1995年第三十六届IMO试题(不含答案)

第三十六届（1995年）

加拿大 多伦多（Toronto ，Canada ）

1. 设A 、B 、C 、D 是按顺序在一条线上的四个不同的点。分别以AC 和BD 为直径的圆交于X 和Y 。直线XY 交BC 于Z 。设P 是直线XY 上不同于Z 的一点。直线CP 交以AC 为直径的圆于C 和M ，直线BP 交以BD 为直径的圆于B 和N 。求证：直线AM 、DN 、XY 共点。（保加利亚）

2. 设a 、b 、c 为正整数且abc =1。证明：

3331113()()()2

a b c b c a c a b ++≥+++。（俄罗斯）

3. 找到所有满足条件的大于3的整数n ，使平面上存在n 个点A 1，…，A n ，任意三点都不共线，实数r 1，…，r n 使得对于1≤i ＜j ＜k ≤n ，△A i A j A k 的面积是r i +r j +r k 。（捷克）

4. 找到x 0的最大值，使得存在一个由正实数组成的数列x 0，x 1，…，x 1995，有x 0=x 1995，且对于i =1，…，1995，都有11212i i i i x x x x --+=+。（波兰）

5. 设ABCDEF 为凸六边形且AB=BC=CD 以及DE=EF=F A ，使∠BCD =∠EF A =3π。假设G 和H 是六边形的内点，使得∠AGB=∠DHE=23π。求证：AG+GB+GH+DH+HE ≥CE 。（新西兰）

6. 设p 是奇质数。有多少个{1,2，…，2p }的p 元子集A ，其元素的和可被p 整除？（波兰）