面写推理的“因”，“∴”后面写推理的“果”，“（?? ）”里面写由因得果的依据，即理由。如：

∵∠A和∠B是对顶角（已知），

∴∠A=∠B（对顶角相等）。

每一个推理都应包含“因”、“果”和“理由”三部分，而且因果关系必须合理。

三、熟悉推理的三种类型。

1、一因一果，如上述例子就是“一因一果”的推理。

2、一因多果，

∵AB∥CD（已知），

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。

这就是“一因多果”的推理，具体证明时，应根据需要来选择多个“果”中的一个或几个。

3、多因一果，如：∵a∥b,b∥c（已知），

∴a∥c（平行于同一直线的两直线平行）。

这就是“多因一果”的推理，这类推理必须多“因”都具备时，才能得出“果”。

四、明确证明的层次关系。

几何命题的证明通常是由若干个推理组成的，即含有多层因果关系。但在实际书写证明过程中，从第二个推理开始常省略它的“因”（这个“因”往往就是上一个推理的“果”）。六、五、掌握常用的证明方法。

几何证明的方法很多，但常用的有两种：

（1）分析法，简要地说，分析法就是由结果去探索使它成立的原因，即“执果索因”。（2）综合法，简要地说，综合法就是由条件推导出结果，即“由因导果”。

这两种方法各有利弊，分析法易找到证题途径，但书写过程较繁；而综合法书写过程简明，但不易找到证题途径，故在证明时，常常将两者结合起来，即先用分析法寻找证题途径，再用综合法书写证明过程，我们称之为“逆推顺证”以上所谈是学习几何证明必须注意的事项，此外，还要注意防止出现错误，只要同学们勤于思考，善于总结，就一定能学好几何证明

浅谈如何培养学生的几何推理与证明能力作者：姬留宝(初中数学河南洛阳栾川县初中数学班) 评论数/浏览数：4 / 155 发表日期：2011-12-06 10:50:23 经过思考，学习，实践，我对培养学生的几何推理与证明能力有自己的一点看法。

一，几何语言的培养与掌握是学好几何推理与证明的保障。

几何语言是把几何图形用简练的语言表述出来，有些语言是特定的定义，名称，是规定了的数学语言，从一开始就要把几何语言的教学看的很重要，不敢掉以轻心，只有学生能准确理解几何语言并进一步的掌握几何语言，运用几何语言才是学好几何的前提，否则，越到后边越困难，不重视几何语言的培养，即使学生理解了几何中的定义和概念，那么到后来，学生也无法运用定义和定理解决实际问题，无法书写几何大题的步骤，在和教师，教材之间无法用一种语言交流，造成几何学习的混乱，这样就无法完成后续的几何教学，积重难反。不得不又倒回去。所以，重视几何语言，特定的符号语言和文字语言的互译是非常重要的，它不仅仅是一节的知识，它是贯穿几何体系始末的语言，重在对整个体系的重构。所以几何语言的培养是学好几何的第一步。是后续学习的保证。

二，几何推理与证明的培养宜慢不宜快。

几何推理与证明从最简单的算角。算线段的加减，等分，角的加减，等分开始，要慢慢的让学生掌握好，教师要自修完整个初中几何体系才开始几何的教学，不能一节一节的去上几何课，不能初一上初一的，初二上初二的，等到初三才发现原来的教学认识不够，导致几何学生学习的难上加难，从一开始就要分散难点并把关键点扎扎实实的掌握好，为后面的教学早准备，才能彻底的学好初中几何。几何推理与证明的培养宜慢，慢慢的让学生理解简单的推理并准确书写，只有这样才能在后面的学习中化难为易，才能把较复杂的问题变成几个简单的问题的组合。由于几何的体系性太强，所以能早训练的一定要早训练，等到后来问题成堆，困难重重，学好几何就成大问题了。

三，条件到结论是一段很重要的桥梁，是唯一的桥梁。

几何定理，推论的准确理解，至关重要，文字语言，图形语言，符号语言要很好的把握，分清定理的条件和结论，有条件可以得到什么样的结论，是非常明确的，加重对定理的条件和结论的理解教学，条件足够即可，条件不能重复，结论不能是是而非，要让学生理解并熟练应用，条件和结论的掌握是一个整体，不能一味的分开教学，过多的强调条件和结论的教学反而让学生把条件和结论分开来，一定要注意到它们的整体性，它们就像一个等式，要连在一起，在连在一起的前提下在注意运用是的把握，许多学生写“同位角相等”这样的话就是把条件和结论分开造成的，所以一定要注意条件到结论是一个整体。教师不能过多的强调分开的理解，让学生在做题中反馈。

