中北大学数学物理方程典型例题与解法范例
典型例题与解法范例
第一章 典型方程与方程分类
[基本要求]
1.熟悉偏微分方程的有关基本概念（如阶，线性，齐次等）。
2.掌握弦振动方程，热传导方程的导出。
3.了解弦振动方程、热传导方程及其初始条件或三类边界条件；拉普拉斯方程及其三类边界条件。
[教学重点] 弦振动方程和热传导方程的导出及其定解条件（初始条件和三类边界条件）。 例1下列各方程是线性的, 还是非线性的? 如果是线性的, 指出是齐次的,还是非齐次的, 并确定它的阶数.
(1) 2
2sin sin 0xx xy yy u xu xu ++=， (2) 12=+y x u u u (3) 320xxxx xxyy yyyy u u u ++=
(4)
0ln =++u u u xyy xxx ， (5) 5352sin xxx xy yy y u u xu u u x -+++=
解：(1) 原方程为二阶齐次线性方程
(2) 由于2
,x y u uu 都为非线性项，因此原方程为一阶非线性方程
(3) 原方程为四阶齐次线性方程
(4) 由于ln u 为非线性项，因此原方程为三阶非线性方程 (5) 原方程为三阶非齐次线性方程（非齐次项2sin x ） 例2 验证函数 (3)u f x y =+ 是方程: 30x y u u -=的解, 其中f 为任意连续可微函数.
证：左(3)3(3)f x y f x y x y ??=
+-+??()(3)3()(3)f x y f x y x y ξξ??
''=+-+?? 3()3()0f f ξξ''=-==右 (3)x y ξ=+
例3 验证函数 22
ln()u x y =+是方程: 0xx yy u u +=的一个解
证： 222222,x y x y u u x y x y ==++，2
2222222222
22(02)24,()()xx yy x x y u u x y x y x y x y -=+=-++++ 左22
2222222222
24240()()
x y x y x y x y x y =-+-==++++右 例4 （1） 长为l 的弦, 两端点固定, 且在初始时刻0=t 处于水平状态, 初始速度为23sin
x
l
π, 作微小横振动, 试写出此定解问题.（2） 设有一长度为l 的杆, 它的表面是绝热的, 在0=x 的一端温度为5C
,另一端l x
=处外界媒介的温度为5C ,且初始温度分布为)(x ?, 试写出此定解问题.
解：(1) 定解问题为 0(0,)(,)02(,0)0,3s i n t t x x t u u u t u l t u x
u x t l
π==?
?=
=??
??==
???
(2) 定解问题为 (0,)5,[(,)
]5
(,0)()t x x x l
u u u u t u x t x u x x κ?==????
=+=???
?=
? 例5 将下列二阶线性偏微分方程化为标准型
（1）22222320u u u x x y y ???++=????，（2）22
222u u a t x ??=??，（3）22222320u u u u u x x y y x y
?????++++=?????? 解：（1）特征方程2
320y y ''-+=，特征线12,2x y C x y C -=-=，作变量代换2x y
x y ξη=-??=-?
2,x y u u u u u u ξηξη=+=-- ， 22444xx u u u u u u u u ξξξηηξηηξξξηηη=+++=++ 32xy u u u u ξξξηηη=---，2yy u u u u ξξξηηη=++
代入原方程，化为 0u ξη-=， 所以原方程的标准型为 0u ξη=
（2）特征方程2
2(
)dx a dt
=，特征线12,x at C x at C +=-=， 作变量代换x at x at
ξη=+??
=-?， 原方程化为 22
22a u a u ξηξη-=，所以原方程的标准型为 0u ξη=
（3）特征方程2
320y y ''-+=，特征线12,2x y C x y C -=-=，作变量代换2x y x y ξη=-??=-?
原方程化为
0u u ξηη-+=， 所以原方程的标准型为 0u u ξηη-=
例6.证明直角坐标系下的拉普拉斯方程: 222
20u u
x y
??+=??在极坐标系下为
01122222=??+??+??θu r r u r r
u
证：cos ,sin tan r x r y y r x θ
θθ?==???
?=?
=?
?
2()x r x y u u u r r θ=+- ， 2y r y x
u u u r r
θ=+
222234412[]xx rr r x x x xy
u u u u u r r r r r
θθθ=+-++
222234412[]yy rr r y y y xy
u u u u u r r r r r
θθθ=+-+-
222222234
2[]xx yy rr r x y x y x y u u u u u r r r r
θθ++++=+-+222
()r x y =+ 2221111
[]rr r rr r u u u u u u r r r r r
θθθθ=+-+==++，
所以拉普拉斯方程:22220u u
x y ??+=??在极坐标系下为 01122222=??+??+??θ
u r r u r r u
第二章 线性偏微分方程的解法
[基本要求]
（1）掌握一、二阶线性方程尤其是双曲型方程特征线的求法。 （2）了解一些线性的分类及方程化标准型的求法。 （3）熟悉掌握一、二阶线性偏微分方程的通解。 [教学重点]
（1）一、二阶线性方程尤其是二阶双曲型方程特征线的求法 （2）一、二阶线性偏微分方程的通解。
例1 试求下列一阶线性偏微分方程的通解： (1)
03=??+??y
u x u ， (2) 320u u u x y ??--=??
