2014年下学期新化一中高二数学期中考试试卷答案

2014年下学期新化一中高二数学期中考试试卷答案
2014年下学期新化一中高二数学期中考试试卷答案

高二年级期中考试理科数学试题 总分:150分 时间:120分

一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。 1.命题“?x ∈R ,sinx >1-”的否定是( )

A .?x ∈R ,sinx≤1-

B .?x 0∈R ,sinx 0≤1-

C .?x 0∈R ,sinx 0>1-

D .不存在x ∈R ,sinx >1- 【答案】B

2.在△ABC 中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,若a=,A=45°,B=60°, 则b=( )

A ..2 C .1 D .2

【答案】A

3.已知等比数列{}n a 的前三项依次为1,1,4,n a a a a -++=则

A.342n ??? ???

B.243n ??? ???

C.1

342n -??? ?

??

D.1

243n -??

? ?

??

【答案】C

4.若抛物线2

2y px =的焦点与椭圆22

162

x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .4- B .4 C .2- D .2

【答案】B

5.在ABC ?中,角A,B,C 所对应的边分别为c b a ,,,则""b a ≤是"sin sin "B A ≤ 的( )

A.充分必要条件

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件

D.非充分非必要条件 【答案】A

6.在R 上定义运算)1(:y x y x -=??,若不等式x a x a x 对任意实数

1)()(<+?-成立,则实数a 的取值范围是( ).

A .{a|11<<-a }

B .{a|20<

C .{a|2321<<-a }

D .{a|2

123<<-a } 【答案】C

7.等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等 于( )

A .66

B .99

C .144

D .297

【答案】B

8.在ABC ?,三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若内角A 、B 、C 依

次成等差数列,且不等式0862

>-+-x x 的解集为}|{c x a x <<,则b 等于( )

A .3

B .4

C .33

D .32 【答案】D

9.如果实数y x ,满足不等式组??

?

??≥≤--≤-+103203x y x y x ,目标函数y kx z -=的最大值为6,最

小值为0,则实数k 的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4 【答案】B

10.设1F 、2F 分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点.若在双曲线右支上

存在点P ,满足212PF FF =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 ( ) A .

4

5 B .2 C .2 D .35

【答案】D

二.填空题:本大题5小题,每小题5分,共25分。

11.在ABC ?中,a b c 、、分别是A B C 、、三内角所对应的边,若

2220a c b ac +-+=, 则B ∠= .

【答案】 120o

12.抛物线2

4

x y =的准线方程是

【答案】 y=-1

13.当1->x 时,不等式 1

11

x a x ++≥+恒成立,则实数a 的最大值是 【答案】2

14.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且)1(2+=n n a S ,则7a =___. 【答案】128-

15.已知命题p :实数m 满足m 2

+12a 2

<7am(a>0),命题q :实数m 满足方程21x m -+

2

2y m

-=1表示的焦点在y 轴上的椭圆,且p 是q 的充分不必要条件,a 的取值范围为________. 【答案】[13,3

8

]

三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。

16、(本小题满分12分)

某餐馆一天中要购买A ,B 两种蔬菜,A 、B 蔬菜每斤的单价分别为2元和3 元。根据需要,A 蔬菜至少要买6斤,B 蔬菜至少要买4斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元。

(1)写出一天中A 蔬菜购买的斤数x 和B 蔬菜购买的斤数y 之间的不等式组; (2)在下面给定的坐标系中画出(1)中不等式组表示的平面区域(用阴影表 示),并求z=x+y 的最大值。

解:(1)236064x y x y +≤??

≥??≥?

………6分

(2)画出的平面区域如右图,

A (6,4),由2360

6

x y x +=??=?求得

C (6,16)由2360

4x y y +=??=?

求得B (24,4)易知在B 点时取得最大值

max 24428Z ∴=+=………12分

17. (本小题满分12分)

已知在等比数列}{n a 中,11=a ,且2a 是1a 和13-a 的等差中项.

