C .{a|2321<<-a }
D .{a|2
123<<-a } 【答案】C
7.等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等 于( )
A .66
B .99
C .144
D .297
【答案】B
8.在ABC ?,三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若内角A 、B 、C 依
次成等差数列,且不等式0862
>-+-x x 的解集为}|{c x a x <<,则b 等于( )
A .3
B .4
C .33
D .32 【答案】D
9.如果实数y x ,满足不等式组??
?
??≥≤--≤-+103203x y x y x ,目标函数y kx z -=的最大值为6,最
小值为0,则实数k 的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4 【答案】B
10.设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点.若在双曲线右支上
存在点P ,满足212PF FF =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 ( ) A .
4
5 B .2 C .2 D .35
【答案】D
二.填空题:本大题5小题,每小题5分,共25分。
11.在ABC ?中,a b c 、、分别是A B C 、、三内角所对应的边,若
2220a c b ac +-+=, 则B ∠= .
【答案】 120o
12.抛物线2
4
x y =的准线方程是
【答案】 y=-1
13.当1->x 时,不等式 1
11
x a x ++≥+恒成立,则实数a 的最大值是 【答案】2
14.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且)1(2+=n n a S ,则7a =___. 【答案】128-
15.已知命题p :实数m 满足m 2
+12a 2
<7am(a>0),命题q :实数m 满足方程21x m -+
2
2y m
-=1表示的焦点在y 轴上的椭圆,且p 是q 的充分不必要条件,a 的取值范围为________. 【答案】[13,3
8
]
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。
16、(本小题满分12分)
某餐馆一天中要购买A ,B 两种蔬菜,A 、B 蔬菜每斤的单价分别为2元和3 元。根据需要,A 蔬菜至少要买6斤,B 蔬菜至少要买4斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元。
(1)写出一天中A 蔬菜购买的斤数x 和B 蔬菜购买的斤数y 之间的不等式组; (2)在下面给定的坐标系中画出(1)中不等式组表示的平面区域(用阴影表 示),并求z=x+y 的最大值。
解:(1)236064x y x y +≤??
≥??≥?
………6分
(2)画出的平面区域如右图,
A (6,4),由2360
6
x y x +=??=?求得
C (6,16)由2360
4x y y +=??=?
求得B (24,4)易知在B 点时取得最大值
max 24428Z ∴=+=………12分
17. (本小题满分12分)
已知在等比数列}{n a 中,11=a ,且2a 是1a 和13-a 的等差中项.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=,求}{n b 的前n 项和n S . 解:(Ⅰ)设公比为q ,则2a q =,23a q =, ∵2a 是1a 和13-a 的等差中项,
∴22132(1)21(1)2a a a q q q =+-?=+-?=, ∴12n n a -=………6分
(Ⅱ)121212n n n b n a n -=-+=-+
则1[13(21)](122)n n S n -=++
+-+++
+
2[1(21)]1221221
n n n n n +--=+
-=+- ………12分
18、(本小题满分12分)
已知命题:p 方程22
20x ax a +-=在[]1,1-上有解;命题:q 只有一个实数0x 满
足不等式2
0220x ax a ++≤,若命题“p q ∨”是假命题,求a 的取值范围。
解:由2x 2+ax -a 2
=0,得(2x -a)(x +a)=0,∴x=a 2
或x =-a ,
∴当命题p 为真命题时,????
??a 2≤1或|-a|≤1,∴|a|≤2. ………4分 又“只有一个实数x 0满足不等式x 2
0+2ax 0+2a≤0”, 即抛物线y =x 2
+2ax +2a 与x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a 2
-8a =0,∴a=0或a =2.
∴当命题q 为真命题时,a =0或a =2. ………8分 ∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴a>2或a<-2. 即a 的取值范围为{a|a>2,或a<-2}.………12分 19.(本小题满分13分)
在海岛A
上有一座海拔的山峰,山顶设有一个观察站P .有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行,上午11:00时,测得此船在岛北偏东15?、俯角为30?的B 处,到11:10时,又测得该船在岛北偏西45?、俯角为60?的C 处.
(1) 求船的航行速度;
(2) 求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.
【解析】解:⑴设船速为x km/h
在Rt △PAB 中,∠PBA 与俯角相等为30
同理,Rt △PCA 中,分
在△ACB中,∠CAB=15°+45°=60°,
分
⑵作AD BC
⊥于点D,∴当船行驶到点D时,AD最小,
从而PD最小.
分∴PD =
∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为分
20.(本小题满分13分)
已知椭圆E:
22
22
1
x y
a b
+=(a>b>0)的离心率e=,并且经过定点P (,).
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)问是否存在直线y x m
=-+,使直线与椭圆交于A、B两点,满足OA⊥OB,若存在求m值,若不存在说明理由.
解(Ⅰ)由题意:
c
e
a
==且
22
31
1
4
a b
+=,又222
c a b
=-
解得:22
4,1
a b
==,即:椭圆E的方程为
2
21
4
x
y
+= ------6分
(Ⅱ)设
1122
(,),(,)
A x y
B x y
2
2
2222
1
4()4058440 4
x
y
x m x x mx m
y x m
?
+=
?
?+--=?-+-=
?
?=-+
?
(*)所以
2
1212
844
,
55
m m
x x x x
-
+== ------------8分
2
222
12121212
844 ()()()
55
m
y y m x m x m m x x x x m m
-=--=-++=-+
24
5
m-
=
由0
OA OB OA OB
⊥??=
得
22
11221212
444
(,)(,)0,0,0,
55
m m
x
y x y x x y y m
--
?=+=+==分又方程(*
)要有两个不等实根,22
(8)45(44)0,
m m m
?=--?-><<
m的值符合上面条件,所以
5
m=± -----------13分
21、(本小题满分13分)
数列{}n a 满足:11a =,22a =,2221cos sin 2
2n n
n n a a ππ+??=++ ??
?
,n N +∈。 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设21
2n n n
a b a -=
,12n n S b b b =+++,证明:2n S <(n N +∈)。 【解析】(Ⅰ)∵11a =,22a =,
∴由题设递推关系式,当21n k =-(k N +∈)时,
()()22212121
21211cos sin 122k k k k k a a a ππ+----??=++=+????
,
即21211k k a a +--=。所以数列{}21k a -是首项为1公差为1的等差数列,
因此21k a k -=。 ……………3分 当2n k =(k N +∈)时,2
22222221cos sin 222k k k k k a a a ππ+??=++=???
?
, 所以数列{}2k a 是首项为2公比为2的等比数列,因此22k k a =………6分
故数列{}n a 的通项公式为
()
()
2
1
,21,22,2,n n n n k k N a n k k N +++?=-∈?=?
?=∈?。 …………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2122
n n n n a n
b a -==,
于是231232222n n n
S =++++, ……………………①
从而234111*********
n n n n n
S +-=+++++, ……………………②
①―②得23111111222222
n n n n
S +=++++-
11
111222112212
n
n n n n ++????-?? ???+????=-=--。 所以2
22
n n n S +=-。故有2n S <。 …………13分