高三数学第一轮复习讲义 空间距离

高三数学第一轮复习讲义 空间距离
高三数学第一轮复习讲义 空间距离

高三数学第一轮复习讲义 空间距离

【知识归纳】

1、空间距离的求解思路:立体几何中有关距离的计算,要遵循“一作,二证,三计算”的原则)

2、空间距离的类型:

(1)异面直线的距离:①直接找公垂线段而求之;②转化为求直线到平面的距离,即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离,即过两直线分别作相互平行的两个平面。

(2)点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线再求解

(3)点到平面的距离:①垂面法:借助于面面垂直的性质来作垂线,其中过已知点确定已知面的垂面是关键;

②体积法:转化为求三棱锥的高;③等价转移法。

(4)直线与平面的距离:前提是直线与平面平行,利用直线上任意一点到平面的距离都相等,转化为求点到平面的距离。

(5)两平行平面之间的距离:转化为求点到平面的距离。

(6)球面距离(球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度):求球面上两点A 、B 间的距离的步骤:① 计算线段AB 的长;② 计算球心角∠AOB 的弧度数;③ 用弧长公式计算劣弧AB 的长。 【基础训练】

(1)已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,则异面直线BD 与B 1C 的距离为___ __。

(2)等边三角形ABC 的边长为22,AD 是BC 边上的高,将ABD ?沿AD 折起,使之与ACD ?所在平面成?120的二面角,这时A 点到BC 的距离是___ __;

(3)点P 是120°的二面角α-l -β内的一点,点P 到α、β的距离分别是3、4,则P 到l 的距离为 _____ __;

(4)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到棱A 1B 1与棱BC 的距离相等,则动点P 所在曲线的形状为___ ____。

(5)长方体1111D C B A ABCD -的棱cm AA cm AD AB 2,41===,

则点1A 到平面11D AB 的距离等于____ __;

(6)在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是AA 1的中点,则A 1

到平面MBD 的距离为__ ____。

(7)设地球半径为R ,在北纬?45圈上有B A ,两地,它们的纬度圈上的弧长等于

R π4

2

,求B A ,两地间的球面距离;

(8)球面上有3点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61,经过这3点的小圆的周长为π4,那么这个球的半径为____ __; (9)三棱锥P ABC -的三个侧面两两垂直,12,16,20PA PB PC ===,若,,,P A B C 四个点都在同一球面上,求此球面上两点A 、B 之间的球面距离。

【例题选讲】:

【例1】如图,在正三棱锥P -ABC 中,侧棱长为3,底面边长为2,E 是

BC 的中点,EF ⊥PA 于F 。

(1)求证:EF 为异面直线PA 与BC 的公垂线段; (2)求异面直线PA 与BC 间的距离。

【例2】如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =2,BC =CA =AA 1=1,设A 1在底面ABC 上的射影为O

(1)点O 能否与B 重合?试说明理由。

(2)若O 在AC 上,求BB 1与侧面ACC 1A 1的距离; (3)若O 是△ABC 的外心,求11A ABB C V -

【例3】在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, (1)求点A 到平面BD 1的距离; (2)求点A 1到平面AB 1D 1的距离;

(3)求平面AB 1D 1与平面BC 1D 的距离;

(4)求直线AB 到平面CDA 1B 1的距离。

B

P A C

E F O A

C

B

A 1

B 1

C 1

A

A 1

D C

B

B 1

C 1

D 1 O 1

G O

E

【例4】 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB 1⊥BC 1,AB =CC 1=a ,BC =b . (1)设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点,求证:EF ∥平面ABC ; (2)求证:A 1C 1⊥AB ;

(3)求点B 1到平面ABC 1的距离.

【例5】平面内边长为a 的正三角形ABC ,直线DE ∥BC,交

E ,现将△ABC 沿DE 折成600的二面角,求DE 1的距离最短?最短距离是多少?

【巩固练习】:

1.正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,则: (1)点C 到面AB 1C 1的距离为___________;

(2)点B 到面ACB 1的距离为____________;

(3)直线A 1D 1到面AB 1C 1的距离为_______; (4)面AB 1C 与面A 1DC 1的距离为________; (5)点B 到直线A 1C 1的距离为___________。 2.已知AB 是异面直线a、b的公垂线段,点A 、B 分别在直线a、b上,AB =2,异面直线a、b所成的角为300,在直线a上任取一点P ,使得PA =4,则点P 到直线b的距离为

3.将锐角为600的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成600的二面角,则AC 与BD 间的距离为

4.已知AD 是边长为2的正△ABC 的边BC 上的高,沿AD 将△ABC 折成直二面角B -AD -

C 后,点B 到AC 的距离为 ( )

A

B C

E A 1 G

F D

A

A C C

11

D

C 1

11

(A)

2 (B) 2

3 (C) 2

7 (D) 1 5.如图:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,

AB =a ,M 是AA 1的中点,则点A 1到平面 MBD 的距离为(A ) (A)

a 66 (B) a 43 (C) a 63 (D) a 3

6 6.如图,四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥底面ABCD ,PD =AD =1,设点C 到平面PAB 的距离为d 1,点B 到平面PAC 的距离为d 2,BC 到平面PAD 的距离为d 3,则

有(D )

(A) d 3

7.如图,四棱锥P -ABCD 的底面是矩形, PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是AB 、PD 的中点 (1)求证:AF ∥平面PEC

(2)若AD=2,CD=22,二面角P -CD -B 为450,求点F 到平面PEC 的距离

8.如图:ABCD 是边长为2a 的正方形,M 、N 分别是AB 、AD 的中点,CP

⊥平面ABCD ,PC =a

(1)求证:BD ∥平面PMN ;

(2)求点B 到平面PMN 的距离。

【简解】由MN ∥MD 可以得: BD ∥平面PMN

(2)……证明到:MN ⊥平面PCE. 过O 作OH ⊥PE 于H ,OH ⊥MN

证明OH ⊥平面PMN 。由BD ∥平面PMN 得:OH 为的长为B 到平面PMN 的距离。

由三角形EHO 和三角形ECP 相似可得:OH =

a 11

11 A

A 1

D

C

B

B 1

C 1

D 1

M P A B

C D P A B

D

F

E ·

·

D P A B C M

N

E

9.棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中。点P 、Q 分别为棱CD 、C 1D 1

的中点,求P 点到平面A 1QC 1的距离。

【简解】如图:求解P 点到平面A 1QC 1的距离即为求P 点到平面A 1DC 1的距离 法一:体积法

利用三棱锥P -A 1C 1D 的体积=三棱锥A 1-PC 1D 的体积来求解。 易得:d=

3

3

2 【注意】在计算三棱锥的体积法时,要合理选择顶点和底面,要求顶点到底面的距离能够很方便的表示出来,底面三角形的面积能够很方便的求解。

解法二:直接法:

