福建省同安一中2013届高三理科数学冲刺模拟试卷

2013届高三理科数学冲刺模拟试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知集合{

12

log 1,A x x B y y ????=>-==

?????

?

，则()R A C B = （ ）

A ．(],1-∞

B ．(]0,1

C ．()0,1

D ．Φ

2．设,m n 是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（ ） A ．当α?m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件

B ．当α?m 时，“m ⊥β”是“βα⊥”的充分不必要条件

C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件

D ．当α?m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件 3．定义某种运算?，a b ?的运算原理如图所示.

设x x f ?=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为. （ ）

A ．-2

B ．-1

C ．0

D ．2

4．设函数n

a x x f )()(+=，其中?

+=πππ2)sin(3dx x n ，)0()0(-='f f 则)(x f 的展开式中2

x 的系数为（ ）

A ．240-

B ．60-

C ．240

D ．60

5．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半 部分均为边长为

2的等边三角形，则该几何体的体积为（ ） A ．

π B

．2π+ C ．π+D ．2π

6．函数cos x

x

y e =的图像大致是（ ）

7．在区间[]1,1-上随机地取两个数,a b ，则使得关于x 的方程2

0x ax b ++=在()1,1-和()1,2内各有一

个根的概率为（ ） A ．

18

B ．

14 C ．12 D ．78

8．在等差数列{}n a 中，12013a =-，其前n 项和为n S ，若20142012220142012

S S

-=，则2013S 的值等于（ ）

A ．2013-

B ．2012-

C ．2012

D ．2013

9．过双曲线()22

221,0x y a b a b

-=>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为,P l 与另一条渐近线交于

Q 点，若222QF F P =

，则双曲线的离心率为（ ）

A ．2

B

C ．

43

D

．

3

10．设向量12(,)a a a = ，12(,)b b b = ，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ?=?=

已知1(,2)2

m = ，11(,sin )n x x = ．点Q 在()y f x =的图像上运动，且满足OQ m n =?

（其中O 为坐

标原点），则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（ ）

A ．

1,2

π B ．1

,42π C ．2,π D ．2,4π

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．若复数

i

i

a 312+-为实数，则实数=a ． 12． 如图，在平面直角坐标系中，锐角αβ、的终边分别与单位圆交于A B 、两点．

如果3sin 5α=，点B 的横坐标为5

13

，则=+)cos(βα ．

13．x ，y 满足约束条件??

?

??≤--≥-≥+2211

y x y x y x ，目标函数z=ax+2y 仅在

点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是_________．

14．如图，在ABC ?中，3,4,5AB AC BC ===，线段DE 的中点 固定在点A 处，将线段DE 在ABC ?所在的平面内绕着点A 任意旋转，

若2DE =，则BD CE ?

的取值范围是 ．]4,6[-

15．把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：

（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数24的不同等差分拆的个数是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,

]3π

上单调递增，在区间2[,]33

ππ

上单调递减．ABC ?中，a 、b 、c 分别为内角A B C 、、所对的边，且满足A

C

B A C

B cos cos cos 3

4sin sin sin --=+ω

． （Ⅰ）证明：a c b 2=+；

（Ⅱ）如图，点O 是ABC ?外一点，设θ=∠AOB (0)θπ<<，

22OA OB ==，当c b =时，求平面四边形OACB 面积的最大值．

B

C θ

o

A

第16题图

A 第18题图

17．（本小题满分13分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：

根据上表信息解答以下问题： （Ⅰ）从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数2()1f x x x η=--在区间(4,5)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率1P ；

（Ⅱ）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．

18．（本小题满分13分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，0

60DAB ∠=．点E F 、分别在边CD CB 、上，点E 与点C D 、不重合，EF AC ⊥，EF AC O = ．沿EF 将CEF ?翻折到PEF ?的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面POA ； （Ⅱ）当PB 取得最小值时，若点Q

满足AQ QP λ=

(0λ>)，试探究： 直线OQ 与平面PBD 所成的角是

否一定大于4

π

？并说明理由．

19．（本小题满分13分）

如图，设F 为抛物线)0(22

>=p px y 的焦点，P 是抛物线上一动点，

Q 为线段OF 的垂直平分线上一点，且点Q 到抛物线的准线l 的距离为

2

3． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点M 的坐标为)0,3(，是否存在

垂直于x 轴的直线'l 被以PM 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在， 求直线'l 的方程；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）设1

ln )()(++=

x x

a x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线0

12=++y x 垂直．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ) 若),1[+∞∈?x ，)

