第四节_利用空间向量求二面角及证明面面垂直
第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直
一、二面角
二面角βα--l ，若α的一个法向量为m ，β的一个法向量为n ，则|
|||,cos n m ?>=
<，二面角的
大小为>
例1．如图，正三棱柱111C B A ABC -中，E 为1BB 的中点，111B A AA =，求平面EC A 1与平面111C B A 所成锐角的大小。
练习：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示．
(1)求证：AB ⊥CD ；
(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
[2014·四川卷] 三棱锥A - BCD 及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP .
(1)证明：P 是线段BC 的中点； (2)求二面角A - NP - M 的余弦值．
[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF；
(2)求二面角D -AF -E的余弦值．
图1-4
[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值．
[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.
(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B -AD -E的大小．
如图1-3所示，四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π
3
，
M 为BC 上一点，且BM ＝1
2
，MP ⊥AP .
(1)求PO 的长； (2)求二面角A -PM -C 的正弦值．
1-3
二．证面面垂直
若平面α的一个法向量为m ，平面β的一个法向量为，且n m ⊥，则βα⊥。
例3．在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，已知底面是面积为32的菱形，
060=∠ADC ，M 是PB 的中点。
（1）求证：CD PA ⊥
（2）求二面角D AB P --的度数； （3）求证：平面⊥PAB 平面CDM 。
用向量法求二面角的平面角教案
用向量法求二面角的平面 角教案 Prepared on 24 November 2020
第三讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量；
求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ， 2 1 = AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 分析 分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴，
考点三 用空间向量求二面角
考点三用空间向量求二面角 【例3】(2019·北京海淀区模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB. (1)(一题多解)证明：OD⊥平面P AQ； (2)若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值. (1)证明法一取OO1的中点F，连接AF，PF，如图所示. ∵P为BC的中点，∴PF∥OB， ∵AQ∥OB，∴PF∥AQ， ∴P，F，A，Q四点共面. 由题图1可知OB⊥OO1， ∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，OB?平面BCO1O， ∴OB⊥平面ADO1O， ∴PF⊥平面ADO1O， 又OD?平面ADO1O，∴PF⊥OD. 由题意知，AO＝OO1，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D， ∴△AOF≌△OO1D，
∴∠F AO ＝∠DOO 1， ∴∠F AO ＋∠AOD ＝∠DOO 1＋∠AOD ＝90°，∴AF ⊥OD . ∵AF ∩PF ＝F ，且AF ?平面P AQ ，PF ?平面P AQ ， ∴OD ⊥平面P AQ . 法二 由题设知OA ，OB ，OO 1两两垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AQ 的长为m ，则O (0，0，0)，A (6，0，0)，B (0，6，0)，C (0，3，6)，D (3，0，6)，Q (6，m ，0). ∵点P 为BC 的中点，∴P ? ?? ??0，92，3， ∴OD →＝(3，0，6)，AQ →＝(0，m ，0)，PQ →＝? ?? ??6，m －92，－3. ∵OD →·AQ →＝0，OD →·PQ →＝0， ∴OD →⊥AQ →，OD →⊥PQ →，又AQ →与PQ →不共线， ∴OD ⊥平面P AQ . (2)解 ∵BE ＝2AE ，AQ ∥OB ，∴AQ ＝12OB ＝3， 则Q (6，3，0)，∴QB →＝(－6，3，0)，BC →＝(0，－3，6). 设平面CBQ 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由?????n 1·QB →＝0，n 1·BC →＝0，得? ??－6x ＋3y ＝0，－3y ＋6z ＝0， 令z ＝1，则y ＝2，x ＝1，n 1＝(1，2，1). 易得平面ABQ 的一个法向量为n 2＝(0，0，1). 设二面角C －BQ －A 的大小为θ，由图可知，θ为锐角， 则cos θ＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝66，
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）
2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
立体几何-利用空间向量求二面角的平面角
1 A 利用空间向量求二面角的平面角 1.二面角的概念： 二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--. 2．二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 （2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角 说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]o o ； （2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 引导：请学生归纳已学过的求二面角的大小的方法，教师作必要的补充与引导．明确本节课的课题． 二.求二面角的平面角: 【回顾复习定义法求二面角的平面角】例1：在棱长为1的正方体1AC 中，求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角正弦值大小. 