基于博弈论的决策信息系统的属性约简与智能体操作策略模型 (1)

问题重述：

随着科技的发展，社会的进步，智能体的出现也为学科的研究打开了一个新的局面。本题针对智能体的决策提出了问题，考虑到不同对象，不同的属性对智能体的影响，如何在不影响公平的情况下，科学地排除一些属性因素，得到属性约简的若干模式，通过这些模式对数据进行系统的约简。同时考虑到删减的属性个数越多越好的情况下，如何给出相对应的数学模型和算法，并通过附件所给数据进行求解验证。进一步，当各种属性重要程度不一的时或者在属性取值范围D 是②，③，④时讨论数学模型以及算法的拓展性。并且，若考虑到智能体的私下操作，该如何改进模型，才能更好的为智能体提供技术支持。最后，针对生活学习，从实际出发，进行对模型的讨论分析。

基本假设：

1.假设题目所给数据真实可靠；

2.假设每个对象在决策时知道其他人在该属性上所对应的数据，且他

们必须同时做出抉择；

3.假设对每个对象来说他放弃或者留下该属性是等可能的；

4.假设每个属性的重要程度相同，互不影响；

5.假设我们所评估的对象在这个问题里并没有一个具有约束力的协

议；

符号说明：

1. 我们用来描述评价体系的五元组 U A D f ∑（）;

2. U 表示一组需要评价的对象的集合；

3. A 表示一组用于评价U 中对象的属性，属性之间相互独立；D 代表A 中属性的取值范围，在本题中，所有属性的取值范围是一样的；

4. 函数f U A D ?→：，即对于每一个对象，每一个属性，给定D 中的某个值；

5. 符号∑是求和评价规则，即对于每一个对象，把与之对应的每个属性值求和。

6. 参与博弈的智能体用123

{}X U U U U U =?，，，，表示，相应的属性用123{}Y A A A A A =?，，，来表示，第i 个智能体的第j 个的可能的决策用

123{}

ij Y A a a a a =?，，，（这里a 的下标1,2,3y ?，代表对应的属性123Y A A A A ?，，，）并且，这里的1,2,3),(i a i y =?的值只有0,1，其中:0代表该智能体向决策者提建议去掉i A ，1代表该智能体向决策者提建议保留i A .

7. i M 用来表示考虑i 个智能体时任一智能体的决策矩阵，所谓决策矩阵是指反映了每一智能体所做所有可能的决策构成的矩阵。

8 . 效用函数(),i i E a f ，表示对于智能体所做的决策所带来的结果。

9 .用*123-{}i Y A a a a a =?，，，，表示第i 个智能体所做的实际选择。

问题分析：

在这个题目中，我们考虑的对象是智能体，所谓智能体，即那些能够思考、推理和决策的人或机器人。通过解决此问题，我们可以得到评估所有对象的一个更优化的方案，从而为解决实际问题提供方便。为了简单起见，我们把题目中的智能体考虑成人类，这样易于我们更好地与实际相联系。首先，类似与题目所给的评价成绩方法，评价智能体的体系或者方法也是将与智能体对应的属性的值求和，同时所求得的和越大则评价的对象越好，联系实际会很容易发现，这个问题与我们的奖学金评选有很大的相似性，即绩点或是平均分越高，该学生在学习上越优秀。

对于问题一来说,由于对象的属性太多，难以快捷方便地对对象做出评价，

于是，我们想通过简化我们的评估体系，那么将哪些因素（在题目中叫做属性）去掉使其不影响评估的结果，并且这样的操作是公平的，提出具体的算法和方案是第一问需要解决的，于是我们运用数学中的博弈论思想，首先找到了博弈论模型对其进行分析。同时，我们运用基于区分矩阵的约简模型，运用其中的理论证明了大概的结果。

通过观察第二问，我们发现，如何通过适当的模型与算法进行数据的处理，完成删减掉的数据越来越多是我们的目的，也就是说尽可能多地排除掉对整体评价影响不大的因素。并且我们需要通过仿真给出算法分析，系统地对算法从各方面做一个评价。

对于问题三来说，当属性加权（属性重要程度不同）的情况下，针对不同的

属性，某一对象去掉它或者留下它的可能性就不是相等的，所以就存在一概率值来描述该属性删掉的可能性，于是我们对所有对象的属性值求和之前，对于每一个对象的属性值乘上它所对应的概率再进行求和，然后就可以继续应用问题二所述模型和方法进行求解。

对于问题四来说，为了给智能体的私下操作提供技术支持，也就说，作为智

能体，他会将自己的利益最大化，从而在进行自身操作时，会尽可能保留对自己属性值贡献最大的属性，也就变得更加拟人化.

