数学分析习题集

数学分析试卷及答案6套

数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.

华东师大数学分析习题解答2

《数学分析选论》习题解答 第 二 章 连 续 性 １． 设n y x ? ∈,，证明： )|| |||| ||(2|| ||||||2 2 2 2 y x y x y x +=-++． 证 由向量模的定义， ∑∑==-+ += -++n i i i n i i i y x y x y x y x 1 2 12 2 2 ) () (|||||| || ∑=+=+=n i i i y x y x 1 2 2 22 )|| |||| ||(2)(2 ． □ 2*． 设n n x S ?∈??点,到集合S 的距离定义为 ),(inf ),(y x S x S y ρ=ρ∈． 证明：（１）若S 是闭集，S x ?，则0),(>S x ρ； （２）若d S S S ?=( 称为S 的闭包 )，则 {}0 ),(|=ρ? ∈= S x x S n ． 证 （１）倘若0),(=S x ρ，则由),(S x ρ的定义，S y n ∈?，使得 ,2,1,1 ),(=< ρn n y x n ． 因 S x ?，故x y n ≠，于是x 必为S 的聚点；又因S 是闭集，故S x ∈，这就导致矛盾．所以证得0),(>S x ρ． （２）S x ∈?．若S x ∈，则0),(=ρS x 显然成立．若S x ?，则d S x ∈（即x 为S 的聚点），由聚点定义，?≠?ε>ε?S x U );(,0 ，因此同样有 0),(),(inf =ρ=ρ∈S x y x S y ． 反之，凡是满足0),(=ρS x 的点x ，不可能是S 的外点（ 若为外点，则存在正

数0ε，使?=?εS x U );(0，这导致0),(inf 0>ε≥ρ∈y x S y ，与0),(=ρS x 相 矛盾）．从而x 只能是S 的聚点或孤立点．若x 为聚点，则S S x ?∈d ；若x 为孤立点， 则S S x ?∈．所以这样的点x 必定属于S ． 综上，证得 { } 0),(|=ρ?∈=S x x S n 成立． □ ３．证明：对任何n S ? ?，d S 必为闭集． 证 如图所示，设0x 为d S 的任一聚点， 欲证∈0x d S ，即0x 亦为S 的聚点． 这是因为由聚点定义，y ?>ε?,0，使得 d S x U y ?ε∈);(0 ． 再由y 为S 的聚点，);();(0ε?δ?x U y U ，有 ?≠?δS y U );( ． 于是又有?≠?εS x U );(0 ，所以0x 为S 的聚点，即∈0x d S ，亦即d S 为闭 集． □ ４．证明：对任何n S ? ?，S ?必为闭集． 证 如图所示，设0x 为S ?的任一聚点，欲证S x ?∈0，即0x 亦为S 的界点． 由聚点定义，y ?>ε?,0，使 S x U y ??ε∈);(0 ． 再由y 为界点的定义，);();(0ε?δ?x U y U ， 在);(δy U 内既有S 的内点，又有S 的外点．由此证得在);(0εx U 内既有S 的内点，又有S 的外点，所以0x 为S 的界点，即S ?必为闭集． □ *５．设n S ??，0x 为S 的任一内点，1x 为S 的任一外点．证明：联结0x 与1 x 的直线段必与S ?至少有一交点． 0x );(δy U );(0εx U S S ? );(δy U );(0εx U S d S 0x

数学分析专题研究试题及参考答案

数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈?，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。 3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。 6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈?α，有 成 立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设f ：Y X →，X A ??，则A （ ）))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈?，有1)(0<)(x ?' D. 前三个结论都不对 4．已知???∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义?=x t t f x F 0d )()(，则)(x F 在区 间[0，2]上（ ）。 A. 连续 B. 不连续 C. 可导 D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。

