第6章 同步电机的动态分析

第六章同步电机的动态分析

在《电机学》和电力专业课学过同步电机基本理沦的基础上，本章着重讨论同步电机的异步运行、小值振荡和自激问题，作为机电能量转换理论的应用实例，也作为电力专业课程的补充。

为了突出本质和使计算简化，本章的分析采用以下近似假定：

(1)忽略磁路饱和、磁滞和涡流的影响；

(2)定、转子绕组所产生的气隙磁场按正弦分布，忽略磁场的高次谐波分量；

(3)转子结构对直轴和交轴对称；

(4)将转子阻尼绕组简化为直轴和交轴两个独立的等效阻尼绕组。

6—1用dg0坐标系统表示的同步电机运动方程

同步电机也可采用综合矢量进行分析。但由于转子磁路不对称，一般都采用dQo坐标系统，以克服abc坐标系统中电压方程是带有周期性变系数的微分方程给求解带来的困难。

在研究同步电机运行的领域内，由于各个作者规定各物理量的正方向不一致，同样采用dQo 坐标系统所写出的基本方程中的正负号也互不相同。本章采用的规定正方向与上章一致，重申于下：P177

(1)电压电流和感应电动势的正方向：所有回路都按电动机惯例来规定，凉意如图6-1(a)。照此规定，瞬时功率山为正时，表示从外部输入功率；当电机作发电运行时，ui为负，表示输出功率。

(2)磁链的正方向：规定当绕组通过正向电流时产生的磁链为正向磁链见图6-1(a)。

(3)dq轴的正方向：d轴的正方向规定为主极磁通的正方向，g轴的正方向规定超前于d轴正方向90。电角度。如图6—l(b)，与上章同。

(4)电磁转矩y信和外加机械转矩TN6。的正方向，都规定与电机转子的转向相同，如图6-1(c)。

图6—1同步电机的规定正方向

照此规定，作电动机运行时Tm为正，负载转矩Tmec为负，作发电机运行时Tm为负，原动机的驱动转矩Tmec为正。

在5-2节已导出从abc系统到dqo系统的变换关系。其物理意义是用与相绕组相同的在dg轴线上的两个假想的d、q绕组以代替原来三相绕组，二者所产生的基波磁效应完全相同，用图6-2示意。

d、q绕组中除了有由脉动磁通引起的变压器电动势外，还有由割切作用引起的运动电动势，所以d、g绕组又'称为对dQ轴线的伪静止绕组。P178

一、定子dqO坐标系统的磁链和参数

当图6-2的abc三相绕组通三相电流时，所产生的气隙基波磁场在d绕组所产生的

磁链可写成

[])120cos()120cos(cos ?++?-+=ψθθθIc Ib Ia Laad ad

(6-1)式中Laad 为d 绕组与a 绕组轴线重合时的互感，当两绕组相隔g 电角度时，互磁链与

cos θ成正比。

图6—2从abc 系统变换到dqo 系统的示意图

这磁链也可看成是由d 、q 绕组通过等效电流Id,Iq 产生相同的气隙磁通时的d 绕组等效自感磁链，亦即ad

ψ也可写成)]120cos()120cos(cos [3

2

?++?-+?==ψθθθc b a ad d ad ad i i i L i L

(6--2)式中L ad 称为直轴电枢反应电感，又d i 的变换是用式(5--7)第一分式代入。则式(6--1)和(6--2)两式右边应当相等，显然可得L-d 与l-od 间的关系为 P179

aad L =

ad L 32 即L ad =

aad L 23 ( 6-3)

同

理

可

导

出

g

绕

组

等

效

自

感

磁

链

为

)]120sin()120sin(sin [?++?-+-=θθθψc b a aaq aq i i i L

及)]120sin()120sin(

sin )[(32?++?-+-=ψθθθc b a aq aq i i i L 式中L aaq 为q 绕组与a 绕组轴线重合时的互感，Laq 为交轴电枢反应电感。因此L aq 与L

aaq

间

的

关系为

aaq

aq aq aaq L L L L 2

33

2

==即

(6-4)

除定子电流外，转子电流也要在d 、g 绕组产生磁链。与d 绕组有变压器作用的有励磁绕组F 和直轴阻尼绕组D ，与q 绕组有变压器作用的有交轴阻尼绕组Q ，因此考虑到转子方面绕组的互感作用，与气隙磁通密度对应的定子直轴和交轴磁链为

