2014年全国各地高考试题分类汇编(文数)7----立体几何(解答题)(全Word,精心排版)

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2014年全国各地高考试题分类汇编(文数)7----立体几何(解答题)(全Word,精心排版)

2014年全国各地高考试题分类汇编(文数)

立体几何(解答题)

(2014安徽文数)19.(本题满分13分)如图所示,四棱锥ABCD P -的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为172.点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点,平面⊥GEFH 平面ABCD ,BC ∥平面GEFH .(1)求证:;//EF GH (2)若2=EB ,求四边形GEFH 的面积.

解:(1)因为//BC 平面GEFH ,BC ?平面PBC ,

且平面PBC 平面GEFH GH =,所以//GH BC .同理可证//EF BC ,因此//GH EF . (2)连接AC ,BD 交于点O ,BD 交EF 于点K ,连接OP ,GK . 因为PA PC =,O 是AC 的中点,所以PO AC ⊥,同理可得PO BD ⊥. 又BD AC O =,且AC ,BD 都在底面内,所以PO ⊥底面ABCD . 又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ,且PO ?平面GEFH , 所以//PO 平面GEFH .因为平面PBD 平面GEFH GK =.

所以//PO GK ,且GK ⊥底面ABCD ,从而GK EF ⊥.

所以GK 是梯形GEFH 的高.由8AB =,2EB =得::1:4EB AB KB DB ==, 从而1142KB DB OB ==,即K 为OB 的中点.再由//PO GK 得1

2

GK PO =,即G 是PB 的中点, 且1

42

GH BC =

=

.由已知可得OB =

6PO ===. 所以3GK =.故四边形GEFH 面积48

31822

GH EF S GK ++=

?=?=. (2014北京文数)17.(本小题满分14分)如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,AB BC ⊥,12AA AC ==,1BC =,E ,F 分别为11AC ,BC 的中点.(1)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ; (2)求证:1//C F 平面ABE ;(3)求三棱锥E ABC -的体积.

A

E B

P

D

C

F

H

G K H

G

F

E

O

D

C

B

A

P

C 1

B 1

A 1

F

E C B

A

(1)证明:在三棱柱111ABC A BC -中,1BB ⊥底面

ABC .所以1BB AB ⊥. 又因为AB BC ⊥,所以AB ⊥平面11B BCC .所以平面ABE ⊥平面11B BCC .

(2)证明:取AB 中点G ,连接EG ,FG .因为E ,F 分别是11AC ,

BC 的中点, 所以//FG AC ,且1

2

FG =

AC .因为11//AC AC ,且11=AC AC , 所以1//FG EC ,且1FG EC =.所以四边形1FGEC 为平行四边形. 所以1//C F EG .又因为EG ?平面ABE ,1C F ?平面ABE , 所以1//C F 平面ABE .

(3)因为12AA AC ==,1BC =,AB BC ⊥

,所以AB =

所以三棱锥E ABC -

的体积111112332ABC V S AA =

?=??=

△. (2015大纲文数)19.(本小题满分12分)如图所示,三棱柱111ABC A B C -中,点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上,90ACB ∠=,112BC AC CC ===,.(1)求证:11AC A B ⊥; (2)设直线1AA 与平面11BCC B

1A AB C --的大小.

1

解法一:(1)因为1A D ⊥平面ABC ,1A D ?平面11AAC C ,故平面11AAC C ⊥平面

ABC .又BC AC ⊥,所以C 1

B 1

G

F E

A 1

C

B

A

BC ⊥平面11AAC C .连接1AC .因为侧面11AAC C 为菱形,故11AC AC ⊥.由三垂线定理得11AC A B ⊥.

(2)BC ⊥平面11AAC C ,BC ?平面11BCC B ,故平面11AAC C ⊥平面11BCC B

.作11A E CC ⊥,E 为垂足,则1A E ⊥平面11BCC B .又直线1//AA 平面11BCC B ,因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B

的距离,1AE = 因为1AC 为1ACC ∠

的平分线,故11A D A E ==DF AB ⊥,F 为垂足,连接1A F . 由三垂线定理得1A F AB ⊥,故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角.

由1AD =

=得D 为AC

中点,125

AC BC DF AB ?=?=

,11tan A D A FD DF ∠== 所以二面角1A AB C --

的大小为

解法二:以C 为坐标原点,射线CA 为x 轴的正半轴,以CB

所示的空间直角坐标系C xyz -.由题设知1A D 与z 轴平形,z 轴在平面11AAC C (1)设()

1,0,A a c ,由题设有2a …,()2,0,0A ,()0,1,0B 则()2,1,0AB =-, ()2,0,0AC =-,()12,0,AA a c =-,()114,0,AC AC AA a c =+=-,

()1,1,BA a c =-.由12AA =2=,即22

40a a c -+=.