数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章

第十二章 数项级数 证明题 1 ． 证明下列级数的收敛性 ,并求其和 : (4) ( n 2 2 n 1 n); 2n 2. 证明:若级数 u n 发散,则 Cu n 也发散(c ≠0). 3. 证明 :若数列 {a n }收敛于 a,则级数 (a n a n 1) a 1-a . (1) 1 1 1 (3) 1 n(n 1)(n 2) 2n 1 (5) (5n 4)(5n 1) 1.6 6.11 11.16 (2)

4 ．证明: 若数列{b n}有lim b n ,则 n (1)级数(b n 1 b n)发散; 1 1 1 (2)当b n≠0 时,级数 n b n 1 b1 5. 证明级数u n 收敛的充要条件是:任给正数ε ,有某自然数N, 对一切n>N 总有 |u N+u n+1+?+u n|< ε 6. 设u n、v n 为正项级数,且存在正数N0,对一切n>N 0,有 u n 1 v n 1 u n v n 7. 设正项级数a n 收敛,证明级数a2n 也收敛;试问反之是否成立? 8. 设a n≥0,且数列{na n}有界，证明级数a2n收敛.

9. 设正项级数 u n 收敛,证明级数 u n u n 1 也收敛 . (2) 若 n>N 0 时有 C n ≤0, 且 lim 1 b k ,则级数 a n n1 10. 证明下列极限 11. 设 {a n }为递减正项数列 ,证明 :级数 a n 与 2m a 2m 同时 n1 m 0 收敛或同时发散 a 12. 设 a n >0, b n >0, C n =b n n b n+1,证明: a n 1 N 0及常数 K,当 n>N 0 时,有 C n ≥k>0, 则级数 a n 收敛 ; n1 n (1) l n im (n n !) 0; (2) lim (2n!) n! n a n! 0(a 1). (1) 若存在某自然数

数学分析试题及答案解析

2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；

B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113

2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八.

2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分

数学分析试题及答案解析

2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为 ()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()? +∞ a dx x f 绝对收敛，()?+∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必 然条件收敛（ ）. 4. 若()? +∞ 1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于 正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）.

二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑ ∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛；

第一章复习题解答(数学分析)

第一章复习题 一.填空 1、数集,...}2,1:)1({=-n n n 的上确界为 1 ，下确界为 -1 。 2、 =∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 3、)(lim 2 n n n n -+∞ → = _______ 1 2 ________。 4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞ →lim （有限）. 则有a = {}sup n a . 5. 设,2 12,21221 2n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 1 二． 选择题 １、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( B )。 Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数; Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ B ） A 、 先给定ε后唯一确定δ; B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一; C 、 先给定δ后确定ε; D 、 δ与ε无关. 3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ D ） A 、}1 { 2n a ； B 、}1{a n ； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） (A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个； (C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个. 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ D ） (A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞ →lim ； (C) a x n n -=∞ →lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。 6. 设}{n x 是无界数列，则 （ D ） (A) ∞=∞ →n n x lim ； (B) +∞=∞ →n n x lim ；

数学分析十讲习题册、课后习题答案

数学分析十讲习题册、课后习题答案

习 题 1-1 1．计算下列极限 （1）lim x a x a a x x a →--, 0;a > 解：原式 lim[]x a a a x a a a x a x a x a →--=---=()| ()|x a x a x a a x ==''- =1 ln a a a a a a --?=(ln 1)a a a - （2）sin sin lim sin() x a x a x a →--； 解：原式sin sin lim x a x a x a →-=-(sin )' cos x a x a === （3 ）2lim 2), 0;n n a →∞ > 解：原式2 n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1 lim [(1)1] p n n n →∞+-， 0;p > 解：原式 111(1)1lim ()|p p p x n n n x =→∞ +-'===11 p x px p -== （5）1010 0(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x →+-- 解：原式 101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x →→+---=-- =990 10(1)|10(1)|20t t t t ==+++= （6） 1x →，,m n 为正整数； 解：原式1 1 n x x →=-11 11 ()' ()' m x n x x x === n m = 2．设 () f x 在 x 处二阶可导，计算000 2 ()2()() lim h f x h f x f x h h →+-+-. 解 ： 原式

