浅谈古典概型解题技巧

浅谈古典概型解题技巧

数学学院数学与应用数学（师范）专业20010级张绪敏

指导教师黄穗

摘要：概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它的理论和方法几乎渗透到自然科学的各个领域。古典概型是古典概率论研究的主要内容之一，是概率论中的一个经典研究概型，其研究对象主要是等可能事件。深入考察古典概型中的基本问题，有助于我们直观地理解概率论中的一些基本概念，掌握概率论中的基本规律，发展思维的灵活性和创造性，提高分析问题和解决问题的能力，合理地解决一些实际问题。因此，掌握古典概型中基本问题的解法，对于学好概率论及提高学生的数学素养和学习能力具有十分重要的意义。本文主要研究古典概型里面的摸球问题，分球入盒的问题，随机取数问题等几种模型，讨论其解题的思路，针对这些模型总结其解题技巧以及它的应用。

关键词：古典概型；摸球事件；分球入盒；随机取数；

Abstract:Probability theory is a mathematical discipline from the side of the number of random phenomena, its theory and methods in almost every field of natural science. Classical probability is one of the main contents of study of classical probability in probability theory, is a classic study of probability, the object is mainly the potential events. Study of basic problems in classical probability models, contribute to our intuitive understanding of some basic concepts in probability theory, master the basic rules of probability theory, the development of thinking creativity and flexibility, improve the ability to analyze and solve problems, to solve some practical problems. Therefore, mastering the method of basic problems in classical probability models, is very important to learn the probability and improve mathematical literacy and learning ability of the student has the significance.This paper mainly studies the classical probability inside the touch ball, ball into the box, random access problem of several models, discussed the idea of solving problems in these models, summarizes the problem solving skills and its application.

Key words：Classical Probability;Touch the ball event;Score the ball into the box;Random access;

在15世纪末，意大利的数学家帕西奥里在他的著作《算术、几何、比与比例集成》（1494）中提出过这样一个问题：在一次赌博中规定，先胜 6 次者获全部赌金。甲、乙两个赌徒分别胜 5 次、2次时终止赌博，赌金如何分配？ 在这之后就有很多的数学家来研究这些问题。在1657年，惠更斯完成了《论赌博中的计算》，这是概率论最早的论著。20世纪70年代，利用概率方法竟然可以证明复变函数论中的毕卡定理、 泛函分析中的 H p 空间是赋范空间等。随机现象与确定现象、随机方法与确定方法相互交融。

古典概型就是概率论中主要研究内容之一，是概率论中的一个经典研究概型。所以其在概率论的学习中占有相当重要的地位，古典概型解题的掌握不仅可以为其他的概率学习问题奠定基础，而且有助于直观的理解概率论中的徐多基本概念。古典概型是最基本的一种概率模型，也在实际中有广泛的应用，在本质上是研究等可能事件（基本事件）的概率模型。

那么什么是古典概型呢？古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博。博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件同等可能。16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点。在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作。直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的理论》中给出概率的古典定义事件A 的概率等于一次试验中有利于事件A 的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比。这两个特征即： 一是试验的样本空间只包含有限个元素；二是实验中每个基本事件发生的可能性相同。所以古典概型的定义[1]：设E 是随机试验，若E 满足下列条件

（1）试验的样本空间只包含有限个元素；

（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同。则称E 为等可能概型。也称古典概型。

定理[1] 设试验的样本空间S 包含n 个元素，事件A 包含k 个基本事件，则有

()k A P A n S ==包含的基本事件数中基本事件总数

在求解古典概型中的问题时，从基本原理与方法的角度来看，不外乎两条原

理（加法、乘法），两种方法（排列、组合），两个步骤（基本事件数、有利事件数）[1.2.3]可是细节还是要做好，一般要做好三个方面一是明确分辨问题性质，即是不是古典概型问题，如果是，又是哪一类型的古典概型问题；二是古典概型的计算公式，一定要掌握这个公式()A k P A S n

