2015顺义二模试题及答案
顺义区2015届初三第二次统一练习
数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2
5
-的倒数是（ ）
A ．52-
B ．52
C ．25-
D ．2
5
2．2015年春节，顺义区相关部门做了充分的准备工作，确保了消费品市场货源充足．据统计，春节一周长假期间共实现销售收入约3.284亿元，同比增长4.8%．将“3.284亿”用科学记数法表示正确的是
A ．8
3.28410? B ．7
32.8410? C ．7
3.28410? D ．9
3.28410? 3．若分式
2
1
x x --的值为0，则x 的值为 A ． 1或2 B ．2 C ．1 D ．0
4．某品牌吹风机抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是 （ ）
A ．购买100个该品牌的吹风机，一定有99个合格
B ．购买1000个该品牌的吹风机，一定有10个不合格
C ．购买10个该品牌的吹风机，一定都合格
D ．即使购买1个该品牌的吹风机，也可能不合格 5．校足球队10名队员的年龄情况如下：
则这个队队员年龄的众数和平均数分别是（ ）
A ．12， 13.1
B ．12，13
C ．13，13.1
D ．13，13 6． 某中学的铅球场地如图所示，已知半径OA =10米，2AB π=米，则扇形OAB 的面积为 A.
π平方米 B. 5π平方米 C. 10π平方米 D. 20π平方米
A
B
O
7．如图，在数轴上，点A
表示的数是B ，C 表示的数是两个连续的整数，则这两个整数为
A ．4和5
B ． -5和-4
C ．3和4
D ．-4和-3 8．在平行四边形、正方形、正五边形、正六边形四个图形中是中心对称图形的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上四点，若∠BOD =110o， 则∠A 的度数是
A ． 110o
B ． 115o
C ．120o
D ．125o
10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x ，大小正方形重叠部分的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是
C.
B.
A.
D.
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．计算：84a a ÷= ．
12．分解因式：2
242m m -+= ．
13．如图，B 为地面上一点，测得点B 到树底部C 的距离为10米， 在点B 处放置一个1米高的测角仪BD ，并测得树顶A 的仰角为53°， 则树高AC 约为 米（精确到0.1米）．
（参考数据：cos53°≈0.60，sin53°≈0.80，tan53°≈1.33）
14．如果关于x 的方程
x 2
﹣2x +k =0的一个根是-1，则另一个根是
．
15．乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于或等于3千米时，乘车费用都是
10元（即起步价
图③
图②
图①
D A
B
C
10元），当行驶路程大于3千米时，超过3千米的部分每千米收费2元，若一次乘坐这种出租车行驶4千米，则应付车费 元；若一次乘坐这种出租车付费20元，则乘车路程是 千米．
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…，n A
在x 轴的正半轴上，且1=2OA ，212OA OA =，322OA OA =
12n n OA OA -=，点1B ，2B ，3B ，…，n B 平分线l 上，且11A B ，22A B ，…，n n A B 都与射线l 则1B 的坐标是_ _____， 3B 的坐标是_ _____n B 的坐标是_ _____．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．计算：2
113tan30+3-??-- ???
