课时跟踪检测(四十四) 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )

A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3

B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3

C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面

D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面

2．(2015·云南思茅模拟)设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是( )

A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件

B ．当m ?α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C ．当m ?α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件

D ．当m ?α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件

3．(2015·济宁一模)直线l 1，l 2平行的一个充分条件是( )

A ．l 1，l 2都平行于同一个平面

B ．l 1，l 2与同一个平面所成的角相等

C ．l 1平行于l 2所在的平面

D ．l 1，l 2都垂直于同一个平面

4．(2015·太原期末检测)已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l ( )

A ．平行

B ．相交

C ．垂直

D ．异面

5．(2015·江西七校联考)已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ?α，a ?β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( )

A ．相交或平行

B ．相交或异面

C ．平行或异面

D ．相交、平行或异面

6．(2014·全国大纲卷)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )

A.16

B.36

C.13

D.33

二、填空题

7．(2015·济南一模)在正四棱锥V -ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为________．

8．(2015·福建六校联考)设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；

②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；

③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；

④若a ?平面α，b ?平面β，则a ，b 一定是异面直线．

上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．

9．(2015·揭阳模拟)如图所示，在正三棱柱ABC -A

1B 1C 1中，D 是AC

的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．

10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，

则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．

三、解答题

11．如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，

(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；

(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．

12．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠

BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12

F A ，

G ，

H 分别为F A ，FD 的中点． (1)求证：四边形BCHG 是平行四边形；

(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？

答案

1．选B 若l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，则l 1，l 3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A 不正确；当l 1∥l 2∥l 3或l 1，l 2，l 3共点时，l 1，l 2，l 3可能共面，也可能不共面，C ，D 不正确；当l 1⊥l 2，l 2∥l 3时，则有l 1⊥l 3，故选B.

2．选C C 中，当m ?α时，若n ∥α，则直线m ，n 可能平行，可能异面；若m ∥n ，则n ∥α或n ?α，所以“n ∥α”是“m ∥n ”的既不充分也不必要条件，故选C.

3．选D 对A ，当l 1，l 2都平行于同一个平面时，l 1与l 2可能平行、相交或异面；对B ，当l 1，l 2与同一个平面所成角相等时，l 1与l 2可能平行、相交或异面；对C ，l 1与l 2可能平行，也可能异面，只有D 满足要求，故选D.

4．选C 直线l 与平面α斜交时，在平面α内不存在与l 平行的直线，∴A 错；l ?α时，在平面α内不存在与l 异面的直线，∴D 错；l ∥α时，在平面α内不存在与l 相交的直线，∴B 错．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l 垂直．

5．选D 依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.

6.选B 法一：设正四面体ABCD 的棱长为2.如图，取AD 的中点F ，

连接EF ，CF .

在△ABD 中，由AE ＝EB ，AF ＝FD ，得EF ∥BD ，且EF ＝12

BD ＝1. 故∠CEF 为直线CE 与BD 所成的角或其补角．

在△ABC 中，CE ＝

32AB ＝3；在△ADC 中，CF ＝32AD ＝ 3. 在△CEF 中，cos ∠CEF ＝CE 2＋EF 2－CF 2

2CE ·EF

＝(3)2＋12－(3)223×1

＝36. 所以直线CE 与BD 所成角的余弦值为36

法二：设正四面体ABCD 的棱长为2.

如图，取AD 的中点F ，连接EF ，CF .

在△ABD 中，由AE ＝EB ，AF ＝FD ，得EF ∥BD ，且EF ＝12

BD ＝1.故∠CEF 为直线CE 与BD 所成的角或其补角．

在△ABC 中，CE ＝

32AB ＝3；在△ADC 中，CF ＝32AD ＝ 3. 取EF 的中点H ，连接CH ，

则EH ＝12EF ＝12

，且CH ⊥EF . 在Rt △CEH 中，cos ∠CEF ＝EH CE ＝1

23＝36

. 所以直线CE 与BD 所成角的余弦值为36

. 7．解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连接VO ，因为四棱锥V -ABCD 是正

四棱锥，所以VO ⊥平面ABCD ，故BD ⊥VO .又四边形ABCD 是正方形，所

以BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面VAC ，所以BD ⊥VA ，即异面直线VA 与BD 所

成角的大小为π2

. 答案：π2

8．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ?α，b ?β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④错．

答案：①

9．解析：如图，取A 1C 1的中点D 1，

连接B 1D 1，

因为D 是AC 的中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角．连接AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以AB 1＝3a ，B 1D 1＝

a ， AD 1＝ 14a 2＋2a 2＝32a . 所以，在△AB 1D 1中，由余弦定理得，

cos ∠AB 1D 1＝AB 21＋B 1D 21－AD 212AB 1·B 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a 22×3a ×32

a ＝12，所以∠AB 1D 1＝60°. 答案：60°

10．解析：法一：在EF 上任意取一点M ，直线A

1D 1与M 确定一

个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定

不同的平面，从而与 CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直

线都有交点．如图所示．

法二：在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ ，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交．

答案：无数

11．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．

(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相

交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．

又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .

在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12

AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.

12．解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，

所以GH 綊12AD .又BC 綊12

AD ，故GH 綊BC .

所以四边形BCHG 是平行四边形．

(2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：

由BE 綊12

AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF 綊BG .

由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．