解1 (行波法)：（1）设行波解 ()()u f kx y ξξ==+代入方程
()3()0,()0kf f f ξξξ'''+=≠ ，30k +=则3k =- ，
通解为 ()(3)(3)u f f x y F x y ξ==-+=-其中()F ?为任意一阶可导函数 （2）设行波解 ()()mx
u e
f kx y ξξ==+代入方程
()()3()2()0mx mx mx mx kf e mf e f e f e ξξξξ''+--= ,(3)()(2)()0mx mx k f e m f e ξξ'-+-=
因此 3,
2k m ==，通解为 2()(3)mx x u e f e F x y ξ==+
解2 (特征线法)：（1）特征方程为 30y '-=，特征线为 3x y C -=， 通解为解 (3)u F x y =-，其中()F ?为任意一阶可导函数 （2）特征方程为 30y '+=，特征线为 3x y C += 设解为 (3)mx
u e
f x y =+代入方程,
3(3)(3)3(3)2(3)0mx mx mx mx f x y e mf x y e f x y e f x y e ''+++-+-+=
(2)(3)0,2mx m f x y e m -+==， 通解为 2(3)x u e F x y =+
例2 试求下列方程的通解：
（1）31030xx xy yy u u u ++= （2）0222
=++yy xy xx u y u xy u x
解(特征线法)：特征方程是0310)(32
=+'-'y y ，特征线为 13C y x =- 和 23C y x =-
作变换y x -=3ξ , y x 3-=η， 原方程通解为 )()(ηξg f u +=
即
)3()3(),(y x g y x f y x u -+-=，()f ?和()g ?都是任意的二阶可微函数
（2）特征方程是02)(222
=+'-'y y y x y x
即0)(2=-ydx xdy
特征线为
1C x y = 和 2C y =, 作变换 x
y
=ξ 和 y =η 原方程化为 )0(0≠=y u ηη , 从而得 )()(ξξηg f u +=，其中)(ξf 和)(ξg 都是任意函数．
原方程通解为
)()(),(x
y
g x y f y y x u +=
例3 求方程的通解：（1） 320xx xy yy u u u -+= （2） 0xx yy u u += 解1 (行波法)：（1）设行波解 ()()u f kx y ξξ==+代入方程
2()3()2()0,()0k f kf f f ξξξξ''''''''-+=≠ ，212320,1,2k k k k -+===
通解为 12()()()(2)u f g f x y g x y ξξ=+=+++，其中(),()f g ??为任意二阶可导函数 （2）设行波解 ()()u f x by ξξ==+代入方程,
22()()0,()0b f b f f ξξξ''''''+=≠ ，21,210,b b i +==±
通解为 12()()()()u f g f x iy g x iy ξξ=+=++-，其中(),()f g ??为任意二阶可导函数 解2 (特征线法)：（略）
解3 (微分算子法)：（1）方程记为 2
2
(32)0x x y y D D D D u -+=，分解为 ()(2)0x y x y D D D D u --= 由()0x y D D u -=，得1()u f x y =+，由(2)0x y D D u -=，得2(2)u f x y =+ 通解为 12()()()(2)u f g f x y g x y ξξ=+=+++，其中(),()f g ??为任意二阶可导函数 [例4] 求方程的通解：（1） 320x x x y y y x y u u u u u ++++= （2）254=++++y x yy
xy xx u u u u u ， （3）323520xx xy yy x y u u u u u u +++++=
解( 微分符号法--简捷的特征线法)：
（1）方程记为 22
(32)0x x y y x y D D D D D D u ++++=
分解为()(21)0x y x y D D D D u +++=，
由()0x y D D u +=，得1()u f x y =-，由(21)0x y D D u ++=，得2(2)x u e g x y -=- 通解是 (,)()(2)
x u x y f x
y e g x y -=
-+- （2）方程记为 22(452)2x x y y x y D D D D D D u ++++=，
一特解设为, *u Ax =代入方程，得2A =，*
2u x = (或*2u y =)
分解齐次方程为()(41)0x y x y D D D D u +++=，得1()u f x y =-，2(4)y u e g x y -=- 通解为 (,)()(4)2y u x y f x y e g x y x -=-+-+ 或 (,)()(4)2y u x y f x y e g x y y -=-+-+ （3）方程记为 2
2
(32352)0x x y y x y D D D D D D u +++++= 因为 2
2
32352x x y y x y D D D D D D +++++
2(33)(2)(21)x y x y y D D D D D =+++++(2)(21)x y x y D D D D =++++
方程分解为(2)(21)0x y x y D D D D u ++++= 得21()x
u e
f x y -=- 或 21()y
u e
f x y -=-， 2(2)
x
u e g
x y -=- 或 1
2
2(2)y u e f x y -=-
通解是 2(,)()(2)x
x
u x y e f x y e g x y --=-+- 或 1
22
(,)()(2)y y
u x y e
f x y e
g x y --=-+-
第三章 行波法与微分算子法 [基本要求]
（1） 掌握行波法
（2） 熟练掌握弦振动方程柯西问题的达朗贝尔公式（一维）和波动方程柯西问题的泊松公式（三维）以及与之相对应的微分算子解法。 （3） 了解达朗贝尔公和泊松公式物理意义。 ( 4 ) 掌握积分变换法。
（5） 掌握热传导方程、波动方程柯西问题的微分算子解法 （6） 掌握波动方程柯西问题的微分算子解法
（7） 掌握热传导方程、波动方程柯西问题的试探函数法 （8） 掌握Laplace 方程圆域边值问题的试探函数法 [教学重点]：
（1）弦振动方程柯西问题的达朗贝尔公式解。
（2）波动方程与热传导方程柯西问题的微分算子解法。 （3）波动方程与热传导方程柯西问题的试探函数法
一．公式法（行波法）
1. 齐次的弦振动（无限长弦的自由振动）方程初值问题（无限长弦）
???