解：过1C 作1C O BD ⊥于点O ， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ， ∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角， 可以求得：3 6 sin 1= ∠COC ，所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成 二面角1C BD C --的平面角的正弦值大小为 3 6 【回顾复习用三垂线法求二面角的平面角】例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值 分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角 解：过D 作BC DF ⊥于F ，过D 作AC DE ⊥于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ， FED ∠为二面角B AC D --的平面角， 又AB ⊥平面BCD ， ∴AB DF ⊥，AB CD ⊥， ∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥ 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥， ∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥， 设BD a =，则2AB BC a ==， 在Rt BCD ?中， 11 22 BCD S BC DF BD CD ?= ?=?，∴DF = A B C D E F
空间几何向量求二面角专项练习
1. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M 在侧棱上，=60° （I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的大小。 2. 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ， 60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 3.如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE //平面FCC ；求二面角B-FC -C 的余弦 值。 4.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --11111 11111E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
5.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°， E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 6.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6. 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 7. 如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 8.如图，在五面体ABCDEF 中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE ，AB AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE= AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； ⊥⊥1 2 A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A C B P A D B C E D B A 图5
利用空间向量求二面角的平面角
利用空间向量求二面角的平面角 1.二面角的概念： 二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为 l αβ--. 2．二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 ,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 3、二面角的大小 （1）二面角的平面角范围是[0,180]； （2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 4、用法向量求二面角 5、面面角的求法 （1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 （2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。 D C β α B A O m 2 m 1 n 2 n 1 D C β α l 如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。 如图，设 1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。 cos cos ,AB CD AB CD AB CD θ?== ?
小结： 1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角: 二.求二面角的平面角: 例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？ 例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小 。 cos cos ,AB CD AB CD AB CD θ?==?
如何用空间向量求解二面角
如何用空间向量求解二面角 万立勇 （河南省信阳市新县高中，465550） 求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。 在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对 于空间向量→a 、→b ，有cos ＜→a ，→ b ＞= → →→ →??| |||b a b a ．利用这一结论， 我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题． 例1 (2005年全国高考理科试题) 在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．求 面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小． 证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边 长为1，依题意 得AB ??→ = (0，1，0)，是面VAD 的法向量， 设n →= (1，y ，z)是面VDB 的法