D aD F aF d ad md i M i M i L ++=ψ Q aQ q aq mq i M i L +=ψ

式中aF M 、M ad 和M aq 分别为转子的F 绕组、D 绕组和Q 绕组与定子的相绕组轴线重合时的互感。；

直轴和交轴绕组的总磁链应为上式所示磁链与相应漏磁链的总和，即可写成

q mq q i L σ+ψ=ψ

d md d i L σ+ψ=ψ

式中σL 为定子直轴或交轴绕组的漏磁电感。由坐标变换式(5-6)和上式，定子a 相绕组的总磁链可写为 P180

o

o q mq d md o q d a i L i L i L ++-+=+-=θψθψψθψθψψσσsin )(cos )(sin cos

（6-7）

同时a

ψ真又

c b a aa mq m

d a i M i M i L σσσθψθψψ--+-=sin cos (6-8)

式中L σqq 和M σ为定子绕组的漏磁自感和漏磁互感，L 。为零序电感。上两式的右边应当相等，则消去含md ψ、mq ψ项后可得

σσσσσθθi M i M i L i L i i L b a aa o o q d --=+-)sin cos (

又上式右边

o

o aa q d aa o o q d aa o

a aa a o a aa i M L i i M L i M i i i M L i M i M L i i M i L )2()sin cos )((3)sin cos ((3)()3(-+-+=-+-+=-+=--=σσσσσσσσσσσθθθθ）

以上等式头尾两边对应项的系数应当相等，从而得

σ

σσσM L L M L L aa o aa q 2-=+= （6—9）

式(6-3)、(6-4)、(6-9)为dqo 系统与abc 系统间的参数关系。由于d 、q 绕组和相绕组相同，故电阻相等都为冗。再令

σ

σL L L L L L aq q ad d +=+= （6-10)

式中Ld 为直轴同步电感，L 。为交轴同步电感。

将式(6-5)代入式(6-6)后，按式(6-10)整理，并参考式(6-7)，可得d 绕组、q 绕组的总磁链和零序磁链分别为 P181

o

o o q eQ q q q D aD F aF d d d i L i M i L i M i M i L =+=++=ψψψ （6-11） 二 转子绕组的磁链 励磁绕组的磁链为

D

FD F F F F d aF D FD F F c b a F a D

FD F F c b a aF F i M i L i L i M i M i L i i i M i M I L i i i M +++=++?++?-+=

++?++?-+=23

)]120cos()120cos(cos [3

2

*23)]120cos()120cos(cos [F ψθθθθθθψ即 （6-12） 同理直轴阻尼绕组和交轴阻尼绕组的磁链为

D D F FD d aD D i L i M i M ++=23ψ （6-13）

Q Q q aQ Q i L i M +=2

3

ψ (6-14)

式中L F ,L D ,Q L 为F 绕组、D 绕组和Q 绕组的自感，M FD 为F 绕组与D 绕组间的互感。从以上三式可看出由于坐标变换使定子和转子间的互感成为不可逆；转子电流产生的定子磁链其互感为aQ aD aF M M M ,,；而定子电流产生的转子磁链其互感则为号

aQ aD aF M M M 2

3

,23,23 三 定子和转子绕组的电压方程

利用坐标变换式(5—6)并考虑到ωωθθψθ,,=+=D t o 为转子的电角速度。o θ为t=0时d 轴对a 轴的角位移。定子a 相绕组的电压方程可写成 P182

)

(sin )(cos )()sin cos ()sin cos (o o q q d q d o q d o d a

a a Ri D D Ri D i i i R D Ri D u +++-+-=+-++-=+=ψθωψψθωψψθθψθψθψψ

又因 o q d a u u u u +-=θθsin cos

对比以上两式右边，显然可得到dq0系统的定子电压方程为

o

o o q d q q d

q d d Ri D u Ri D u Ri D u +=++=+-=ψωψψωψψ (6-15) 转子电压方程为

Q

Q Q D D D F

F F F i R D i R D i R D u +=+=+=ψψψ00 （6-16）

四 功率和电磁转矩

同步电机机端总功率输入

dqo t t dqo abc t dqo abc t abc c c b b a a ci c u i cu i u i u i u i u P )()()(===++= （6-17）

式中变换矩阵c 由式（5-6）已知为c=)

120sin()120cos()120sin()120cos(

sin cos ?+-?+?--?--θθθθθθ

由此可以导出 3

0230

02

3

=c c t P183 代入式(6-17)可得dqo 系统的功率表达式为

o o q q d d i u i u i u P 32

3

23++=

(6-18) 注意这里由于采用的是磁动势不变的而非功率不变的坐标变换，故上式右边的系数不等于l 。当不含零序分量时，从abc 到dq 系统的变换相当于三相到两相的变换，这是系数2

3

的物理基础。

再将上式的o q d u u u ,,以式(6-15)代人，整理后可得

)(2

3)(23)2(23222o q d d q q d o o q q d d i i i R i i D i D i D i P +++-+++=ωψψψψψ

(6-19)

