有限元的MATLAB解法

有限元的MATLAB解法

1.打开MATLAB。

2.输入“pdetool”再回车，会跳出PDE Toolbox的窗口（PDE意为偏微分方程，是partial differential equations的缩写），需要的话可点击Options菜单下Grid命令，打开栅格。

3.完成平面几何模型：在PDE Toolbox的窗口中，点击工具栏下的矩形几何模型进行制作模型，可画矩形R，椭圆E，圆C，然后在Set formula栏进行编辑并（如双脊波导R1+R2+R3改为RI-R2-R3,设定a、b、s/a、d/b的值从而方便下步设定坐标）

用算术运算符将图形对象名称连接起来，若还需要，可进行储存，形成M文件。

4.用左键双击矩形进行坐标设置：将大的矩形left和bottom都设为0，width是矩形波导的X轴的长度，height是矩形波导的y轴的长度，以大的矩形左下角点为原点坐标为参考设置其他矩形坐标。

5.进行边界设置：点击“Boundary”中的“Boundary Mode”,再点击

“Boundary”中的“Specify Boundary Conditions”,选择符合的边界条件，Neumann为诺曼条件,Dirichlet为狄利克雷条件，边界颜色显示为红色。

6.进入PDE模式：点击"PDE"菜单下“PDE Mode”命令，进入PDE 模式，单击“PDE Specification”,设置方程类型，“Elliptic”为椭圆型，“Parabolic”为抛物型，“Hyperbolic”为双曲型，“Eigenmodes”为特征值问题。

7.对模型进行剖分：点击“Mesh”中“Initialize Mesh”进行初次剖分，若要剖的更细，再点击“Refine Mesh”进行网格加密。

8.进行计算：点击“Solve”中“Solve PDE”,解偏微分方程并显示图形解，u值即为Hz或者Ez。

9.单击“Plot”菜单下“Parameters”选项，打开“Plot Selection”对话框。选中Color,Height(3-D plot)和Show mesh三项，然后单击“Plot”按钮，显示三维图形解。

10.如果要画等值线图和矢量场图，单击“Plot”菜单下“Parameters”选项,打开“Plot Selection”对话框。选中Contour和Arrows两项，然后单击Plot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图。

11.将计算结果条件和边界导入MATLAB中：点击“Export Solution”,再点击“Mesh”中“Export Mesh”。

12.在MATLAB中将编好的计算程序导入，按F5运行。

备注：

Property（属性）用于画图时选用相应的绘图类型

u 方程的解

abs(grad(u)) 每个三角形的中心的▽u的绝对值

abs(c*grad(u)) 每个三角形的中心的c·▽u的绝对值

- grad(u) u的负梯度-▽u

我们也可以用MATLAB程序求解PDE问题，同时显示解的图形；

一个长直接接地金属矩形槽，其侧壁与底面电位均为0，顶盖电位为100V，求槽内的电位分布：

100V

0V0V

0V

（1）画出剖分图（尺寸与书上一样）；

（2）标出各剖分点坐标值；

（3）求出各点电位值（用有限差分）；

（4）画出等电位图。

解：（1）编写以下程序得：

x=0:5

y=0:5

[X,Y]=meshgrid(x,y)

plot(X,Y)

hold on

plot(Y,X)

for i=0:5

s=i:5

t=0:(5-i)

plot(s,t)

plot(t,s)

end

得到剖分图如下：

（2）用有限元法编写程序如下：

Nx=6;Ny=6;Xm=5;Ym=15;Np=5;Nq=5; for i=1:Nx

for j=1:Ny

N(i,j)=(i-1)*Ny+j; /i列j行的节点编号/ X(N(i,j))=(i-1)*Xm/Np;/节点横坐标/

Y(N(i,j))=(j-1)*Ym/Nq;/节点纵坐标/ end

end

for i=1:2*Xm

for j=1:Ym

if rem(i,2)==1

L(i,j)=(i-1)*Nq+j;

p(i,j)=2*(i-1)*Ny/2+Ny+j+1;

q(i,j)=p(i,j)-Ny;

r(i,j)=q(i,j)-1;

else rem(i,2)==0

L(i,j)=(i-1)*Ny+j;

p(i,j)=(2i-2)*Ny/2+j;

q(i,j)=p(i,j)+Ny;

r(i,j)=q(i,j)+1;

end

end

end

for i=1:2*Xm

for j=1:Ym

b(p(i,j))=Y(q(i,j))-Y(r(i,j));b(q(i,j))=Y(r(i,j))-Y(p(i,j));

b(r(i,j))=Y(p(i,j))-Y(q(i,j));c(p(i,j))=X(r(i,j))-X(q(i,j));

c(q(i,j))=X(p(i,j))-X(r(i,j));c(r(i,j))=X(q(i,j))-X(p(i,j));

area(i,j)=(b(p(i,j))*c(q(i,j))-b(q(i,j))*c(p(i,j)))/2;