==包含的基本事件数中基本事件总数；三是要根据公式要求确定n 和k ，找出解题的主要数据。

1 判断古典概型

那首先要确定哪些题目属于古典概型呢？许多教材上说古典概型有两个比较典型的特点就是有限性和等可能性，这只是一个形象的描述，让学生们不能真正的理解古典概型的两个特征之间的关系，以至于在求事件的概率是，常常忽略其中的条件之一。古典概型是具备事件发生等可能，样本点个数有限，意思就是会说要满足两个特征才是古典概型，但是如果具备其中一个特征就不一定是古典型。

例 1 掷两颗骰子，考察之后出现点数和的可能性。

解 两颗骰子出现的点数和的结果可能有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

这就说明显然这个事件样本点数是有限的，满足了一个特征，接下来看看是不是等可能性，验证一下：

若是将两个骰子编号为一号和二号，如果假设点数和为5的种数，可能出现的是（1,4）（2,3）（3,2）（4,1），也就是说出现的点数和为5的种数为4；接下来看看点数和为4的可能，出现的可能是（1,3）（2,2）（3,1）；也就是说点数和为4的种数为3种；类似的再看看点数和为3的种数只有2种，很显然的可以看出样本点的发生的非等可能。

这种事件就是样本点数有限，但是基本事件的发生不是等可能的，所以这样的事件不是古典概型。

例 2 在半径为r 的圆内随意取一点，研究这个事件是不是等可能事件。 解 在这个题目中可以认为该圆各点被取的可能性是一样的，但是所有可能的结果总数是无限的。在这种情形下，由于样本点数是无限的，所以不能说是古

典概型，这种类型可以概率的几何定义求解（对于几何概型本文不做解释）。

所以在判断古典概型的时候就应该仔细的去观察条件里面的实践是不是满足古典概型的特征，要做到不忽略，不重复。

2 摸球问题

摸球问题是指在一个非透明的袋子或者是非透明的盒子里面放有除了颜色不一样其余都一样的球，然后随机拿球出来，观察球的颜色，查看不同颜色球出现的概率。

2.1 不放回取球问题[5]

所谓不放回取球就是取出来的球不再放回去的取法。

例 1 袋中有a 个白球，b 个黑球，一次将球一个一个的取出不放回，求（1）第r 次取出白球的概率；（2）第r 次取出白球且第k 次取出黑球的概率。

解 （1）中这里的取球是不放回的取球，设想将球编号，一个一个的直到第k 次取到白球为止，则基本事件就是从()a b +个编号的球中选出k 个球进行排

列的排列数，即k a b n A +=。设A 为第k 次取出白球的实践，要是A 发生只需燕要

从a 个白球中选出一个放在第k 个位置上，作为第k 次取出来的球，至于前面的

()1-k 个位置可以任意放余下各种编号的球。由乘法原理得111k A a

a b K A A -+-=，所以就有

111()k a a b k a b A A a p A A a b

-+-+==+ （2）同上讨论方法相似的，取k 个球全排列，有利事件要求是第r 个球是白

球，有1k A 种排法，第k 个球是为黑球有1b A 种排法，至于其他位置的球是可以任

意放置的任意颜色的球，就有112+b-2k A a

b a K A A A -= ，所以就有所求的概率为 112+b-2()(1)

k a b a k a b A A A ab p A a b a b -+==++- 在这一题中第一问要求低k 次取出的是白球，第二问要求的是第k 次取出的是黑球但是第r 次取出的是白球。在这两问中除了要求的位置上是固定颜色的