上式两边各项的具体意义对应如下：

输入电功率＝(气隙磁场储能变化率)+(通过气隙传递的电磁功率)+(定子电阻损耗)． 由此可得电磁功率和对应的电磁转矩的dq 系统表达式如下：

ωψψ)(23

d q q d m i i P -= (6-20)

)(23

d q q d m m i i p p

P T ψψω-== (6-21)

以上各式都是按电动机惯例导出的。如作发电运行，则按上两式算出的m P 和m T 都是负值，表示输出电功率和制动转矩。

同步机的转矩方程按图6-1(c)的规定正方向可写成

dt

d R dt d J T T m Q m mcc

m θθ+=+2

2 (6-22)

式中J 、Q R 和m θ的意义与式(5-58)同 P184

6—2同步电机的标么值运动方程

同步电机的暂态分析通常采用标么值，亦即各物理量的实在值与选定的该量的基值之比值。标么值在一些先修课程中已经用过，本节只围绕同步电机的特点作扼要的叙述。

一、同步电机标么值

同步电机物理量的基值可分为两类：一类量的基值是惯用的，统一的，如定子各量和转矩、角速度、时间等通常选择额定值作为基值，详见表6-1。另一类如转子各量的基值可以有不同的选择，本书只介绍最常用的一种。

上节已讲在dqo 系统中定转子间的互感是不可逆的，为了计算方便，通常需要选取转子各量的基值系统，使得用标么值表示的定、转子间的互感成为可逆。 P185

将式(6-11)的D aD F aF d d d i M i M i L ++=ψ和式(6-12)的D FD F F a aF F i M i L i M ++=

2

3

ψ，利用基本关系b b b i L =ψ及Fb mb Fb i L =ψ，并设d i 的基值为i db i ，可将这两式写成标么值形式如下；·

*

*******

******D FD F F d Fa F D aD F aF d d d i M i L i M i M i M i L ++=++=ψψ （6-23）

其中

Fb

Db FD FD Fb b aF Fa b

FD

aD

aD b

FD

aF

aF i M M i M M i M M i M M ψψψψ====**

**,23

, （6-24）

后可得该式两边乘以即必须

要使b ,**2

3

,23M ωψψψψD b Fb Fb Fb b b

Fb

Fa aF i i i i M ==

=

D D Fb Fb i u i u 23

= （6-25）

必须满足和同理可证要使,M ****Qa aQ Da aD M M M ==

b b Db Db i u i u 2

3

=

（6-26） b b Qb Qb i u i u 2

3

= （6-27）

可见要使用标么值表示的定、转子间的互感成为可逆，转子每一电路的伏安基值须选取等于定子三相的伏安基值。

下面进一步分析怎样用标么值表示使在同一轴线上的互感都相等，这样计算将更方便。按式(6-10)σσL L L L L L aq q ad d +=+=和，其中σL L L aq ad ,,的标么值分别为 P186

b

b aq aq ad ad L L

L L L L L L L b σσ===

***,, （6-28） 为使在同一轴线上与定、转子互链的磁通相对应的电感用标么值表示时都相等，亦即

*

****aQ aq aD aF ad M L M M L === （6-29）

上式所有标么量用式(6-28)。(6-24)的有关分式一一代入，得

b

Qb aQ b aq b Db aD b Fb aF b ad i i M L i

M i M L L ===L 和ψψ 整理上列关系并用代入就得b b b i L =ψ

aQ

b aq Qb aD b

ad Db aF

b

ad Fb M i L i M i L i M i L i =

=

=

(6-30) 以上阐述的基值系统，通常称为ad L 或ad X 基值系统。采用这种基值系统后，互感在形式上成为可逆，系数

2

3

已不复存在；还有，在同一轴线上用标么值表示的与气隙磁通相对应的互感都相等，例如)(*******D F d ad d d i i i L i L +++=σψ等等。

还应指出，这里假定气隙磁通密度是正弦分布的，在这种基值系统中，两轴线上转子绕组电流基值的选择，是要使该电流所产生的气隙磁通密度与定子相应绕组通过基值电流时所产生的气隙磁通密度相同，亦即它们在定子相应绕组中感应的电动势是相同的，这可从式(6-29)。(6-30)看出．此外，在这种基值系统中，标么值电压方程具有和实在值相同的形式，