???
?=??=>∞<<-∞??=??=)
(,)()0,()0,(0
22
222x t
u
x x u t x x u a t u t ψ?
的公式解为达朗贝尔公式 ?+-+-++=
at x at x d a
at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( 2. 非齐次的弦振动（无限长弦的强迫振动）方程初值问题
??
???=??=>∞<<-∞+==)
(,)()0,()
0,(),(02x t u x x u t x t x f u a u t xx tt ψ?的公式解为 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),(??-+--+)
()(0),(21ττξτξτt a x t a x t d f d a
二．特征线法以及待定系数法
三．微分算子法
1．一维热传导方程柯西问题：??
???=>+∞<<∞-??=??)()0,()0,(222x x u t x x
u a t u φ （I ） 如果)(x φ有任意阶导数，则问题（I ）的微分算子公式解为
22
(,)()x
a t D u x t e
x φ= （ 或)2(0
2)]([!)(k k k
x k t a φ∑∞
== ）
2．三维热传导方程柯西问题：23((,,),0)(,,,0)(,,)
u
a u x y z R t t u x y z x y z ???=?∈>????=? （II ） （ 其中拉普拉斯算子 22
222
2z
y x ??+??+??=? ） 如果(,,)x y z ?有任意阶偏导数，则问题（II ）的微分算子公式解为
2(,,,)[(,,)]a t u x y z t e
x y z ??
= [ 或∑∞
=?=0
2),,(!)(),,,(k k
k z y x k t a t z y x u φ ] 3．齐次弦振动方程的Cauchy 问题（无限长弦）
???
???
?=??=>∞<<-∞??=??=)
(,)()0,()0,(0
22
222x t
u
x x u t x x u a t u t ψ?（III ）
如果(),()x x φψ有任意阶导数，则问题（III ）的微分算子公式解为
),(t x u = 1[()][()]x x x shatD chatD x x a D φψ??
+ ???
4． 非齐次弦振动方程的Cauchy 问题
??
?
???
?=??=∈>+??=??=)()()0,(,0),(022222x t u x x u R
x t t x f x u a t u t ψ? （IV ）
则问题（IV ）的微分算子公式解为
),(t x u = 1[()][()]x x x shatD chatD x x a D φψ??
+ ???0
()1(,)t x x
sha t T D f x T dT a D -+? 5． 三维非齐次波动方程的Cauchy 问题
20
(,,,)0
(,,,0)(,,)(,,)
tt t u a u f x y z t t u
u x y z x y z x y z t
?ψ=?
=?+>???
??==???
（V ）
（ 其中拉普拉斯算子 22
222
2z
y x ??+??+??=? ）则问题（V ）的微分算子解为
(,,,)(,,)(,,)u x y z t x y z x y z =
01(,,,)t x y z T dT a +?
四．试探函数法
例1 解下列初值问题： 22
0(,0)
(,0)sin 3,3tt xx t u a u x t u u x x x t =?=-∞<<∞>?
??==???
解（达朗贝尔公式）: 由达朗贝尔公式，得
2
11(,)[sin3()sin3()]322x at x at
u x t x at x at d a ξξ
+-=++-+?3
2231sin 3cos 3cos 3sin 332x at x at
x at at x x t a t a
ξ+-=+
=++
例2 求解初值问题： ???==>∞<<-∞+=x
x u x x u t x x
u u t xx tt
)0,(,sin )0,()
0,(2
解（达朗贝尔公式）: 由公式得
?+-+-++=at x at x d t x t x t x u ξξ2
1)](sin )([sin 21),(??-+--+)()(0221ττξξτt x t x t
d d 2cos sin t x t x t x ++=
例3 : 解Cauchy 问题：??
???-=??=??)2()0,(22
2x x x u x u a t
u 解1（微分算子法）：由公式（I ），解为 )(),(2x e
t x u t a φ?
=22(2)0
()[2]!k
k k a t x x k ∞
==-∑ 0)2(!
1)2(222
+''-+-=x x t
a x x t a x x 2222--=
解2（试探函数法）: 设(2)u x x At =-+，代入方程,
2
(2)A a A t ''=-+， 令 2
(2)
A A a ''=??=-?有解22(,)22u x t x x a t =-- 例4 求解Cauchy 问题 ????
?==x
x u u a u xx
t π3sin 2)0,(2
解（待定系数法）: 设解为 x e u kt π3sin 2=,
代入方程， 左x ke kt
π3sin 2= , 右x e kt ππ3sin ])3([22-=
得 2
)
3(π-=k
，所以原问题的解为
x e
t x u t
ππ3sin 2),(2)3(-=
例5 求解Cauchy 问题：2
222222222()
(,,,0)35u u u u a t x y z u x y z x xy xyz ?????=++??????
?=+-?
解（微分算子法）：由公式（II ），得
∑∞
=?=0
2),,(!)(),,(k k k z y x k t a z y x u φ0)53(!1)53(22222
22+-+?+-+=yz xy x t a yz xy x )531(2532222y x t a yz xy x -++-+=
例6 求解Cauchy 问题 22
222
00,(,0)sin 6t u u a t x R t x u u x x
x t π=???=>∈?????
??==???
