1993年考研数学(二)试题

1993年数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)0

lim ln x x x +→=＿＿＿＿＿＿.(2)函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++?=所确定,则

dy dx =＿＿＿＿＿＿.(3)

设1()(2(0)x F x dt x =>∫,则函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿.

(4)=＿＿＿＿＿＿.(5)已知曲线()y f x =过点1(0,)2

?,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,则()f x =＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)当0x →时,变量211sin x x

是()(A)无穷小(B)无穷大

(C)有界的,但不是无穷小(D)有界的,但不是无穷大

(2)设2|1|,1,()1 2, 1,x x f x x x ??≠?=???=?

则在点1x =处函数()f x (

)(A)不连续

(B)连续,但不可导(C)可导,但导数不连续(D)可导,且导数连续

(3)已知2,01,()1, 12,

x x f x x ?≤<= ?≤≤?设1()()x F x f t dt =∫(02)x ≤≤,则()F x 为()(A)31,013,12

x x x x ?≤

x x x x ?≤,函数()ln x f x x k e =?

+在(0,)+∞内零点个数为()(A)3(B)2(C)1(D)0

(5)若()()f x f x =??,在(0,)+∞内()0,()0f x f x ′′′>>,则()f x 在(,0)?∞内

()

(A)()0,()0f x f x ′′′<<(B)()0,()0

f x f x ′′′<>(C)()0,()0

f x f x ′′′><(D)()0,()0f x f x ′′′>>三、(1)设2sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求

22

d y dx .

(2)求lim )x x x →?∞

.(3)求4

01cos2x dx x

π+∫.(4)求30

(1)x dx x +∞+∫.(5)求微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx ?+?=满足初始条件01x y ==的特解.

四、设二阶常系数线性微分方程x y y y e αβγ′′′++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.

五、设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定,求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.

六、作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时,其体积V 最小,并求出该最小值.

七、设0x >,常数a e >,证明()a a x a x a ++<.

八、设()f x ′在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明：20()2

a

Ma f x dx ≤∫,其中0max |()|x a M f x ≤≤′=.