下段阐明。 P187

二、用标么位表示的同步电机的运动方程

将定子电压方程(6-15)除以定子电压基值b b D D b i Z u ==ψω，可得定子电压标么值方程

组为*

**

*

******

***

*****

*o o o q d q q d q d d i R dt d u i R dt d u i R dt d u +=

++=

+-=

ψψωψψωψ （6-31）

将转子电压方程式(6-16)分别除以励磁绕组和阻尼绕组的电压基值，可得转子电压标么值方程组为

*

**

*****

*

**

*

*00Q Q Q D D D F F F F i R dt d i R dt d i R dt d u +=

+=

+=

ψψψ （6-32）

将定转子的磁链方程式(6-11)一(6--14)除以相应的磁链基值，并注意到

******,,Qa aQ Da aD Fa aF M M M M M M ===

以及关系式**L L L

Z L

x b

b

b ==

=

ω 可得磁链标么值方程组为 P188

***********************************

*****

*********

******

******Q Q q aQ Q Q q aQ Q D D F D d aD D D F FD d aD D D FD F F d aF D FD F F d aF F o o o o o Q aQ q q Q aQ q q q D aD F aF d d D aD F aF d d d i x i x i L i M i x i x i x i L i M i M i x i x i x i M i L i M i x i L i x i x i M i L i x i x i x i M i M i L +=+=++=++=++=++===+=+=++=++=ψψψψψψ （6-33） 将功率基值b b b i u S 23=

和转矩基值b b b i p T ψ2

3

=分别除功率和电磁转矩方程(6-18)和(6-21)，可得功率和电磁转矩的标么值表达式为

)

356()346(2************--=-++=d q q d m o o q q d d i i T i u i u i u P ψψ

而转矩标么值方程由式(6-22)可写成***

*

**Ω+Ω=+ΩR dt d H T T j

mec m （6-36）

式中b

b b b

j S R R p S J H 2

*3,Ω=Ω=ΩΩ。 6—3同步电机的等效电路及电抗函数

同步电机的电压方程组是常系数线性微分方程，用经典法求解较繁，一般采用拉氏变换

法。当初始条件不为零时，从原函数转换成象函数，须计及初始值，这样所列出的运算式仍较繁。本节以下都采用增量分析法，即建立零初始条件的增量运算式求解，由叠加原理计及初始状态，得出最后结果。上节已导出同步电机的电压和磁链的标么值方程组，各分式的系数都是常量又互感是可逆的，而*****aq aQ ad aD aF x x x x x ===和。应用拉氏变换将这些在时域内的方程变换到复频域内后，可画出它们的等效电路。由于以下分析都采用标么值方程，为了书写方便，将表示标么值的下标*号省去。 P189

一、由等效电路求电抗函数

由式(6-32)和(6-33)可写出定子直轴磁链和励磁绕组及直轴阻尼绕组的电压标么值

方程为D

D D D F FD d ad D D D F F D FD F F d ad F F F F D

ad F ad d d D aD F aF d d d i R i x i x i x D i R D i R i x i x i x D i R D u i x i x i x i x i x i x +++=+=+++=+=++=++=)(0)(ψψψ （6-37）

在零初始条件下，应用拉氏变换将其变换到复频域内，只需将上式中的D 改写成p 而方程的形式不变。因此拉氏变换后的运算式

为

；

．

)

()()()(0)()()()()()

()()()(p i p

R

x p i x p i x p i x p i p

R

x p i x p p u p i x p i x p i x p D D D F FD d ad D FD F F F d ad F D ad F ad d d d +++=+++=++=ψ （6-38）

上式的后二分式是将式(6-37)进行拉氏变换后，两边同除以p 后所得的结果。以下为了简便，有时将标号(p)省去，特别是在等号右边。 P190

考虑到ad d x x x +=σ真知根据式(6-38)可画出相应的直轴等效电路如图6-3所示，其中各电抗所对应的磁链如图6-4所不，与ad x 叫相对应的磁链跨过气隙同时与三个绕组相链，与各漏抗σσσD F x x x ,,相对应的磁链只与各自绕组本身相链，而与励磁绕组9和阻尼绕组D 间的互感漏抗FD x 。相对应的磁链并不跨过气隙，但同时与F 和D 两绕组相链，因此，上述各电抗间的关系为

ad

FD FD ad FD D D ad

FD F F x x x x x x x x x x x +=++=++=σσσσσ （6-39) σFD x 一般很小可略不计，即认为ad FD FD x x x =≈则,0σ。同时考虑到

σσD FD D F FD F x x x x x x =-=-,，则图6--3可进一步简化成图6--5(a)。应用电路的戴维南

定理，图6--5(a)又可进一步简化成图6--5(b)·，亦即)()()()()(p i p x p u p G p d d F d +=ψ(6--40)曲等效电路图可求得直轴电抗函数为 P191