于是22

1140

AC BA a a c ?=-+=,所以11AC A B ⊥. (2)设平面11BCC B 的法向量为(),,x y z =m ,则CB ⊥m ,1BB ⊥m ,即0CB ?=m ,10BB ?=m . 因()0,1,0CB =,()112,0,BB AA a c ==-,故0y =,且()20a x cz -+=.令x c =,则2z a =-,

(),0,2c a =-m ,点A 到平面11BCC B 的距离为cos ,CA CA CA ??=

=

m m m

c =.

又依题设,A 到平面11BCC B c =3a =(舍去)或1a =. 于是(1AA =-.设平面1ABA 的法向量为(),,p q r =n ,则1AA ⊥n ,AB ⊥n ,即10

AA ?=n , 0AB ?=n ,0p -=,且20p q -+=.令p =q =1r =,)

=

n .

又()0,0,1=p 为平面ABC 的法向量,故1cos ,4

?=

=n p n p n p .所以二面角1A AB C --的大小为1

arccos 4.

(2014福建文数)19.(本小题满分12分)如图所示,三棱锥A BCD -中,AB BCD CD BD ⊥⊥平面,. (1)求证:CD ⊥平面ABD ;(2)若1AB BD CD ===,M 为AD 中点,求三棱锥A MBC -的体积.

解:(1)因为AB ⊥平面BCD ,CD ?平面BCD ,所以AB CD ⊥.

又因为CD BD ⊥,AB BD B =,AB ?平面ABD ,BD ?平面ABD ,所以CD ⊥平面ABD . (2)解法一:由AB ⊥平面BCD ,得AB BD ⊥.因为1AB BD ==,所以12

ABD S =△. 因为M 是AD 的中点,所以1124

ABM ABD S S =

=△△.由(1)知,CD ⊥平面ABD , 所以三棱锥C ABM -的高1h CD ==,

因此三棱锥A MBC -的体积11

312

A MBC C ABM ABM V V S h --==?=△.

解法二:由AB ⊥平面BCD 知,平面ABD ⊥平面BCD ,

又平面ABD 平面BCD BD =,如图,过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N , 则MN ⊥平面BCD ,且11

22

MN AB ==,又CD BD ⊥,1BD CD ==,

所以12BCD S =△.所以三棱锥A MBC -的体积1133A MBC A BCD M BCD BCD BCD V V V AB S MN S ---=-=?-?△△1

12

=.

(2014广东文数)18.(本小题满分13分)如图1所示,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,

1,2,AB BC PC ===作如图2所示的折叠:折痕//EF CD .其中点,E F 分别在线段,PD PC 上,沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ,并且MF CF ⊥.(1)求证:CF ⊥平面MDF ;(2)求三棱锥M CDE -的

体积.

M

F

E P P

D

C

B

A D C

B A 图2

图1

(1)证明:因为PD ⊥平面ABCD ,AD ?平面ABCD ,所以PD AD ⊥.因为四边形ABCD 是矩形,所以AD DC ⊥.又因为PD DC D =,所以AD ⊥平面PCD .因为CF ?平面PCD ,所以AD CF ⊥. 又因为MF CF ⊥,MF AD M =,所以CF ⊥平面MDF .

(2)由(1)知CF DF ⊥,PD DC ⊥,在PCD △中,2

DC CF PC =?.∴21

2

CD CF PC =

=. A

M

D

C

B

N

M D C

B A

//EF DC ,

1

22PC FC PD FC

ED PD ED PC

?=?===

∴PE ME ===.

∴1112248CDE S DC ED =

?=??=

△.在Rt MDE △

中,2

MD ==,

∴113316

M CDE CDE V S MD -=?==△. (2014湖北文数)20.(本小题满分13分)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F ,P ,Q ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,1DD , 1BB ,11A B ,11A D 的中点.求证:(1)直线1BC ∥平面EFPQ ;(2)直线1AC ⊥平面PQMN .

解:(1)连接1AD ,由1111ABCD A B C D -是正方体,知11//AD BC , 因为F ,P 分别是AD ,1DD 的中点,所以1//FP AD .从而1//BC FP . 而FP ?平面EFPQ ,且1BC ?平面EFPQ ,故直线1//BC 平面EFPQ . (2)如图,连接AC ,BD ,则AC BD ⊥.

由1CC ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD ,可得1CC BD ⊥. 又1AC

CC C =,所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ?平面1ACC ,

所以1BD AC ⊥.因为M ,N 分别是11A B ,11A D 的中点, 所以//MN BD ,从而1MN AC ⊥.同理可证1PN AC ⊥. 又PN

MN N =,所以直线1AC ⊥平面PQMN .

(2014湖南文数)18.(本小题满分12分)如图所示,已知二面角MN αβ--的大小为60,菱形ABCD 在面β内,A B ,两点在棱MN 上,60BAD ∠=,E 是AB 的中点,DO ⊥面α,垂足为O . (1)求证:AB ⊥平面ODE ;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.

A

D

E

M

N

O

C

B

β

α

A

B

C

D A 1

B 1

C 1

D 1

N

Q

P

M F

E

解:(1)如图,因为DO α⊥,AB α?,所以DO AB ⊥. 连接BD ,由题设知,ABD △是正三角形.又E 是AB 的中点, 所以DE AB ⊥.面DO DE =D ,故AB ⊥平面ODE .