《数学分析选论》习题全解 模拟试题及答案

《 数学分析续论 》模拟试题及答案 一、 单项选择题（56?'） （１）设{} n a 为单调数列，若存在一收敛子列{} j n a ，这时有 ．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．j n j n n a a ∞ →∞ →=lim lim ； Ｂ．{}n a 不一定收敛； Ｃ．{} n a 不一定有界； Ｄ．当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有Ａ成立． （２）设)(x f 在R 上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．当I 为开区间时)(I f 必为开区间； Ｂ．当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间； Ｃ．当)(I f 为开区间时I 必为开区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （３）设)(x f 在某去心邻域)(0x U 内可导．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．若A x f x x ='→)(lim 存在，则A x f =')(0；Ｂ．若f 在0x 连续，则A 成立； Ｃ．若A x f =')(0存在，则A x f x x ='→)(lim ；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （４）设)(x f 在],[b a 上可积，则有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．)(x f 在],[b a 上必定连续； Ｂ．)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点； Ｃ．)(x f 的间断点不能处处稠密； Ｄ．)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密． （５）设 ∑ ∞ =1 n n u 为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．若0lim =∞→n n u ,则 ∑∞=1 n n u 收敛； Ｂ．若 ∑ ∞ =1 n n u 收敛，则1lim 1<+∞ →n n n u u ； C ．若 ∑ ∞ =1 n n u 收敛，则1lim <∞ →n n n u ； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．

数学分析_各校考研试题及答案

2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y ,v=x-y ,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在

数学分析课本-习题及答案01

第一章 实数集与函数 习题 §1实数 1、 设a 为有理数，x 为无理数。证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。 3、 设a 、b ∈R 。证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。 4、 设x ≠0，证明|x+x 1|≥2，并说明其中等号何时成立。 5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗 7、 设x>0，b>0，a ≠b 。证明x b x a ++介于1与b a 之间。 8、 设p 为正整数。证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。 9、 设a 、b 为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|0（a ，b ，c 为常数，且a

数学分析十讲习题册、课后习题答案_

数学分析十讲习题册、课后习题答案_ 数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）； 解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数； 解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解： 习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解： （3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）； 解：原式（2）求； 解：原式（3）； 解：原式（4）； 解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得： 3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ； 解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。 又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明： 2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则

从而所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，，所以习题2-1 （此题已换）1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数证明：反证法. 假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界. （1）解： （2）解： （3）解： （4）. 解： 3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且 .不妨设，则对有即矛盾. 下确界的唯一性类似可证习题2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取； ……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足： 是的下界，不是的下界. 由区间套定理，且. 下证： 都有，而，即是的下界. 由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为； 再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若，则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若，则记；

数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

数学分析复习题及答案

数学分析复习题及答案 一.单项选择题 1．已知x e x x f +=3)(，则)0(f '=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．设3)2 1(lim -∞ →=+e x kx x ，则=k （ ） A. 6- B.23 C. 32- D. 23 - 3．?=dx xe x （ ） A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1 4．下列函数在),(∞-∞内单调增加的是（ ） A. x y = B. x y -= C. 3x y = D. x y sin = 二、填空题 1．设函数==+dz e z y x 则全微分,2 2．.______________23sin lim 0 =→x x x 3．???????>+=<=0 ) 1ln()(00 sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续，则_________=a 三、判断题 1．若函数f 在区间),(b a 上连续，则f 在),(b a 上一致连续。（ ） 2．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。（ ） 3．设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数，则右极限)(lim 0 x f x x +→存在。（ ） 四、名词解释 1．用δε-的语言叙述函数极限的定义 2．用N -ε的语言叙述数列极限的定义