]}

)()[(])()2{[(()[])()({[)]}

()[()]()({[)]}

()())([()])(({[1111

)(22

22232222222

2D F F D D F ad D F D ad F ad ad ad D ad F d F

ad F D F D D ad F ad F D D F ad D F ad d D D ad F F D D ad F F ad d D D ad F F ad F F D D F F D D ad ad d F

F D D ad d R R p R x R x p x x x p R x R x p x x x x x x R x R x x R p x x x x x x p R R x p x x x x p

R x x p R x p R x x p R x x x p R

x x p R x x p R x p R x p R x p R x x x x p R x p R x x x p x +++-÷++-+-=+++++÷+++-=+++÷+++-=+++?+++÷+++-++

+++

=σσσσσσσσσσσσσσσσσσσ

σσ (6-41) P192 仿前，应用戴维南定理，根据图6-5(a)可求得G(p)函数如下：

D

F F D b F ad D F D

ad ad ad D R R p R x R x p x x x R x p x x x p G +++-+-=)()()()(2

22

(6-42) 同样，由式(6-32)和(6-33)可写出定子女轴磁链和交轴阻尼绕组电压的标么值方程为

Q

Q Q Q q aq Q Q Q Q

aq q q q i R i x i x D i R D i x i x ++=+=+=)(0ψψ

取拉氏变换后的运算式为

)

()()(0)

()()(p i p

R x p i x p i x p i x p Q Q Q q aq Q aq q q q +

+=+=ψ (6-43)

相应的交轴等效电路如图6-6，图中aq Q Q aq q x x x x x x -=-=σσ, 由等效电路可导出交轴电抗函数为

Q

Q aq q Q

Q aq

q R p x p

x x p R x x x p x +-

=+

++

=2111)(σσ (6-44)

在复频域中∞=p 相当于时域中t=0，故将式(6-41)或图6~5(a)中∞=p ，即得直轴次暂态电抗为 P193

σσσD F ad d x x x x x 1111

'

'+

++

= (6-45)

如转子上无阻尼绕组，则相当于∞=D R ，阻尼绕组开路，从而得直轴暂态电抗为

σ

σQ ad d x x x x 1

11'++

= (6-46)

将式(6-44)或图6-6中∞=p ，即得交轴次暂态电抗为 σ

σQ aq q x x x x 111'

'++

= (6-47)

二、用时间常数表示的电抗函数．

电抗函数刀)(p x d 和)(p x q 也常用与励磁绕组和阻尼绕组有关的时间常数表示，当转子上装有阻尼绕组时，由式(6-41)经推导可得

)

1)(1()1)(1()('

'0'0'''d d d d d d T pT pT pT x p x ++++= (6-48) 式中直袖暂态时间常数)(1

'

'

σ

σσx x x x x R T T ad ad F F F d ++=

≈； 直轴次暂态时间常数)1111(1'

'σ

σσx x x x R T F ad D D

d +++≈

；

电枢绕组开路时直轴暂态时间常数)(1

'

0σF ad D

F d x x R T T +=

≈， 电枢绕组开路时直轴次暂态时间常数)(1

'

'0σ

σσF ad F ad D D d x x x x x R T ++≈

。这些时间常数可由图6-5同步电机简化直轴等效电路写出. P194 同理司导出交轴电抗函数q

q q

q pT pT x p x ++=11)('' (6-49)

式中交轴阻尼绕组的时间常数Q

Q q R x T =

0;

交轴次暂态时间常数)(1

''σ

σσx x x x x R T aq aq Q Q q

++=。 三、电抗函数的倒数

在求解同步电机暂态问题时，常用到直轴和交轴电抗函数的倒数

)

(1

)(1p x p x q d 和；

由式(6—48)可知)

1)(1()

1)(1(1)(1'

''''0'0d d d d d d pT pT pT pT x p x ++++-= 将上式展成部分分式经推导可得

''''''''''1)1

1(1)11(1)(1d d d d d d d d d d pT pT x x pT pT x x x p x +?-++-+= (6-50) 同理，可推导得'

'''''1)1

1(1)(1q

q q q q q pT pT x x x p x +-+= (6-5l) P195

6—4同步电机的异步运行

同步电机在下列一些情况下，也会在异步转速下运行：

（1）同步发电机并网时，在整步阶段，转子转速通常与同步转速有微小差别； （2）同步电动机和同步调相机的异步起动；

（3）同步发电机的失励运行。这是电力系统常见的 P195

故障之一，本节主要研究这个问题。

同步发电机失励的原因，!一般是由于励磁回路开路或短路造成的。由于转子磁场消失，电磁转矩减小，而原动机的驱动转矩未变，过剩转矩使转子加速，转速n 将超过同步速n1，这时发电机转入异步运行状态，定子旋转磁场与转子