解（微分算子法）：1(,)(sin )(6)x
x x
shatD u x t chatD x x a D π=+
1
cos sin (6)a t x xat a
ππ=+cos sin 6a t x xt ππ=+
例8 求解下列非齐次方程Cauchy 问题
??
?
???
?=??=∈>+??=??=x
t u x x u R
x t xt x u a t u t 6sin )0,(,
030
2
22222π
解（微分算子法）： 1(,)(sin )(6)x x x shatD u x t chatD x x a D π=+
20()1(3)t x
x
sha t T D xT dT a D -+?
dT xT T t a a xat a x t a t ?-++=02)3)((1)6(1sin cos ππ44
1
6sin cos t x t x x t a ++=ππ
例 9 求解问题 ??
???=+=++=y
x y x u yz x z y x u u u u a u t yy yy xx tt
3)0,,(,2)0,,,()(2
32
解（试探函数法）: 设t y x u t g yz x u 3,
)(222231
=?++=
(其中1u 是由初始位移函数生成的, 2u 是由初始速度函数生成的) 将1u 代入方程, 左)(2?=g , 右])(46[22
t g y x a
??++=
令 ??
???+=?=??)46()(20)(2
y x a g g 有解2
)23()(a y x g +=?
显然
t y x u 32=是方程的解，所以原问题的解为
t y x t a y x yz x t z y x u 3)23(2),,,(2223++++=
例 10 求解问题 ????
?-+=++=3
232)0,,,()(z
xy x z y x u u u u a u yy yy xx t
解（试探函数法）: 设t g z y x x u )(3231?+-+=
代入方程, 左)(?=
g , 右])(626[2t g z x x a ??+-+=
令 ??
???-=?=??)68()(0)(2
z x a g g 有解2
)68()(a z x g -=?
所以原问题的解为 t a z x z xy x t z y x u 2323)68(),,,(-+-+=
例 11 解问题 ?????===x
x u x x u u a u t xx tt 2cos 5)0,(,3sin 2)0,(2
解（试探函数法）: 设122cos3sin3,sin 2cos2u at x u B at x ==
(其中一个解是由初始位移函数生成的, 一个解是由初始速度函数生成的) 显然1u 是方程的解，显然2u 是方程的解, 将条件代入
x
x aB x at aB t x u t t t 2cos 52cos 22cos 2cos 2),(00=====
5
2B a =
， x at a
u 2cos 2sin 252=, 所以原问题的解为 x at a
x at t x u 2cos 2sin 25
3sin 3cos 2),(+
= 例 12 求解混合问题??
?
??===∞<<-∞>=x x u t u t u x t u a u xx t πsin 4)0,(0),1(),0(),0(2
解（积分变换法）: 对t 作拉氏变换,记()()()0[,],,st
L u x t U x s u x t e dt +∞
-==?,则原问题可化为
?
????==-=-0
),1(),0(sin 42
22s U s U x sU x d U
d a π此问题的解为:()224sin ,,x
U x s s a ππ
=
+
取拉氏逆变换,则原问题的解为
],sin 4[Re ]sin 4[
),(222
22
21
ππππ
πa a s x e s a s x L t x u st -+=+=- x e t a ππsin 42
2-=
例13 解问题：330
(,0)8x u u x y u x e ???+=????
?=?
解1（特征线法）: 特征方程30y '-=，特征线3x y C -=
解为(,)(3)u x y f x y =-，又3(,0)(3)8x u x f x e ==，()8x
f x e =，
所以原问题的解为 3(,)(3)8x y
u x y f x y e -=-=
解2（待定系数法）:设解为 3(,)8x my
u x y e
+=，代入原方程
3383380x my x my e e m ++?+??=，10m +=，得1m =-
所以原问题的解为 3(,)8x y u x y e -=
解3（试探函数法）: 特征方程30y '-=，特征线3x y C -=
依条件设解为 (3)(,)8k x y u x y e -=， 又(30)33(,0)888k x kx x u x e e e -===，33k =， 1k = 原问题的解为 3(,)8x y u x y e -=
例14 求解问题22222220320(,0)24x
x y u u u
x x y y u u x e e y =????-+=???????
??==???
解1（特征线法）: 特征方程2
320y y ''++=，特征线12,2x y C x y C +=+=
通解为()(2)u f x y g x y =+++,又2(,0)()(2)2x u x f x g x e =+=，
20
()(2)4x y u
f x
g x e y
=?''=+=?
22()(2)21()(2)22
x
x
f x
g x e f x g x e C
?+=?
?+=+?? ， 2()22(2)2x f x e C g x C ?=+?=-?，2()()22(2)2x y f x y e C g x y C +?+=+?+=-? 原问题的解为 22(,)()(2)2x y
u x y f x y g x y e +=+++=
解2（待定系数法）:特征线12,2x y C x y C +=+=
依条件设解为 2()
2(,)x y x y u x y Ae
Be ++=+，代入条件
2(0)2022(,0)()2x x x x u x Ae Be A B e e ++=+=+= ，
2(0)20220
2(2)4x x x x y u
Ae Be A B e e y
++=?=+=+=?
224A B A B +=??+=? ，20A B =??
=?