K=zeros(Nx*Ny);

Kpp(i,j)=(b(p(i,j))^2+c(p(i,j))^2)/(2*area(i,j));

Kpq(i,j)=(b(p(i,j))*b(q(i,j))+c(p(i,j))*c(q(i,j)))/(2*area(i,j)); Kpr(i,j)=(b(p(i,j))*b(r(i,j))+c(p(i,j))*c(r(i,j)))/(2*area(i,j)); Kqp(i,j)=Kpq(i,j);

Kqq(i,j)=(b(q(i,j))^2+c(q(i,j))^2)/(2*area(i,j));

Kqr(i,j)=(b(q(i,j))*b(r(i,j))+c(q(i,j))*c(r(i,j)))/(2*area(i,j)); Krp(i,j)=Kpr(i,j);

Krq(i,j)=Kqr(i,j);

Krr(i,j)=(b(r(i,j))^2+c(r(i,j))^2)/(2*area(i,j));

end

end

for i=1:2*Xm

for j=1:Ym

K(p(i,j),p(i,j))=Kpp(i,j)+K(p(i,j),p(i,j));

K(p(i,j),q(i,j))=Kpq(i,j)+K(p(i,j),q(i,j));

K(p(i,j),r(i,j))=Kpr(i,j)+K(p(i,j),r(i,j));

K(q(i,j),p(i,j))=Kqp(i,j)+K(q(i,j),p(i,j));

K(q(i,j),q(i,j))=Kqq(i,j)+K(q(i,j),q(i,j));

K(q(i,j),r(i,j))=Kqr(i,j)+K(q(i,j),r(i,j));

K(r(i,j),p(i,j))=Krp(i,j)+K(r(i,j),p(i,j));

K(r(i,j),q(i,j))=Krq(i,j)+K(r(i,j),q(i,j));

K(r(i,j),r(i,j))=Krr(i,j)+K(r(i,j),r(i,j));

end

end

for i=1:11

K(i,:)=0;

K(i,i)=1;

end

for i=1:11:111 K(i,:)=0;

K(i,i)=1;

end

for i=111:121 K(i,:)=0;

K(i,i)=1;

end

for i=11:11:121 K(i,:)=0;

K(i,i)=1;

end

B=zeros(121,1); for i=11:11:121 B(i,1)=100; end

U=K\B;

b=1;XX=zeros(11,11)

for j=1:11

for i=1:11

XX(i,j)=U(b,1);

b=b+1;

end

end

subplot(1,2,1),mesh(XX)

axis([0,11,0,11,0,100])

subplot(1,2,2),contour(XX,15)

hold on

（3）由上面的程序得到节点电位：

V1=

0 0 0 0 0

0 7.1429 9.8214 7.1429 0

0 18.7500 25.0000 18.7500 0

0 42.8571 52.6786 42.8571 0

0 100.0000 100.0000 100.0000 0

（4）由程序得到的电场分布图及等位线图如下：

4.用有限元法求矩形波导（b/a=0.45）的：

（1）电场分布图；

（2）求TE模式下的主模、第一、二高次模的截止波长（5次），画出截至波长图；

（3）求TM模式下的主模、第一、二高次模的截止波长（5次），画出截至波长图。

解：利用MATLAB中的PDE工具箱：取矩形波导的宽边尺寸为a，窄边尺寸为0.45a。

（1）主模的电场分布图如下：

在Neumann边界条件下：

在Dirichlet边界条件下：

（2）在TE模式下设置边界条件为Neumann条件，使用编制好

的程序计算出主模的截止波长为 1.9988a，第一高次模为0.9977a，第二高次模为0.8972a，截止波长图如下：

单模TE10区

λ时截止模区

λ

（3）在TM模式下设置边界条件为Dirichlet条件，使用编制好的程序计算出主模的截止波长为0.8179a，第一高次模为0.6655a，第二高次模为0.5315a，截止波长图如下：

高次模区

单模TM11区截止模区

λ

5.用时域有限差分求解上述4题中的前两问。

解：（1）根据时域有限差分编写的程序可画出主模的电场分布

图如下：

在Neumann 边界条件下：

在Dirichlet 边界条件下：

（2）根据时域有限差分编写的程序可画出频谱图和场结构图，

从左图中可以读出主模截止频率c f 值，主模81.499610c f Z

=碒

，根

据1/(c f l =，其中12

08.8510e -=?,

-60 1.256630610,m =?从而计算出主模截至波长 2.0273c a l =

。