1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的范围．（Ⅲ）求证：

*21

.().41

n

i i n N i =∈-∑

21．（本小题满分14分） 选修4-2：矩阵及其变换

（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）并求y sin()3

x π

=+在M 作用后的函数解析式．

选修4-4：坐标系与参数方程

（2）在直角坐标系xoy 中，直线l

的参数方程为3x y ?=-????=??（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C

的方程为ρθ=．

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点,A B ．若点P 的坐标为（3

，求||||PA PB +． 选修4－5：不等式选讲 （3）已知,,x y z 为正实数，且

111

1x y z

++=，求49x y z ++的最小值及取得最小值时,,x y z 的值．

普通高等学校招生全国统一考试（同安一中模拟）数学（理工农医类）答题卡

同安一中2013届高三理科数学冲刺模拟试卷答案

一、选择题： BADCA AAAD C 二、填空题： 11．3

2-

12．6516- 13．（－4，2） 14．]4,6[- 15．14

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分13分）解：（1）由题意知：

243ππω

=

，解得3

2

ω=，……2分 A

C

B A

C B cos cos -cos -2sin sin sin =

+

A C A

B A A

C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴

A C A

B A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………………………4分 a c b A B

C 2sin 2sin sin =+?∴=+∴…………………………………………………6分

（2）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形

21sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ??=+=?+ ……………………………8分

22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=+

+?435cos 3-sin +=θ

θ2sin (-)3πθ=(0)θπ∈，,2-

-333

π

ππ

θ∴∈(，)， 当且仅当-

3

2

π

π

θ=

，即56πθ=

时取最大值,OACB S

的最大值为2+………………13分 17．解:(１) 函数()2

1f x x x η=--过(0,1)-点，在区间

45)（，上有且只有一个零点， 则必有(4)<0(5)>0f f ???即：16-4-1<025-5-1>0

ηη???，解得：1524

<<45η，所以，4η=…………3分

当4η=时，21120101512

5068

245C C C P C +==，

…………6分 (２) 从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值， 则ξ的可能取值分别是0,1,2,3， …………7分

于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，111111

510102015202

5022

(1)49C C C C C C P C ξ++=== 1111520101525010

(2)49C C C C P C ξ+=== ，

11

5152

503(3)49C C P C ξ===…………10分

从而ξ的分布列：

ξ的数学期望：22210351

0123749494949

E ξ=?+?+?+?=． …………13分

18.（1）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥，

∵ EF AC ⊥，∴PO EF ⊥

∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ?平面PEF ，

∴ PO ⊥平面ABFED , ∵ BD ?平面ABFED ，∴ PO BD ⊥ ∵ AO PO O = ，∴ BD ⊥平面POA . ………………………5分 （2）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -.

设.AO BD H = 因为60DAB ∠=?，所以BDC ?为等边三角形，

故4BD =

，2,HB HC ==又设PO x =

，则OH x =

，OA x =.

所以(0,0,0)O ，(0,0,)P x

，,2,0)B x ，故

,2,)PB OB OP x x =-=-

，

所以PB

当x =

min PB

此时PO =

OH ………………………7分

设点Q 的坐标为(),0,a c

，由前知，OP =

，则A

，B

，2,0)D -

，P .

所以()AQ a c =-

，()

QP a c =- ，∵AQ=QP λ ，

∴,a a c c

λλ?--??-??

?a c ?=???

?=??

．

∴Q ，

∴OQ = ．………………………10分 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =

，则0,0n PB n BD ?=?= ．

∵2,PB = ，()0,4,0BD =-

，∴20,40y y +-=-=?? ，

取1x =，解得：0,y =1z =， 所以(1,0,1)n =

. ………………………10分 设直线OQ 与平面PBD 所成的角θ，

∴sin cos ,OQ n OQ n OQ n

θ?=<>==

=

?

=0λ>

∴sin θ>． ∵[0,]2πθ∈，∴4πθ>． 因此直线OQ 与平面PBD 所成的角大于

4

π

，即结论成立．………………………13分 19．解：（Ⅰ）∵抛物线的方程为2

2y px =，∴直线l 的方程为 又∵点Q 在线段OF 的垂直平分线上，且F 为抛物线2

2y px =的焦点，∴点Q 的横坐标为2分）

，即2p =．………（4分）

5分）

于,D E 两点，记DE 的中

7分）∵CH DE ⊥，

分） 13分）

20．解：(1)2

)1(ln )()1)(ln (

)(++-+++='x x a x x x x a

x x f -----------------------2分

由题设21)1(=

'f ，2

1

42)1(=+∴

a 11=+∴a ，0=∴a . -------------------4分 (2) 1ln )(+=x x

x x f ,),1(+∞∈?x ，()(1)f x m x ≤-，即1ln ()x m x x ≤-设1()ln ()g x x m x x

=--

，即0)(),,1(≤+∞∈?x g x .222

11(

)(1)mx x m

g x m x x x -+-'=-+=---6

分

①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.-----------------8分 ②若0m >方程2

0mx x m -+-=的判别式2

14m ?=- 当0≤?，即1

2

m ≥

时，0)(≤'x g .)(x g ∴在)(0,+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立．----9

分；当102m <<时，方程2

0mx x m -+-=，其根10x =>，11x =>，当

0)(),,1(2>'∈x g x x ,)(x g 递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.综上所述，1

2

m ≥

---10分；(3) 由(2)知,当1>x 时, 21=

m 时,11ln 2x x x ??

<- ???

成立. 不妨令*21,21k x k N k +=

∈- 所以2

21121214ln

212212141k k k k k k k k ++-??<-= ?--+-??，

()()*

21[ln 21ln 21],4

41k k k k N k +--<∈- ()()()()()22211ln 3ln14411

12ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ?

-

?-

?-?

??

?+--

---------------------12分

累加可得*211ln(21).().441n i i n n N i =+<∈-∑*21.().41

n

i i n N i =<∈-∑-----------14分

21．(1)待定系数设M=a b c d ??

???

求得//

202022x x M y y ?=??=?? ?=???，-----------4分

再坐标转移法得/

2sin()23

x y π

=+

-----------7分 （2）解：

（Ⅰ）22(5x y +=-----------3分

（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C

的直角坐标方程，得2

40t -+=

由24420?=-?=>，故可设12,t t

是上述方程的两根，所以1

2124

t t t t ?+=???=?? ，又直线l

过点

，故结合t 的几何意义得||||PA PB +

=1212||||t t t t +=+=-----------7分

（3）解：由柯西不等式得

222222249]]36x y z ++=++?++≥++=………4分

当且仅当23x y z ==时等号成立，………5分，此时6,3,2x y z ===…6分 所以当6,3,2x y z ===时，49x y z ++取得最小值36………… 7分