， 原问题的解为 22(,)2x y
u x y e +=
第四章 分离变量法
[基本要求]（1）熟练掌握分离变量法。（2）了解并掌握非齐次混合问题的一般解法。 [教学重点]：三类方程混合问题中的齐次方程齐次边界（第一二类）的分离变量法。
傅里叶正、余弦级数 )(x f 是定义在],0[l 上的分段连续函数，将其展成周期为2l 的 （1）奇函数，设1
()sin n n n x
f x a l π+∞
==
∑，则 ?=l n dx l x n x f l a 0sin )(2π
（2）偶函数，设01
()cos n n n x
f x a a l π+∞
==+∑，则01()l n a f x dx l =?,02()cos
l n n x a f x dx l l π=? 例1 解热传导混合问题：（1） 222(0,)(,)0(,0)2sin 3u u a t x u t u t u x x π???=?????==??=??? ， （2）2
22(0,)(1,)0(,0)2(1)u u a t x u t u t u x x x ???=?????
==??=-???
解:（1）设解为
)()(),(y Y x X y x u =, 代入方程及边界条件 , 得
2
,(0)()()()0
X T a X T
X T t
X T t π'''=== 此问题化为 20
0(0)()0
T a T X X X X λλπ'?+=?
''+=??==?
讨论得固有值
2n n λλ==，固有函数 ()sin (1,2,3,)n X x nx
n ==
一族解 )()(),(t T x X t x u n n n =2
()sin (1,2,3,)an t n A e nx
n -==
叠加解（傅里叶级数解）为 ),(t x u 2
()1
sin an t n n A e nx +∞
-==
∑
又 (,0)u x 1
sin 2sin 3n n A nx x +∞
==
=∑， 因此 30(3),2n
A
n A =≠=
所以原问题的解为 2
9(,)2
s i n 3
a t
u x t e x -= （2）设解为
)()(),(y Y x X y x u =, 代入方程及边界条件 , 得
2
,(0)()()()0
X T a X T
X T t
X T t π'''=== 此问题化为 200(0)()0
T a T X X X X λλπ'?+=?
''+=??==?
讨论得固有值 2
2(
)()1
n n n πλλπ=== 固有函数 ()sin (1,2,3,)n X x n x
n π==
一族解 )()(),(t T x X t x u n n n =2
()sin (1,2,3,)an t n A e n x
n ππ-==
叠加解（傅里叶级数解）为 ),(t x u 2
()1
sin an t n n A e n x ππ+∞
-==
∑
1022(1)sin 1n A x x n xdx π=-?1
14()(1)(cos )x x d n x n ππ=--?
11
0041(){(1)(cos )cos [(1)]}x x n x n xd x x n ππππ=----?38[1(1)]()
n n π--= 所以原问题的解为 ),(t x u 2()3
1
8[1(1)]sin ()n an t n e n x n πππ+∞
-=--=∑ 例2 解下列热传导混合问题：222(0,)(1,)0(,0)2x x u u a t x u t u t u x x ???=?????
==??=???
解: 设解为
)()(),(y Y x X y x u =, 代入方程及边界条件 , 得
2
,
(0)()(1)()0
X T a X T X T t
X T t '''''=== 此问题化为 20
0(0)(1)0
T a T X X X X λλ'?+=?
''+=??''==?
讨论得固有值
2()n n λλπ==
固有函数 ()cos (0,1,2,3,)n n X x b n x
n π==
一族解 )()(),(t T x X t x u n n n =2
()cos (0,1,2,3,)an t n A e n x
n ππ-==
叠加解（傅里叶级数解）为 ),(t x u 2
()01
cos an t n n A A e n x ππ+∞
-==+
∑
又 (,0)u x 01
cos 2n n A A n x x π+∞
==+
=∑，因此 0
1A
=，
1022cos 1n A x n xdx π=
?224
[(1)1](0)n n n π
=--> 所以原问题的解为 ),(t x u 2()2
1
4[1(1)]1cos ()n an t
n e n x n πππ+∞
-=--=+∑ 例3 解两端固定的弦的自由振动问题： 222220
(0,)(,)0
3(,0)2(),
5sin
t u u a t x u t u l t u x
u x x l x t l
π=???=?????
==????=-=???
解:设解为 )()(),(t T x X t x u =代入方程，可得
0)()(2=+''t T a t T λ , 0)()(=+''x X x X λ，由边界条件易得(0)()0X X l ==
由边值问题 ?
??='==+''0)(,0)0(0)()(l X X x X x X λ 得固有值为 ),3,2,1()(
2
===n l n n πλλ
固有函数为 ),3,2,1(sin
)( ==n l
x n B x X n n π
一族解 )()(),(t T x X t x u n n n =),3,2,1(s i n )s i n c o s
( =+=n l
x
n l at n b l at n a n n πππ
叠加解（傅里叶级数解）为 ),(t x u ∑+∞
=+=
1
sin
)sin cos
(n n n l
x
n l at n b l at n a πππ 其中022()sin l n n x a x l x dx l l π=-?238[1(1)]
()
n l n π--= 00(3)
2
35sin sin 5(3)3l
n n x n x b dx l
n a l l n a
ππππ≠??
==?=??? 所以原问题的解为 533(,)sin sin 3l at x u x t a l l πππ=+231
8[1(1)]
cos sin ()n n l n at n x n l l πππ+∞=--∑ 例4 求解问题 ????
?
????=??-===><
222π
解:设解为 )()(),(t T x X t x u =代入方程
0)()(2=+''t T a t T λ , 0)()(=+''x X x X λ
由边界条件易得0)(,
0)0(='=l X X ，这样我们就要求边值问题
???='==+''0
)(,0)0(0)()(l X X x X x X λ 得固有值为),2,1,0(4)12(22
2 =+=
n l n n πλ.