如图:取AD 的中点L ,易证:LP ∥平面A 1C 1D

又平面B 1BDD 1⊥平面DA 1C 1

∴M 点在平面A 1C 1D 的垂面B 1BDD 1内

∴P 到平面A 1C 1D 的距离等于M 点到平面A 1C 1D

的距离。过M 作MH ⊥交线DO, 易证MH ⊥平面A 1C 1D 。则MH 就是所求的距离。

易得:MH =

3

3

2 10.已知ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱,∠ABC =900,∠BAC =300,AC=AA 1=a ,过A 、B 1、C 三点的平面交平面A 1B 1C 1于直线m (1)试问A 1C 1与直线m 的位置关系怎样?

(2)求点A 到直线m 的距离 【简解】由AC ∥平面A 1B 1C 1可得: A 1C 1∥直线m

(2)作A 1D ⊥直线m 于D ,由三垂线定理:

AD ⊥直线m 易得:A 1D=

a 4

3

∴AD =

a AA D A 4

192

121=

+ 11.平面外一条直线上有两个点到这个平面的距离相等,则该直线与这个平面(C )(A)一定平行 (B)一定相交 (C)平行或相交 (D)一定垂直

【变题1】平面α外不共线的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等,则平面ABC 与平面α的位置关系为(C )

A A

B C

m

C 1 D

A

1

B 1

O A

A 1

D C B

B 1

C 1

D 1 .

M P

Q L

(A)一定平行 (B)一定相交 (C)平行或相交 (D)一定垂直

【变题2】已知空间四边形ABCD ,要作一平面使得A 、B 、C 、D 四个点到该平面的距离相等,这样的平面共可以作出几个?(7个) 【变题3】已知线段AB 在平面α外,A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3,则线段AB 的中点到平面α的距离为

【提示】答案:2或1。分A 、B 两点在平面α的同侧和两侧两种情况进行讨论。

12.在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,PA ⊥平面ABCD ,则点P 到对角线BD 的距离为(B ) (A)

229

(B) 513 (C) 517 (D)

5

129

【简解】利用三垂线定理求点线距。过A 作AH ⊥BD 于H ,连PH 为所求4.若三棱锥P -ABC 中,过P 点的三条侧棱两两垂直,长都是a,则底面上任意一点到三个侧面的距离之和为 【提示】答案:a。利用体积法可以求得。

14.已知α-l -β的大小是600,AB ?α,CD ?β,且AB ⊥l 于A ,CD ⊥l 于C ,AB =AC =CD =a 求:(1)B 、D 间的距离; (2)D 到AB 的距离。

正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为1,M 、M 1分别为棱BC 、B 1C 1的中点,求直线AM 与平面A 1M 1C 的距离。

已知正三角形ABC 的边长为24,PA ⊥平面ABC ,PA =2,D 、E 、F 分别为BC 、DC 、AC 的中点,求直线AD 到平面PEF 的距离。

17. 解:过D 作DE ⊥AB 于E ,则BCDE 为正方形,CE 与BD 交于O ,则CE ⊥BD . 故∠C ′OE 为二面角C ′-BD-A 的平面角.所以∠C ′OE=60o,

C OE E C =='a 2

2O C O ='=,.4311211BE C cos 21

=??-+='∠='

A C

A

B

C

17解:由斜线相等,射影相等知,P 在底面的射影为△ABC 的外心O ,又△ABC 为Rt △,外心在斜边中点,故PO=

2

21025-

==

525

【参考答案】 【基础训练】

3a )(答:226)

(答:3)(答:抛物线弧)(答:3)(答:6 6a )(答:3

R π)(答:32)(答:)【例题选讲】: 【解答】:(1)连接AE 、PE ,因为E 是BC 的中点 ∴AE ⊥BC ,PE ⊥BC ,∴BC ⊥平面PAE ∴EF ⊥BC,又因为EF ⊥PA 于F ,

∴EF 为异面直线PA 和BC 的公垂线段。

(2)过P 作PO ⊥平面ABC ,则O 为△ABC 的中心 则有AE =

23AB =3,PO =3

6922=-AO PA 由AE ?PO=AP?EF 得EF =

3

23

【解答】:(1)不能。若O 与B 重合, 则△A 1BA 为RT △,AA 1为斜边。 而AA 1=1, AB =2,矛盾。

(2)∵O 在AC 上,∴平面AC 1⊥平面ABC ,又△ABC 为等腰RT △,∴BC ⊥CA ,∴BC ⊥平面AC 1,BC 就是BB 1与平面AC 1间的距离,又BC =1 故BB 1与侧面ACC 1A 1的距离为1

(3)若O 为△ABC 的外心,则O 为AB 的中点,且平面A 1ABB 1⊥平面ABC,∴CO ⊥平面A 1ABB 1,而A 1O=

2

2.

从而可求得体积为:

6

2

【简解】:(1)易证:AO ⊥平面BD 1 AO 即点A 到平面BD 1的距离。为

2

2 (2)易证A 1E ⊥平面AB 1D 1,则A 1E 为 点A 1到平面AB 1D 1的距离。A 1E =

3

3 解法二:本题也可利用三棱锥A 1-AB 1D 1的体积等于三棱锥D 1-AA 1B 1的体积来求解。

(3)易证A 1C ⊥平面AB 1D 1,A 1C ⊥平面BC 1D,设直线A 1C 分别交平面AB 1D 1、平面BC 1D 与点E 、E ,则EF 的长为平面AB 1D 1与平面BC 1D 的距离。 于是:EF =

3

3

311=

C A (4)因为直线AB ∥平面CDA 1B 1,∴点B 到平面CDA 1B 1的距离BG 就是所

求的距离(G 为BC 1与B 1C 的交点,BG ⊥B 1C,BG ⊥CD, ∴直线BG ⊥平面A 1BCD),此距离BG=

2

2

21=

BC 【解题回顾】

①求距离的一般步骤是:一作,二证,三计算。即先作出表示距离的线段,再证明它就是所求的距离,然后再计算,其中第二步证明过程再解题中应引起足够的重视。

②求距离的问题体现了化归与转化的思想,一般情况下需要转化为解三角形。 ③等积法(等面积、等体积)是求距离(点到线、点到面)的常用方法,要注意灵活运用。

(1)证明:∵E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点, ∴EF ∥A 1C 1.∵A 1C 1∥AC ,∴EF ∥AC . ∴EF ∥平面ABC .

