2 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件

(1)充分条件与必要条件的相关概念

①如果p?q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②如果p?q，但q?/p，则p是q的充分不必要条件；

③如果p?q，且q?p，则p是q的充要条件；

④如果q?p，且p?/q，则p是q的必要不充分条件；

⑤如果?/q，且q?/p，则p是q的既不充分也不必要条件．

[提醒]不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题．

(2)充分条件与必要条件的两个特征

①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p?q”?“q?p”．

②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则?q”．()

(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()

(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()

(5)q不是p的必要条件时，“p?/q”成立．()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√

命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()

A．若a≤b，则a＋c≤b＋c

B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

C．若a＋c>b＋c，则a>b

D．若a>b，则a＋c≤b＋c

解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.

(教材习题改编)“x>1”是“x2＋2x>0”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.

设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．

解析：把命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

(教材习题改编)命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝3x＋4，则p是q的________条件．

解析：当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝3x＋4不成立，即p?/q.

当x＝3x＋4时，x≥0，3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q?p，所以p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分

四种命题的相互关系及其真假判断

[典例引领]

(1)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()

A．3 B．2

C．1 D．0

【解析】(1)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.

(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．

【答案】(1)D(2)C

(2)由原命题写出其他三种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

[通关练习]

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析：选B.依题意，得原命题的逆命题为：若一个数的平方是正数，则它是负数． 2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1

x

＞1，则x ＞1”的逆否命题

解析：选B.对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x ＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1

x

≤1”，易知为假命题，故选B.

充分条件、必要条件的判断

[典例引领]

(1)(2017·高考北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)(2017·高考天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】 (1)因为m ，n 是非零向量，所以m ·n ＝|m |·|n |cos 〈m ，n 〉<0的充要条件是cos 〈m ，n 〉<0.因为λ<0，则由m ＝λn 可知m ，n 的方向相反，〈m ，n 〉＝180°，所以cos 〈m ，n 〉<0，所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”可推得“m ·n <0”；而由“m ·n <0”，可推得“cos 〈m ，n 〉<0”，但不一定推得“m ，n 的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m ＝λn ”．综上所述，“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件，故选A.

(2)由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，因为[0，2](－∞，2]，所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件，故选B. 【答案】 (1)A (2)B

(1)充分条件、必要条件的判断方法

①利用定义判断：直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．

②从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．

③利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假． (2)判断充要条件需注意三点 ①要分清条件与结论分别是什么． ②要从充分性、必要性两个方面进行判断． ③直接判断比较困难时，可举出反例说明．

[通关练习]

1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ?B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.因为由“a ＝3”可以推出“A ?B ”，反过来，由A ?B 可以得到“a ＝3或a ＝2”，不一定推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ?B ”的充分而不必要条件． 2．(2018·湖南省湘中名校高三联考)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.由log 2(2x －3)<1?0<2x －3<2?328?2x >3?x >3

2，所以“log 2(2x －3)<1”

是“4x >8”的充分不必要条件，故选A.

3．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A ，于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．

法二：(等价转化法)x ＝y ?cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos y ?/ x ＝y

.

充分条件、必要条件的应用

[典例引领

]

已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，求m 的取值范围．

【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，

由“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，知S ?P . 又因为集合S 非空，

则????

?1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，

所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．

1.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，

所以?????1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以?????m ＝3，m ＝9，

即不存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件．

2.本例条件不变，若“x ∈?P ”是“x ∈?S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由本例知P ＝{x |－2≤x ≤10}，

因为“x ∈?P ”是“x ∈?S ”的必要不充分条件， 所以P ?S 且S ?/P .

所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．

所以?????1－m ≤－2，1＋m >10或?????1－m <－2，1＋m ≥10.

所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．

根据充要条件求解参数范围的方法

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

[通关练习]

1．若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a 的最小值为________． 解析：由x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3. 因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，

所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集，即a ≥3，故a 的最小值为3. 答案：3

2．已知集合A ＝{x |1

2<2x <8，x ∈R }，B ＝{x |－1

不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．

解析：因为A ＝{x |1

2<2x <8，x ∈R }＝{x |－1

件是x ∈A ，得A B ，所以m ＋1>3，即m >2. 答案：(2，＋∞)

四种命题的真假关系

原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，但它的逆否命题一定为真，即互为逆否命题的两个命题是等价命题，具有相同的真假性，但互为逆命题或互为否命题的两个命题真假性没有关系．因此一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．

常用的正面叙述词语和它的否定词语

若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{p (x )}，B ＝{q (x )}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：

(1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件． (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件． (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件． (4)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件． (5)若A B ，则p 是q 的必要不充分条件．

(6)若A ?/B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 易错防范

(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

(2)注意区别A 是B 的充分不必要条件(A ?B 且B ?/A )，与A 的充分不必要条件是B (B ?A 且

A ?/

B )两者的不同．

1．命题“若x ＞1，则x ＞0”的逆否命题是( ) A ．若x ≤0，则x ≤1 B ．若x ≤0，则x ＞1 C ．若x ＞0，则x ≤1

D ．若x ＜0，则x ＜1

解析：选A.依题意，命题“若x ＞1，则x ＞0”的逆否命题是“若x ≤0，则x ≤1”，故选A.

