【致远】2016-2017学年第一学期初二数学期中试卷及答案

2016-2017学年第一学期期中测试卷

初二数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符

合题目要求的，请将正确的选项的序号写在答题纸相应位置上） 1．在下列常见的“QQ 表情”中，是轴对称图形的是（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】只有C 选项是轴对称图形．

2．已知ABC △≌DEF △，且4AB =，5BC =，6AC =，则DE 的长为（ ）．

A ．4

B ．5

C ．6

D ．不能确定

【答案】A

【解析】因为ABC △≌DEF △，

所以4DE AB ==，选A ．

3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）．

A ．1，2，3

B ．2，3，4

C ．3，4，5

D ．4，5，6

【答案】C

【解析】直角三角形满足勾股定理，222345+=，只有C 选项符合题意．

4．如图，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ，过点D 作直线EF BC ∥，交B 、AC 于

点E 、F ，当A ∠的位置及大小变化时，线段EF 和BE CF +的大小关系为（ ）． A ．EF BE CF >+

B ．EF BE CF =+

C ．EF BE CF <+

D ．不能确定

【答案】B

【解析】∵EF BC ∥， ∴2∠3=∠， ∵BD 平分ABC ∠， ∴12∠=∠， ∴13∠=∠， ∴EB ED =，

同理可得：FD FC =， ∴EF DE DF BE CF =+=+， 故选B ．

D

F E C

B

A

5．如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 在BC 上，连接AD 、AE ，如果只添加一个条件使

DAB EAC ∠=∠，则以下条件中：①BAE CAD ∠=∠；②AD AE =；③BD CE =；④CD BE =；添

加方法正确的个数有（ ）个．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】①∵BAE CAD ∠=∠， ∴BAE DAE CAD DAE ∠-∠=∠-∠， 即DAB EAC ∠=∠，①正确， ②∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∵AD AE =， ∴ADE AED ∠=∠，

又ADE B BAD ∠=∠+∠，AED C EAC ∠=∠+∠， ∴BAD EAC ∠=∠，②正确， ③在BAD △和CAE △中，

AB AC B C BD CE =??

∠=∠??=?

， ∴BAD △≌(SAS)CAE △， ∴BAD CAE ∠=∠，③正确，

④ABD △≌(SAS)ACE △，故答案为①②③④，共4个，选D ， ∴DAB EAC ∠=∠．

6．如图所示，在长方形ABCD 的对称轴l 上找点P ，使得PAB △、PBC △均为等腰三角形，则满足条

32

1A

B

C

E F D

A

B C E A

B C

E

D

件的点P 的个数是（ ）．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】D

【解析】如图所示，BC 中垂线交l 于1P ，满足11

PB PC =； 作BP BC =与l 交于2P ，3P 两点，满足2P B BC =，3P B BC =， 作CP BC =，与l 交于4P ，5P 两点，满足4P C BC =，5

PC BC =， 故满足题意的P 点共有5个，选D ．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答

题纸相应位置上）

7．等腰直角三角形是轴对称图形，它的对称轴有__________条． 【答案】1

【解析】直角顶点与斜边中点的连线是等腰直角三角形对称轴．

8．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以到达该建筑物的高度是__________米． 【答案】12

【解析】2213512-=．

9．如图，ABC △中，90ACB ∠=?，分别以AC 、AB 为边向外作正方形，面积分别为1S ，2S ，若19S =，

225S =，则BC =__________．

【答案】4

【解析】∵19S =，225S =， ∴3AC =，5AB =， ∵90ACB ∠=?，

∴2222534BC AB AC =-=-=．

10．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，点D 是边BC 中点，若6AB =，则CD =__________．

D l

C

B

A

P 1P 2

P 3

P 4P 5

A B

C

l D S 1S 2A B

【答案】3

【解析】直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，故1

32

CD AB =

=．

11．如图将ABC △绕点A 顺时针旋转80?得到ADE △，若30B ∠=?，95E ∠=?，则BAE ∠=__________．

【答案】25?

