浦东新区2013学年度高二第二学期期末质量测试

浦东新区2013学年度第二学期期末质量测试

高二数学

（答题时间：90分钟 试卷满分：100分）

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1．已知()2,2A 、()1,1--B ，则直线AB 的倾斜角为___________. 2．已知i 为虚数单位，则10(1)i +=___________.

3．若复数满足iz i = (i 为虚数单位)，则||z = ．

4．以椭圆

22

1169144

x y +=的右焦点为圆心，半径为4的圆的方程是__________________． 5．经过点(3,4)P 且与圆22

25x y +=相切的直线方程是 .

6．关于x 的方程042

=++k x x 有一个根为i 32+- (i 为虚数单位) ，则实数k =_________. 7．已知点)2,3(A ，F 是抛物线x y 22=的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PF AP +有最小值，P 点坐标应为_________________.

8．椭圆

19222=+k y x 与双曲线13

2

2=-y k x 的焦点相同，则k = . 9．已知P 是抛物线x y 42

=上的动点，F 是抛物线的焦点，则线段PF 的中点轨迹方程是 ．

10．已知复数z 满足342z i --=(i 为虚数单位)，则z 的取值范围是________. 11．设1z 、2z 、C z ∈，下列命题中

（1） 若021>-z z ，则21z z >；

（2） 复数等式2=-++i z i z 在复平面上表示椭圆(i 为虚数单位) ；

（3） 若02

221=+z z ，则021==z z ； （4）若2

2

z z =，则z 必为实数 ；

（5） 当0≠z 时，01

≠+

z

z ． 其中为真命题的序号为 .

12．已知椭圆方程：

116

252

2=+y x ，左焦点为F ，一条直线m x =与椭圆交于两点B A 、，当ABF ?的周长为最大时，ABF ?面积是___________.

二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.

13．直线022=-+y x 与310x y -+=的夹角为………………………………………（ ）

A ．

4π B ． 2π C ． 4π- D ． 4

π或34π

14．若m 为实数，则复数()()i m m m m 112

2-+-+++(i 为虚数单位)在复平面内所对应的

点位于………………………………………………………………………………… （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

15．已知()0,5-A 、()0,5B

两点，且满足a PB PA 2=-，当常数05a <≤时，点P 的轨

迹为…………………………………………………………………………………… （ ） A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线一支或一条射线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线或两条射线 16．直线l 过点(4,0)-且与圆2

2

(1)(2)25x y ++-=交于A B 、两点，如果||8AB =，那么

直线l 的方程为…………………………………………………………………………（ ） A ．512200x y ++= B ．512200x y -+=或40x += C ．512200x y -+=

D ．512200x y ++=或40x +=

三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分8分）

已知复数13z i =-(i 为虚数单位)，复数2z 的虚部为2，且21z z 是实数，求复数2z .

18．（本题满分8分）

已知直线l 的斜率为

4

3

，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12，求直线l 的方程．

19. （本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）

已知动圆过点()0,1P ，且与定直线1:-=x l 相切． （1） 求动圆圆心M 的轨迹方程；

（2） 若直线1)y x =-与曲线M 相交于A 、B 两点，点C 在定直线:1l x =-上，若以线段AB 为直径的圆经过点C ，求点C 的坐标．

20．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）

已知椭圆22

22:1x y C a b

+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的

2倍.

（1） 求椭圆C 的方程；

（2） 设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积.

21. （本题满分14分,第1小题7分，第2小题7分）

已知双曲线14

:22

=-y x C ，P 为C 上的任意点． （1）若直线1+=kx y 与双曲线14

:22

=-y x C 有且仅有一个公共点，求实数k 的值； （2）设点A 的坐标为()0,t （t 为正实数），求PA 的最小值．

浦东新区2013学年度第二学期期末质量测试

高二数学

（答题时间：90分钟 试卷满分：100分）

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1．已知()2,2A 、()1,1--B ，则直线AB 的倾斜角为_4

π_. 2．已知i 为虚数单位，则10(1)i +=_32i _.

3．若复数满足iz i = (i 为虚数单位)，则||z 2 ．

4．以椭圆

221169144

x y +=的右焦点为圆心，半径为4的圆的方程是_()16522

=+-y x _． 5．经过点(3,4)P 且与圆2225x y +=相切的直线方程是 02543=-+y x .

6．关于x 的方程042

=++k x x 有一个根为i 32+- (i 为虚数单位) ，则实数k =_13_. 7．已知点)2,3(A ，F 是抛物线x y 22=的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PF AP +有最小值，P 点坐标应为_)2,2(_.

8．椭圆

19222=+k y x 与双曲线13

2

2=-y k x 的焦点相同，则k = 2 .

9．已知P 是抛物线x y 42=上的动点，F 是抛物线的焦点，则线段PF 的中点轨迹方程是

122-=x y ．

10．已知复数z 满足342z i --=(i 为虚数单位)，则z 的取值范围是_[]7,3_. 11．设1z 、2z 、C z ∈，下列命题中

（1） 若021>-z z ，则21z z >；

（2） 复数等式2=-++i z i z 在复平面上表示椭圆(i 为虚数单位) ；

（3） 若02

221=+z z ，则021==z z ； （4）若2

2

z z =，则z 必为实数 ；

（5） 当0≠z 时，01

≠+

z

z ． 其中为真命题的序号为 （4） .