(2)因为//BC AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角, 即ADO ∠是BC 与OD 所成的角.由(1)知,AB ⊥平面ODE , 所以AB OE ⊥.又DE AB ⊥,

于是DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,从而60DEO ∠=.

不妨设2AB =,则2AD =

,易知DE .在Rt DOE △中,3sin 602

DO =DE ?=

, 连接AO ,在Rt AOD △中,3

3

2cos 24

DO ADO AD ∠===.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.

(2014江西文数)19.(本小题满分12分)如图所示,三棱柱111C B A ABC -中,1AA BC ⊥,11A B BB ⊥.

(1)求证:1

1AC CC ⊥;(2)若2AB =

,AC =

BC =,问1AA 为何值时,三棱柱111C B A ABC -体积最大,并求此最大值.

(1)证明:由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1BCA ,即11BB AC ⊥,

又11BB CC ∥,所以1

1AC CC ⊥. (2)设1AA x =,在11Rt A BB △

中,1A B =

=

1AC ==

在1A BC △中,22

211

111

cos 2A B AC BC BAC A B AC --∠=

?22=

2=,

1sin BAC ∠=11111sin 2A BC S A B AC BAC =

??∠△2=, 从而三棱柱111C B A ABC -的体积11A BC V S l S AA =?=

?△直

=

因为

=

故当

x =

1AA =

时,体积V

A

1A

1C

1B

C

B

β

α

N

M O

E D

C

B

A

(2014辽宁文数)19.(本小题满分12分)如图所示,ABC △和BCD △所在平面互相垂直,且

2AB BC BD ===,120ABC DBC ∠=∠=,E ,F ,G 分别为AC ,DC ,AD 的中点. (1)求证:EF ⊥平面BCG ;

(2)求三棱锥D BCG -的体积.附:锥体的体积公式1

3

V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高.

(1)证明:由已知得ABC DBC △≌△.因此AC DC =.

又G 为AD 的中点,所以CG AD ⊥.同理BG AD ⊥,因此AD ⊥平面BGC . 又//EF AD ,所以EF ⊥平面BGC .

(2)在平面ABC 内,作AO CB ⊥,交CB 延长线于O , 由平面ABC ⊥平面BCD ,知AO ⊥平面BCD .

又G 为AD 的中点,因此G 到平面BCD 的距离h 是AO 长度的一半. 在BAO △中,sin 603AO AB =?=,

所以11131sin1203322

D BCG G BCD DBC V V S h BD BC --==

??=????=△. (2014山东文数)18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P ABCD -中,

1

,//,,,2

AP PCD AD BC

AB BC AD E F ⊥==

平面分别为线段,AD PC 的中点. (1)求证://AP BEF 平面;(2)求证:BE PAC ⊥平面.

解:(1)设A C B E O =,连接OF ,EC .由于E 为AD 的中点,1

2

AB BC AD ==,//AD BC ,所以//AE BC ,

AE AB BC ==,因此四边形ABCE 为棱形,所以O 为AC 的中点.

又F 为PC 的中点,因此在PAC △中,可得//AP OF .

又OF ?平面BEF ,AP ?平面BEF ,所以//AP 平面BEF . (2)由依题知//ED BC ,ED BC =,所以四边形BCDE 为平行四边形, 因此//BE CD .又AP ⊥平面PCD ,所以AP CD ⊥,因此AP BE ⊥.

因为四边形ABCE 为棱形,所以BE AC ⊥.又A P A C A =,AP ,AC ?平面PAC ,所以BE ⊥平面PAC .

A

G

B F

E

C

D

G F

E

D

C

B A

O O

F

E D

B A P

(2014陕西文数)17.(本小题满分12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱AD ,BC 的平面分别交四面体的棱AB BD DC CA ,,,于点E F G H ,,,.(1)求四面体ABCD 的体积;(2)求证:四边形EFGH 是矩形.

左视图

2

俯视图

主视图

1

E A

H

B

G

F

D

C

解:(1)由该四面体的三视图可知,BD DC ⊥,BD AD ⊥,AD DC ⊥,2BD DC ==,1AD =,

所以AD ⊥平面BDC ,所以四面体ABCD 的体积112

221323

V =????=. (2)证明:因为//BC 平面EFGH ,平面EFGH

平面BDC FG =,平面EFGH

平面ABC EH =,

所以//BC FG ,//BC EH ,所以//FG EH .同理,//EF AD ,//HG AD ,所以//EF HG ,所以四边形EFGH 是

平行四边形.又因为AD ⊥平面BDC ,所以AD BC ⊥,所以EF FG ⊥,所以四边形EFGH 是矩形. (2014四川文数)18.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形. (1)若AC BC ⊥,求证:直线BC ⊥平面11ACC A ;(2)设D ,E 分别是线段BC ,1CC 的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线//DE 平面1A MC ?请证明你的结论.