相应的固有函数是 ),2,1,0(2)12(sin
)( =+=n l
x
n B x X n n π
将固有值代入另一个常微分方程，得它的通解为
l
at
n D l at n C x T n n n 2)12(sin 2)12(cos
)(ππ+++=
一族解为 (21)(21)(21)(,)[cos sin ]sin 222n n n n at n at n x
u x t a b l l l πππ+++=+
于是所求定解问题的解可表示为
),(t x u ∑+∞
=++++=1
2)12(sin
)2)12(sin 2)12(cos
(n n n l
x
n l at n b l at n a πππ
利用初始条件，得????
?
?????????=≠=++=+-=+-=??10103
322
1210
2)12(sin 23sin 3)12(4)12(322)12(sin )2(2n a l n dx l x n l x a n b n l dx l x n x l x l a n n ππππππ 于是所求问题的解为 l
x
n l t a n n l l x l t a a l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(]3223sin 23sin 2),(03
32ππππππ+++-+=∑∞= .例6 求解矩形域上拉普拉斯方程边值问题0(0,0)
(0,)(,)0(,0)0,(,)3xx yy u u x a y b u y u a y u x u x b x +=<<<
==??==?
解：设解为
)()(),(y Y x X y x u ?=代入方程，可得
0)()(=+''x X x X λ, 0)()(=-''y Y y Y λ ，边界条件可得能性0)()0(==a X X ，
边值问题：
??
?===+''0
)()0(0
)()(a X X x X x X λ 固有值及固有函数为
2)(
a n n πλλ==, ),2,1(sin )( ==n a
x n x X n π
另一解为 ),3,2,1()( =+=-
n e
d e
c y Y y a
n n y a n n n π
π
一族解为),3,2,1(sin
)(),( =+=-
n a
x n e
d e
c y x u y
a n n y a n n
n ππ
π
叠加解（傅里叶级数解）为
a
x
n e
d e
c y x u n y
a n n y a n n
π
π
πsin )(),(1
∑∞
=-
+=
020sin 0(1,2,)a n n n x c d dx n a a π+=?==? ，1
026(1)
3sin n b n b n a a a n n n x a c e d e x dx a a n ππππ+--+==
? 13(1)n n n a c d n b n sh a ππ+-=-=? ， 于是所求问题的解为11
6(1)(,)sin n n a n y n x
u x y sh n b a a n sh
a
ππππ+∞=-=?∑
.例7 解下列圆域上拉普拉斯方程的边值问题 ??
???=<<=??+??+??=θθ2sin )0(0110022222A u
r r u
r r u r r u r r
解: 设方程的解为
)()(),(θθΦ?=r R r u ，代入方程得 01
12=Φ''+Φ'+Φ''R r
R r R
分离变量，得 λ=Φ
Φ'
'-='+''R R r R r 2
由此可得两个常微分方程
02=-'+''R R r R r λ , 0=Φ+Φ''λ
圆域的θ从θ变到πθ2+时，),()2,(θπθ
r u r u =+ 成立，由此得 )()2(θπθΦ=+Φ,
???Φ=+Φ=Φ+Φ'')
()2(0
θπθλ 与 )0(0
2????
?+∞
<=-'+''R R R r R r λ 经过讨论：固有值2n =λ(0,1,2,)n = ，固有函数为 θθθn B n A n n n s i n c o s
)(+=Φ 将2n =λ
(0,1,2,)n = 代入方程，得到欧拉（Euler ）方程
022=-'+''R n R r R r ，它的通解为 n n n n n r D r C r R -+=)(，有意义的解为 n n n r C r R =)(
一族解为 ),2,1()sin cos (),( =+=n r
n b n a r u n
n n n θθθ
叠加解（傅里叶级数解）为n
n n n r n b n a a r u )sin cos (21),(1
0θθθ++=∑∞=
又0001
1(,)(cos sin )2n
n n n u r a a n b n r θθθ∞
==++∑sin 2A θ=，220A a r =，0(2)n a n =≠，
所求问题的解
θθ2s i n ),(2
02r r A r u =
第五章 贝塞尔函数及其应用
[基本要求] （1）了解并掌握贝塞尔方程及其幂级数解。
（2） 熟练掌握第一类贝塞尔函数基本导数关系式。
（3） 熟练掌握第一类贝塞尔函数一般递推关系式。了解第二类贝塞尔函数。 （4） 掌握一些简单函数的第一类贝塞尔级数展开式。 （5） 会用贝塞尔级数解法解决一些数理方程的定解问题。 [教学重点]： 第一类贝塞尔函数递推关系式---微积分计算。
[内容提要]1.
