四年级 奥数 最优化问题 例题 专项练习题

第三讲最优化问题

一、考点、热点回顾

1、用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？

2、有一个80人的旅游团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间，男、女分别住不同的房间，他们至少要住多少个房间？

知识要点：

在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大(小)值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。

结合实际，联系生活。通过列举、计算、对比等手段，选择最佳方法。有些问题，从部分思考，再全面解决问题，得到最佳对策。

思考角度：

1、用时最省：把两件或三件以上的事同时做。

2、费时最省：费时少者优先。

3、面积最大：图形越正，面积越大。

4、乘积最大：两数相差越小，乘积越大。

教学重难点：

1.最优化问题虽然具有趣味性，但由于解题方法灵活，技巧性强，因此要开拓解学生题思路，增强数学能力。

2.因为最优化问题灵活性强，所以要求学生结合实际，联系生活。善于应用用时最省、费时最省、面积最大、乘积最大四点角度考虑。

二、典型例题

例1：用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，煎一个需要2分钟，规定每个饼的正反面各需1分钟。问煎3个饼至少需要几分钟？

例题2：用3 ～～ 6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。

练习：用5 ～～ 8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最小

例题3：用18厘米的铁丝围成各种长方形，要使长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少平方厘米。

练习：一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米？

例题4：妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟，为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟？

练习：烧一道“香葱炒蛋”，需要七道手续。每道手续所需时间如下：敲蛋1分钟，洗葱、切葱花3分钟，打蛋2分钟，洗锅2分钟，烧热锅2分钟，烧热油4分钟，炒4分钟。那么你认为烧好这道菜所需最短时间为多少分钟？

例题5：五（一）班赵明、孙勇、李佳三位同学到达学校卫生室等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水只需要1分钟，卫生室只有一位校医，问校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的总时间最短？需要几分钟？

练习：甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务。甲10分钟能谈完，乙16分钟能谈完，丙8分钟能谈完，怎样安排三人的谈话次序，使三人所花的总时间最少？最少需要多少分钟？

例题6：甲、乙两村相距10千米，要在两村之间联合建一所小学校。甲村有60人上学，乙村有40人上学。那么小学校应该建在什么地方，才能使这100个学生每天上学的总行程最短？

练习：有一个水塔要供应某条公路旁的6个居民点用水（如下图，单位：千米）要安装的水管有粗细两种，粗管足够供应6个居民点用水，细管能供应1个居民点用水，粗管每千米花费7000元，细管每千米花2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用是多少？

例题7：有8个人在交通事故中受伤，救援人员1人可以救护3人，而1辆救护车只可以坐4个人。至少应当开出几辆救护车到事故现场？

练习：有一个80人的旅游团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间，男女分住不同房间，他们至少要住多少个房间？

例题8：把19拆成若干个整数（可以相同的自然数）的和，使乘积尽可能地大，最大乘积是多少？

练习:把29拆成若干个整数（可以相同的自然数）的和，使乘积尽可能地大，最后乘积是多少？

例题9：27只乒乓球中有一只是次品，次品比正品轻一点，现有一个天平，最少称几次，一定能把次品找到？

练习：有24个形状相同的铁球，有一个铁球要比其他的铁球轻一点，现在有一个天平，最少称几次，一定能把这个不一样的铁球找出来？

例题10：有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯。不许倒水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？

练习：甲、乙两瓶容积相同，甲瓶装满了水，乙瓶装满了酒，另外有三只容积相等的空杯子，三只杯子的容积正好等于一只瓶子的容积，试用这三只杯子最简便地把甲、乙两瓶都调成酒水各半的液体。

三．实战训练

1.烤面包时，第一面要烤2分钟，第二面只烤1分钟。即烤一块面包共需3分钟，小丽用烤面包的架子，一次能放两块面包。她每天早上要吃3块面包，至少需要几分钟？

2.小虎早晨完成几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶里需要1分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟，为了尽快完成这些事，怎样安排才能使用的时间最少？最少需要多少分钟？

3.早饭前妈妈要干好多的事：烧开水要15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟，如果灶具上只有一个火，全部做完这些工作最少需多少时间？怎样安排？

4.服装厂的工人每天可以生产4件上衣或7条裤子。一件上衣和一条裤子为一套。现有66名工人生产，每天最多能生产多少套服装？

5. 桌子放了60根火柴，甲乙二人轮流取。每人每次取1—3根，取到最后一根者获胜。甲有必胜的策略吗？

6.有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔，商店中每种笔都是5支一包或者3支一包，不能打开包零售。5支一包红笔61元，蓝笔70元。3支一包红笔40元，蓝笔47元。老师买所需要的笔，最少多少元？

7.甲、乙、丙、丁四人同时到水龙头处用水，甲洗拖把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟，怎样安排四人的用水次序，使四人所花的总时间最少？最少需要多少分钟？

8.理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、15、20和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要花多少时间？

9.A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问：其中一人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后二人返回出发点）？

10.甲、乙两瓶容积相同，甲瓶装满了水，乙瓶装满了酒，另外有三只容积相等的空杯子，三只杯子的容积正好等于一只瓶子的容积，试用这三只杯子最简便地把甲、乙两瓶都调成酒水各半的液体。