模型建立：

在建立合适的模型来解决我们的问题之前，有必要再次说明一下题目中所叙

述的评价体系。这个体系由 U A D f ∑（）这个五元组来刻画，其中：U 表示一组

需要评价的对象的集合；A 表示一组用于评价U 中对象的属性，属性之间相互独立；D 代表A 中属性的取值范围，在本题中，所有属性的取值范围是一样的；函

数f U A D ?→：，即对于每一个对象，每一个属性，给定D 中的某个值；符号∑是求和评价规则，即对于每一个对象，把与之对应的每个属性值求和。

在这个问题中，我们所考虑的对象是参加评估的所有智能体，他们中的每个人都会想要在私人操作中获得最大的利益，从而他们在一定程度上是处于互相竞争的关系。在这样的情况下，每个人需要提出对自己有利的建议并且要考虑到自己的建议是不是能被决策者采纳。于是我们为了研究在评估体系中个体的实际行为和预测行为并研究他们的优化策略，我们可以考虑博弈模型。

首先，我们可以肯定，我们所评估的对象在这个问题里并没有一个具有约束力的协议，在博弈论里，我们称之为非合作博弈。继而，我们假定参与评估的智能体所做建议的决策是同时发生的，在博弈论里，我们称之为静态博弈。最后，在我们问题中，我们假设智能体之间的信息是透明的，也就是说我们所考虑的模型是一个完全信息静态博弈模型。

如上文介绍，参与博弈的智能体用123{}X U U U U U =?，，，

，表示，相应的属性用123

{}Y A A A A A =?，，，来表示，第i 个智能体的第j 个的可能的决策用123{}ij Y A a a a a =?，，，，（这里a 的下标1,2,3y ?

，代表对应的属性123Y A A A A ?，，，）并且，这里的1,2,3),(i a i y =?的值只有0,1，其中0代表该智能体向决策者提建议去掉i A ，1代表该智能体向决策者提建议保留i A 。根据我们的表示方法，我们可以用如下矩阵表示某一智能体的决策情况。其中，矩阵的每一行用来表示某一智能体所做的某一个可能决策。比如说，在只有两个属性的时候，我们得到任一个智能体的决策矩阵，如下：

M 2=0001101

1??

??????????

在有三个属性的时候，我们得到如下的某一智能体的决策矩阵：

M 3=0001000100011101

01011111?????????????????????????? 这样，我们就清楚的表示了某一智能体的决策情况，接下来，我们来考虑他们的决策带来的后果，为此，我们引进了所谓效用函数来刻画每个智能体评估成

绩的情况。

由于每个智能体最终的目的是想让自己的评估结果尽可能的大，所以我们将在i A 决策下的效用函数(),i i E a f 定义为：

1

y

i i i i E a f ==*∑ 其中，i a 代表该智能体对第i 个属性的决策，i f 表示对第i 个对象的第i 个属性的

取值

那么我们可以看到，决策矩阵的每一行都对应着一个效用函数的值，这个值的大小根据我们的定义就代表了评估结果的好坏。在博弈中的每一方都力求通过合适的决策行动使己方的效用函数最大化，在我们的问题中，每一个智能体采取不同的决策来使自己的评估结果最理想。

因此，我们用

*123-{}i Y A a a a a =?，，，， 来表示第i 个智能体所做的实际的决策，于是我们得到下列式子：

对于()()*111 1,2,3,2y j U E A E A j ≥=?：（，

） 对于()()*222 1,2,3,2y j U E A E A j ≥=?：（，

） …

对于()()* 1,2,3,2y x x xj U E A E A j ≥=?：（，

） 这列式子表示了每个智能体所做的最终实际的决策都对其是最有利的。

如果存在一个决策，使得在此决策下，对所有智能体都是最优的，那么把这个决策称为（纯）纳什均衡（Nash Equilibrium ），所谓（纯）纳什均衡即是这样的一种决策，在该决策下每一方的决策对于他方来说都是最优的所以对于这样的决策，在参与博弈的人中，没有任何一个参与者有理由偏离该决策。这样的决策满足下式：

()()*ij E A E A ≥

现在，来考虑我们题目中所提问题：

1）当{}0,1D =时,如果要求删减掉的属性个数不为零，那么请基于公平性等角度给出属性约简的若干模式（至少2种）。

在第一个问题中，我们将基于公平性理解为所做的对属性的删除行为是满足大部分智能体的利益，在我们的模型中，也就是说，我们需要找到一个纳什均衡点，在这种决策下，依据博弈论原理，是对所有人都有利的，也就是说，作为决策者，

上面的表格清楚地给出了我们评估的对象甲乙丙以及相应的属性123A A A 之间的关系，依据我们的模型，我们写出了用来表示智能体所有决策的决策矩阵M 。

M 3 = 0001000100011101

01011111??????????????????????????