C 1A

(1)证明:因为四边形11ABB A 和11ACC A 都是矩形,所以1AA AB ⊥,

1AA AC ⊥.因为AB ,AC 为平面ABC 内两条相交直线,

所以1AA ⊥平面ABC .因为直线BC ?平面ABC ,所以1AA BC ⊥.

又AC BC ⊥,1AA ,AC 为平面11ACC A 内两条相交直线,所以BC ⊥平面11ACC A .

(2)取线段AB 的中点M ,连接1A M ,MC ,1AC ,1AC ,设O 为1

AC ,1AC 的交点. 由已知可知O 为1AC 的中点.连接MD ,OE ,则MD ,OE 分别为ABC △,1ACC △的中位线,

所以=1//2MD AC ,=1

//2OE AC ,因此=//MD OE .连接OM ,从而四边形MDEO 为平行四边形,则//DE MO .

因为直线DE ?平面1AMC ,所以直线//DE 平面1

AMC , 即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点),使直线//DE 平面1

AMC . (2014天津文数)17.(本小题满分13分)如图所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,

M

E O

C 1A 1

B 1

D

C

B

A

BA BD =

2AD PA PD ===,,E F 分别是棱,AD PC 的中点.(1)求证://EF 平面PAB ;

(2)若二面角P AD B --为60,①求证:平面PBC ⊥平面ABCD ;②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.

(1)证明:如图,取PB 中点M ,连接MF ,AM .因为F 为PC 中点,

故//MF BC 且1

2

MF BC =

.由已知有//BC AD ,BC AD =. 又由于E 为AD 中点,因而//MF AE 且MF AE =, 故四边形AMFE 为平行四边形,所以//EF AM .

又AM ?平面PAB ,而EF ?平面PAB ,所以//EF 平面PAB . (2)(i )证明:连接PE ,BE .因为PA PD =,BA BD =, 而E 为AD 中点,故PE AD ⊥,BE AD ⊥, 所以PEB ∠为二面角P AD B --的平面角.

在PAD △

中,由PA=PD=2AD =,可解得2PE =.

在ABD △中,

由BA=,2AD =,可解得1BE =.在PEB △中,2PE =,1BE =,60PEB =∠,

由余弦定理,可解得PB 90PBE =∠,即BE PB ⊥.又//BC AD ,BE AD ⊥,从而BE BC ⊥,因此BE ⊥平面PBC .又BE ?平面ABCD ,所以,平面PBC ⊥平面ABCD .

(ii )连接BF .由(i )知,BE ⊥平面PBC ,所以EFB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角.

由PB =ABP ∠

为直角.而12MB PB =

=

AM =

,故EF =, 又1BE =,故在直角三角形EBF

中,sin 11

BE EFB EF ∠=

=

. 所以,直线EF 与平面PBC

所成角的正弦值为

11

. (2014新课标1文数)19.(本题满分12分)如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点

为O ,且⊥AO 平面C C BB 11.(1)证明:;1AB C B ⊥(2)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱

111C B A ABC -的高.

M

F E

C

B

A

P

解:(1)连接1BC ,则O 为1B C 与1BC 的交点.因为侧面11BB C C 为棱形, 所以11B C BC ⊥.又AO ⊥平面11BB C C ,所以1B C AO ⊥,

故1B C ⊥平面ABO .由于AB ?平面ABO ,故1BC AB ⊥.

(2)作OD BC ⊥,垂足为D ,连接AD .作OH AD ⊥,垂足为H .

由于BC AO ⊥,BC OD ⊥,故BC ⊥平面AOD ,所以OH BC ⊥.又OH AD ⊥,所以OH ⊥平面ABC . 因为160CBB ∠=,所以1CBB △为等边三角形,又1BC =

,可得OD =

1AC AB ⊥,所以11122OA B C =

=.由OH AD OD OA ?=?

,且4AD ==

,得14

OH =. 又O 为1B C 的中点,所以点1B 到平面ABC

的距离为

7.故三棱柱111ABC A B C -

的高为7

. (2014新课标2文数)18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.(1)求证:PB ∥平面AEC ;(2)设1AP =

,AD =,三棱锥P ABD -的

体积V =

,求A 到平面PBC 的距离.

解:(1)设BD 与AC 的交点为O ,连接EO .因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点.

又E 为PD 的中点,所以//EO PB .EO ?平面AEC ,PB ?平面AEC ,所以//PB 平面AEC .

(2

)16V PA AB AD AB =??=

.由V =

,可得32AB =. 作AH PB ⊥交PB 于H .由题设知BC ⊥平面PAB ,所以BC AH ⊥,

A

P

E

D

C

B C 1

A 1

B 1

O

H D

C

B

A

H

E

P

故AH ⊥平面PBC

.又13

PA AB AH PB ?=

=

所以A 到平面PBC

的距离为

13

. (2014浙江文数)20.如图所示,在四棱锥A BCDE -中,平面ABC ⊥平面BCDE ;90CDE BED ∠=∠=,2AB CD ==,1DE BE ==

,AC =(1)求证:AC ⊥平面BCDE ;(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角

的正切值.

