化繁为简 出奇制胜

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化繁为简 出奇制胜

221300 江苏省运河中学 顾亚东

俗话说：简单问题复杂化，吃力不讨好；复杂问题简单化，巧妙求创造．在解答数学填空题时，许多同学就经常将简单问题复杂化了．其实若开阔视野、换个角度、别出心裁，往往可取得出奇制胜的效果，且对思维具有很好的启迪意义．下面就几道高考或模拟试题，进行剖析，当具有相当的实战意义．

一、依次枚举

例1(08海南、宁夏)在等差数列数列{}n a 中，21a =，55a =-，求{}n a 前n 项和n S 的最大值．

解析：由等差数列的公差22

52

5-=--=

a a d ，之数列的各项一次为：3，1，-1，-3，

-5，…，发现前两项均为正，后面各项皆为负值，故当2n =时，n S 取最大值4．

依次枚举，发现规律，“笨中含巧”，事半功倍，优于硬性用函数法求n S 的最大值． 例2（09江苏14）设

{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，

令1(1,2,)

n n b a n =+

=若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = . 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解. 【答案】9- 例3(09江苏百校联考)每个大于1的整数n 的三次幂n 3，都可将它拆分成n 个奇数的和，如：

23=8=3+5，33=27=7+9+11，43=64=13+15+17+19，若在n 3的拆分中含有159，则n 的值为 ．

解析：依题意，知53=125=21+23+25+27+29，虽然可以 探寻出n 3拆分成的n 个奇数和的组成规律，但费时费力，难度较大，不如用枚举法，如63=31+33+35+37+39+41，…当枚举到133时，发现133=13×132=2

169

16913+?=157+159+…+165+167+169+171+173+…+179+181，则知13=m ．

例4(08南通)已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，且287,7100100==B A ,又设c n =a n B n +b n A n -a n b n ，则数列{c n }的前100项之和为 ．

解析：列举得c n =a 1b 1=A 1B 1，c 1+c 2=a 1b 1+a 1(b 1+b 2)+b 2(a 1+a 2)-a 2b 2=(a 1+a 2)(b 1+b 2)=A 2B 2， 类比，得c 1+c 2+c 3=(a 1+a 2+a 3)(b 1+b 2+b 3)=A 3B 3，…，c 1+c 2+c 3+…+c n =A n B n ， 故数列{c n }的前100项之和为c 1+c 2+c 3+…+c 100=A 100B 100=7×287=2009．

二、回归定义

例5(09江苏百校联考)已知点O(0，0)、A(3，4)、P(x ，y)，其中x 、y 满足约束条件

则||cos ∠AOP 的最大值为 ．

x+y-3≥0， x-y-1≤0 x-1≥0，

２

解析：由||||?=?cos ∠AOP ， 得||OP cos ∠AOP=

5

43y

x +=

． 由约束条件得如图1所示的可行域，令z=3x+4y ，则由线性规划知识，知当直线l ：t=3x+4y 过点(1，2)时，z 有最大值11，故所求最大值为

5

11． 三、特殊化解

(1)数量特殊

例6(93全国理)已知a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公式q ≠1，比较a 1+ a 8

和a 4+ a 5的大小，得 ．

解析：不妨令2,11==q a ，再令2

1

,11=

=q a ，均得：a 1+ a 8＞a 4+a 5． 例7(09江苏百校联考)设G 为ABC ? ．

解析：若硬推，则非常困难，注意到G 为ABC ?的重心，则0=++GC GB GA ，不妨创设条件：13223===AB CA BC ，则马上有特殊的直角三角形的结果为：3

1-

． （2）位置特殊

例8(08海南)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a

和b 的线段，a + b 的最大值为 ．

的投影来理解计算．如图2，设长方体的高宽高分别为,,m n k ，

=1n ?=

a =

b =，所以22(1)(1)6a b -+-=

228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴

4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．

（3）形状特殊

例9(05全国)ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，

)(m ++=，则实数m = ．

图1

图2

３

解析：如果为这五分硬做本题势必花费许多宝贵的时间，事倍功半，若能想到把它放在等腰直角三角形中，则立得1=m ．

四、以形辅数

例10（08江苏）满足条件BC AC AB 2,2=

=的三角形ABC 的面积的最大值 ．

面积公式入手，结果很费时间甚至做不出来，如果能够换个“求证：平面内到两定点距离之比为常数（非1）的点的轨 迹是圆”，则本题可在一分钟之内搞定．

如图建系，则易得点C 的轨迹是以（3，0）为圆 心，ABC 的面积=1

2

C AB y ， 且最大值为

1

2222

=例11（09山东）

已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则

1234_________.x x x x +++=

解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由

)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所

以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设123x x x <<<12341248x x x x +++=-+=-

答案:－8

五、极端分析

例12如图AB 是直线l 上两点，且AB=2，两个半径相等的动圆分别与l 相切于AB 两点，C 是两圆的公共点，则圆弧AC 、CB 与线段AB 围成的封闭图形的面积S 的范围是 ．

解析：想去计算封闭图形的面积是不明智的，不妨考虑 C 点的两个极端位置：最上和最下，可迅速得封闭图形的

图3

A

B

C

图4

４

面积S 的范围为]2

2,0(π

-

．

六、整体考虑

例13已知实数,x y

满足,x y =

则x y +的最大值为 ．

解析：想把根号里打散是极不明智，唯有将1,3x y ++视为两个整体才是出路：

22()41

34(13)x y x y y x y x y +=+=++++≤+++

++

+，

由2()280x y x y +-+-≤（）得：4x y +≤ v =再对,u v 配方用三角换元解之

链接练习：

1.当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数，如N

N （3）=3，（10）=5，…设1

(1)(2)(3)(4)(2)(2)n n

Sn N N N N N N

-=++++

+，则n S = ．

2.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点恰好是椭圆的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为 ．

3.设θγ,为常数（0,

,,442πππθγ?

?

??

∈∈ ? ??

???

）

，若sin()sin()αγγβ++-=sin (sin θα sin )cos (cos cos )βθαβ-++对一切R ∈βα,恒成立，则

2tan tan cos()

sin ()

4

θγθγπ

θ+-=+

．

4.已知点)sin ,Q(cos ),sin ,P(cos ββαα，则∣∣的最大值是___________．

5.若直线y x b =+于曲线1x -=b 的取值范围．

6.正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为α，侧面与底面所成的二面角的平面角为β，则βα2cos

cos 2+的值是 ．

参考答案：1.423

n + 2. 回归到椭圆、抛物线定义，由2

2b c a =得1e =

3. 令0==βα，得

90=+γθ，再换去一个角，可得结果为2

4. 2

5. ()(){

}{}

200221

21-+-

-，

，

6.－1