五、计算题 1．根据第四题第1小题证明04 )1(lim 2=--+∞→n n n n 2．根据第四题第2小题证明5 311lim 22=++→x x x 3．设n n n x x x x x x x ++=++==+11,,11110010 ，，求证n n x ∞→lim 存在，并求其值。 4．证明：2)(x x f =在[]b a ,上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。 5．证明：若)(0x f '存在，则=??--?+→?x x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6．证明：若函数)(x f 在0x 连续，则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续，问：若在)(x f 或) (2x f 在I 上连续，那么)(x f 在I 上是否必连续。 一、1.D 2.C 3. B 4.C 二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2 3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√ 四、 1. 函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义，A 为定数。 0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，则A x f x x =→)(lim 0 。 2.数列极限定义：设为数列}{n a ，a 为定数，0>?ε，0>?N ，当N n >时，有ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a 。 五、1.证明：ε<-<-?++=-+<--+2 12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε，21+?? ????=?εN ，当N n >时，ε<--+4)1(2n n n ；得证。 2. 证明：)13()2() 1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x

数学分析试题及答案4

（十四） 《数学分析Ⅱ》考试题 一 填空（共15分，每题5分）： 1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 2 设 =--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则54； 3 设?? ?>++≤=0 , )1ln(,0, sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。 二 计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 n n n 1 )1 31211(lim ++++ ∞→ ; 解: 由于，n n n n 1 1)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→n n n 故 。1)131211(lim 1 =++++∞→n n n 2 3 )(21lim n n n ++∞→； 解: 由stolz 定理, 3 )(21lim n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n n ) 1)1()(1(lim -+-+ -- =∞ →n n n n n n n n ) 1)1(2))(1(() 1(lim --+---+=∞→n n n n n n n n n .3 2)1)11(21 11lim 2=-- +- + =∞ →n n n n 3 a x a x a x --→sin sin lim ；

解: a x a x a x --→sin sin lim a x a x a x a x --+=→2sin 2cos 2lim .cos 2 2sin 2 cos lim a a x a x a x a x =--+=→ 4 x x x 10 ) 21(lim + →。 解: x x x 10 )21(lim +→.)21(lim 2 2 210e x x x =?? ??? ?+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）： 1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+= 求 解: 。 1 11 11 1 1221122)(2 2 2 22 2+-= +- +=++++ - +='x x x x x x x x x x x x f 2 解: 3 设。 求)100(2 ,2sin )23(y x x y -= 解: 由Leibniz 公式 )23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2 1002)99(11002)100(0100)100(' '-+'-+-=x x C x x C x x C y 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22 98982991002999922100100?+++?+-+=?πππx x x x x x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100?-?--= 。 ]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --= 四 （12分）设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n ;sin cos 33 表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t a x , tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22 33t t t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t t a t t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-=

数学分析试题与答案

数学分析试题与答案 It was last revised on January 2, 2021

2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收 敛（ ）. 4. 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大 （ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ）

A.不连续 B. 连续 C.可.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； 三.计算与求值（每小题5分，共10分）

数学分析试题及答案7

（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x 5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原 点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[) 1(11 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2 R D ?内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足 Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,(' ''∈为常数证 明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

数学分析5.5微分(含习题详解)

第五章导数和微分 5 微分 一、微分的概念 定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x. 当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。 定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0). 证：先证必要性： 若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A. 再证充分性：若f在点x0可导，则 f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)， 根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x. 微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，

所以当f ’(x 0)≠0时， =0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。 若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数. 函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)= ，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。因此导数 也常称为微商。 二、微分的运算法则 1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)； 2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)； 3、d = ； 4、d(f ?g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du. 例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。 解：dy=d(x 2lnx+cosx 2)=d(x 2lnx)+d(cosx 2)=lnxd(x 2)+x 2d(lnx)-2xsinx 2dx =2xlnxdx+xdx-2xsinx 2dx=x(2lnx-2sinx 2+1)dx. 例2：求y=e sin(ax+b)的微分. 解：dy=d(e sin(ax+b))=e sin(ax+b)d(sin(ax+b)) =ae sin(ax+b) cos(ax+b)d(ax+b)