间存在着转差，通常用转差率11n n

n s -=表示。由于n>n 1

，s<0。

汽轮发电机由于转子是整体的，能在较小的]s 下(s <0．01—0．02)产生相当大的异步转矩，故这种电机可以在失励情况下短时运行。无阻尼绕组的水轮发电机不能产生足够大的异步转矩；有阻尼绕组的水轮发电机，由于阻尼绕组容量不大，一般在s ＝0.03一0.05才能产生较大的异步转矩，而此时阻尼绕组感生的电流已很大，有使转子过热的危险，所以水轮发电机一般不允许失励运行。汽轮发电机失励异步运行允许的时间和功率，受到下列因素的限制：首先要考虑定子和转子温升是否超过允许值，因为失励时定子无功电流增大，而在异步运行中，在转子表面和转子绕组感生的电流所引起的损耗，可能大于正常的励磁损耗；其次，由于转子的电磁不对称所产生的脉振转矩将引起机组和基础的振动。还要考虑电网能否供给足够的无功功率，因为失励的发电机要从原来送出感性无功功率转为吸收感性无功功率，这样，在电网无功功率不足时，将造成电网电压大幅度下降。这些因素很可能危及机组及整个系统的安全稳定运行。因此，汽轮发电机异步运行时间的长短和能送出多少功率，只能根据发电机的型号、参数、转子电路型式和电网的芬量、性质等进行具体分析，才能确定。本节主要分析汽轮发电帆失励异步运行时的基本方程、电流、转矩和功率。 P196

一、同步电机异步运行的基本方程

同步机异步运行时，,1)(*s w w w w w w w b

b b b -=--==按式(6-31)可写出其电压标么值方程(下标.省去)为

d

q d

d q d d d q d

d q d d Ri s dt d Ri w dt d u Ri s dt

d Ri w dt d u +-+=++=+--=+-=

ψψψψψψψψ)1()1( (6-52)

设电网三相电压标么值为

)

120cos()120cos(cos 00+=-==t U u t U u t

U u c b a

其综合矢量U (在任意瞬时亡)如图6-7。又异步稳定运行时的s 为恒值，d 轴对a 轴的角位移为 0)1(θθ

+-=t s (6-53)

由此得出U 与d 轴间的相角为0θθ-=-st t 。 于是d p 的电压为

)sin()

cos(00θθ-=-=st U u st U u q d （6-54）

可见儿d u 和q u 为转差频率的正弦电 压，所以稳定异步运行可用复数来运 算。

]

Re[]Re[]Re[]

Re[]Re[]Re[)

()(00jst

q jst st j d jst d jst st j d e U e U j jUe

u e U Ue Ue u =-=-====--θθ（6-55） P （197）

式中定义0

θj d Ue

U U -==，U j U q -=。相应的d 、q 的电流和磁莲可写成

],Re[jst e I i d d = ],Re[jst

e I i q q =

],Re[jst

e d ψψ= ],Re[jst e q q ψψ= (6-56)

先假定励破绕组短接，则u f ＝0,将式(6-55)、 (6-56) 代入式(6-52)，经整理消去e jst

‘后可得电压复数方程为

]

)()1()([)1(])()1()([)1(d d q q d q d q q d d d q d I js x s I js jsx R I R s js U j I js x s I js jsx R I R s js U --+=+-+=---+=+--=ψψψψ (6-57)

式中d

d d

I js x )(=ψ和q

q q I js x )(=ψ可由图6—5和图6—6将

0=F ψ得出，在图个的复变量p 这里用js 代替。因在异步运行 中， d 抽和Q 轴备量都是角额卒标么值为s 的正弦量，故可

以这样表示。 联解式(6-57)得

)]}()([*2121)()(/{][))(21()]}

()([2121)()(/{))(21(22js x js x j s

sR s R js x js x U j U js jx s R I js x js x j s sR s R js x js x U js jx s R I q d q d d q q d q d q d +-+-+---=+-+-+--= （6-58）

把解出的d I 和q I 分成实部和虚部，又把d ψ和q ψ少，也分成 P198 实部和虚部，即

jH

G jF E jD

C I jB A I q d q d +=+=+=+=ψψ,, （6-59）

这样，由式(6—56)，相应的瞬时值可写成

st

H st G e st F st E e st

D st C e I i st B st A e I i jst d d jst d d jst q q jst d d sin cos ]Re[sin cos ]Re[sin cos ]Re[sin cos ]Re[-==-==-==-==ψψψψ （6-60）

将上式代入式(6-35)，整理后可求得电磁转炬的瞬时 值为

]