(2)证明:∵AB =CC 1,∴AB =BB 1.又三棱柱为直三棱柱,∴四边形ABB 1A 1

为正方形.连结A 1B ,则A 1B ⊥AB 1.

又∵AB 1⊥BC 1,∴AB 1⊥平面A 1BC 1. ∴AB 1⊥A 1C 1.

又A 1C 1⊥AA 1,∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1. ∴A 1C 1⊥AB .

(3)解:∵A1B1∥AB,∴A1B1∥平面ABC1.

∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.

过A1作A1G⊥AC1于点G,

∵AB⊥平面ACC1A1,

∴AB⊥A1G.从而A1G⊥平面ABC1,故A1G即为所求的距离,即A1G=

b

a 2

2a

b-.7.已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线,(1)求证:D1B1∥l;(2)若AB=a,求l与D1间的距离.

1

(1)证明:

C1

l

∵D1B1∥BD,

∴D1B1∥平面ABCD.

又平面ABCD∩平面AD1B1=l,

∴D1B1∥l.

(2)解:∵D1D⊥平面ABCD,

在平面ABCD内,由D作DG⊥l于G,连结D1G,则D1G⊥l,D1G的长

即等于点D1与l间的距离.

∵l∥D1B1∥BD,∴∠DAG=45°.

∴DG=

2

2

a,

D1G=2

1

2D

D

DG+=2

2

2

1

a

a+=

2

6

a. 【分析】:设

法把折起后A(A1)到BC的距离

表示为某个变量的函数,把问题转化为研究函

D C

A

C1

11

数的最值问题。 【解答】:如图:

在△ABC 中,作AF ⊥BC 于F,交DE 于G 。 ∵DE ∥BC,∴AG ⊥DE, 折起后有A 1G ⊥DE.

∴∠A 1GF 为二面角A 1-DE -B 的平面角

即∠A 1GF=600

,连接A 1F

∵DE ⊥平面A 1GF,∴BC ⊥平面A 1GF,从而BC ⊥A 1F 即A 1F 为折起后A 到BC 的距离。 设A 1G =x(0

23a )则GF =2

3

a -x 在三角形A 1GF 中,由余弦定理可得: A 1F 2=2

1)23(2)23(

22?-?--+x a x x a x a =22163)43(3a a x +-

? (0

23

a ) ∴当x=

a 43时,A 1F 有最小值a 4

3。 【巩固练习】:

【评析】答案:22。①本题关键是怎样添作辅助平面和辅助线;②运用面面垂直的性质和三垂线定理得到所求的距离,再通过解RT △求出距离。 【提示】设菱形的对角线交于O ,折叠后∠AOC=600,易证AC 与BD 间的距离为△AOC 的边AC 的高。答案:

a 4

3 (C )【提示】∵BD ⊥平面ACD ,过D 点作DH ⊥AC ,垂足为H ,则BH 为B 到直线AC 的距离。

C 1

11

【评析】在立体几何解题中,求点到直线的距离,经常先找出过该点到直线所在平面的垂线,然后利用三垂线定理作出点到线的距离,在三角形中求解。

【提示】解法一:可用体积法:∵A 1到平面

MBD 的距离等于A 到平面MBD 的距离。

解法二:取BD 的中点O ,则平面AMO ⊥平面MBD ,过A 点作MO 的垂线,垂足为H ,则AH 就是A 到平面MBD 的距离。 【提示】d 1=

2

2,d 2=33,d 3=1

【分析】证明线面平行,应该用判定定理,

即在平面PEC 内找一条直线与AF 平行,

而求点到面的距离要确定垂足的位置或者用体积法求解。 【解】取PC 的中点G ,证明四边形EGFA 为平行四边形

从而AG ∥FG,可得:AF ∥平面PEC (2)……证明∠PDA 为二面角P -CD -B 的平面角

……再证明AF ⊥平面PDC 过F 作FH ⊥PC 于H ,证明FH ⊥平面PCE ,从而FH 为点F 到平面PDC 的距离。由面积法可得:FH =1

【注意】本题(2)中也可用体积法求解。V F -PEC =V E -PFC 来求解。

如图:平面α内有RT △ABC ,∠C =900,P 是平面α外一点,且PA=PB=PC ,P 到平面α的距离是40㎝,AC =18㎝,求点P 到BC 的距离。

【简解】

取AB 的中点O ,CB 的中点D 连接PO 、OC 、OD ……证明PO ⊥平面ABC

……证明PD ⊥BC

即PD 为P 到BC 的距离。

在RT △POD 中求得PD =41㎝

A

A 1

D C

B B 1

C 1

D 1 M

P

A B D

F

E ·

·

G H P

A

B

C O

D 解答图

P A B C

空间数据库期末复习重点总结

一、数据管理的发展阶段 1、人工管理阶段 2、文件系统阶段 3、数据库管理阶段 注意了解各阶段的背景和特点 二、数据库系统的特点 1、面向全组织的复杂的数据结构 2、数据的冗余度小,易扩充 3、具有较高的数据和程序的独立性:数据独立性 数据的物理独立性 数据的逻辑独立性 三、数据结构模型三要素 1、数据结构 2、数据操作 3、数据的约束性条件 四、数据模型反映实体间的关系 1、一对一的联系(1:1) 2、一对多的联系(1:N) 3、多对多的联系(M:N) 五、数据模型: 是数据库系统中用于提供信息表示和操作手段的形式构架。 数据库结构的基础就是数据模型。数据模型是描述数据(数据结构)、数据之间的联系、数据语义即数据操作,以及一致性(完整性)约束的概念工具的集合。 概念数据模型:按用户的观点来对数据和信息建模。ER模型 结构数据模型:从计算机实现的观点来对数据建模。层次、网状模型、关系 六、数据模型的类型和特点 1、层次模型: 优点:结构简单,易于实现 缺点:支持的联系种类太少,只支持二元一对多联系 数据操纵不方便,子结点的存取只能通过父结点来进行 2、网状模型: 优点:能够更为直接的描述世界,结点之间可以有很多联系 具有良好的性能,存取效率高 缺点:结构比较复杂 网状模型的DDL、DML复杂,并且嵌入某一种高级语言,不易掌握,不易使用

