【优化方案】2012高中数学 第3章章末综合检测 新人教B版必修5

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题中正确的是( )

A ．a ＞b ?ac 2＞bc 2

B ．a ＞b ?a 2＞b 2

C ．a ＞b ?a 3＞b 3

D ．a 2＞b 2

?a ＞b

解析：选C.A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0＞b ＝－1时，a 2＝0＜b 2＝1，所以B 不正确；D 中，当(－2)2＞(－1)2时，－2＜－1，所以D 不正确．很明显C 正确．

2．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N

解析：选B.M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3) ＝a 2≥0.

3．当|x |≤1时，函数y ＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ≥－1

3

B ．a ≤－1

C ．－1

D ．－1≤a ≤－1

3

解析：选C.y ＝ax ＋2a ＋1可以看成关于x 的一次函数，在[－1,1]上具有单调性，因此只需当x ＝－1和x ＝1时的函数值互为相反数，即(a ＋2a ＋1)(－a ＋2a ＋1)<0，解这个关于

a 的一元二次不等式，得－1

3

.

4．二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1

3

}，则ab 的值为( )

A ．－6

B ．6

C ．－5

D ．5

解析：选B.由题意a <0，－1，1

3

是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，

∴?????

－1＋13＝－b

a －1×13＝1

a

，

∴a ＝－3，b ＝－2.∴ab ＝6. 5．已知全集U ＝R ，且A ＝{x ||x －1|＞2}，B ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，则(?U A )∩B 等于( ) A ．[－1,4) B ．(2,3) C ．(2,3] D ．(－1,4)

解析：选C.A ＝{x |x ＞3或x ＜－1}，B ＝{x |2＜x ＜4}， ∴?U A ＝{x |－1≤x ≤3}，则(?U A )∩B ＝{x |2＜x ≤3}．

6．函数y ＝3x

x 2＋x ＋1

(x ＜0)的值域是( )

A ．(－1,0)

B ．[－3,0)

C ．[－3,1]

D ．(－∞，0)

解析：选B.y ＝

3x ＋1

x

＋1

，∵x ＜0，

∴－x ＞0且y ＜0，

∴x ＋1x ＝－(－x ＋1－x 2，

∴y ＝3

x ＋1x

＋1

≥－3，当且仅当x ＝－1时等号成立．

7．当x ≥0时，不等式(5－a )x 2－6x ＋a ＋5>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(－4,4) C ．[10，＋∞) D ．(1,10] 解析：选B.用特殊值检验法，取a ＝10，则不等式为－5x 2－6x ＋15>0，即5x 2＋6x －15<0，当x ≥0时，不恒成立，排除C ，D ，取a ＝0，不等式为5x 2－6x ＋5>0，当x ≥0时，恒成立，排除A.故选B.

8．若0＜α＜β＜π

4

，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )

A ．a ＜b

B ．a ＞b

C ．ab ＜1

D ．ab ＞2

解析：选A.∵0＜α＜β＜π

4

，

∴0＜2α＜2β＜π

2

且0＜sin 2α＜sin 2β，

∴a 2＝(sin α＋cos α)2

＝1＋sin2α， b 2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin2β，

∴a 2－b 2＝(1＋sin2α)－(1＋sin2β)， ＝sin2α－sin2β＜0， ∴a 2＜b 2.

又∵a ＝sin α＋cos α＞0，b ＝sin β＋cos β＞0， ∴a ＜b .

9．(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域为( )

解析：选B.用原点检验，求下面的两个不等式组表示的区域的并集：

?

??

??

x ＋2y ＋1＞0x －y ＋4＜0或?

??

??

x ＋2y ＋1＜0

x －y ＋4＞0.

10．若a >0，b >0，则不等式－b <1

x

A ．－1b

B ．－1a

C ．x <－1a 或x >1

b

D ．x <－1b

或x >1

a

解析：选D.按照解分式不等式的同解变形， 得－b <1

x

1x ＋b >01

x －a <0

??????

1＋bx

x >01－ax x <0

??