球，在其余位置上是任意一种球的，取出的球有一定的排列顺序，利用的也是排列的一些公式。

在这一种模型中，摸球的最后结果与取球的排列顺序有一定的关系，这些取出的球之间的关系就是最后结果。

例 2 一个袋子中有a 个白球，b 个黑球，从袋子中不放回抽样抽出n 个球，

求（1）在取出的球中恰有k 个白球的概率；（2）假设袋中另有c 个红球，取出的n 个球种恰有t 个白球，m 个黑球的概率。其中（1t m a b ≤+≤+）

解 （1）中是从()b a +个球中不计顺寻的取出n 个球，所有的可能有n a b C +种，

在取出的n 个球中要恰有k 个白球，这k 个白球只能从a 个白球中取出来，剩下

的()k n -个球就只能是从b 个黑球中取出的，所以有k n k a b C C -种取法，则所求的概

率为

k n k a b n a b

C C p C -+= （2）中同上问类似，基本事件是在()c b a ++个球中取出n 个球，则有n a b c

C ++种取法，在n 个球中包含t 个白球，m 个黑球，则剩下的就是()m t n --个红球，

则有利事件数就为t m n t m a

b c C C C --，所以就有所求的概率 t m n t m a b c n a b c

C C C p C --++= 在这一题中取出的球中包含有k 个白球或者是t 个白球、m 个黑球，在这里就不要求白球黑球之间的排列问题，只是一个组合的问题，就只是利用了一些组合的公式。

在这一模型中，摸球的最终结果，与取出球的数量有关而与球的排列书序无关，也就是只与它们之间的组合情况有关。

例 3 一只口袋中有a 只白球，b 只黑球，一次不放回的取出两个球，在第一次取得白球的条件下，问第二次取得白球的概率。

解 一次不放回的取出两个球作为一个基本事件，那么就有基本事件总数为2a b n A +=。设A 为第一次取出白球的实践，B 为第二次取出白球的事件，则有

111111(b 1),K (1)A a a b AB a a K C C a a C C a a +--==+-==-

根据全概率公式 ()()22(a 1)A 1(/)(a b 1)A 1a b a b p AB a a p B A p A a a b ++-÷-===+-÷+- 在这一模型中，摸球的结果不仅与取出球的种类的排列有关，还与前一次摸球的结果有关，即在前一次摸球结果的限制下取出另一个球。

2.2 放回取球问题

所谓放回取球就是把取出来，作好记录，再把球放回去后，使得下一次的取球环境和上一次的取球环境相同。

例 1[5] 袋中有a 个红球，b 个蓝球，从中用有放回的抽取方式抽取n 个球，

（1）问恰有k 个红秋的概率；（2）第k 次取到的是红球的概率；（3）第k 次才取到红球的概率；（4）前k 次中能取到红球；（5）到第n 次恰好取到k 个红球。其中()k n a b ≤≤+

解 （1）每次取球的结果只会有两种，红球和篮球，每次抽取一个是贝努里概型，抽取n 次，并且每次抽取之间都是相互独立的，这就可以看成是一个n 重贝努里概型解 }{B n k =个球中有个红球，又有抽取红球的概率是a p a b =+，则抽取篮球的概率是1b q p a b

==-+ 根据贝努里概型公式有所求的概率为

()k n k k

n a b p B C a b a b -????= ? ?++????

（2）中的第k 次取到的是红球，就意味着前()1k -次就是在()a b +中取出一个球就可以了，无论是红球还是蓝球，然后第k 次在a 个红球中取出一个红球就可以了，根据乘法原理，第k 次取出的是红球应该有()

11k a a b C -+种取法，因此所求的概率为 ()()11k k a a b C a p a b

a b -+==++ （3）中要求的是第k 次才取到红球，意思就是说在前面的()1k -次都不是红

球，那就是()1k -个蓝球，第k 次就从根据乘法原理就有11k a b C -种取法，因此所

求的概率为

()1k k a b

p a b -=+

（4）中要求的是前k 次能有红球，那这个事件的对立事件是前k 次中都是蓝球，而前k 次都是蓝球的意思就是在前面k 次取球中都是在从b 个蓝球中取出一个蓝球，有k a 种取法，所以所求的概率就为

()1k

k a p a b =-+

（5）中所要求的是在前n 次取球中恰好就有k 个好球表明取出的个球中包含有k 个红球，()n k -个蓝球，其中k 个红球是任意取到的，可以是n 次取球中的任意一次，同时也是从a 个红球中任意取出一个，取k 次，；剩下的()n k -个就是蓝球，也就是随意的从b 个蓝球中任意取出一个，重复()n k -次，它的取法有k k n k n C a b -种，因此就有所求的概率为