【解析】∵ABC △旋转80?得到ADE △， ∴ABC △≌ADE △，80BAD ∠=?， ∴30D B ∠=∠=?，95E ∠=?， ∴18055EAD D E ∠=?-∠-∠=?，

∴805525BAE BAD EAD ∠=∠-∠=?-?=?．

12．已知等腰三角形的两边长是6和8，则它的周长是__________． 【答案】20或22

【解析】由题意可知，等腰三角形的三边长为6，6，8或6，8，8，

所以周长为66820++=或68822++=．

13．如图，小明不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的

玻璃，正确的办法是带第__________块去配，这是因为这两块玻璃全等，其全等的依据是

__________．可以用字母简写）

【答案】③，ASA

【解析】因为第③块中有完整的两个角及其夹边，利用ASA 可证三角形全等，故应带第③块．

14．如图，在ABC △中，AB AC =，D 为BC 边上一点，若30B ∠=?，45DAB ∠=?，则DAC ∠=

__________．

D

C

B

A

E

B C

D

③

②①

【答案】75?

【解析】∵AB AC =， ∴30C B ∠=∠=?，

∴180120BAC B C ∠=?-∠-∠=?， ∵45DAB ∠=?，

∴75DAC BAC DAB ∠=∠-∠=?．

15．如图，在ABC △中，90C ∠=?，AB 的垂直平分线交AB 、AC 于点D 、E ，连接BE ，且8AC =，

4BC =，则BE 的长度为__________．

【答案】5

【解析】∵DE 垂直平分AB ， ∴EA EB =， ∵90C ∠=?， ∴222EC CB EB +=，

设BE x =，则AE x =，8EC AC AE x =-=-， 由题意得：222(8)4x x -+=， 解得，5x =． ∴5BE =．

D

C

B

A

A

B

C

D

E A

C

D

16．如图，在ACB △中，90C ∠=?，CAB ∠与CBA ∠的角平分线交于点D ，3AC =，4BC =，则点D

到AB 的距离为__________．

【答案】1

【解析】∵D 是CAB ∠、CBA ∠角平分线的交点， ∴D 到AB 、AC 、BC 的距离相等， 设D 到AB 距离为x ， 连接CD ，

ABC ACD ABD BCD S S S S =++△△△△，

∵90C ∠=?，3AB =，4BC =， ∴22345AB =+=，

∴1111

343452222x x x ??=?+?+?， 解得：1x =，

∴D 到AB 的距离为1．

三、解答题（本大题共9小题，共68分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明

过程或演算步骤）．

17．（6分）已知：如图，AB AD =，C E ∠=∠，BAE DAC ∠=∠．

求证：ABC △≌ADE △．

E A

C

D

D

C B

A

D

C B

A

【答案】见解析

【解析】证明：∵BAE DAC ∠=∠， ∴BAE CAE DAC CAE ∠-∠=∠-∠， 即BAC DAE ∠=∠， 在ABC △和ADE △中，

BAC DAE C E

AB AD ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴ABC △≌(AAS)ADE △．

18．（6分）已知：如图，在ABC △中，CD AB ⊥，垂足为点D ，20AC =，15BC =，9DB =． （1）求CD 的长． （2）求AB 的长．

【答案】（1）12 （2）25

【解析】（1）∵CD AB ⊥， ∴90CDB ADC ∠=∠=?，

∴222215912CD BC DB =-=-=． （2）2222201216AD AC CD =-=-=， ∴16925AB AD DB =+=+=．

19．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成方格纸中，点A 、B 、C 、D 在格点上，连AB 、CD ．

在线段ABC 的上打出格点P ，使得PCD △为轴对称图形，请画出PCD △并直接写出对应的PCD △的面积．

A

B

C

D

D

C

A

A

C

D

【答案】见解析

【解析】要使PCD △为轴对称图形，那么PCD △应为等腰三角形， 满足条件的格点P 如图所示，满足PC PD =，

1

1

181892

PCD S ==△， 213.5P CD S =△．

20．（8分）画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．

正多边形的边数 3 45 6 L n

对称轴的条数

【答案】见解析

【解析】根据轴对称定义，画出对称轴填表即可． 答案如下：

正多边形的边数 3 45 6 L n 对称轴的条数

3 4

5 6 L n

21．（8分）请证明以下定理．（根据图形改写已知、求证，并完成证明过程）

定理：等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线得合．

A

C

D P 2P 1D C

B

A

已知： 求证： 证明：

【答案】见解析

【解析】已知：ABC △中，AB AC =，AD 是底边BC 的中线， 求证：AD 是BAC ∠的角平分线且AD 是BC 边上的高， 证明：∵D 是BC 中点， ∴BD CD =，

在ABD △和ACD △中，

AB AC BD CD AD AD =??

=??=?