2sin )(2cos )()[(2

1

st CF DE AH BG st AG DF BH CE BH AG DF CE i i T d

q q d m --++--++--+=-=ψψ （6-61） 上式表明，电磁转矩中除第一项是平均转矩)(av m T ，外，后

两项为随着时间以两倍的转差频率脉振的转矩其复制，其幅值为)2(s m T 。

由式(5-55)可知三相绕组电压和电流中不含零序分量的瞬时功率为

*),Re(2

3

I U ，由此可推知没有中线电流的同步电机的无功功率为][(2

3

)])([(23*)

(23

)*(2

3

*)(23q d d q m q d q d m w w m jwt w jwt w m m i u i u I ji i ju u I I U I e I e U I I U I Q -=-+==

==- （6-62） P199

式中U 、I 的复平面在定于上，而x U 、w I 的复平面在转子 上，以角速度w 旋转。又式中所有量均为实部值，当用标么 值并省去下标符号*，则可改写成 q d d q i u i u Q -= （6-63）

由式（6-55），假定bj a U +=，则d U 、q U 可写成

st a st b st j st jb a j e U j u st b st a st j st jb a e U u jst

d jst d sin cos )]sin )(cos (Re[]Re[sin cos )]sin )(cos Re[(]Re[+=++-=-=-=++== （6-64）

将上式及式(6—60)的前面分式代入式(6—63)，可得

st aD bC bB aA st bD aB aC bA bD aC aB bA st D st C st b st a st B st A st a st b Q 2sin )(2

1

2cos )(21)(2

1

)sin cos ()sin cos ()sin cos )(sin cos (++-+++-+

---=

----+= (6-65) 上式表明汽轮发电机在异步运行时，无功功率瞬时值除了平均无功功率av Q 以为，还有以两倍的转差频率脉振的无功功率。 以下着重分析平均电磁转矩的功率

二、励磁绕组短路异步运行时的电磁转矩和功率 1．电磁转拒和有功功率

平均电磁转短由式(6-61)并应用式(6-59)可写成

*)*Re(21

)(21)(a q q d av m I I BH AG DF CE T ψψ-=--+= （6-66） P200

对中、大型同步发电机，由于定子电阻标么位很小，可将其略去不计。从而将d I 、

q I 和电磁转矩表达式可大为简化，物理概念也比较清楚。为此，在式（6-58）中令R=0，化简后得

)

()(js x U I js x U j I q q d d -=

-= （6-67）

利用上式可求得

U

I js x U j I js x q q q d d d -==-==)()(ψψ （6-68）

将以上关系代入式（6-66）后，留意2*U U U =并经复数变换，可得不计R 的)(av m T 表达式为

)*

)(*)((2)*)(*)(Re(222)

(js x j

js x j I U js x j js x j U T d q m d q av m +=+= （6-69） 稳定异步运行时的直轴和交轴电抗函数倒数，只要把式（6-50）和（6-51）中的

p 用js 代替后即得

"

1"

)1

"1(1)(1"1")'1

"1('1')1'1(1)(1q q q q q q d d d d d d d d d d jsT jsT x x x js x jsT jsT x x jsT jsT x x x js x +-+=+-++-+=（6-70）

将上两分式代入式(6—69)，经整理推导出虚部后即可得

])

"(1")'1

"1()"(1")'1"1()'(1')1'1[(22

222)

(q q q q d d d d d d d d av m sT sT x x sT sT x x sT sT x x U T +-++-++-=（6-71） P210 上式表明，同步电机稳态异步运行时的平均电磁转矩)(av m T ，可分为三项：第一项为励磁绕组中感应电流产生的转矩，第二和第三项分别为直轴和交轴阻尼绕组

电流产生的转矩。又由于s<0，以上三项计算结果都将是负值，!这就明确地表明)(av m T ，是制动转矩。

对大型汽轮发电机，定子绕组电阻可忽略不计，因而电磁功率约等于输出功率。由于异步运行时电磁功率等于电磁转矩与同步角速度的乘积，且同步角速度韵标么值等于1，因而电磁转矩的标么值也就是电磁功率的标么值，也约等于输出功率的标么值，所以上式也可用来表示输出的有功功率。

2．无功功率

励磁绕组短路异步运行时同步发电机的无功功率平均值可按式(6—65)并应用式(6-59)和式(6—64)归纳写成

*)(Im 2

1

)(21q d I j I U bD aC aB bA Qav +=---=

用式（6-67）和（6-70）代入上式可推导得

2

22

222222)"(1)"()'1"1()"(1)"()'1"1()"(1)"()'1"1(]'1)'()1'1()11[(Im 2]"