此矩阵中的每一行都代表着智能体的一种决策，并且根据题目要求可知我们应该去掉全是0和全是1的那两行，依据我们所建模型，有：

1

y

i i i i E a f ==*∑ 此时{}0,1i f =. 对甲来说：1234561

10121E E E E E E ======，，，，， 对乙来说：12345601

0011E E E E E E ======，，，，， 对丙来说：1234561

11222E E E E E E ======，，，，， 我们可以清晰的看到，在这场博弈中，不管对甲乙丙，5E 都是最大的，也就是说，采取第五种决策对每个人都是有利的，这里的第五种决策就是这场博弈中的纳什均衡点，也就是我们所求的答案，即删去属性1A 。如果，我们没有找到对所有个体都有利的决策，即不存在纯纳什均衡点，那我们就去找那个满足个体数最多的决策作为我们的解。

现在我们从区分矩阵的角度出发，提出了属性约简的第二种办法。

定义1:设(), , , S U A V f =为一信息系统，S 的区分矩阵是一个n n ?矩阵，其任一元素

为:()()(), , ,{}}}c x y a A f x a f y a =∈≠，即:(),c x y 是区别对象x 和y 的所有属性的集合。其中n 为论域U 中对象的总个数。

定义2:设,()S U C D =?为一个决策表，其中C 为条件属性集，

D 为决策属性集，C D Ф?=，决策表S 的区分矩阵被定义为() c i j n n ?，其中

()(){|cij a C a xi a xj =∈≠，且xi xj ，满足}W

xi xj W xi xj （，），（，）表示: ()()()()()()())()xi PosC D xj PosC D xi PosC D xj PosC D xi xj

PosC D xi xj ind D ∈∧?∨?∧∈∨∈∧?（，（，

定义3:由区分矩阵()S Cij =导出的区分函数定义为: Cij =∧∨（）。

定义4:设, a b 为区分矩阵中的两个元素，若b 中的属性包含了a 中的属性，则称

b 为a 的重复元素。

输入:决策表, ()S U C D =?。

输出:S 的属性约简。

步骤1:求出()(), PosC D ind D

步骤2:求出简化的析取式

(1)()()()()1,112m d b b b s ==∨∨??∨

(2)1i =

(3)如果i U <,则执行((4)，否则转步骤3

(4) 1j i =+

(5)如果j U ≤，则执行(6)，否则转(17)

(6)() ,c j i 置空

(7)如果

()()()()()()())()xi PosC D xj PosC D xi PosC D xj PosC D xi xj PosC D xi xj ind D ∈∧?∨?∧∈∨∈∧?（，（，）则执行(8)，否则转(16)

(8)

1k = (9)如果k s ≤，则执行(10)，否则转(12)

(10)如果()(),,a j k a i k ≠，则()()(),,c j i c j i b k =∨，执行(11)

(11) 1k k =+，转(9)

(12)

1, 0n flag == (13)如果n m ≤则执行(14)，否则转(15)

(14)如果()d n 包含(),c j i ，则()(),d n c j i =, 1n n =+,

1flag =，转(13)，否则 如果()d n () , c j i ，则() ,c j i 置空，转(16)，否则，1n n =+，转(13)

(15)如果n m >且0flag =，则1m m =+, ()() ,d m c j i =

(16) 1j j =+，转(5)

(17) i i l =+，转(3)

步骤3:在步骤2中每求出一个(),c j i 就进行判断是否真包含于每一个() d n ，若为真则进行替换，为假不替换。所以在步骤2中求出的一维数组() d n 中的元素不可能存在真包含关系，但如果某个(),c j i 既真包含于()1d n 又真包含于() 2d n ，进行替换后() d n 可能存在相等的关系，

本步骤去除() d n 中的重复元素。

(1) 1i =

(2)

1j i =+ (3)如果()()d i d j =转(4)否则转(7)