12．已知椭圆方程：

116

252

2=+y x ，左焦点为F ，一条直线m x =与椭圆交于两点B A 、，当ABF ?的周长为最大时，ABF ?面积是_

5

96_.

二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.

13．直线022=-+y x 与310x y -+=的夹角为………………………………………（ A ）

A ．

4π B ． 2π C ． 4π- D ． 4

π或34π

14．若m 为实数，则复数()()i m m m m 112

2-+-+++(i 为虚数单位)在复平面内所对应的

点位于………………………………………………………………………………… （ D ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

15．已知()0,5-A 、()0,5B

两点，且满足a PB PA 2=-，当常数05a <≤时，点P 的轨

迹为…………………………………………………………………………………… （ B ） A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线一支或一条射线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线或两条射线

16．直线l 过点(4,0)-且与圆22(1)(2)25x y ++-=交于A B 、两点，如果||8AB =，那么

直线l 的方程为…………………………………………………………………………（ D ） A ．512200x y ++= B ．512200x y -+=或40x += C ．512200x y -+=

D ．512200x y ++=或40x +=

三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分8分）

已知复数13z i =-(i 为虚数单位)，复数2z 的虚部为2，且21z z 是实数，求复数2z . 解：设()R a i a z ∈+=22，

又由题意()()()()R i a a i i a z z ∈-++=-+=6233221…………（4分） 得，06=-a ，即6=a ．…………………………………………（3分）

所以，复数i z 262+=．……………………………………………（1分） 18．（本题满分8分）

已知直线l 的斜率为

4

3

，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12，求直线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为b x y +=4

3

，……………………………………（1分）

令0=x ，得b y =；令0=y ，得b x 3

4

-=．

由题意得：1234342

2

=??

? ??-++-+b b b b …………………………（4分）

即123

5

34=+-

+b b b ，3±=∴b ．…………………………………（2分） 所以直线l 的方程为：34

3

±=

x y ，即01243=±-y x ．…………（1分）

19. （本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）

已知动圆过点()0,1P ，且与定直线1:-=x l 相切． （1） 求动圆圆心M 的轨迹方程；

（2）

若直线1)y x =-与曲线M 相交于A 、B 两点，点C 在定直线:1l x =-上，若以线段AB 为直径的圆经过点C ，求点C 的坐标．

解：（1）由题意知，动圆圆心M 到定点()0,1P 与到定直线1:-=x l 的距离相等，所以动圆

圆心M 的轨迹方程为x y 42=．…………………………………………（4分） （2）将直线()13--=x y ，代入抛物线方程得

031032=+-x x ，解得：3,3

1

21==

x x ，…………………………（2分） 所以 ???

?

??332,31A ，()

32,3-B ．……………………………………（1分）

设()0,1y C -，由题意知，BC AC ⊥?0=?BC AC ，得

()

03233243400=--???

? ??-+?y y ，解得：3320-=y ， 所以点C 的坐标为???

?

??

-

-332,1．………………………………………（3分）

20．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）

已知椭圆22

22:1x y C a b

+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的

2倍.

（1） 求椭圆C 的方程；

（2） 设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积.

解：（1）由题意得1,c a ==，又2

2

1a b -=，所以2

1b =，2

2a =.

所以椭圆的方程为 12

22

=+y x .…………………………………………（4分） （2）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，

联立2222,1

x y y kx ?+=?=+? 消去y 得22(12)40k x kx ++= （*） …………（3分）

解得0x =或2412k x k =-

+，所以1

2

412k

x k =-+， 所以2

22

412(,)1212k k B k k

--++，2221(,)1212k P k k -++， 因为直线OP 的斜率为1-，所以1

12k

-=-， 解得1

2

k =

（满足（*）式判别式大于零）. ……………………………（3分）

O 到直线1:1

2l y x =

+AB =

所以△OAB 的面积为

12

23

= ……………………………（2分）

21. （本题满分14分,第1小题7分，第2小题7分）

已知双曲线14

:22

=-y x C ，P 为C 上的任意点． （1）若直线1+=kx y 与双曲线14

:22

=-y x C 有且仅有一个公共点，求实数k 的值； （2）设点A 的坐标为()0,t （t 为正实数），求PA 的最小值．

解：（1）将直线1+=kx y 代入双曲线14

:22

=-y x C 得， 22(14)880k x kx ---=，…………………………………………………（2分）

① 当2

140k -=时，即2

1

±

=k ，直线与渐近线平行，满足条件；……（2分） ② 当2

140k -≠时，226432(14)0k k ?=+-=

，解得2

k =±

……（2分） 所以实数k 的值为12±

、 …………………………………………（1分） （2）设的坐标为()y x P ,，则()()

14

2

2

2

2

2

-+-=+-=x t x y t x PA 15

1

544522

-+??? ??-=t t x )2(≥x ……（2分） ① 当2540≤<

t ，即250≤

PA 的最小值为()22-t ， ② 当254>t ，即2

5>t 时，当t x 54=时，2

PA 的最小值为1512-t ．

即??????

?

?

?? ?

?

>-?

?? ??

≤<-=2515

125022min

t t t t PA ．……………………………………………（5分）