n 阶的贝塞尔方程: 0)(222=-+'+''y n x y x y x (0≥n )
第一二类贝塞尔函数)(x J n ,)(x N n 是贝塞尔方程的两个线性无关解 线性组合)()(21x N C x J C y n n +=是n 阶贝塞尔方程的通解. 2. 基本关系式(导数关系式)
（1） )(])([1x J x x J x n n n n -=' , （2） )(])([1x J x x J x n n n n +---=' （口诀：正退1，负进1；正为正，负为负） 3. 递推关系式（1） )(2)()(11x J x
n x J x J n n n =++- , （2） )(2)()(11x J x J x J n n n '=-+- 4.贝塞尔级数： 设
)()(01
x f x J a
n n n
=∑∞
=β， ),2,1( =n n β是方程0)(0=x J 的所有正根，
即0)(0=n J β， 则dx x J x f x J a n n n )()()
(2
01021ββ?=
例1. 求证 )()()(2)(41300
x J x J x J x J =+'+''' 证: 左=)()(2)(4300
x J x J x J +'+''')()(2][430
)(1x J x J J x +'+''-= 020
314[(()())]2()()2
J x J x J x J x ''=--++ 02032()2()2()()J x J x J x J x '''=-+++ )()())()((2
121331x J x J x J x J =+-?==右
例2 . 计算积分 ⑴dx x J x ?)(03
; ⑵ dx x J x ?-)(23
解 : ⑴dx x J x
?)(03
??==)]([)]([1202x xJ d x dx x xJ x
C x J x x J x dx x J x x J x +-=-=?)(2)()(2)(22131213
C x J x J x
x x J x +--=))()(2
(2)(01213C x J x x J x x ++-=)(2)()4(0213
⑵
C x J x x d J x x d x J x +=-=??-)()1()(33
22323
C x J x x J x x C J J x
x +-+-=+-=)(4)()8(]4
[0213123
例3. 设),2,1( =n n β是方程0)(0=x J 的所有正根，即0)(0=n J β 试将函数
21)(x x f -= )10(< 解： 设 )(101 2 x J C x n n n β∑∞ ==-，则) () (4)()1() (2 212202 1021n n n n n n J J dx x J x x J C βββββ= -= ? 又由递推关系 )()(2 )(012n n n n J J J ββββ-= 及0)(0=n J β，有 n n n J J βββ) (2)(12= , 因而 ) (8 13 n n n J C ββ= 所以 )() (8 10113 2 x J J x n n n n βββ∑ ∞ ==-。 依收敛定理，这个级数在]1,0[上绝对一致收敛于21x - ． 例4 解单位半径圆板的热传导问题??? ?? ?? ?? ??-=<= u 解: 设)()(t T r R u =代入方程及边界,得?? ? ?? ??<==+'+''=+'有界)1)((,0)1(010 2r r R R R R r R T a T λλ解之得 )()(0r J r R n n β= , ),2,1()(2)( == -n e A t T t a n n n β )(),(0)(2r J e A t r u n t a n n n ββ-=， ∑∞ =-=1 0)()(),(2n n t a n r J e A t r u n ββ 其中 dr r J r r J A n n n )()1(3) (2010221ββ?-?= ? ])()()()()()[(1)(61 22101101221r J r r J r r J r J n n n n n n n βββββββ+-= ) (24)()(12132122n n n n n J J J βββββ== 所以解为 ∑ ∞ =-= 1 0)(13 )() (24),(2n n t a n n r J e J t r u n ββββ 第六章 勒让德函数及其应用 勒让德多项式 n n n n n x x d d n x P )1(!21)(2-?= 1)(0=x P ， x x P =)(1，)13(21)(22-= x x P ，)35(2 1 )(33x x x P -= )33035(81)(244+-=x x x P ，)157063(8 1 )(355x x x x P +-= 例1 一半径为a 的空心球，表面充电到电势θ ε2 00si n u =，试计算球内外电场中的电势分布． 解：（1）在球内，定解问题为?????? ???=<=????+??+??→==有限值有限值）（0,02 02 22,sin 0)(sin sin 11r a r u u u u a r u r r u r r u πθθθθθθ． 则 ∑ ∞ == 1 )(cos )(),(n n n n P a r A r u θθ，其中 θθθθπd P u n A n n sin )(cos )sin (212020?+=? θθθθθπd P P P u n n sin )(cos )](cos )(cos [)3 2 (2120200?-+= ? )2(0,3 2 ,0,3202100>=-===n A u A A u A n 所以在球内电势为 )](cos )(1[32),(22 0θθP a r u r u -= （2）在球外，定解问题为???? ?? ???=>=????+??+??+∞→==有限值有限值）（r a r u u u u a r u r r u r r u ,sin 0)(sin sin 11,0202 22πθθθθθθ 则在轴对称情况下，球外定解问题的解为∑∞ =+= 1 1 )(cos ) (),(n n n n P r a A r u θθ 又 θθθ201 sin )(cos ),(u P A a u n n n == ∑ ∞ =)(cos 3 2 )(cos 322000θθP u P u -= 所以球外电势为 )](cos )(1[32),(2200θθP r a r au r u -== 复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - 北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期 《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________ 1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 玫［I h .丿&」V h .丿& 其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示) 【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。】 ex 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。于是，我们有 2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t r1 = (h「x)tan : r2= (h _(x dx)) tan : 上式化简后可写成 2 2 ：：U(X,t) 2 :：u(x,t) 2, ；u (x,t) E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2 从而有 E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X :t 或成 2 ::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩) .x h ：：x h ；：t 其中a^E ，证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片， 它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0. x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度 分布u(x,y)，即求解以下定解问题: u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令u(x, y) v(x, y)，则原定解问题变为 Wl x￡=0, V=0, 0cy 一、填空题 1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。 2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程： 第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0 x x y y u u +=， (,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型； 二、选择题 1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］ (A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=； 2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］ (A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=； (C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=>< 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）. 8.计算积分 （ ） . 9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） . ?f u n u S =+??)(σS ),(t x u ),(t U ω2 2 222x u a t u ??=??=)(0x J dx d )(3 1)(3202x P x P +=?-dx x P 2 1 12)]([)(1x P 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1. 2.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2 3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022 222x t u t x x u t u t t x x u u u 最新数学物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 数学物理方程期末试卷sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题.(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进 入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2x l x -，试 写出其定解问题.(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???? ???==??=??=+=-).()(002 22 22x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 222200, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+= 2013-2014学年度第二学期数理方程（B ）期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =（16分） （1）y x y x u 22=???（2）xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数（10分） ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。