()k k n k n n C a b

p a b -=+

例 2 袋中装有4个黑球和1个白球，每次从中任取一球并放入一黑球，继续进行，问第3次摸到黑球的概率是多少？

在袋子中一直会有的就是5个球，所以基本事件就是从5个球中摸取一个，每一次都会有5种取法，因此基本事件的总数应该是35种。按要求若是直接求第3次摸到黑球的概率可能比较复杂，袋中原本就有4个黑球后来又会放入黑球，那如果看看其对立面就是第3次摸到白球，如果要求第3次摸到的是白球就会比较简单，因为白球就只有一个，就是说前两次都摸到的应该就是黑球。

解 设{}B =第三次摸到的是黑球，则有{}B =第三次摸到的是白球，根据

题意有35n =，1114

41441k C C C ==??，因而就有所求的概率为 ()()316109115125

p B p B =-=-=

这种取球的过程实际上也就是按顺序取球的，而且就是每个球都有可能被重复取到，所考虑的实践依然会涉及到取球的顺序，因此在计算的时候要用到重复排列数计算样本有利点数。在遇到这种类型的题目的时候就一定要好好的想清楚是不是应该用重复排列数来计算，或者说是应该用其他的方法来计算。

3 分球入盒问题

分球入盒的问题也就是放球进箱问题，这一类问题实际上是古典概型中的一个数学模型，即就是把一些球随意的放到盒子或者是箱子中去，要求不同，放的方法也就不同。样本点数的计算方法即会用到排列数，又会用到组合数。

例 1[7] 将n 个球放到N 个箱子中，其中每个球都有可能放入每一个箱子中，球下列事件的概率，（1）指定n 个箱子各放一球（设N n ≥）；（2）每个箱子中最多放入一个球；（3）第i 个箱子不是空的；（4）第i 个箱子恰好放入k ()k n ≤个球。

解 根据题目意思可以知道每个球可能放到任意一个箱子中去，而且每个箱子都可能被重复使用。每个球都是放入N 个箱子中的任意一个箱子中，应该就有N 种放法。根据乘法原理就可以得到n 个球随意刚入N 个箱子中就有n N 种放法。

（1）指定的n 个箱子中各放一球就是相当于n 个球的全排列，就有!n 种不同的排法，因此所求的概率为

!n

n p N = （2）每个箱子中最多放一个就意味着N 个箱子中任意选出n 个箱子，每个

箱子中放入一个球，首先从N 个箱子中选出n 个箱子有n N C 种选法；最后在选出

的n 个箱子中每个箱子放一个球，就如同（1）中的n 个箱子每个箱子中放一个

球，就有!n 种放法。所以要求的放法就有!n N C n 。因此所要求的概率就为

!n N n

C n p N = （3）题目要求的是第i 个箱子不空就说明第i 个箱子至少要放入一个球，直接计算可能会比较困难，所以首先看看对立事件第i 个箱子是空的的概率。这就

表示要把n 个球随机放入()1N -个箱子中，有()1n

N -种放法，所以这个概率为()1n n N p N -=。因此所要求的概率就为

()

111n n N q p N -=-=-

（4）就先假设在n 个球中选出有k 个球放入第i 个箱子中，有k n C 种不同的选

法；再把余下的球任意放到其余的箱子中去，有()

1n k N --种放法。根据乘法原理可以得到第i 个箱子恰好放入k 个球有()