2．原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．4

解析：选D.由题意可知，否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”，其为真命题；逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”，其为真命题．由等价命题的真假性相同可知，该命题的逆命题与原命题也为真命题．故选D.

3．(2018·兰州市高考实战模拟)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B.a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，若a ⊥b ，则a ·b ＝0，即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12，所以x ＝2?a ⊥b ，反之a ⊥b ?x ＝2或x ＝－1

2，所以“a ⊥b ”是

“x ＝2”的必要不充分条件，故选B.

4．(2018·石家庄市教学质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A >sin B ”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选C.设△ABC 外接圆的半径为R ，若sin A >sin B ，则2R sin A >2R sin B ，即a >b ；若a >b ，则a 2R >b

2R ，即sin A >sin B ，所以在△ABC 中，“sin A >sin B ”是“a >b ”的充要条件，故选

C.

5．已知命题：“若a >2，则a 2>4”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析：选B.原命题显然是真命题，其逆命题为“若a 2>4，则a >2”，显然是假命题，由互

为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．

6．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C ，使得A ?C ，B ??U C ” 是“A ∩B ＝?”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选C.依题意，若A ?C ，则?U C ??U A ，当B ??U C ，可得A ∩B ＝?；若A ∩B ＝?，不妨令C ＝A ，显然满足A ?C ，B ??U C ，故满足条件的集合C 是存在的． 7．下列命题中正确的个数是( )

①命题“若m >－1，则方程x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋2x －m ＝0有实根，则m >－1”；

②“x ≠1”是“x 2－3x ＋2≠0”的充分不必要条件； ③一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. A ．0 B ．3 C ．2

D ．1

解析：选C.对于①，命题“若m >－1，则方程x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋2x －m ＝0有实根，则m >－1”，故①正确；对于②，由x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或x ＝2，所以“x ≠1”不是“x 2－3x ＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )，所以b ＝0，反之，如果b ＝0，那么f (x )＝kx ，所以f (－x )＝－kx ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故③正确．正确命题的个数为2，故选C.

8．使a >0，b >0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b >0 B ．a －b >0 C ．ab >1

D.a

b

>1 解析：选A.因为a >0，b >0?a ＋b >0，反之不成立，而由a >0，b >0不能推出a －b >0，ab >1，a b

>1. 9．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a

10．(2018·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B.若A ＝－B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2

a 1

得A ＝－B ，故选B.

11．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量．则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选D.取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |, 得|a ＋b|2＝|a －b |2，整理得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |, 故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D.

12．(2018·河北石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( ) A ．若a >b >0，则ln a

B ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1

C ．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题

D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题

解析：选D.因为函数y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错误；若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而

角的终边在第一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C 错误；命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)>0，故D 正确．故选D.

13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3. 答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3

14．对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________． 解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；

逆命题：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2. 答案：2

15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得

?????a <0，Δ＝4a 2

＋12a ≤0，

解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]

16．已知函数f (x )＝2sin ????2x －π3(x ∈R )．设p ：x ∈????π4，π

2，q ：m －3

所以?

????m －3<1，

m ＋3>2，

解得－1

1．(2018·四川南山模拟)已知条件p ：1

4<2x <16，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0，若p 是q 的充分而

不必要条件，则a 的取值范围为( ) A ．[－4，＋∞) B ．(－∞，－4) C ．(－∞，－4]

D ．(4，＋∞)

解析：选B.由1

4<2x <16，得－2

方程(x ＋2)(x ＋a )＝0的两个根分别为－a ，－2.

①若－a >－2，即a <2，则条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－24，则a <－4；

②若－a ＝－2，即a ＝2，则(x ＋2)(x ＋a )<0无解，不符合题意；

③若－a <－2，即a >2，则q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－a

2．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么“φ(a ，b )＝0”是“a 与b 互补”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.若φ(a ，b )＝0，即

a 2＋

b 2＝a ＋b ，两边平方得ab ＝0，故具备充分性．若a ≥0，

b ≥0，ab ＝0，则不妨设a ＝0，φ(a ，b )＝

a 2＋

b 2－a －b ＝b 2－b ＝0，故具备必要性．

3．(2018·山西五校联考)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．

解析：p 对应的集合A ＝{x |x m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4

答案：m ≥1或m ≤－7 4．有下列四个命题：

①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．

其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．

解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；

④若A∩B＝B，则B?A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．

答案：①②③

5．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．

解：(1)否命题：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．

(2)命题p的否命题为真命题，证明如下：

因为ac<0，所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．

6．已知p：x2－7x＋12≤0，q：(x－a)(x－a－1)≤0.

(1)是否存在实数a，使綈p是綈q的充分不必要条件？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

(2)是否存在实数a，使p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意知，p：3≤x≤4，

q：a≤x≤a＋1.

(1)因为?p是?q的充分不必要条件，

所以?p??q，且綈q?/?p，

所以q?p，且p?/q，

即q是p的充分不必要条件，

故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x≤4}，

所以?????a >3，a ＋1≤4或?????a ≥3，a ＋1<4

，无解，

所以不存在实数a ，使?p 是?q 的充分不必要条件． (2)若p 是q 的充要条件，则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，

所以?????a ＝3，a ＋1＝4，

解得a ＝3.

故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．