（12分） 四、用积分变换法求解下列方程。（12分）???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。（15分） ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。（5分） ?????==>+∞< 数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 《数学物理方程》期末试题（A 卷） （参考答案） 学院 专业 学号 姓名 1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 其中E 是圆锥体的杨氏模量，ρ是质量密度，h 是圆锥的高（如下图所示）： 【提示：已知振动过程中，在x 处受力大小为u ES x ??，S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r 和2r ，如图所示。于是，我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ，证明完毕。 2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y b =处于较高温度U ，其它三边0y =， 0x =和x a =则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ，即求解以下定解问题： 【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+，则原定解问题变为 分离变量： 代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件： 可以判定，特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件，有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分，得 也即 对y 求积分，得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =，于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中，即得 4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题： 【提示：可利用逆Fourier 积分变换公式：11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-? 第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则 孝感学院 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得： 22)( ,0l n C πλ== l x n t a A t a B u n n n πλλcos )1sin 1cos (221+++=∑∞= ?= l n dx l x n x l B 0cos )(2π?，?+=l n dx l x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’) 证明：设代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。(15’) 解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p 格林函数： 22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-= y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ] )[(22220ηξπη+-=??-=??=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ?+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ ηηξ(15’) 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) ),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++- ),,,(0z y x u t ?== ),,,(0 z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ 其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界. 解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得： 0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u 00==t u 00 ==t t u .0=Γu 设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222???Ω +++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22???Ω +++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2 2??? Ω++-= 0=(10’) 数学物理方程模拟试卷 一、写出定解问题（10分） 设枢轴长为l ，建立枢轴纵振动在下列情形下的运动方程： （a ） 在x=0固定，在x=l 作用力F ，在t=0时刻作用力突然停止 （b ） 在x=l 一端是平衡位置，而从t=0时刻作用力 F(t) 解：（a ）() ()()() ???? ?????≥='=≤≤==><< ,13c x y dx dy +-=→= 令???-=+=y x y x 3ηξ ???===-=======∴0,1,30,1,1yy xy xx y x yy xy xx y x ηηηηηξξξξξ （2） ??? ????++++=+++++=++++=+=+=yy yy y y y y yy xy xy y x x y y x y x xy xx xx x x x xx y y y x x x u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u ηξηηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηξ22222)(2, （3） 将（2）代入（3），可得 ?????????+-=-+=++=-=+=ηη ξηξξηηξηξξηηξηξξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y 2329632 （4） 把（4）代入（1），可得 0666236364296=-+++-+--++++ηξηξηηξηξξηηξηξξηηξηξξu u u u u u u u u u u u u 0816=+∴ξξηu u 即 02 1=+ξξηu u 这就是我们所求的标准的双曲型方程。 三、（每小题10分，共20分） ①证明：)52()52(),(t x G t x F t x y -++=为方程2222254x y t y ??=??的通解。 ②求满足条件：0),(),0(==t y t y π，x x y 2sin )0,(=，0)0,(=x y t 的特解。 解：①设v t x u t x =-=+52,52，得 )()(v G u F y +=， )5()('5)('-?+?=????+????=??v G u F t v v G t u u F t y )('5)('5v G u F -=， （1） 嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1 北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式： 例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得 v y =￠（y ）+1/2 x 2 Y, 其中￠（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为 v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫￠（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2 =f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2 其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。 例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。 取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。 在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。 事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。 这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，力T 与时间 t 无关。 因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是，力是一个 2011-2012 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 在下列每小题的4个备选项中，只有一项是最符合题意的，请将代码 （A 、B 、C 、D ）填在题后相应的括号内。 1、偏微分方程与（ ）结合在一起，统称为定解问题. (A)定解条件； (B)初始条件； (C)边界条件； (D)以上均不正确. 2、下列偏微分方程中，属于二阶、线性、齐次的是（ ）. (A) 2260u u u u t x ??++-=??； (B) 2222cos 40?+-?-=?u t t u x x ； (C) 2 90???+-= ???? u xu t t ； (D) 22 60??+?-?=??t u u e xt u x t . 3、以下说法中错误的是（ ）. (A) Bessel 方程222'''()0x y xy x n y ++-=通解为()(),n n y AJ x BJ x -=+其中A, B 为任意常数； (B) n 阶Bessel 函数()x J n 的实零点关于原点是对称分布的； (C) 半奇数阶的第一类Bessel 函数都是初等函数； (D) 当0x =时，n 阶Bessel 函数()x J n 为有限值，而()x Y n 为无穷大. 4、定解问题的适定性是指解的（ ）. (A) 存在性、唯一性、收敛性； (B) 存在性、稳定性、收敛性； (C) 存在性、唯一性、稳定性； (D)唯一性、稳定性、收敛性. 5、设3 R Ω?为有界区域，边界Γ为光滑的封闭曲面，则下面说法错误的是（ ）. (A) 若2 ()()u C C ∈ΩΩ，则狄氏问题20,|u u f Γ??=Ω?=?在内 的解是唯一确定的； (B) 若2 1() ()u C C ∈ΩΩ，则2u u dV dS n Ω Γ??=?????? ； (C) 牛曼内问题20,|1u u n Γ??=Ω? ??=???在内有解且不唯一； 数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得： 21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1+=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上 2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???????==??=??=+=-).()(002 22 2 2x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=数学物理方法综合试题及答案
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