解:(1)连接BD ,在直角梯形BCDE 中,由1DE BE ==,2CD =,

得B D B C ==

由AC =2AB =,

得222

AB AC BC =+,即AC BC ⊥.又平面ABC ⊥平面BCDE ,从而AC ⊥平面BCDE .

(2)在直角梯形BCDE

中,由BD BC ==2DC =,得BD BC ⊥.又平面ABC ⊥平面BCDE , 所以BD ⊥平面ABC .作//EF BD ,与CB 延长线交于F ,连接AF ,则EF ⊥

平面ABC . 所以EAF ∠是直线AE 与平面ABC 所成的角.在Rt BEF △中,由1EB =,

π4EBF ∠=

,得2EF =,2

BF =; 在Rt ACF △中,由AC ,

CF =AF =.在Rt AEF △中,由EF =,AF =, 得tan EAF ∠=

AE 与平面ABC . (2014重庆文数)20.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,23

AB BAD π

=∠=

,,M 为BC 上一点,且12BM =.(1)求证:BC ⊥平面POM ;

(2)若M P AP ⊥,求四棱锥P ABMO -的体积.

M

O

P D C

B A

解:(1)证明:如图,连接OB ,因为ABCD 为菱形,O 为菱形的中心,所以AO OB ⊥.

F

E

D

C

B

A

M

O

D C

A

P 因为π3BAD ∠=,所以πsin 2sin 16OB AB OAB =?∠==,又因为1

2BM =,

且π3OBM ∠=,所以在OBM △中,222

2cos OM OB BM OB BM OBM =+-??∠

2

211π3121cos 2234??

=+-???= ???

.所以222OB OM BM =+,故OM BM ⊥.又PO ⊥底面ABCD ,所以

PO BC ⊥.从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ,PO 都垂直,所以BC ⊥平面POM .

(2)由(1

)可得,π

cos 2cos 6

OA AB OAB =?∠=?=PO a =,由PO ⊥底面ABCD 知,POA △为

直角三角形,故22223PA PO OA a =+=+.又POM △也是直角三角形,故2222

34

PM PO OM a =+=+.连

接AM ,在ABM △中,2

2

2

2

2

112π212cos 222cos 2234AM AB BM AB BM ABM ??

=+-??∠=+-???= ???

由于MP AP ⊥,故APM △为直角三角形,则222PA PM AM +=,即22

321344a a +++

=

,得2

a =

2a =

(舍去),即2PO =.此时1122AOB OMB ABMO S S S AO OB BM OM =+=??+??=

△△四边形

1111222+?

=

1153316

P ABMO ABMO V S PO -=??==四边形.

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值

2019高考试题分类汇编-立体几何

2019高考试题分类汇编-立体几何 立体几何 1(2019北京文)(本小题14分) 如图,在三棱锥P –ABC 中,PA ⊥AB ,PA ⊥BC ,AB ⊥BC ,PA =AB =BC =2,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点. (Ⅰ)求证:PA ⊥BD ; (Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面PAC ; (Ⅲ)当PA ∥平面BD E 时,求三棱锥E –BCD 的体积. 2(2019新课标Ⅱ理)(12分) 如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点. 2 (1)证明:直线CE ∥平面PAB ; (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ,求二面角M -AB -D 的余弦值. 3(2019天津理)(本小题满分13分) 如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,∠BAC =90?. 点D ,E ,N 分别为棱PA ,P C ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,PA =AC =4,AB =2. (Ⅰ)求证:MN ∥平面BDE ;(Ⅱ)求二面角C -EM -N 的正弦值; (Ⅲ)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ,求线段AH 的长. 21 4(2019新课标Ⅲ理数)a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角;②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角;③直线AB 与a 所称角的最小值为45°;④直线AB 与a 所称角的最小值为60°;

全国高考文科数学立体几何综合题型汇总

新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明:在ABD ?中,∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理,1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角 2、如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点。 求证:(1)⊥AB 平面CDE; (2)平面CDE ⊥平面ABC 。 证明:(1)BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理, AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE (2)由(1)有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC , ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C

3、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//A C 平面BDE 。 证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO , ∵E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内,1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点:线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 证明:90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点:线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1 AC ⊥面11AB D . 证明:(1)连结11A C ,设 11111 A C B D O ?=,连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ,1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D (2)1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵, 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥, 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C

2018年高考数学试题分类汇编-向量

1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.(北京理6改)设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件(从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择) 1.充分必要 2.(北京文9)设向量a =(1,0),b =(?1,m ),若()m ⊥-a a b ,则m =_________. 2.-1 3.(全国卷I 理6改)在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB = _________. (用,AB AC 表示) 3.3144 AB AC - 4.(全国卷II 理4)已知向量a ,b 满足||1=a ,1?=-a b ,则(2)?-=a a b _________. 4.3 5.(全国卷III 理13.已知向量()=1,2a ,()=2,2-b ,()=1,λc .若()2∥c a+b ,则λ=________. 5. 12 6.(天津理8)如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,120BAD ∠=?,1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点,则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.(天津文8)在如图的平面图形中,已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.(浙江9)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π 3,向量b 满足b 2?4e · b +3=0,则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.(上海8).在平面直角坐标系中,已知点(1,0)A -,(2,0)B ,E 、F 是y 轴上的两个动点,且2EF = ,则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3