3、关系模型: 特点:关系模型的概念单一;(定义、运算) 关系必须是规范化关系; 在关系模型中,用户对数据的检索操作不过是从原来的表中得到一张新的表。 优点:简单,表的概念直观,用户易理解。 非过程化的数据请求,数据请求可以不指明路径。 数据独立性,用户只需提出“做什么”,无须说明“怎么做”。 坚实的理论基础。 缺点:由于存储路径对用户透明,存储效率往往不如非关系数据模型 4、面向对象模型 5、对象关系模型 七、三个模式和二级映像 1、外模式(Sub-Schema):用户的数据视图。是数据的局部逻辑结构,模式的子集。 2、模式(Schema):所有用户的公共数据视图。是数据库中全体数据的全局逻辑结构和特性的描述。 3、内模式(Storage Schema):又称存储模式。数据的物理结构及存储方式。 4、外模式/模式映象:定义某一个外模式和模式之间的对应关系,映象定义通常包含在各外模式中。当模式改变时,修改此映象,使外模式保持不变,从而应用程序可以保持不变,称为逻辑独立性。 5、模式/内模式映象:定义数据逻辑结构与存储结构之间的对应关系。存储结构改变时,修改此映象,使模式保持不变,从而应用程序可以保持不变,称为物理独立性。 八、数据视图 数据库管理系统的一个主要作用就是隐藏关于数据存储和维护的某些细节,而为用户提供数据在不同层次上的抽象视图,即不同的使用者从不同的角度去观察数据库中的数据所得到的结果—数据抽象。 九、规范化 1、几个概念 候选码(候选关键字):如果一个属性(组)能惟一标识元组,且又不含有其余的属性,那么这个属性(组)称为关系的一个候选码(候选关键字)。 码(主码、主键、主关键字):从候选码中选择一个唯一地标识一个元组候选码作为码 主属性:任何一个候选码中的属性(字段) 非主属性:除了候选码中的属性 外码:关系模式R中属性或属性组X并非R的码,但X是另一个关系模式的码,则称X是R的外部码,简称外码。 2、函数依赖 (1)设R(U)是一个属性集U上的关系模式,X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r,r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等,而在Y上的属性值不等,则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”,记作X→Y。X称为这个函数依赖的决定属性集(Determinant)。Y=f(x)

2016届高考数学经典例题集锦:数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②

高三数学总复习知识点

1 高中数学总复习 高中数学第一章-集合 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,. [注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R }二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ? ??=-=+1323 y x y x 解的集合{(2,1)}. ②点集与数集的交集是φ. (例:A ={(x ,y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?) 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n -1个. ③n 个元素的非空真子集有2n -2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例:①若325≠≠≠+b a b a 或,则应是真命题.

空间数据库复习资料资料

空间数据库复习资料

空间数据库复习资料 (仅供参考) 1.什么是空间数据库?阐述空间数据库管理系统的主要功能? 答:(1)空间数据库:是长期储存在计算机内、有组织的、可共享的大量空间数据的集合。(指某区域内以特定的信息结构和数据模型表达、存储和管理的空间数据的集合。) (2)主要功能:数据定义功能,数据组织、存储和管理,数据操纵功能,数据库的事务管理和运行管理,数据库的建立和维护功能;空间数据和空间关系的定义和描述,空间操作算子,空间数据索引,空间数据查询语言,几何完整性约束,长事务管理,海量空间数据的存储和组织,空间数据的可视化。 2.阐述数据库系统的外部、内部体系结构。 答:(1)外部体系结构:单用户结构/主从式结构,客户/服务器,分布式结构,B/S结构 (2)内部体系结构:三级模式结构:外模式,模式,内模式 3.什么是数据模型?阐述常用数据模型的基本思想。 答:(1)数据模型:在数据库中用数据模型来抽象、表示和处理现实世界中的数据和信息。数据模型应满足三方面要求:能比较真实地模拟现实世界,容易为人所理解,便于在计算机上实现。 (2)常用数据模型的基本思想:①层次模型是用树形结构来表示实体及实体间联系的模型,它将数据组织成一对多的联系。②网状模型是用网状结构来表示实体及实体间联系的模型,它将数据组织成多对多的联系。③关系模型是用二维关系来表示实体及实体间联系的模型,它将数据组织成规范化的关系表格。 ④面向对象模型象的基本思想就是以接近人类思维的方式将客观世界的一切实

体或现象模型化为一系列对象。每一种对象都有各自的内部状态和行为,不同对象之间的相互联系和相互作用就构成了各种不同的面向对象系统 4.什么是空间索引?阐述格网索引、四叉树索引、R树索引的基本思想。 答:(1)空间索引,也叫空间访问方法,是指依据空间对象的位置、形状以及空间对象之间的某种空间关系,按一定顺序排列的一种数据结构。其中包括空间对象的概要信息,如对象的标识、外接矩形及指向空间对象实体的指针。(2)①格网空间索引的基本思想是将研究区域按一定规则划分为大小相等或不等的网格,记录每一个网格所包含的地理对象。当用户进行空间查询时,首先计算出用户查询对象所在的格网,然后通过该格网快速查询所选的地理对象。 ②四叉树是一种对空间进行规则递归分解的空间索引结构,将已知范围的空间划成四个相等的子空间。如果需要可以将每个或其中几个子空间继续划分下去,这样就形成了一个基于四叉树的空间划分。 ③R-Tree是基于空间数据对象分割的空间索引方法,它采用空间对象的最小外包矩形MBR来近似表达空间对象 5.如何扩展SQL语言,使其支持空间查询? 答:SQL的空间扩展,需要一项普遍认可的标准。OGC是由一些主要软件供应商组成的联盟,负责制定与GIS互操作相关的标准。在OGIS标准中,所指定的操作可分成三类:⑴用于所有几何类型的基本操作,⑵用于空间对象间拓扑关系的操作测试,⑶用于空间分析的一般操作 6.阐述数据库设计的基本步骤。 答:数据库设计分6个阶段:需求分析,概念结构设计,逻辑结构设计,物理结构设计,数据库实施,数据库运行和维护 7.阐述数据库的安全性、完整性、并发控制、数据库恢复基本思想。 答:①数据的安全性:保护数据库防止恶意的破坏和非法的存取,防范对象:非法用户和非法操作。②数据的完整性:防止数据库中存在不符合语义的数据,也就是防止数据库中存在不正确的数据,防范对象:不合语义的、不正确的数据。 ③并发控制就是要用正确的方式调度并发操作,使一个用户事务的执行不受其他事务的干扰,从而避免造成数据的不一致性。