向量，则 0,0.n VB n VB →??→→??→??=????=? ?1,3y z =-?? ?=- ???n →= (1，－1 )。 ∴cos ＜AB ??→，n → ＞ |||| AB n AB n ??→→ ??→→ ??= － 7 ， 又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角为锐角，所以其大小 为arccos 7 例2 (2004年全国高考四川、云南、吉林、黑龙江理科数学试题)如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90?，AC=1， CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． ⑴求证CD ⊥平面BDM ； ⑵求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小． 解：⑴略 ⑵如图，以C 为原点建立坐标系.设BD 中点为G ，连结B 1G ， 则依 ，14，1 4 )，BD ??→ = (－ y B B 1 C 1 A 1 C A D M
空间向量及二面角的向量求法专题备课讲稿
第四讲 空间向量 一、定义： （1）已知，则),,(121212z z y y x x ---= （2）已知),,(),,,(222111z y x b z y x a ==ρ ρ ，则),,(212121z z y y x x b a +++=+ρ ρ； ),,(212121z z y y x x b a ---=-ρρ；212121z z y y x x b a ++=?ρ ρ （3）数量积：cos a b a b θ?=??r r r r 注：22a a =r r ；a b +=r r ；222||z y x a ++=ρ （4）应用：已知),,(),,,(222111z y x b z y x a ==ρ ρ 1122//x y a b b a x y λ?=?=r r r r =2 1z z 00212121=++?=??⊥z z y y x x b a b a ρ ρρρ 二、空间向量解决空间立体几何问题： 1、位置关系判定： （1）线线平行：111 222 //x y z a b a b x y z λ→ → → → ?=? == 线线垂直：121212(cos 0)02 a b x x y y z z π θθ→→ ⊥?= =??+?+?= （2）线面平行：//a m l α→→ ⊥?（其中m → 为平面的法向量） 线面垂直：//a m l α→ → ?⊥ （3）面面平行：////,m n m n αβαβ→→→→ ?其中为的法向量，为 的法向量 面面垂直：,m n m n αβαβ→ → → → ⊥?⊥其中为的法向量，为的法向量
2、求夹角： （1）线线角：|| |||||cos |b a b a ρρρρ??=θ，其中[0,]2π θ∈ （2）线面角：|||||||cos |sin m a m a ρ ρρ ρ??==θθ，其中[0,]2 π θ∈ （3）二面角：cos |||| m n m n θ→→ → → ?= ?，其中[0,)θπ∈
空间向量法求二面角
徐沟中学高二年级数学学案 命制人： 董晓燕 郭凯丽 复查人：段红蕊 空间向量法求二面角 学习目标： 1．让学生初步理解用与二面角的平面角两边平行的向量的夹角计算二面角大小的方法；让学生初步了解二面角的平面角与两个面的法向量的夹角的关系；并能解决与之有关的简单问题． 新知自学： 让学生观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，引导学生用法向量的 夹角解 图1 图2 课堂互学： 例1；在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角 B A C D --的正弦值 例3：如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=2 1 。 求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的大小。 总结提炼： 随堂检测： 1.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为 2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小； 能力提升： 1.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且AA 1=AB=2． （1）求证：AB ⊥BC ；（2）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为6π ，求锐二面角A-A 1C-B 的大小． A B C D E F ?ω θ β l α 2 n 1 n θ β l α ? 1 n 2 n O （A ） B A 1 C 1 B 1 D 1 D C Q z y x 图4 A z y D C B S 图5 A B C D 1 A 1 C 1 B
利用空间向量求空间角-教案
利用空间向量求空间角-教案
利用空间向量求空间角 备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬 授课时间：2016年11月28日一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标
系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ， m 的方向向量分别为a ,b ,异面直线l ，m 所成的角 为θ，则cos cos ,a b θ== a b a b ?. 2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ== a n a n ?. α m b θ a l
3、面面角公式：设1 n ，2 n 分别为平面α、β的法向 量，二面角为θ，则12 ,n n θ= 或12 ,n n θπ=- （需要根据 具体情况判断相等或互补），其中121212 cos ,n n n n n n ?= . （二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=， SO ⊥ 面OABC ，且1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. α θ O O A B C S n a
向量法求空间角(高二数学,立体几何)
A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6． （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； （3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． B
3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点． = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; （1）求证:// （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.
H P G F E D C B 5．如图，在直三棱柱111AB C A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小. 6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点． （1）求证：FG 平面PED ； （2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.