(完整版)2019数学高考试题分类汇编 立体几何

2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12.已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是P A ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为( ) A .68π B .64π C .62π D .6π 2、全国III 理8.如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则( ) A .BM =EN ,且直线BM ,EN 是相交直线 B .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线 C .BM =EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 D .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 3、浙江4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是 A .158 B .162 C .182 D .32 4、浙江8.设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点),记直线PB 与直线AC 所成角为α,直线PB 与平面ABC 所成角为β,二面角P -AC -B 的平面角为γ,则 A .β<γ,α<γ B .β<α,β<γ C .β<α,γ<α D .α<β,γ<β 5、北京理(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________. 6、北京理(12)已知l ,m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l ⊥m ;②m ∥α;③l ⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________. 7、江苏9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16.已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC ,BC 的距离均为3,那么P 到平面ABC 的距离为______ _____. 9、全国II 文理16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1). 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方 体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.) 10、全国III 理16.学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E ,F ,G ,H 分别为所在棱的中点,16cm 4cm AB =BC =, AA =,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3,不考虑打印损耗, 制作该模型所需原料的质量为___________g.

2011—2017高考全国卷文科数学立体几何总结

新课标全国卷 文科数学总结 立 体 几 何 一、选择题 【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ) 【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 直的半径.若该几何体的体积是 28π 3 ,则它的表面积是( ) A .17π B . 18π C . 20π D . 28π 【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点 A ,α∥平面11C B D ,α平面ABCD m =, α 平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ) A . 2 B .2 C .3 D .13 【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的 正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8 【2015,11】 【2014,8】 【2013,11】 【2012,7】 【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱 【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A .6 B .9 C .12 D .15

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 4 1 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

2020年高考数学分类汇编:立体几何

2020年高考数学分类汇编:立体几何 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为 A.20°B.40° C.50°D.90° 8.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7.右图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为

A . E B . F C .G D . H 16.已知圆锥的底面半径为 1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11.已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形,且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为A . 3 B .32 C .1 D . 32 16.设有下列四个命题: p 1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p 4:若直线l 平面α,直线m ⊥平面α,则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A . 514 B . 512 C . 514 D . 512

2017-2019高考文数真题分类解析---立体几何(选择题、填空题)

2017-2019高考文数真题分类解析 ----立体几何(选择题、填空题) 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A .α内有无数条直线与β平行 B .α内有两条相交直线与β平行 C .α,β平行于同一条直线 D .α,β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知:α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件,由面面平行性质定理知,若αβ∥,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件,故选B . 【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,,a b a b αβ??∥,则αβ∥”此类的错误. 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则 A .BM =EN ,且直线BM ,EN 是相交直线 B .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线 C .BM =EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 D .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示,作EO CD ⊥于O ,连接ON ,BD ,易得直线BM ,EN 是三角形EBD 的中线,是

相交直线. 过M 作MF OD ⊥于F ,连接BF , Q 平面CDE ⊥平面ABCD ,,EO CD EO ⊥?平面CDE ,EO ∴⊥平面ABCD ,MF ⊥平面ABCD , MFB ∴△与EON △均为直角三角形.设正方形边长为2,易知12EO ON EN ===,, 5 ,22 MF BF BM = =∴=BM EN ∴≠,故选B . 【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力,解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时,先利用垂直关系,再结合勾股定理进而解决问题. 3.【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm ),则该柱体的体积(单位:cm 3)是 A .158 B .162 C .182 D .324 【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的,其中一个上底为4,

【高考真题】2016---2018三年高考试题分类汇编

专题01 直线运动 【2018高考真题】 1.高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的均加速直线运动,在启动阶段列车的动能() A. 与它所经历的时间成正比 B. 与它的位移成正比 C. 与它的速度成正比 D. 与它的动量成正比 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理(新课标I卷) 【答案】 B 2.如图所示,竖直井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度约为104m,升降机运行的最大速度为8m/s,加速度大小不超过,假定升降机到井口的速度为零,则将矿石从井底提升到井口的最短时间是 A. 13s B. 16s C. 21s D. 26s 【来源】浙江新高考2018年4月选考科目物理试题 【答案】 C

【解析】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,在加速阶段,所需时间 ,通过的位移为,在减速阶段与加速阶段相同,在匀速阶段所需时间为:,总时间为:,故C正确,A、B、D错误;故选C。 【点睛】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,根据速度位移公式和速度时间公式求得总时间。 3.(多选)甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶,下列说法正确的是() A. 两车在t1时刻也并排行驶 B. t1时刻甲车在后,乙车在前 C. 甲车的加速度大小先增大后减小 D. 乙车的加速度大小先减小后增大 【来源】2018年普通高等学校招生全国统一考试物理(全国II卷) 【答案】 BD 点睛:本题考查了对图像的理解及利用图像解题的能力问题

