用“时间最少原理”巧解物理竞赛题

用“时间最少原理”巧解物理竞赛题

福建南平三中郑书光

法国数学家费尔马1657年提出了光在介质中传播时所走的路程取极值的“费尔马原理”,当光线从介质1中的A 点经界面M 折射后经过介质2中的B 点,如图1所示,这

是同学们很熟悉的光的折射现象, 即光不是沿着最短路径而是沿着经历

时间最少的路径进行,我们把它叫做“时间最少原理”. 设光在介质1和

介质2中速度分别为v 1和v 2,N Nˊ是法线,O 点是入射点,入射角为α,

折射角为β,根据光的折射定律有:n 1sin α=n 2sin β,由光学知识知道,n 1=c c sin αv 1, n 2=,将n 1和 n 2代人折射定律可得到:=. v 1v 2sin βv 2图

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所以,光从A 到B 的最小时间必须满足的条件是:sin αv 1=. “时间最少原理”在数学和物理解题sin βv 2

中会经常用到,下面以2010年上海市第24届初中物理竞赛(大同中学杯)复赛试题第34题为例加以说明.

题目 图2(a)所示的是代号为“黑鸟SR-71”的战略侦察机. 该侦察机以两倍音速在距离地面高度为L 的高空水平飞行,某人站在地面上A 点,当侦察机经过D 点时,其正下方恰好是A 点,如图2(b)所示. 人最先听到的轰鸣声是侦察机飞到距离A 点_________处所发出的,当人听到该声音时,侦察机

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3 图2 离A 点的距离为________.

解析 设侦察机飞到O 点发出的轰鸣声最先传到A 点,如图3所示.OB 直线上方看成一种介质,速

0度是v 飞.OB 直线下方看成另一种介质,速度是v 声. 入射角为α=90,折射角为β,依题意v 飞=2v 声. 根

1s i n αv 飞sin 9002v 声0=据“时间最少原理”的条件有: ,即,sin β=,β=30. 由图3可知,=2s i n βv 声s i n βv 声

O 到A 的距离是s OA =L L 2L ==. 0cos βcos 303

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