????

x bx ＋1>0

x 1－ax <0

??????

x >0或x <－1b ，x >1

a x <0

?x <－1b 或x >1a

.

法二：数形结合法，画出函数f (x )＝1x f (x )＝1

x

的图象夹在两条直线y ＝

－b ，y ＝a 之间的部分的x 的范围即为所求．

11．对一切实数x ，不等式x 2

＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．[－2,2] D ．[0，＋∞)

解析：选A.当x ＝0时，对任意实数a ，不等式都成立；当x ≠0时，a ≥－x 2＋1

|x |

＝－(|x |

＋1|x |

)＝f (x )，问题等价于a ≥f (x )max ，∵f (x )max ＝－2，故a ≥－2. 12.函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )

A.????

??－1，－255∪(0,1]

B ．[－1,0)∪?

??

??

0，255 C.??????－1，－255∪? ????0，255 D.??????－1，－255∪? ????255，1 答案：C

二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)

13．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图象上运动，则9x ＋3y

的最小值为________．

解析：因为点P (x ，y )在直线y ＝4－2x 上运动，所以2x ＋y ＝4,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ·3y

＝232x ＋y ＝234＝18.当且仅当2x ＝y ，即x ＝1，y ＝2时，等号成立．所以当x ＝1，y ＝2

时，9x ＋3y

取得最小值18.

答案：18

14．已知不等式

ax

x －1

＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝________.

解析：原不等式可化为a －1x ＋1

x －1

＜0?(x －1)[(a －1)x ＋1]＜0，

∵此不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，

∴a －1＜0且－1a －12，∴a ＝1

2.

答案：1

2

15．设实数x ，y 满足????

?

x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，

y －2≤0，

则u ＝y x －x

y

的取值范围是________．

解析：作出x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的

斜率的取值范围是[13，2]，即y x ∈[13，2]，故令t ＝y x ，则u ＝t －1t ，根据函数u ＝t －1

t

在t

∈[13，2]上单调递增得u ∈[－83，3

2

]． 答案：[－83，3

2

]

16．已知点A (5

3，5)，过点A 的直线l ：x ＝my ＋n (n >0)，若可行域???

x ≤my ＋n

x －3y ≥0

y ≥0

的外接圆的直径为20，则实数n 的值是________．

解析：由题意可知，可行域是由三条直线x ＝my ＋n (n >0)、x －3y ＝0和y ＝0所围成

的封闭三角形(包括边界)，如图中阴影部分．又知直线x －3y ＝0过点A (53，5)，

所以|OA |＝10，外接圆直径2R ＝20. 设直线l 的倾斜角为α，

则由正弦定理，得10

sin π－α＝20，

所以sin α＝12，tan α＝±3

3

.

由tan α＝1m ，得1m ＝±3

3

，即m ＝± 3.

将点A (53，5)代入直线x ＝±3y ＋n ，

得53＝±3×5＋n ，解得n ＝103，n ＝0(舍去)． 答案：10 3

三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b b 2

a

与a ＋b 的大小．

解：∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b

2a －a

＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a

)

＝(a 2－b 2)a －b ab ＝a －b 2

a ＋

b ab

， 又∵a >0，b >0，a ≠b ，∴(a －b )2

>0，a ＋b >0，ab >0，

∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0，∴a 2b ＋b 2

a

>a ＋b .

18．求z ＝3x －2y 的最大值和最小值，式中的x ，y 满足条件????

?

4x －5y ＋21≥0，

x －3y ＋7≤0，

2x ＋y －7≤0.

解：作出可行域如图

作一组与3x －2y ＝0平行的直线l ，当l 过C 时，z 最大，l 过B 时，z 最小．

又???

??

4x －5y ＋21＝0x －3y ＋7＝0，得B (－4,1)；

?????

x －3y ＋7＝02x ＋y －7＝0

，得C (2,3)．

所以z max ＝3×2－2×3＝0，z min ＝3×(－4)－2×1＝－14.