全国名校高三数学经典压轴题100例(人教版附详解)

好题速递1 1.已知P 是ABC ?内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ . 解法一:令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u r u u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y +=++,知点Q 在线段 BC 上.从而1AP x y AQ +=>?? +

全国卷一高三数学一轮复习讲义

集合 1、集合的含义 把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性:给定集合A ,对于某个对象x ,“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一. (2)互异性:集合中的元素互不相同. (3)无序性:在一个给定的集合中,元素之间无先后次序之分. 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法称为列举法. (2)把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法称为描述法.常 用形式是:{x |p },竖线前面的x 叫做集合的代表元素,p 表示元素x 所具有的公共属性. (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合,这种图形称为Venn 图.用Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法. 4、元素与集合的关系 如果x 是集合A 中的元素,则说x 属于集合A ,记作x ∈A ;若x 不是集合A 中的元素,就说x 不属于集合A ,记作x ?A . 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集,含有无限个元素的集合叫无限集. 例1:若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( ) A.92 B .98 C .0 D .0或 9 8 例2:说出下列三个集合的含义:①{x |y =x 2};②{y |y =x 2};③{(x ,y )|y =x 2}.

1.子集 例如:A={0,1,2},B={0,1,2,3},则A、B的关系是A?B或B?A. 2.真子集 A B(或 B A) 例如:A={1,2}, B={1,2,3},则A、B的关系是A B(或B A) 3.相等 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同,则称集合A与集合B相等,记作A=B. 例如:若A={0,1,2},B={x,1,2},且A=B,则x=0. 4.空集 没有任何元素的集合叫空集,记为?. 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集

高三数学总深刻复习讲义

工程學院基礎數學題庫 第五章空間中的直線與平面 第六章球面方程式 第七章矩陣與行列式

第五章 空間中的直線與平面 5-1.空間中直線與平面的概念 1.設ABCD 為正四面體,各面均為正三角形,其稜長為1,為M 的CD 中點, 求 AB 與CD 兩歪斜線間的距離? 若∠AMB =θ,求cos θ=? 【 a 22; 3 1 】 【解】 a a a 2 2 )2()23( 22=- 餘弦定理a 2=θcos 23232434322??? -+a a a a ,cos θ=3 1 2.四面體A-BCD 中,2,4======BD CD BC AD AC AB , 求四面體A-BCD 之體積?

【 3 11 2 】 【解】G 是△ABC 重心3 3232== DE DG 3 44 )332( 42 2=-=AG ,體積=311234433131=??=???AG BCD 3.如圖,OA 垂直平面E ,AB 垂直直線L ,已知OA =9,AB =12, BC =20,求OC =?【三垂線定理】 【 25 】 【解】2222129AB OA OB +=+==15,222 22015BC OB OC +=+==25 4.空間中O 點在平面E 的垂足為A 點,OA =3,L 為平面E 之 直線,由A 作直線L 的垂線交於B 點,AB =2,C 為直線L 之 點,已知OC =7,求BC =? 【三垂線定理】

【 6 】 【解】1323AB OA OB 2222=+=+=,)13(-7OB -OC BC 22 2===6 5.有一四面體OABC ,它的一個底面ABC 是邊長4的正三角形, 且知OA =OB =OC =a ,如果直線OA 與直線BC 間的公垂線段長 (亦即此兩直線間的距離)是3,則a =?(以最簡分數表示) 【 3 8 】 【解】4a OM 2-=,作AO MN ⊥於點N 設ON =a -3,222OM MN ON =+2222)4a ()3()3a (-=+-,a =3 8 6.設ABCD 為四面體,底面為BCD ,側稜AB =4,AC =AD =5, 底邊BC =BD =5,CD =6,令平面ACD 與平面BCD 所定的兩面角 度量為銳角θ,求cos θ=? 【 21 】【解】△ABM 為正三角形,θ=60°,則cos60°=2 1 7.長方體如圖,若3,3,2===AE AD AB ,若△ABD 與△BDE 所在平面

高三数学总复习资料

2019高三数学总复习资料 高三数学总复习资料:立体几何 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形. (2)棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (3)棱台: 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形. (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形. (6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一

周所成 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形. (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径. 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度. 高三数学总复习资料:直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当时,;当时,;当时,不存在.