4.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同;两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程, A. 矿车上升所用的时间之比为4:5 B. 电机的最大牵引力之比为2:1 C. 电机输出的最大功率之比为2:1 D. 电机所做的功之比为4:5 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理(全国III卷) 为2∶1,选项C正确;加速上升过程的加速度a1=,加速上升过程的牵引力F1=ma1+mg=m(+g),减速上升过程的加速度a2=-,减速上升过程的牵引力F2=ma2+mg=m(g -),匀速运动过程的牵引力F 3=mg。第次提升过程做功W1=F1××t0×v0+ F2××t0×v0=mg v0t0;第次提升过 程做功W2=F1××t0×v0+ F3×v0×3t0/2+ F2××t0×v0 =mg v0t0;两次做功相同,选项D错误。

历年高考立体几何大题试题汇编

2015 年高考立体几何大题试卷 1. 【 2015 高考新课标 2,理 19】 如图,长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=16 , BC =10, AA 1 8,点E ,F 分别在 A 1B 1, C 1 D 1上, A 1 E D 1 F 4.过点 E ,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方 形. ( 1 题图) Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) Ⅱ)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值. 2. 【 2015江苏高考, 16】 如图,在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中,已知 AC BC , BC CC 1,设 AB 1的中点为 D , B 1C BC 1 E .求证:(1) DE //平面AA 1C 1C ; 2) BC 1 AB 1 . 3 题图) 3. 【2015 高考安徽,理 19】如图所示,在多面体 A 1B 1D 1DCBA ,四边形 2 题图) A B C

AA1B1B , ADD1 A1 , ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D, E的平面交CD1于 F.

4. 【2015 江苏高考, 22】如图,在四棱锥 P ABCD 中,已知 PA 平面 ABCD ,且 四边形 ABCD 为直角梯 形, ABC BAD ,PA AD 2, AB BC 1 2 1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; 2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长 面 BEC ,BE ^ EC ,AB=BE=EC=2 ,G ,F 分别是线 段 ( Ⅰ ) 求证: GF // 平面 ADE ; ( Ⅱ)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 6.【2015 高考浙江,理 17】如图,在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 -中, BAC 90 , AB AC 2,A 1A 4 , A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 为B 1C 1的中点. (1)证明: A 1D 平面 A 1B C ; (2)求二面角 A 1 -BD- B 1的平面角的余弦值 . Ⅰ)证明: EF //B 1C ; Ⅱ)求二面角 E A 1D B 1余弦值 . 4 题图) 5 题图) 5 .【 2015 高考福建, 理 17】如图, 在几何体 ABCDE 中, 四边形 ABCD 是矩形, AB ^ 平 BE , DC 的中点 . B C D B

2016年高考文科数学真题分类汇编:立体几何

2016年高考数学文试题分类汇编 立体几何 一、选择题 1、(2016年山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为 (A )12+π33 (B )1+π33 (C )1+π36 (D )1+π6 2、(2016年上海高考)如图,在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BC 、BB 1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是( ) (A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1 【答案】D 3、(2016年天津高考)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )

【答案】B 4、(2016年全国I 卷高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互 相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3 ,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 【答案】A 5、(2016年全国I 卷高考)如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,11//CB D α平面,ABCD m α= 平面,11ABB A n α= 平面,则m ,n 所成角的正弦值为 (A B C (D )13 【答案】A

6、(2016年全国II卷高考)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为() (A)20π(B)24π(C)28π(D)32π 【答案】C 7、(2016年全国III卷高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 (A)18+(B)54+(C)90 (D)81 【答案】B 8、(2016年浙江高考)已知互相垂直的平面αβ ,交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则() A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C

2018年高考文数立体几何真题精选

2018年高考文数——立体几何 一、选择题 1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A . B .12π C . D .10π 2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为 B ,则在 此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .172 B .52 C .3 D .2 3.【2018全国一卷10】在长方体1111ABCD A BC D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?,则该长方体的体积为 A .8 B . C . D .4.【2018全国二卷9】在正方体中,为棱的中点,则异面直线与 所成角的正切值为 A B C D 5. 【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 6.【2018全国三卷12 】设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为 A . B . C . D . 11 11ABCD A B C D -E 1CC AE CD A B C D ,, ,ABC △D ABC -

7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 第7题图 第8题图 8.【2018浙江卷3】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A .2 B .4 C .6 D .8 9.【2018上海卷15】《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ?是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA ?为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( ) (A ) 4 (B )8 (C )12 (D )16 二、填空题 1.【2018全国二卷16】已知圆锥的顶点为,母线,互相垂直,与圆锥底面所成 角为,若的面积为,则该圆锥的体积为__________. 2.【2018天津卷11】如图,已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为__________. 3.【2018江苏10】如图正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.__________. 俯视图 正视图 2 211S SA SB SA 30 SAB △ 8

