高中数学抽象函数专题习题

高中数学抽象函数专题

特殊模型和抽象函数

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为

练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()?

??

?

??-x f 3log 21 的定义域。

例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。

练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。

二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.

② R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .

例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.

练习：

1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则

f =

2.的值是则

且如果)

2001(f )

2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+Λ 。 2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)

(3)(5)(7)

f f f f f f f f f +++++= .

3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f （ ） A.-1 B.1 C. 19 D. 43

4、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ）

A . 2005 B. 2 C.1 D.0

5、定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f -1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f -1(2x)，则Y=f -1(16)为（ ） A ）18

B ）

1

16

C ）8

D ）16

的值

求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)71

()2()1()

()()1()2

(,,1)1(,0)0(]10[)(,106f a y af x f a y x f y x f f x f a a +-=+≤==<<

三、值域问题

例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。

四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)

例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=??

?

??-+11 ,求f(x)的解析式。

例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).

例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:

①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.

例9、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2

1()23

(+=-x f x f 恒成立，当[]3,2∈x 时，

x x f =)(，则)0,2(-∈x 时，函数)(x f 的解析式为（ ）

A ．2-x

B ．4+x

C ．12++x

D ． 13+-x 练习： 1、

.

23

2

|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设

2.（重庆）已知定义域为R 的函数f(x)满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2+x.

（Ⅰ）若f (2)=3，求f (1)；又若f (0)=a ，求f (a )；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x )的解析表达式。

3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0，（1）

求(0)

f的值；（2）对任意的

1

1 (0,)

2

x∈，21

(0,)

2

x∈，都有f(x1)+2

五、单调性问题（抽象函数的单调性多用定义法解决）

例10.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.

练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。

例11、已知偶函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1,x 2都有1212()()()f x x f x f x ?=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）f (x )在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式2(21)2f x -<

练习：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－

2

1

)=0,当x >－2

1时，f (x )>0.求证：f (x )是单调递增函数；

例12、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.

练习1 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任

意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.

练习2、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1。试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性。

六、奇偶性问题

例13. （1）已知函数f(x)(x≠0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。

例14：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足())

()(1

)()()(1x f y f y f x f y x f -+=-，（2）

存在正常数a ，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。

例15：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f 。求实数a 的取值范围。

例16：定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y )．

(1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

练习：

1、已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a).

(1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若f(2)=2,u n =f(2n ) (n ∈N*),求证:u n+1>u n (n ∈N*).

2. 定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时f(x)＜0恒成立.

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在 [-3，3）上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件；

)

0a ,n (),a (f )x a (f n

1)x (f )ax (f n 1x )3(22

<->-是一个给定的自然数的不等式解关于

3、已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1,若a ,b ∈［－1,1］,a +b ≠0时，有

b

a b f a f ++)

()(＞0. (1)判断函数f (x )在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式：f (x +2

1)＜f (

1

1-x ); (3)若f (x )≤m 2－2pm +1对所有x ∈［－1,1］,p ∈［－1,1］(p 是常数）恒成立，

求实数m的取值范围.

.

七、周期性与对称性问题（由恒等式

．．．简单判断：同号看周期，异号看对称）

且T=2|a-b|

(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

(3) 函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|

(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2a b x -=对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2

(a

b -对称

例17：①已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2) = – f (x )，则f (6)的值为（ ）

A. –1

B. 0

C. 1

D. 2

②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。

例18. 已知函数y=f(x)满足2002)()(=-+x f x f ，求()()x f x f -+--200211的值。

例19. 奇函数f (x )定义在R 上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x )，则在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为（ ） . 3个 B.4个 C.5个 D.6个

练习

1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 对称。

2、函数)(x f y =满足)

(1

)3(x f x f -

=+，且1)3(=f ，则=)2010(f 。 3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11

()()22

f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=

4、已知函数(21)y f x =-是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =是()y f x =的反函数，若120

x x +=则12()()g x g x +=( )

A ）2

B ）0

C ）1

D ）-2

5.设f (x )是R 的奇函数,f (x+2)= — f (x ),当0≤x ≤1,时,f (x )=x ,则f(7.5)= - 0.5

6.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f -1(x)+f -1(3-x)= . 7、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7 8、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)= 2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.

9、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则

1234_________.x x x x +++=

八、综合问题

例21.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0

（1）判断f(x)的单调性；

（2）设，若φ

=

A I，试确定a的取值范围。

B

例22.设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2