(4)

k j =

(5)()() 1d k d k =+

(6)

1k k =+如果k m <转(5)否则1m m =-转(7) (7) 1j j =+如果j m ≤转(3)否则1i i =+如果i m <转(2)否则转步骤4 步骤4:将1i =到m ，做()d i 合取，得到简化区分函数，如果把()d i 中的属性个数为1的进行合取，则为区分矩阵的核。

步骤5:利用简化区分函数可以得到约简。

2）.当{}0,1D =时,如果考虑删减掉的属性越多越好，在第一问的基础上，给出对应的数学模型和求解（被删掉的属性）算法。通过仿真给出算法评估。并针对由附件数据刻画的3个决策信息系统进行求解，分别给出删掉的属性及其数量（数量在摘要中要体现），其中行代表对象，列代表属性（对象，属性用阿拉伯数字标记）。

在这一问中，要求删掉的属性越多越好，也就是说，在我们找到的最有利决策中，我们希望出现尽可能多的零，这样系统便会大大的简化。重要的是，在此问中，同上题一样，我们都是站在决策者的角度去考虑问题的。于是我们可以再上面的模型的基础上做出一些改进。

在上面的模型中，我们只是找出了那一部分对每个智能体最为有利的抉择，反映在模型里，即为那一部分效用函数值最大的抉择，我们并没有仔细地处理所得到的结果。于是，在这个问题中我们将得到结果进行一系列处理，以此作为模型的后续部分。

先假设，我们得到了一列对各个智能体最为有利的决策，记为：

12111213121

22232123x K K x x x xK A A A A A A A A A A A A ??????????????

其中，第i 行表示对第i 个智能体最为有利的i K 个决策。

现在进行下列步骤来解决问题：

（1） 将上边矩阵的每一行作为一个集合{}123

i i i i i iK U A A A A =，给我们所得集合做通集，即12x U U U U =???。

（2） 如果U =?， 3）在属性加权（各种属性重要程度不一样）的情况下，或者D 取②，③④情形时讨论上述模型以及求解算法的拓展性。

在属性加权时，我们需要对第一问中的模型进行一些改变，由于各个属性的重要程度已经不再相同,我们需要对第一问中的模型进行一些改变，由于各个属性的

重要程度已经不再相同。联系实际，比如说在计算学生的绩点时，高数所占的比重与体育明显不同,这就是很好的例子。为了解决这个问题，我们在原有模型的基础上，对我们的效用函数做出了改动。

定义新的效用函数：

1y

i i i i i E a f pr ==**∑

其中，i pr 代表第i 个属性所占的比重

这样一来，我们接着按照问题1（）中的模型，运用新的效用函数，就可以解决属

性加权的情况。并且，当D 取②，③，④情形时，我们运用问题1（）中的模型足

甲乙丙的成绩情况如上表，并且假设高数物理和英语的权重分别是

60%20%20%，，。现在我们运用模型来解决问题。我们先写出甲乙丙的决策矩阵如下：

30001000100011101

01011111M ????????????????????????

=?? 出于实际考虑，该矩阵的第一行与最后一行不予考虑。

对于甲：118060%48E =??=

218020%16E =??=

317520%15E =??=

418060%18020%64E =??+??=

518060%17520%63E =??+??=

618020%17520%31E =??+??=

对于乙：117560%45E =??=

217020%14E =??=

318520%17E =??=

417560%17020%59E =??+??=

517560%18520%62E =??+??=

617020%18520%31E =??+??=

对于丙：116560%39E =??=

217020%14E =??=

319020%18E =??=

416560%17020%53E =??+??=

516560%19020%57E =??+??=

617020%19020%32E =??+??=

我们发现，没有一个效用函数在甲乙丙中同时取最大，也就是说，在这个例子里，纳什均衡点并不存在，但是我们又发现，5E 在乙丙中同时取得最大值，于是5E 就是我们所要寻求的解，即删去物理这个属性，只考虑高数与英语。上述例子中，我们将D 的范围扩充至[]1,100的情况并且赋予不同属性不同的权重，运用第一问中所建立模型，我们很好地解决了问题。

4）(2)中模型如何调整一遍可以用来给智能体的私下操作带来技术支持。

在这一问中，我们站在了智能体的角度来考虑问题，公平性已经不再是我们考虑的首要问题，怎样提出建议才能使我们的建议最有可能被决策者所接受从而对自己最为有利成为了为题的关键所在。