武汉大学空间数据库复习资料整理

《空间数据库原理》 第一章数据库 1、空间数据库:①提供结构用于存储和分析空间数据②空间数据由多维空间的对象组成③在标准数据库中存储空间数据需要大量的空间,从一个标准数据库中检索查询空间数据需要很多时间并且很累赘,通常导致很多错误。 2、DBMS:(数据的操作系统)一种操纵和管理数据库的大型软件,用于建立、使用和维护数据库。SDBMS:增加了处理空间数据功能的DBMS。①在它的数据模型中提供空间数据类型和查询语言②至少在执行时支持提供空间数据类型:空间索引;空间链接有效的算法。 在地理信息系统中为什么要研究专门的空间数据库系统? 1.空间数据库能提供结构存储和空间数据分析 2.空间数据库包含多面空间的对象 3.在标准数据库中存储空间数据会需要过多的空间 4.标准数据库的查询反馈和空间数据分析会消耗过多时减并且留下大量错误空间 5.空间数据库能提供更多有效率的存储和空间数据分析 3、哈希(Hash)函数:一种将任意长度的消息压缩到某一固定长度的消息摘要的函数。 质数除余法(直接取余法):f(x):=x mod maxM ;maxM一般是不太接近2^t的一个质数。 乘法取整法:f(x):=trunc((x/maxX)*maxlongit) mod maxM,主要用于实数。 平方取中法:f(x):=(x*x div 1000 ) mod 1000000);平方后取中间的,每位包含信息比较多。 第二章数据库基本原理 1、数据模型Data Model:关于数据基础或对象以及他们之间的关系的抽象描述被表示在一个数据库中。 3、概念数据模型:也称语义模型,关于实体和实体间联系的抽象概念集,用统一的语言描述、综合、集成的用户视图。 2、数据字典:是指对数据库的内容包括数据项和属性码定义,是元数据的重要组成部分。(是指对数据的数据项、数据结构、数据流、数据存储、处理逻辑、外部实体等进行定义和描述,其目的是对数据流程图中的各个元素做出详细的说明。) Metadata:是描述数据的数据,主要是描述数据属性的信息,用来支持如指示存储位置、历史数据、资源查找、文件记录等功能。 3、数据库设计和实现:①需求分析②概念数据建模③逻辑建模(参考DBMS和基础数据模型)④物理建模或者实现(参考物理存储和电脑环境)。 需求调查:根据数据库设计的主题对用户的需求进行调查,了解用户特点和要求,取得设计者与用户对需求的一致看法。需求分析:指的是在创建一个新的或改变一个现存的系统或产品时,确定新系统的目的、范围、定义和功能时所要做的所有工作。 4、E-R图:描述对象类型之间的关系,是表示概念模型的一种方式。 第三章基本空间概念 1、凸多边形:把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线,如果多边形的其他各边均在此直线的同旁,那么这个多边形就叫做凸多边形。 2、点集拓扑:一个基于相邻关系定义拓扑学空间的方法。 3、大圆距离:大圆距离指的是从球面的一点A出发到达球面上另一点B,所经过的最短路径(圆弧)的长度。 曼哈顿距离:两个点上在标准坐标系上的绝对轴距之总和。 4、欧式空间(欧几里德空间):空间的坐标模型。作用:能将空间属性转化为以实数为元组的属性;坐标系包括一个确定的原点和在原点交叉的一对正交轴线。

高三数学立体几何经典例题

高三数学立体几何经 典例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

厦门一中 立体几何专题 一、选择题(10×5′=50′) 1.如图,设O 是正三棱锥P-ABC 底面三角形ABC 的中心, 过O 的动平面与P-ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记 为Q 、R 、S ,则 PS PR PQ 1 11+ + ( ) A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.既有最大值又有最小值,且最大值与最小值不等 D.是一个与平面QRS 位置无关的常量 2.在正n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ( ) A.??? ??ππ-,1n n B.??? ??ππ-,2n n C.??? ??π2,0 D.? ? ? ??π-π-n n n n 1,2 3.正三棱锥P-ABC 的底面边长为2a ,点E 、F 、G 、H 分别是PA 、PB 、BC 、AC 的中点,则四边形EFGH 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,+∞) B.???? ??+∞,332a C.??? ? ??+∞,632a D.??? ??+∞,212a 4.已知二面角α-a -β为60°,点A 在此二面角内,且点A 到平面α、β的距离分别是AE =4,AF =2,若B ∈α,C ∈β,则△ABC 的周长的最小值是 ( ) A.43 B.27 C.47 D.23 5.如图,正四面体A-BCD 中,E 在棱AB 上,F 在棱CD 上, 使得 FD CF EB AE ==λ(0<λ<+∞),记f (λ)=αλ+βλ,其中αλ表示EF 与AC 所成的角,βλ表示EF 与BD 所成的角,则 ( ) A.f (λ)在(0,+∞)单调增加 B.f (λ)在(0,+∞)单调减少 C.f (λ)在(0,1)单调增加,在(1,+∞)单调减少 D.f (λ)在(0,+∞)为常数 6.直线a ∥平面β,直线a 到平面β的距离为1,则到直线a 的距离与平面β的距离都等于5 4 的点的集合是 ( ) A.一条直线 B.一个平面 C.两条平行直线 D.两个平面 7.正四棱锥底面积为Q ,侧面积为S ,则它的体积为 ( ) A.)(6 122Q S Q - B. )(31 22Q S Q - C. )(2 122Q S Q - D. S Q 3 1 8.已知球O 的半径为R ,A 、B 是球面上任意两点,则弦长|AB |的取值范围为 ( ) 第1题图 第5题图

高三数学复习资料

高三数学复习资料 进入高三复习时,各校都有一本专门的复习资料,但这些资料都有些共同的缺陷: 1.针对性不强.一方面未针对各校的学生实际,例习题的选择多数集中在中档题或难题,不利于学生基础知识的复习,而事实上,不论优生还是学困生扎实的基础都是其进一步学习的前提;另一方面,不会考虑到教师的个人教学风格,教学是一项有着鲜明的个人色彩的工作,对知识点、知识体系的处理方式,往往是各俱千秋的。 2.知识体系较弱.一方面,各种复习资料都是按高一高二的教学进程安排的,很少考虑各章节知识之间的结构整合. 比如,“函数”复习中导数知识的工具价值,在各资料中体现得就很不足; 例:(06天津)已知函数()y f x =的图象与函数(0,1)x y a a a =>≠的图象关于 直线y x =对称,记[]()()()(2)1g x f x f x f =+-,若()y g x =在区间1,22?????? 上是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A.[)2,+∞ B.(0,1)(1,2)? C.1,12?????? D.10,2?? ??? 在各资料中,本题是做为“二次型”函数讲解的,但事实上这种方法很繁琐而且不易想清楚,若用导数思路就清晰简单了许多。 同时,“函数与导数、数列、不等式”这三章的知识是层层深入的,应作为一个整体依次复习下去,而不该按教材的顺序复习。 再如,“平面向量与立体几何”的知识递进关系。这是二维到三维递进学习,复习时就不宜分割开。 另一方面,对章节内的知识体系,各复习资料因为篇幅的原因一般顾及不全。比如,直线与圆锥曲线的关系问题,应包括位置判定、弦长(焦点弦公式、一般弦长公式)、弦上点(中点和一般分点)三个方面,再加上各问题处理技巧,远非一讲所能完成。 3。训练的数量与质量有一定缺陷。在数量上,因篇幅的原因,显然是不足于应对高考的,需要教师给予一定量的补充;在质量上,因出版时间的限制,未能及时跟踪最新的高考动态,更需要教师及时弥补。 4。不便于学生独立思考。一般的复习资料在例题后便附有解答,学生还未思考还未找到自己出错的原因,就已经被答案牵着鼻子走了。因而,学生只是知道了一个题目是怎样解出来的,但无法明白这个题目为什么要如此解,也就是说学生在复习后可能仍不具有“解题能力”,这显然是学数学的致命弱点了。 例:(06江苏)求函数y =的值域。 解答:由原式,2211)y x =+-≤≤,则224y ≤≤ 2y ?∴∈? 学生会很容易明白其解答,然而问题是这个解答是如何想到的?事实上,函数的值域问题从本质而言就是研究函数的单调性,那么如何研究?其思考方式