， ∴ABD △≌(SSS)ACD △，

∴BAD CAD ∠=∠，ADB ADC ∠=∠， ∴AD 是BAC ∠的角平分线， ∵180ADB ADC ∠+∠=?， ∴90ADB ADC ∠=∠=?， ∴AD 是BC 边上的高．

22．（8分）如图，在等边ABC △中，点D 、E 分别在边AC 、BC 在上，且AD CD =，BE BD =，求

CDE ∠的度数．

【答案】见解析

D

C

B

A

A

B

D

A

B

C

D

【解析】∵ABC △为等边三角形，AD CD =， ∴60ABC ∠=?，BD AC ⊥，BD 平分ABC ∠，

∴90BDC ∠=?，1

302CBD ABC ∠=∠=?，

∵BE BD =， ∴BDE BED ∠=∠，

∴1

(180)752BDE DBC ∠=?-∠=?，

∴15CDE BDC BDE ∠=∠-∠=?．

23．（9分）如图已知ABC △．

（1）请用尺规作图法作出BC 的垂直平分线DE ，垂足为D ，交AC 于点E ．（保留作图痕迹，不写

作法）

（2）请用尺规作图法作出C ∠的角平分线CF ，交AB 于点F ．（保留作图痕迹，不写作法） （3）请用尺规作图法在BC 上找出一点P ，使PEF △的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【解析】如图所示，E ，F ，P 即为所求．

24．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵

感，他惊喜的发现，当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来推导明222a b c +=．请你写出推导过程．

D

C

B

A

E

C

B

A

P

F'

E'

F E

D

C

B

A

【答案】见解析

【解析】记边长为a 的正方形为正方形1，边长为b 的正方形为正方形2，边长为c 的正方形为正方形3． 由图可知，Rt Rt 31222S S S S S S =+=++正方形正方形正方形五边形△△．【注意有文字】

即：222

112222c ab a b ab +?=++?，

∴222a b c +=．

25．（9分）（1）如图1，等腰三角形纸片ABC ，30BAC ∠=?，按图2将纸片沿DE 折叠，使得点A 与

点B 重合，此时DBC ∠=__________．

（2）在（1）的条件下，将DEB △沿直线BD 折叠，点E 恰好落在线段DC 上的点E '处，如图3，此

时E BC '∠=__________．

（3）若另取一张等腰三角形纸片ABC ，沿直线DE 折叠（点D 、E 分别为折痕与直线AC 、AB 的

交点），使得点A 与点B 重合，再将所得图形沿直线BD 折叠，使得点E 落在点E '的位置，直线BE '与直线AC 交于点M ．设(90)BAC m m ∠=?<，画出折叠后的图形，并直接写出对应的MBC ∠的

大小．（用含m 的代数式表示）

【答案】见解析

【解析】（1）∵30BAC ∠=?，AB AC =，

∴1

(180)752ABC ACB BAC ∠=∠=?-∠=?，

∵ADE △折叠至BDE △，

b

c a

b

c

a c

c

b

a

a b

c c

a c

b

a

c b

图1

A

B

C

D 图2E

B

C

A A

C

B

E

D 图3

E'

∴30DBE BAC ∠=∠=?， ∴45DBC ABC DBE ∠=∠-∠=?． （2）∵DBE △折叠至DBE '△， ∴30DBE DBE '∠=∠=?，

∴4530E BC DBC DBE ''∠=∠-∠=?-?=15?．

（3）如图1，036m ?

902MBC m ∠=?-?；

（其中：图2，30m =?时，点M 与点E '重合；

图3，3036m ?

902MBC m ∠=?-?；

图4，36m =?时，点M 与点C 重合；）

如图5，3660m ?

902

MBC m ∠=?-?；

如图6，60m =?时，点D 与点C 重合，BE AC '≠，不存在点M ；

如图7，6090m ?

2702MBC m ∠=?-?．

另外，可评讲时参考：

如图8，90m =?时，过点E 的折痕与AC 平行，点D 不在AC 上；

如图9，90108m ??

2702MBC m ∠=?-?；

如图10，108m =?时，点M 与点C 重合；

如图11，108120m ??

2702MBC m ∠=?-?；

如图12，120m =?时，BE AC '∥；

如图13，120180m ??

4502

MBC m ∠=?-?．

图1

E'M E

C

B

A

D

E'M ()图2

C

B

A

D

E'M E

C

B

A

D

图3

E'E

C M ()B

A

D

图4

图5

E'

M E

C B

A

D 图6

E'

E C D ()

B A

图7E'

M E C B A

D

图8

E

C

B

A

图9

E'

M E

B A

D

图10

E'C M ()

B

A

D

图11

E'M

E

C

B

A

D 图12

E

C

B

A D E'图13

E'M E

C

B

A

D