利用空间向量求空间角教案设计
利用空间向量求空间角 备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬 授课时间：2016年11月28日一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l，m的方向向量分别为a,b,异面直线l，m b a b a b ? . bθ a
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ== a n a n ?. 3、面面角公式：设1n ，2n 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=或12,n n θπ=-（需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中12 1212 cos ,n n n n n n ?=. （二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. O A B C S
利用空间向量求空间角教案设计
利用空间向量求空间角 备课人：龙朝芬 授课人：龙朝芬 授课时间：2016年11月28日 一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . （二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. α θ O O A B C S n r a
空间几何向量求二面角专项练习
1. 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 2. 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的 中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 3.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 111111图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 5.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面 ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 6.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6. 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C E D P A B 1 C 1 A 1 A C B P
第四节_利用空间向量求二面角及证明面面垂直
第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直 一、二面角 二面角βα--l ，若α的一个法向量为m ，β的一个法向量为n ，则| |||,cos n m ?>= <，二面角的 大小为>
[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D -AF -E的余弦值． 图1-4 [2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． [2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD； (2)求二面角B -AD -E的大小．
空间几何向量求二面角专项练习
1 1. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M 在侧棱上，=60° （I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的大小。 2. 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的 中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 角E —AF —C 的余弦值. 3.如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE //平面FCC ；求二面角B-FC -C 的余弦值。 4.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 5.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面 ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 6.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --111111111 1E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C E D P A C B P
利用空间向量解立体几何(完全版)
向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积：cos ?= a b a bθ ? 2.射影公式：向量a在b上的射影为a b b 3.直线0 - ++=的法向量为(),A B，方向向量为(),B A Ax By C 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系
线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角
如何利用空间向量准确确定二面角的大小
如何利用空间向量准确确定二面角的大小 摘要：使用空间向量，使立体几何问题代数化，演绎难度降低，解题路子更宽阔，用简单的代数运算取代了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线，解题思路方向明确。特别是对于解决空间二面角问题，不必为如何解（证）和做辅助线问题而煞费苦心. 但是对于两向量所成的角什么时候就是所求二面角，正确理解和准确掌握两向量所成角与所求二面角之间的大小关系,对求二面角有重要的意义，对解决高考中的二面角问题有着重要的指导作用。 关键词：空间直角坐标系、二面角、法向量、二面角的内部、外部、相等、互补。 向量由于融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，拓展了中学数学问题解决的思维空间. 近几年的高考立体几何知识内容的考察一般以“方便建系”及“常规方法”为原则，使得考生能自由选择解法，即常规方法或向量解法，相比较向量法使将立体几何问题代数化，避免了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。题干一般以“关系”证明，空间角、距离、截面面积、体积计算为求解目标。从2007年全国各地19套37份试卷和近几年的高考试题来看，空间二面角成为考察的重点和难点。 但是，用空间向量知识解决立体几何中的二面角问题时我们往往会这样一类棘手的问题，两向量所成角的大小是否就是所求二面角的大小，即两向量所成角φ与所求二面角θ相等还是互补。 而利用空间向量求二面角一般有以下两种方法 方法一：：如图1所示，在二面角βα--l 的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与棱l 垂直的两向量21n n 、（21n n 、起点或终点一般选取平面内的某一特殊点），则二面角βα--l 的大小θ等于向量21n n 、的夹角φ，即 12 12cos cos . |||| n n n n θφ?==?121 2arccos ||||n n n n θ?=? 显然用此方法中φ=12n n 、=θ，二面角βα--l 的大小即为21 n n 、所成 角的大小。如： 图1
空间向量法求面角
1 / 1 空间向量法求二面角 学习目标： 1．让学生初步理解用与二面角的平面角两边平行的向量的夹角计算二面角大小的方法；让学生初步了解二面角的平面角与两个面的法向量的夹角的关系；并能解决与之有关的简单问题． 新知自学： 让学生观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，引导学生用法向量的 夹角解 图1 图2 课堂互学： 例1；在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角 B A C D --的正弦值 例3：如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=2 1 。 求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的大小。 总结提炼： 随堂检测： 1.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为 2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小； 能力提升： 1.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且AA 1=AB=2． （1）求证：AB ⊥BC ；（2）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为6π ，求锐二面角A-A 1C-B 的大小． A B C D E F ?ω θ β l α 2 n 1 n θ β l α ? 1 n 2 n O （A ） B A 1 C 1 B 1 D 1 D C Q z y x 图4 A z y D C B S 图5 A B C D 1 A 1 C 1 B