四，几何例题的教学，学生作业的反馈尤为重要

正因为几何的连贯性非常强，所以几何例题的教学要多选精讲，选题要看这道题考察的知识点是什么，这道题的图形是否是基本图形的组合，和学生的实际情况的联系，这道题和后续的题，知识点有什么联系都要心中有数，学生的作业也要精挑细选，学生的作业反馈要及时，几何作业的书写尤为重要，图形语言，符号语言，文字语言三种语言的互译要防止

出错，及时更正，出错是难免的，只有在不断的更正中才有可能准确地掌握几何语言的互译，定理推论的准确应用。

几何的教学非常重要，所以要引起足够的重视，在不断的实践中反思更正教学侧重点，努力发展学生的逻辑推理能力。图形观察能力，几何语言的交流能力。进而解决实际问题的能力

怎样学好几何证明

摘要：要想学好几何证明，首先要学好基础知识，练好几项基本功；其次掌握证明的基本结构，熟悉推理类型；还要明确证明的层次关系，掌握证明的方法。

几何是从“形”的角度展开学习的，几何具有如下显著的特点：以图形为主，直观性强。以推理为主，逻辑性强。而几何证明是根据已知条件和学过的定义、定理、公理，运用推理的方法得出结论的过程，那么如何才能学好几何证明呢？下面根据自己的学生学习几何证明的得失谈谈几点看法。

一、学好基础知识，练好几项基本功。

这是学好几何的前提条件。定义、定理、公理等几何基础知识是进行几何证明的理论依据，务必切实掌握，但以理解为主，切不可以认为背熟、记牢就可以了。用“背”的方法学习几何的问题，这是最愚蠢的学习方法。首先要学好基础知识：

1、咬文嚼字、准确掌握概念中的关键词句。如直线公理“经过两点有一条直线，并且只有一条直线。”前面的有表示存在后面的“只有”表示唯一，要注意他们的不同的含义。

2、善于对比找出概念间的联系和区别，如直角、互相垂直和互为余角这三个概念都与90度的角有关，但是有区别。学习时要深刻理解每个概念的含义，彻底弄清公理定理的题设与结论。只有这样才能正确运用它们进行有关的证明。

其次，在此基础上还必须练好几项基本功：

1、正确识图和画图。所谓识图就是指观察分析几何图形做到即能识别表示概念的基本图形，有能在复杂的图形识别出表示某个概念的那部分图形。所谓画图就是指独立而正确地画出表示概念的各种图形，注意“题”与“图”的对应关系使所画的图符合题意。

2、正确使用几何语言

学习几何证明首先要攻破语言这道关，几何语言可分为文字语言、符号语言和图形语言。文字语言主要指术语和关键词。术语如“直线、角”等关键词如“都”、“是”等；符号语言是用符号来表示文字意义的，如“角”、“平行”、“垂直”分别用“∠”、“∥”、“⊥”来表示；图形语言是以“形”来表达意思的一种特有的语言，如B、C是线段AD的三等分点，用符号语言为：AB=BC=CD=AD, 而图形语言为：

学好几何语言对学习几何很重要，学习几何语言关键是把图形与文字符号联系起来，掌握文字、符号、图形三种语言互译的技能,另一方面要努力学会说几何语言。

二、掌握证明的基本结构，熟悉推理类型

证明的基本结构是∵……（）∴……（）其中∵后面写推理的“因”∴后面写推理的“果”，（）里面写由因得果的依据，即理由。

如∠1与∠2互余

∴∠1+∠2=90 (互余的定义) 每个推理都包含“因”、“果”和“理由”三部分，而且因果关系必须合理，推理常见有三种类型：

1、“一因一果”，上述例子就是“一因一果”的推理。

2、“一因多果”如图1

∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）

∠2=∠3 （两直线平行，内错角相等）

这就是“一因多果”的推理，证明时应根据需要来选择多个“果”中的一个或几个。

3、多因一果，如

∵∠1＝∠2，

CE⊥OB ,CF⊥OA

∴CE=CF (角平线上的点到角两边的距离相等)