1")'1"1(1"1")'1"1(]'1')1'1(1[Im 2)]*

)(**)([(Im 21)*(Im 21q q q q d d d d d d d d d d d d q d d d q q q d d d d d d d d d q d q d sT sT x x sT sT x x sT sT x x jsT sT x x x x j U jsT jsT x x x jsT jsT x x jsT jsT x x x j U js x U j js x U j U I j I U Qav +-++-++-+---++=---+---+---++=+=

(6-72) P202

三，励磁绕组开路异步运行时的电磁转矩和功率

1、电磁转矩和有功功率

由励磁绕组开路，汽轮发电机的转子可近似看成是对称的，此时脉振转矩已不存在。至于平均电磁转矩则由于可近似认为：q d x x =，d d x x ='，""q d x x =，0=d T ，

""q d T T =、故式（6-71）可化简写成

2

2)()"(1")'1

"1(

q d d q av m sT sT x x U T +-= （6-73） 上式也就是电磁功率的标么值，也约等于输出功率的标么值，理由已见前述

2、无功功率

将励磁绕组开路时参数的近似关系q d x x =，d d x x ='，""q d x x =，0=d T ，

""q d T T =代入式（6-72）可求出平均无功功率表达式为

2

2

2

)"(1)"()1"11(q d d q d av sT sT x x x U Q +-+= （6-74） 203页

3、定子电流

将上述的参数近似关系代入式(6-70)可得

)

(1

"1")1"1(1)(1js x sT sT x x x js x q q d d q d d =+-+= 再利用式(6—67)的关系可得q d I j I =。令βj d d e I I =则由坐标土换关系及式(6-56)可写出

)

cos(])1sin[cos()90cos(])1cos[cos()cos(sin cos 000

0βθθβθβθ

θ-+=+----+--=-=t I t s st I t s st I i i i d d d q d a

因此，d a I I =。由式(6-67)和(6-49)得

)"1()1(1''1)

()(q d q q

q q q d d jsT x jsT U j jsT jsT x U

j js x U

j js x U j I ++-=++-

-=

-=

-= （6-75）

由上式取模数，可得励磁绕组开路异步运行时定子电流有效倍近似地山下式决定

2

20)

"(1)(1q q d

sT sT x U I ++=

(6-76)

在推导过秆中应注意：式(6-49)中的复变量p 在这里用js 替代礼上式中

Q

D Q q R x

R x T ==

00在本节里，定量间以两倍转差频率脉振的电磁转矩和功率，可由式(6--61)和(6-65)按相似的方法导出，计算较繁，限于篇幅，不—一缕述。

204页

6—5同步电机的小值振荡

同步机运行中，由于某些原因，如励磁调节器及调速器等的设计或校验不当，原动机或负载转矩不均匀，以及负载不对称等，都可能引起振荡现象。发生振荡时，电机的转速、电流、电压，功率以及转矩等，都不是恒值，振荡严重时可能使电机本身及电力系统都受到破坏。因此了解同步机的振荡现象并进而采取预防措施，如装设阻尼绕组，加大转动惯量以及装置保护设备等，具有重要的实际意义。根据同步电机振荡发生的原因的不同，一般分为自由振荡和强迫振荡两类。 同步机振荡时的基本方程是非线性的，它的转速非恒值，要用后面第八章讲的方法求解。本节着重用线性化的方法分析同步电机的稳态小振荡，就是转速在同步转速附近作周期性变化的小值振荡。当同步发电机与无穷大电网并联输出电流为零时，转子d 轴以同步速度旋转，以该轴线位置作为同步旋转参考轴的位置，称为同步钮。当并网发电机输出一定电流以同步速稳定运行时，转子d 轴将从同步轴移前一定的功角6。。而当发生小值振荡时，转子d 轴相对于同步轴的δ角将围绕δ。作周期性的小值变化，假定此变化的函数为t m λδδδδδsin 00+=?+=(6一77)上式m δ为稳态小振荡时的振幅，其值当然是很小的，丸为电机振荡的角频率，其标么值一般在0与0．05之间(0．02相当于每秒振荡一个周期)。上式的简化假定主要是为了分析方便，因为这样便可写出增量的复数代数方程，从而计算出复数的解答。实际振荡 205页

现象可能比这种假定要复杂得多，但由于振荡具有周期性．因此，总可将幕分解为适当的谐准形式，而就其某一谐波而言，这个假定的函数仍是合理的。当发生小值振荡时，转子d 轴与定子。相绕组轴线间的夹角为

t t t t m λδδθδδθδθθsin 00000?+++=?+++=++= (6-78)

于是

s t dt d dt d m +=?+=?+=1cos 11λδλδθ （6-79） 式中t dt

d s m λδλδ

cos ?=?=做电机的瞬时转差率。这里假定电机瞬时转速超过同步速时，s 为正。

一、同步电机小值振荡的基本方程