2020年高考试题分类汇编(集合)

2020年高考试题分类汇编(集合) 考法1交集 1.(2020·上海卷)已知集合{1,2,4}A =,{2,3,4}B =,求A B = . 2.(2020·浙江卷)已知集合{14}P x x =<<,{23}Q x x =<<,则P Q = A.{|12}x x <≤ B.{|23}x x << C.{|34}x x ≤< D.{|14}x x << 3.(2020·北京卷)已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B = A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1,2}- D.{1,2} 4.(2020·全国卷Ⅰ·文科)设集合2{340}A x x x =--<,{4,1,3,5}B =-,则A B = A .{4,1}- B .{1,5} C .{3,5} D .{1,3} 5.(2020·全国卷Ⅱ·文科)已知集合{3,}A x x x Z =<∈,{1,}A x x x Z =>∈,则A B = A .? B .{3,2,2,3}-- C .{2,0,2}- D .{2,2}- 6.(2020·全国卷Ⅲ·文科)已知集合{1,2,3,5,7,11}A =,{315}B x x =<<,则A B 中元素的个数为 A .2 B .3 C .4 D .5 7.(2020·全国卷Ⅲ·理科)已知集合{(,),,}A x y x y N y x *=∈≥, {(,)8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为 A .2 B .3 C .4 D .6 8.(2020·全国卷Ⅰ·理科)设集合2{40}A x x =-≤,{20}B x x a =+≤,且 {21}A B x x =-≤≤,则a = A .4- B .2- C .2 D .4 考法2并集 1.(2020·海南卷)设集合{13}A x x =≤≤,{24}B x x =<<,则A B =

2019年高考试题汇编文科数学--立体几何

(2019全国1文)16.已知90ACB ∠=?,P 为平面ABC 外一点,2PC =,点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案: 解答: 如图,过P 点做平面ABC 的垂线段,垂足为O ,则PO 的长度即为所求,再做,PE CB PF CA ⊥⊥,由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥,在Rt PCF ?中,由2,PC PF == ,可得出1CF =,同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =,结合90ACB ∠=?,,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==,OC = , PO == (2019全国1文)19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,14,2AA AB ==,60BAD ∠=, ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. (1)证明://MN 平面1C DE (2)求点C 到平面1C DE 的距离. 答案: 见解析 解答: (1)连结1111,AC B D 相交于点G ,再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ,再连结GH ,NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ,//GH DE , 于是得到平面//NGHM 平面1C DE , 由 MN ?平面NGHM ,于是得到//MN 平面1C DE

(2) E 为BC 中点,ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥,又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱,1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥,又 12,4AB AA ==, 1DE C E ∴=,设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE (2019全国2文)7. 设,αβ为两个平面,则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案:B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. (2019全国2文)16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分.)

2018年高考题分类汇编之立体几何

2018年数学高考题分类汇编之立体几何 1.【2018年浙江卷】已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S?AB?C的平面角为θ3,则 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 2.【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3.【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 4.【2018年新课标I卷文】在长方体中,,与平面所成的角为,则该长方体的体积为 A. B. C. D. 5.【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 6.【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为 A. B. C. D. 7.【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A. A B. B C. C D. D 8.【2018年全国卷II文】在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 9.【2018年天津卷文】如图,已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1,则四棱柱A1–BB1D1D的体积为 __________. 10.【2018年江苏卷】如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.

2019年高考真题分类汇编(全)

2019年高考真题分类汇编 第一节 集合分类汇编 1.[2019?全国Ⅰ,1]已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<,,则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题. 【详解】由题意得,{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<,则 {}22M N x x ?=-<<.故选C . 【点睛】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分. 2.[2019?全国Ⅱ,1]设集合A ={x |x 2-5x +6>0},B ={ x |x -1<0},则A ∩B = A. (-∞,1) B. (-2,1) C. (-3,-1) D. (3,+∞) 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题. 【详解】由题意得,{}{} 2,3,1A x x x B x x ==<或,则{} 1A B x x ?=<.故选A . 【点睛】本题考点为集合的运算,为基础题目,难度偏易.不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分. 3.[2019?全国Ⅲ,1]已知集合{}{} 2 1,0,1,21A B x x ,=-=≤,则A B ?=( ) A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,1- D. {}0,1,2 【答案】A 【解析】【分析】 先求出集合B 再求出交集. 【详解】由题意得,{} 11B x x =-≤≤,则{}1,0,1A B ?=-.故选A . 【点睛】本题考查了集合交集的求法,是基础题. 4.[2019?江苏,1]已知集合{1,0,1,6}A =-,{} 0,B x x x R =∈,则A B ?=_____. 【答案】{1,6}.

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥.(1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A .1 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点. (1)证明:PO ⊥平面ABC ; (2)若点M 在棱BC 上,且二面角M PA C --为30?,求PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点. (1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科:

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