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=,求}{n b 的前n 项和n S . 解:(Ⅰ)设公比为q ,则2a q =,23a q =, ∵2a 是1a 和13-a 的等差中项,

∴22132(1)21(1)2a a a q q q =+-?=+-?=, ∴12n n a -=………6分

(Ⅱ)121212n n n b n a n -=-+=-+

则1[13(21)](122)n n S n -=++

+-+++

+

2[1(21)]1221221

n n n n n +--=+

-=+- ………12分

18、(本小题满分12分)

已知命题:p 方程22

20x ax a +-=在[]1,1-上有解;命题:q 只有一个实数0x 满

足不等式2

0220x ax a ++≤,若命题“p q ∨”是假命题,求a 的取值范围。

解:由2x 2+ax -a 2

=0,得(2x -a)(x +a)=0,∴x=a 2

或x =-a ,

∴当命题p 为真命题时,????

??a 2≤1或|-a|≤1,∴|a|≤2. ………4分 又“只有一个实数x 0满足不等式x 2

0+2ax 0+2a≤0”, 即抛物线y =x 2

+2ax +2a 与x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a 2

-8a =0,∴a=0或a =2.

∴当命题q 为真命题时,a =0或a =2. ………8分 ∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴a>2或a<-2. 即a 的取值范围为{a|a>2,或a<-2}.………12分 19.(本小题满分13分)

在海岛A

上有一座海拔的山峰,山顶设有一个观察站P .有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行,上午11:00时,测得此船在岛北偏东15?、俯角为30?的B 处,到11:10时,又测得该船在岛北偏西45?、俯角为60?的C 处.

(1) 求船的航行速度;

(2) 求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.

【解析】解:⑴设船速为x km/h

在Rt △PAB 中,∠PBA 与俯角相等为30

同理,Rt △PCA 中,分

在△ACB中,∠CAB=15°+45°=60°,

⑵作AD BC

⊥于点D,∴当船行驶到点D时,AD最小,

从而PD最小.

分∴PD =

∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为分

20.(本小题满分13分)

已知椭圆E:

22

22

1

x y

a b

+=(a>b>0)的离心率e=,并且经过定点P (,).

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)问是否存在直线y x m

=-+,使直线与椭圆交于A、B两点,满足OA⊥OB,若存在求m值,若不存在说明理由.

解(Ⅰ)由题意:

c

e

a

==且

22

31

1

4

a b

+=,又222

c a b

=-

解得:22

4,1

a b

==,即:椭圆E的方程为

2

21

4

x

y

+= ------6分

(Ⅱ)设

1122

(,),(,)

A x y

B x y

2

2

2222

1

4()4058440 4

x

y

x m x x mx m

y x m

?

+=

?

?+--=?-+-=

?

?=-+

?

(*)所以

2

1212

844

,

55

m m

x x x x

-

+== ------------8分

2

222

12121212

844 ()()()

55

m

y y m x m x m m x x x x m m

-=--=-++=-+

24

5

m-

=

由0

OA OB OA OB

⊥??=

22

11221212

444

(,)(,)0,0,0,

55

m m

x

y x y x x y y m

--

?=+=+==分又方程(*

)要有两个不等实根,22

(8)45(44)0,

m m m

?=--?-><<

m的值符合上面条件,所以

5

m=± -----------13分

21、(本小题满分13分)

数列{}n a 满足:11a =,22a =,2221cos sin 2

2n n

n n a a ππ+??=++ ??

?

,n N +∈。 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)设21

2n n n

a b a -=

,12n n S b b b =+++,证明:2n S <(n N +∈)。 【解析】(Ⅰ)∵11a =,22a =,

∴由题设递推关系式,当21n k =-(k N +∈)时,

()()22212121

21211cos sin 122k k k k k a a a ππ+----??=++=+????

即21211k k a a +--=。所以数列{}21k a -是首项为1公差为1的等差数列,

因此21k a k -=。 ……………3分 当2n k =(k N +∈)时,2

22222221cos sin 222k k k k k a a a ππ+??=++=???

?

, 所以数列{}2k a 是首项为2公比为2的等比数列,因此22k k a =………6分

故数列{}n a 的通项公式为

()

()

2

1

,21,22,2,n n n n k k N a n k k N +++?=-∈?=?

?=∈?。 …………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2122

n n n n a n

b a -==,

于是231232222n n n

S =++++, ……………………①

从而234111*********

n n n n n

S +-=+++++, ……………………②

①―②得23111111222222

n n n n

S +=++++-

11

111222112212

n

n n n n ++????-?? ???+????=-=--。 所以2

22

n n n S +=-。故有2n S <。 …………13分

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