1n k k n C N --种放法，因此所求的概率为()1n k k n n C N p N --=

在这种放球入盒中或者是分房子的问题都是一样的，都是可能不仅要考虑排列问题还要考虑组合的排法，所以在遇到这种问题的时候就要小心的去处理。

4 随机取数问题

随机取数就是指在已知的一些数字中随机取出一些数字，这些数字的组合问题以及排列问题。

4.1 有放回的随机取数

这种取数的意思就是说取出来的数字再放回去，相当于从n 个不同的元素里，取出允许重复的m 个元素重复排列，这样重复排列的种数就为m n

例 1 从2,3,4,5,6,7,8这七个数字中等可能的并且又放回的连续抽取4个数字，试求下列事件的概率

（1）{}4A =个数字完全不同；

（2）{}734和个数字中不含=B ；

（3）}44{个数字中至少出现一次=C 。

解 根据题目意思，这是7个数字又放回的取法，这就是7个数字的排列问题，

实验结果的总次就为47。

（1）中要求的是抽取的四个数字都不相同，并且是有顺序的取数，所以A 事件的包含结果总数可以看成是从7个数字中取出4个的选排列，即为47A 。因而所

求的概率为

()4740.34997

A p A = （2）若抽取的数字不含3和7，则就是相当于在剩余的4个数字中随机抽取4个数字，因为有放回的抽取，所以事件

B 的出现总次数 45。于是所求的概率为

()4

450.26037

p B =≈ （3）若4个数字中至少出现一次4，运用间接算法，计算事C 的对立事件，即4}{4个数字中没有出现=C ，也就是说要在没有4的六个数字中任意选出4个数字，可以看做是6个数字的重复排列，所以排列的总数就为46,因此4个数字中至少出现一次4的概率为

()4

4610.46027

p C =-≈ 4.2 无放回的随机取数

这个意思就是取出的数字补在放回，有两种情况 一种是有顺序的取数字，则可以看作是不重复的排列问题；另外一种则是所取的数不讲顺序，则可以看作是不重复的组合问题。

例 1 用数字1,2,3,4,5任意组成无重复数字的五位数，求下列事件的概率。

（1）{

}它是一个奇数=A ； （2）{}34000它大于=B 。

解 五个数字的组成美元重复的五位数，就可以看做是五个数字的全排列，

那么其总的事件结果就应该是55A

(1)A 事件要求组合出来的数字是一个奇数，所以说最后一位数就只能是1、3、5中的一个，也就是有3种放法，剩下的4个数字就是任意的全排列，那有利事件

的总数就有443A ?,因此组成的数字是个奇数的概率为

()4455

30.6A p A A ?== （2）事件B 要保证五位数大于34000，首先是首位数字如果是4、5的时候，这个五位数肯定是大于34000的，就有442A ?种取法；另外就是在首位数字是3的

时候，此时千位数字是4或者是5的时候也是满足要求的，即有332A ?种取法；由

加法原理有利事件的总数为434

32260A A ?+?=，因而所求的概率为 ()55

600.5p B A == 例 2 从2,3,4,5,6这5个数字中任意取出3个不同的数字，球下列事件的概率。（1）{}52和三个数字中不含有=A ；（2）{}52或三个数字中不含有=B 。