空间数据库建库复习资料全

第一章 1.GIS的名词分析与推论 GIS概念:具有地理数据的采集、管理、分析、表达能力,能为决策者提供有用地理信息的系统。 推论1:地理信息系统采集的数据为空间数据,即具有空间位置,又具有属性特征。地理信息系统的数据库因此又称为空间数据库。 推论二:地理信息系统具有采集、管理、分析地理数据和表达地理信息的能力。包括空间数据库建设和空间数据库的应用两个层次。 推论三:地理信息系统包括计算机硬件、软件、数据、系统开发人员和用户,但由于处理和分析的是地理数据,因此,在通用的硬件、软件基础上,还有体现专业特点的硬、软件。 2.GIS空间数据体系 空间数据库:空间数据和属性数据的组织 矢量有混合式、扩展式和开放式

矢量数据的空间数据组织:空间坐标数据的非结构化和属性数据的结构化 栅格数据:像元阵列 3.GIS数据模型 矢量数据模型:简单数据结构(面条结构):如Shapefile、拓扑数据结构:如Coverge、面向对象的数据模型:如Geodatabase 栅格数据模型:栅格文件常用格式:*.tif,*.jpg,*.bmp等。GIS中的栅格格式:ESRI的Grid、Geodatabase的栅格数据集等。遥感图像的格式:PCI的* .pix,Erdas的*.img等。 4.空间数据库设计核心 将现实世界抽象为GIS数据模型,这是数据库设计的核心。 5.名词解释: 面条结构:数据按点、线、面为单元进行组织,点、线、面都有自己的坐标数据。最典型的是面条结构。 拓扑数据结构:不仅存储空间位置,同时存储空间关系。 拓扑关联:指存在于空间图形的不同类型元素之间的拓扑关系。如结点与弧段、弧段与多边形。 第二章 1.名词解释: 数据词典:以词典的方式描述和定义E-R模型设计中出现和形成的实体、关系。 数据模型匹配:实现将实体类型和特征类型(Coverage、Shapefile、Grid等)的匹配。

2015届高三数学—不等式1:基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版)

基本不等式 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 技巧二:凑系数 例: 当 时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 变式:设2 3 0< -x ∴2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 技巧三: 分离、换元

2021年新高考数学总复习讲义:积分

第 1 页 共 6 页 2021年新高考数学总复习讲义:积分 知识讲解 一、函数定积分 1.定义:设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上.用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=,把 区间[,]a b 分为n 个小区间,其长度依次为10121i i i x x x i n +?=-=-, ,,,,.记λ为这些小区间长度的最大值,当λ趋近于0时,所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i ξ,作和式1 0()n n i i i I f x ξ-==?∑. 当0λ→时,如果和式的极限存在,我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定 积分,记作()b a f x dx ?,即1 00()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==?∑?.其中()f x 叫做被积函数,a 叫积分下限,b 叫积分上限.()f x dx 叫做被积式.此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积. 2.曲边梯形:曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形,通常称为曲边梯形. 根据定积分的定义,曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b , 上的定积分,即()b a S f x dx =?. 求曲边梯形面积的四个步骤: 第一步:分割.在区间[]a b , 中插入1n -各分点,将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -, ()12i n =,,,,区间[]1i i x x -,的长度1i i i x x x -?=-, 第二步:近似代替,“以直代曲”,用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每个小曲边梯形面积的近似值. 第三步:求和. y=f (x )O y x b a

2020高考数学复习资料

2020高考数学复习资料 任一x∈Ax∈B,记作AB AB,BAA=B AB={x|x∈A,且x∈B} AB={x|x∈A,或x∈B} card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB) (1)命题 原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若p则q 逆否命题若q,则p (2)四种命题的关系 (3)AB,A是B成立的充分条件 BA,A是B成立的必要条件 AB,A是B成立的充要条件 1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法②描述法 ③韦恩图④数轴法 3.集合的运算 ⑴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵Cu(A∩B)=CuA∪CuB

Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n元集合的子集数:2n 真子集数:2n-1;非空真子集数:2n-2 圆的切线方程 (1)已知圆. ①若已知切点在圆上,则切线只有一条,利用垂直关系求斜率 ②过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线. ③斜率为k的切线方程可设为,再利用相切条件求b,必有两条切线. 线线平行常用方法总结: (1)定义:在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。 (2)公理:在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。 (3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法 (4)线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面的相交,那么这条直线就和两平面的交线平行。 (5)线面垂直的性质:如果两直线同时垂直于同一平面,那么两直线平行。 (6)面面平行的性质:若两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行。 线面平行的判定方法: ⑴定义:直线和平面没有公共点.