这就是“多因一果”的推理，这类推理过程必须有多“因”都具备时才能得出“果”。

三、明确证明的层次关系，掌握证明的方法。

几何题千变万化，面对冗长复杂的几何证明题，看上去不免使人眼花缭乱，乱成一团，其实几何命题的证明通常是由若干推理组成的，即含有多层因果关系。

1、推理时要合理安排前后顺序，做到层次分明。

如图，AOC为一条直线，OB为一条射线，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC

求证：OD⊥OE

分析：本题的证明可由三个简单推理组成

（Ⅰ）∵OD平分∠AOB，OE平分∠BOC( 已知)

∴∠1＝∠AOB ,∠2=∠BOC (角平分线的定义)

（Ⅱ）∵AOC为一条直线（已知）

∴∠AOB+∠BOC=180°（平角的定义）

（Ⅲ）∴∠DOE=∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)（等量代换）

∴OD⊥OE （垂直的定义）

上述证明中，（Ⅰ）与（Ⅱ）的前后顺序可以调换，但（Ⅲ）就必须放在最后，这样才合理。同时从（Ⅰ）与（Ⅱ）中也可知，用到哪个已知条件就是哪个，不能一开始就把所有的已知条件全写出来，但在（Ⅲ）中为什么没有“∵”这一步呢？这是（Ⅰ）与（Ⅱ）已证出的结论作为（Ⅲ）的条件，因而可省略。也就是说后一步对前一步得出的结论来说，又是结论时就可以写成“∴……”“∴……”的形式。

2、掌握几何证明题的方法

几何的基本的数学思维方法有综合法和分析法两种。综合法是以已知条件为出发点，以公理、定理为依据，先探索出一些比较直接的结论，在以这些结论为基础，导出一些新的结论，如此步步深入，最终导出欲证的结论，这是一种“由因导果”的方法。分析法是以求证的结论为出发点，以公理、定理为根据，确定欲得结论所必须得条件，再以该所需条件为出发点，探索该条件存在所必须得新条件，如此一步一步地直至导出所需得条件为已知条件，从而沟通了条件与结论之间得联系，使命题得证，这是一种“执果索因”的方法。这两种方法各有利弊，分析法容易找到证题的途径，但书写的过程较繁；而综合法书写过程简明，但不易找到证题的途径，故在证明时常常将两者结合起来，即先用分析法找到证题途径，再用综合法书写证明过程。

例如，如图已知AB∥CD,∠DAB=∠BCD

求证：AD∥BC

分析欲证AD∥BC，需证∠1=∠2

要证∠1=∠2，因为∠DAB=∠BCD（已知）

故需证∠3=∠4

要证∠3=∠4

就要证AB∥CD，而这正是已知条件，至此，思路已通，再用综合法书写证明过程。

证明：∵AB∥CD （已知）

∠3=∠4 (两直线平行，内错角相等)

又∵∠DAB=∠BCD ( 已知)

∴∠1=∠2 ( 等式的性质)

∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)

总之，要想学好几何证明题，就要让数与形结合起来，对数学公式、定理进行观察，猜想、验证、归纳形成对数学的结论的感觉和体验，然后用数学语言准确地表达出来。

文献参考：

季素月主编2007年1月《给教师的101条建议》

2007年10期《时代数学学习》

如何提高学生的几何推理与证明能力

收藏人：qq433699

2011-04-19 | 阅：559 转：35 | 分享

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随着新课标的实施，学生数学学习能力、应用能力都有所提高。但几何证明中逻辑思维能力反而有所下降。如何扭转这一颓势，已成为课堂教学中不可忽视的一个重要方面。在几年来新课标教学中，我深刻认识到“授人以鱼，不如授之以渔”的重要性，针对新课标的特点，就如何提高学生的几何逻辑思维能力进行了不断探索和尝试，认真做好学生学习兴趣的培养，夯实基础知识，提高基本技能,加强证明过程探索培养，切实提高学生逻辑思维能力和创新意识，更好的提高学生实践能力。

一、兴趣的培养、激发* 俗话说“几何头，代数尾”，几何证明入门比较枯燥，所以培养学习兴趣是取得成功的前提。近代物理大师爱因斯坦有句名言“兴趣是最好的老师”，它能诱发学习动机，强化学习动力。从初中生心理状态说，他们的学习活动最容易从兴趣出发，最容易被兴趣左右，在有兴趣的学习活动中，思维最主动，最活跃，智力和能力也发挥最