解 根据题意，在五个数字中任意取出三个数字，不要求顺序，则可以看做

就是5个数字的组合问题，则有基本事件数就为35C 种取法。

（1）A 事件所要求的是三个数字中不含有2和5，就是只能是3、4、6，所以只能有一种取法,因此不含有2和5的概率为

()3335

0.1C p A C == （2）B 事件是三个数字中不含有2或5，一是就是不能同时含有2个数字，也

就是说一种是不含数字1这种有34C 种，还有就是不含有5这种有34C 种，注意的就

是要减去不含有2也不含有5的1种情况，所以说有利事件的总数就为34

21C ?-，因此所求的概率

()3435

210.7C p B C ?-== 例 3 在整数0，1,2，…，9中任取4个数字，求取出的数能排成一个四位奇数的概率是多少？

在这个题目中，没有具体说明是取出数了再放回去还是不放回去，但是从题目的意思可以看出是从10个数字中取出4个数字，就是说是不会放回去的取数，

这是组数问题应该要用排列来解决。首先要求是组成一个四位数字，因此首位上的数字不能是0，其次要满足是奇数就要求最后一位数字是1,3,5,7,9。

解 设{}排成一个四位偶数=A

由题意可得410n =,13125

958k C A C A =-（首先考虑个位数的选取共有5种可能，则可能组成135

9C A 个数，但是其中有0在首位上的数，应该剔除）,因此所要求的概率为

()13125958410224028=504063

C A C A k p A n A -=== 在遇到这种随机取数的概率问题的时候，有一些题目中往往对某一些元素有附加条件，所以在计算的时候要小心，不要重复，也不要遗漏。另外这些实验结果的总数的计算经常会用到加法、乘法原理以及排列、组合的有关知识，所以，掌握排列组合的只是是学号古典概率计算的基础。

5 生活中的应用模型

例[8] 电话号码是7数字组成的，每个数字可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的任意一个数字，但是0不能在首位，求下列事件的概率。

（1）{

}的数字组成的电话号码是由完全不同=A ； （2）{

}03*5**2电话号码是=B ； （3）{

}电话号码是偶数=C 。 解 根据题目意思，电话号码是由7位数字组成的，数字可以重复，因为首位不能使0，那么首位就是除开0意外的剩下的0个数字中的一个，首位有9种放法，其余的6位数字就是10个数字的重复排列，就有106，有乘法原理，所有的总的事件数就为6910?

（1）中要求的是电话号码是由完全不同的数字组成的，也就是说数字不能重复，首尾不能为0，事件A 首位有9种放法，其余的6位数字就是剩下9个数字的

选排列。排列总数为69A ，所以事件A 的有利事件总数为699A ?，所以要求的概率

为

()696

90.06048910A p A ?==? (2)在事件B 中，已经固定了4位数字，剩下的3位数字中是10个数字的可重复排列，所以排列的总数就为310，于是概率

()3

6

100.00011910p A =≈? （3）号码首位有9种取法，要保证电话号码是偶数，最后一位数字就要是0、2、4、6、8中间选一个，取法就有5种，中间的5个数字就是10个数字中的选排列，就有510种取法，所以事件C 的有利事件总数就有59510??，于是得到

()5

6

95100.5910p C ??==? 例[9] 将一副扑克牌（52张）洗匀，求4张2连在一起的概率。

首先把一副扑克牌洗匀，就是把52张牌全排列，我们可以先假设把4张2粘在一起，把张在一起的2和剩下的48张扑克牌进行全排列，之后在把4张2内部经行排列。看成一个团体的话，就有一个2的团体加上剩下的48个就有49个整体，所以就有!49种放法。

解 设{}连在一起张24=A

由题意可以得到52!n =，4!49!k =?

根据古典概型计算公式()k p A n

=得,于是就有所求的概率 ()49!4!152!5525

p A ?== 例[9] 从5双不同的手套中任取四只，问其中至少有两只配成一双的概率是多少？

从5双手套中任取4只，至少配成一双，意思就是可以配成一双，还可以配成两双，比较复杂，可以找找事件的对立事件，即是取出的4只手套都不成双，这样的话就是在5双手套中任选4双，在每一双手套中拿一只就可以了，这样算比较方便。

解 设{}双只中至少有两只配成一取出的4=A ，想想事件A 的对立事件， 则有{}只都不成双取出的4=A ，410n C =，()4

4152k C C =(先从5双手套中选出4双，之后再每一双中任取一只)，所以有所求的概率为

()()()44

15

2410801311121021

C C p A p A C =-=-=-= 解答概率题是一个既有法、有时又无定法的问题，古典部分要以排列、组合等知识作为出发点，而这些知识内容抽象、富于技巧；他的思想方法也别具一格，知识间的内在联系主要靠抽象的思维来把握，难于用计算或者实验来验证；它的

解题技巧更是多种多样、灵活多变。【10】因此，解答概率题的时候没有一个固定的

模式，因此本文中讲述的也仅仅只是冰山一角。总之，这是需要扎实的基础知识和灵活运用基础知识的过程。

参考文献

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