空间数据库复习资料

空间数据库复习资料 (仅供参考) 1.什么是空间数据库?阐述空间数据库管理系统的主要功能? 答:(1)空间数据库:是长期储存在计算机内、有组织的、可共享的大量空间数据的集合。(指某区域内以特定的信息结构和数据模型表达、存储和管理的空间数据的集合。) (2)主要功能:数据定义功能,数据组织、存储和管理,数据操纵功能,数据库的事务管理和运行管理,数据库的建立和维护功能;空间数据和空间关系的定义和描述,空间操作算子,空间数据索引,空间数据查询语言,几何完整性约束,长事务管理,海量空间数据的存储和组织,空间数据的可视化。 2.阐述数据库系统的外部、内部体系结构。 答:(1)外部体系结构:单用户结构/主从式结构,客户/服务器,分布式结构,B/S结构 (2)内部体系结构:三级模式结构:外模式,模式,内模式 3.什么是数据模型?阐述常用数据模型的基本思想。 答:(1)数据模型:在数据库中用数据模型来抽象、表示和处理现实世界中的数据和信息。数据模型应满足三方面要求:能比较真实地模拟现实世界,容易为人所理解,便于在计算机上实现。 (2)常用数据模型的基本思想:①层次模型是用树形结构来表示实体及实体间联系的模型,它将数据组织成一对多的联系。②网状模型是用网状结构来表示实体及实体间联系的模型,它将数据组织成多对多的联系。③关系模型是用二维关系来表示实体及实体间联系的模型,它将数据组织成规范化的关系表格。④面向对象模型象的基本思想就是以接近人类思维的方式将客观世界的一切实体或现象模型化为一系列对象。每一种对象都有各自的内部状态和行为,不同对象之间的相互联系和相互作用就构成了各种不同的面向对象系统 4.什么是空间索引?阐述格网索引、四叉树索引、R树索引的基本思想。 答:(1)空间索引,也叫空间访问方法,是指依据空间对象的位置、形状以及空间对象之间的某种空间关系,按一定顺序排列的一种数据结构。其中包括空间对象的概要信息,如对象的标识、外接矩形及指向空间对象实体的指针。 (2)①格网空间索引的基本思想是将研究区域按一定规则划分为大小相等或不等的网格,记录每一个网格所包含的地理对象。当用户进行空间查询时,首先计算出用户查询对象所在的格网,然后通过该格网快速查询所选的地理对象。 ②四叉树是一种对空间进行规则递归分解的空间索引结构,将已知范围的空间划成四个相等的子空间。如果需要可以将每个或其中几个子空间继续划分下去,这样就形成了一个基于四叉树的空间划分。 ③R-Tree是基于空间数据对象分割的空间索引方法,它采用空间对象的最小外包矩形MBR来近似表达空间对象 5.如何扩展SQL语言,使其支持空间查询? 答:SQL的空间扩展,需要一项普遍认可的标准。OGC是由一些主要软件供应商组成的联盟,负责制定与GIS互操作相关的标准。在OGIS标准中,所指定的操作可分成三类:⑴用于所有几何类型的基本操作,⑵用于空间对象间拓扑关系的操作测试,⑶用于空间分析的一般操作 6.阐述数据库设计的基本步骤。 答:数据库设计分6个阶段:需求分析,概念结构设计,逻辑结构设计,物理

高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

1、函数与导数(1) 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数(2) 4、立体几何 5、数列(1) 6、应用题 7、解析几何 8、数列(2) 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法

高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1.已知函数f (x )=a e x x +x . (1)若函数f (x )的图象在(1,f (1))处的切线经过点(0,-1),求a 的值; (2)是否存在负整数a ,使函数f (x )的极大值为正值?若存在,求出所有负整数a 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)∵f ′(x )=a e x (x -1)+x 2 x 2, ∴f ′(1)=1,f (1)=a e +1. ∴函数f (x )在(1,f (1))处的切线方程为 y -(a e +1)=x -1, 又直线过点(0,-1),∴-1-(a e +1)=-1, 解得a =-1 e . (2)若a <0,f ′(x )=a e x (x -1)+x 2 x 2 , 当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )>0恒成立,函数在(-∞,0)上无极值;当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0恒成立,函数在(0,1)上无极值. 方法一 当x ∈(1,+∞)时,若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0), 则???? ? x 0>1,f (x 0)>0,f ′(x 0)=0, 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a =-x 20 x 0-1,代入②得-x 0x 0-1+x 0 >0, 结合①可解得x 0>2,再由f (x 0)=0 e x a x +x 0>0,得a >-02 0e x x , 设h (x )=-x 2 e x ,则h ′(x )=x (x -2)e x , 当x >2时,h ′(x )>0,即h (x )是增函数, ∴a >h (x 0)>h (2)=-4 e 2.

期末复习江苏高中数学高一数学必修一复习资料及例题

2015年底数学必修一复习详细资料及例题 第一章 集合及其运算 一.集合的概念、分类: 二.集合的特征: ⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三.表示方法: ⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四.两种关系: 从属关系:对象 ∈、? 集合;包含关系:集合 ?、ü 集合 五.三种运算: 交集:{|}A B x x A x B =∈∈I 且 并集:{|}A B x x A x B =∈∈U 或 补集: U A {|U } x x x A =∈?且e 六.运算性质: ⑴ A ?=U A ,A ?=I ?. ⑵ 空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集. ⑶ 若B A ?,则A B =I A ,A B =U B . ⑷ U A A =I ()e?,U A A =U ()eU ,U U A =()痧A . ⑸ U U A B =I ()()痧U A B U ()e, U U A B =U ()()痧U A B I () e. ⑹ 集合 123{,,,,} n a a a a ???的所有子集的个数为2n ,所有真子集的个数为21n -,所有 非空真子集的个数为22n -,所有二元子集(含有两个元素的子集)的个数为2 n C . 第二章 函数 指数与对数运算 一.分数指数幂与根式: 如果n x a =,则称x 是a 的n 次方根,0的n 次方根为0,若0a ≠,则当n 为奇数时,a 的n 次方根有1;当n 为偶数时,负数没有n 次方根,正数a 的n 次方根有2

个,其中正的n .负的n 次方根记做. 1.负数没有偶次方根; 2 .两个关系式:n a = ; ||a n a n ?=??为奇数为偶数 3 、正数的正分数指数幂的意义: m n a = 正数的负分数指数幂的意义:m n a - = . 4、分数指数幂的运算性质: ⑴ m n m n a a a +?=; ⑵ m n m n a a a -÷=; ⑶ ()m n mn a a =; ⑷ ()m m m a b a b ?=?; ⑸ 0 1a =,其中m 、n 均为有理数,a ,b 均为正整数 二.对数及其运算 1.定义:若b a N =(0a >,且1a ≠,0)N >,则log a b N =. 2.两个对数: ⑴ 常用对数:10a =, 10log lg b N N ==; ⑵ 自然对数: 2.71828a e =≈,log ln e b N N ==. 3.三条性质: ⑴ 1的对数是0,即 log 10 a =; ⑵ 底数的对数是1,即 log 1 a a =; ⑶ 负数和零没有对数. 4.四条运算法则: ⑴ log ()log log a a a MN M N =+; ⑵ log log log a a a M M N N =-; ⑶ log log n a a M n M =; ⑷ 1 log log a a M n = . 5.其他运算性质:

相关文档
最新文档