充分，因此在教学过程中充分结合实际，培养学习兴趣。

（一）借助生活中的例子，激发学生学习兴趣生活中的生动场景，是教学课程资源的丰富材料。这些材料能够激发学生的数学兴趣和增强他们对数学的情感，也能帮助学生对抽象的数学逻辑和概念的理解。由于现实生活中应用几何图形的内容很多，针对这一特点，教学之前让学生回顾现实生活应用几何图形的例子。如：如何在墙上固定一根木条，学生肯定回答钉两根铁钉（两点确定一条直线），如何使摇摆不定的四边形固定（借助三角形的稳定性），拉闸门的原理（四边形的不稳定性），楼房的设计、室内装修、公路叉口设计、图案设计（这些主要利用图形平移、轴对称、旋转）等等。让学生学习之前充分体会到学有所用，激发学生学习兴趣。

（二）借助活动激发学习兴趣* 新课程标准指出：数学教学是教学活动的教导，是师生交流、互动、共同发展的过程。有效的数学教学应当从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事从事教学活动的机会。“寓教于活动之中”，是初中数学教学的有效手段。利用活动进行抽象知识的探索与学习，能够有效地激发初中学生的学习兴趣，提高思维的积极性，使他们在愉快的情绪中轻轻松松、饶有兴趣地学习数学。心理学家布鲁纳认为：学习是一个主动的过程，对学生学习内因的最好激发是激起学生对所学材料的兴趣，即来自学习活动本身的内在动机，这是直接推动学生主动学习的心理动机。因此，在教学过程中，利用课本内容，抓住一切机会让学生动手，如在全等三角形判定的教学中，可以让学生根据已知条件，分别画出一个三角形，再剪下来进行比较，看是否重合，或与其他同学比较。这样能让学生在活动中学习到全等的判定方法。在讲解利用三角函数解决实际问题时，可以让学生利用测角仪到操场测量旗杆的高度……。

（三）借助情感交流，增强学习兴趣“惑人心者莫先乎于情”，教师应该加强与学生感情交流，增进与学生的友谊，作为现代初中生，他们不会与教师交流，因此，教师应该放下架子，主动与学生交流，主动关心他们，热情地帮助他们解决学习与生活中的困难。做学生的知心朋友，使学生对教师有较强的信任感、亲近感。那么学生自然而然地过渡到喜爱你所教的数学上，达到“尊其师，信其道”的效果。

（四）利用成功效应，增强学生的兴趣所谓“成功效应”就是让学生通过努力独自解决一个问题取得成功之后，或通过努力取得好成绩后所体现的欣喜的情绪。教师应在平时多鼓励学生争取能独立完成问题，特别是遇到困难时，应克服畏难情绪，充分发挥个人才智克服困难，体验成功的喜悦。培养学生的自信心，增强学习兴趣。

二、夯实基础，提高技能

（一）基础扎实，知识灵活应用是解决好几何证明的关键。要求学生对基础知识做好透彻的理解，对每一个学过的定义、公理、定理，都要求学生做到：既要能背诵，又能结合图形写出推理过程，这是书写证明，运用定义、定理的基础。证明的每一步都是具体运用定理、定义进行推理。每一个复杂的证明过程都是由这样一些证明步骤组成的。光会背定义、定理的词句，不明白它的含义，不会用它去推理是不会证明的。有些同学看到图形想不到用什么定理，想到定理却又说不出自己的意思，这些情况都是死记硬背的结果。有些同学在证明过程逻辑混乱，证明过程总是欠缺条件，这引起情况是学生对定义、定理没有透彻理解，只知一、二的体现。在平时的教学中，应特别注意进行结合图形写出推理的训练，

让学生明确在什么样的条件下能得到怎样的结果。这样才能较好的体现逻辑思维过程。如在探究垂径定理时，除让学生通过折叠圆得到相关结论时，还要结合图形写出：AB是⊙O 直径（或过圆心的线段）（注：对判定定理只要写出一组条件，对性质要写出所有的结论，证明时选用，并且要求学生结合图形、推理过程理记住定理）。经过这种训练，使学生可以理解定理、定义所指的内容在图中指的是什么，又学会了在推理过程中怎样使用这个定理。