19．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，1

2

]成立，求a 的取值范围．

解：法一：若－a 2≥12，即a ≤－1时，则f (x )在(0，12]上是减函数，应有f (12)≥0?－

5

2

≤a ≤－1；

若－a 2≤0，即a ≥0时，则f (x )在[0，12

]上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0；

若0≤－a 2≤12，即－1≤a ≤0，则应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 2

4

≥0恒成立，故－

1≤a ≤0；

综上，有a ≥－5

2

.

法二：原不等式x 2

＋ax ＋1≥0可化为a ≥－(x ＋1x

)，

设g (x )＝－(x ＋1x ，因为g (x )在(0，12]内单调递增，所以g (x )在(0，1

2

]内的最大值是

g (12)＝－52，要使不等式恒成立当且仅当a ≥－52

. 20．(2011年福州高二检测)某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

解：设生产甲种肥料x 车皮、乙种肥料y 车皮能够产生利润z 万元． 目标函数为z ＝x ＋0.5y ，

约束条件为：?????

4x ＋y ≤1018x ＋15y ≤66

x ≥0，x ∈N

y ≥0，y ∈N

，

可行域如图中阴影部分的整点．

当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大．

解方程组?

????

4x ＋y ＝10

18x ＋15y ＝66得：M 点坐标为(2,2)．

所以z max ＝x ＋0.5y ＝3.

所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．

21．整改校园内一块长为15 m ，宽为11 m 的长方形草地(如图A)，将长减少1 m ，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m ，宽增加x m(x >0)，试研究以下问题：

x 取什么值时，草地面积减少？

x 取什么值时，草地面积增加？

解：原草地面积S 1＝11×15＝165(m 2)， 整改后草地面积为：S ＝14×12＝168(m 2)， ∵S >S 1，∴整改后草地面积增加了．

研究：长减少x m ，宽增加x m 后，草地面积为： S 2＝(11＋x )(15－x )，

∵S 1－S 2＝165－(11＋x )(15－x )＝x 2

－4x ，

∴当0

－4x <0，∴S 1

当x ＝4时，x 2

－4x ＝0，∴S 1＝S 2.

当x >4时，x 2

－4x >0，∴S 1>S 2.

综上所述，当04时，草地面积减少．

22．已知二次函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f (x )≥x ，

且当x ∈(1,3)时，有f (x )≤1

8

(x ＋2)2成立．

(1)证明：f (2)＝2；

(2)若f (－2)＝0，求f (x )的表达式；

(3)设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y ＝1

4

的上方，

求实数m 的取值范围．

解：(1)证明：由条件知： f (2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．

又因取x ＝2时，f (2)＝4a ＋2b ＋c ≤18

(2＋2)2

＝2恒成立，∴f (2)＝2.

(2)因?

??

??

4a ＋2b ＋c ＝24a －2b ＋c ＝0，

∴4a ＋c ＝2b ＝1. ∴b ＝1

2

，c ＝1－4a .

又f (x )≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立．

∴a >0.Δ＝(1

2－1)2－4a (1－4a )≤0，

解出：a ＝18b ＝12，c ＝1

2.

∴f (x )＝18x 2＋12x ＋1

2

.

(3)由分析条件知道，只要f (x )图象(在y 轴右侧)总在直线y ＝m 2x ＋1

4

上方即可，也就是

直线的斜率m

2

小于直线与抛物线相切时的斜率位置，

于是：?????

y ＝18x 2

＋12x ＋12

y ＝m 2x ＋1

4

利用相切时Δ＝0，解出m ＝1＋

2

2

，

∴m ∈(－∞，1＋2

2)． 另解：g (x )＝18x 2＋(12－m 2)x ＋12>1

4

在x ∈[0，＋∞)必须恒成立．

即x 2

＋4(1－m )x ＋2>0在x ∈[0，＋∞)恒成立，

①Δ<0，即[4(1－m )]2

－8<0. 解得：1－

22

②????

?

Δ≥0，－21－m ≤0，f 0>0.解得：m ≤1－

2

2

， 综上m ∈(－∞，1＋

2

2

．