（二）重视基础题目的训练，掌握它的证明方法。众所周知，较复杂的几何证明题，都是由一些基础题目组成。有些基础题虽然不是课本上的定理，但它的证明方法、图形特点，甚至一些结论都是很重要的。学生只有平时解题中多积累，才能探索出一些证明方法，逐渐理清证明过程的条理，做到有条不紊，但这些基础题常被一些学生忽视，特别是中上层学生，认为这些题太容易了，没有意思，不愿意动手去做；看例题，做题都是看过、做过就算，不去加以思考、比较、归纳，这是很多学生在证明过程中条理不清楚、逻辑思维混乱的体现，也是制约学生对复杂问题进行证明的一个瓶颈。例如：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：通过这些题目的证明，让学生更好掌握相似三角形证明方法，证明方法虽然简单，但其结论在一些复杂题目中有很重要的作用。通过强化这些基本题目的训练，使学生能更好的掌握定理的内容、应用，以及证明时的一些书写格式，证明的条理性，这也符合戴尔《经验之塔》的第一部分，积累了做的经验。

三、学习方法的指导

好的学习方法能起到事半功倍的效果，如何让学生掌握好学习方法，教师在教学过程应及时指导学生，使学生能尽早探索符合自己实际的方法。

（一）读书的指导* 由于很多学生都存在数学不用读的思想，所以对定义、定理的理解记忆不够重视，出现了对定义、定理、公理等只知大概，而没有深刻体会到它们其中已知和结论，结果在证明过程中总是出现欠缺条件的现象，针对这种现象，要求学生一定要认真结合图形理解记忆定义、定理。这样是学好证明的前提，因此教师在教学过程中要经常检查学生对定义、定理的记忆情况，并且结合图形证明学生说出定理证明过程，加深对定理理解和运用。

（二）解题的指导“独立自主，团结协作”是学生学会证明方法的必经之道，要知道几何证明过程实质是一个推理过程，只在当一个定理的所有条件满足时，才可能得出这个定理的结论，再把这个结论与其他结论或条件结合，如此下去，直到你的要求的结论为止，因此在解题过程中，要求学生多动手完整地写出证明过程，并在做过程中检验每一步的证明是否有理由根据，不能想当然；只有这样，经过自己思考，加工，才能真正掌握知识，运用知识，在头脑形成深刻印象。通过这样的练习，进一步巩固了基本定理，进一步体验证明的条理性、灵活性。而现在的学生平时完成作业时抄袭现象特别严重，自己不加思考，这是现在学生证明能力低下的一个重要原因。因此做题的过程中要求学生必须独立思考、独立完成，避免抄袭现象，同时鼓励学生独立完成的基础上，开展广泛交流（与同学交流，与教师交流），互相探讨，各抒己见，取长补短，拓展思路。

（三）思维的指导“几何、几何，想破头壳”，这是很多学生看到证明题就头晕脑胀的真实写照。在几何证明的教学过程中怎样培养学生良好的思维习惯，将直接影响到学生的证明能力。初中证明一般两种思维的方法：综合法和分析法。综合法是由已知到求证的过程，

综合法的证明学生容易入手，它直接利用已知条件应用定理、公理得到结论；在证明过程中除直接应用原题目的已知条件外，还要注意三点：第一，根据美国珍妮特·沃斯和新西兰戈登·德莱顿合著的《学习的革命》中“画脑图”的思想，让学生充分发掘与已知条件相联系的内容，以便在证明过程中能取得更广泛的思路。例如已知条件是正方形，那么在大脑中立刻应浮现正方形有关的性质，包括中点的应用，直角三角形的性质等等；第二，证明过程要充分发掘图形提供的已知条件（一般有公共角、公共边或公共线段，三角形的外角同弧所对的圆周角等），因为这些条件在已知中没有说明，而是图形直接供给，或形成，学生容易忽略，而这些条件往往是必用的条件，脱离这些条件，证明过程就会造成障碍；第三，证明过程出现“断点”（当思路到某地方中断时）时，不要急躁，而是应回头分析哪些条件还没用上或应用不充分，这些条件与问题之间是否存在直接或间接的联系（包括添加辅助线），如果能突破这个瓶颈，问题就能较好解决。分析法是先结论入手，根据结论成立的条件，再分析这些条件是否具备，缺的怎么办？如何找到，这样逐步逆推，直到所需的条件与已知条件符合为止。这也是教师在证明过程中引导学生探索所缺条件的常用方法。由于课本没有要求掌握学生一般不能很好掌握。大部分都是老师在课堂分析给学生听，然后由学生用综合法完成。如何让学生学会分析，可通过举例让学初步了解。

（四）学会反思，学会总结*教会学生在解题结束后应经常进行反思、总结，对自己的解题方法、存在问题进行反思，多问些为什么，查找问题症结，并在今后的学习中加以克服；对于同类型的题目应加以归纳、对比，找出它们的联系，积累了经验，更好服务与今后解题。