．
18．如图，AB ∥CD ，AB =BC ，∠A =∠1，
求证：BE =CD ．
19．已知2
5x x -=，求代数式2
(2)(32)x x x +-+的值．
20．解方程：14
1
22=---x x x ．
1
E
A
C
D
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线
m
y
x
=与直线22
y x
=-+交于点A（-1，a）．
（1）求a，m的值；
（2）点P是双曲线
m
y
x
=上一点，且OP与直线
22
y x
=-+平行，求点P的坐标．
22．列方程或方程组解应用题：
随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．某销售点2012年销售烟花爆竹2 000箱，2014年销售烟花爆竹为1 280箱．求2012年到2014年烟花爆竹销售量的年平均下降率．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．如图，四边形ABCD为矩形，DE∥AC，且DE=AB，过点E作AD的垂线交AC于点F．（1）依题意补全图，并证明四边形EFCD是菱形；
（2）若AB=3，BC
=DE与AC间的距离．
A
B C
D
E
24．随着生活质量的提高，人们的消费水平逐年上升，小明把自己家2010，2012，2014年
的消费数据绘制统计图表如下： 年人均各项消费支出统计表
根据以上信息解答下列问题：
（1）a = ；并补全条形统计图；
（2）我们把“食品支出总额占个人消费支出总额的百分数”叫做恩格尔系数，请分别求出小明家2010，2012，2014年的恩格尔系数，并根据变化情况谈谈你的看法．
25．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 上一点，且AD =DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，
AE 是⊙O 的直径，连结DE ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若4
sin 5
C =，AC =6，求⊙O 的直径．
26． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 各边都平行于坐标轴，且A （-2，2），
C （3，-2）．对矩形ABC
D 及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以a ，纵坐标乘以b ，将得到的点再向右平移k （0k >）个单位，得到矩形''''A B C D 及其内部的点（''''A B C D 分别与ABCD 对应）．
E （2，1）经过上述操作后的对应点记为'E ． （1）若a =2，b =-3，k =2，则点D 的坐标为 ，点'D 的坐标为 ； （2）若'A （1，4），'C （6，-4），求点'E 的坐标．
C
年人均消费支出总额条形统计图
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．已知关于x 的方程()2230x m x m +-+-=．
（1）求证：方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根； （2）求证：抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的
一个定点；
（3）在平面直角坐标系xOy 中，若（2）中的“定点”记作A
抛物线()223y x m x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B 与y 轴交于点C ，且△OBC 的面积小于或等于8，求m 的取值范围．
28．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，
连结P A ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ． （1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数； （2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；
（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．
图3
P
D
D
图2
图1
A
B
P
C
B
C
P
A
29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
23
y x bx c =-
++与x 轴交于A ，B 两点，其中B （6，0），与y 轴交于点C （0，8），点P 是x 轴上方的抛物线上一动点（不与点C 重合）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，点E 关于直线PC 的对称点为'E ，若
点'E 落在y 轴上（不与点C 重合），请判断以P ，C ，E ，'E 为顶点的四边形的形状， 并说明理由；
（3）在（2）的条件下直接写出点P 的坐标．
备用图
顺义区2015届初三第二次统一练习
数学答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个
是符合题意的．
二、填空题（本题共18分，每小题
3分）
11．4a ； 12．()2
21m -； 13．14.3； 14．3； 15．12，8；（第一空1分第二空2分）
16． 1A （1，1），3A （4，4），11n n n A --（2,
2）．（每空1分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．解：2
113tan30+3-??- ???
19=-+…………...4分（其中第一、三项化简各1分，第二项化简2分）
8=…………………………………………………………………………………....5分
18． 证明：∵AB ∥CD ，
∴∠C =∠ABC ．…………………………....1分 又∵AB =BC ，∠A =∠1，……………………..3分 ∴△ABE ≌△BCD ，………………..……...4分 ∴BE =CD ．………………………………....5分 19． 解：2(2)(32)x x x +-+
224432x x x x =++--…………………………………………......2分（每项1分） 24x x =-+……………………………………………………………….……......3分
∵25x x -=，∴原式2
4x x =-+54=-+1=-．………………………......5分
20．解：()2
214x x x +-=-…………………………………………………....2分
22214x x x +-=-
23x =-
3
2
x =-………………………………………………………………..…….....3分
经检验可知3
2
x =-是原方程的根，…………………………….…...……...4分
1
E
A
C
D
∴原方程的根是3
2
x =-
．…………………………………………….…..……....5分 21． 解：（1）∵点A 的坐标是（-1，a ），在直线22y x =-+上，
∴a =4，…………………………………………………………………………………........1分 ∴点A 的坐标是（-1，4），代入反比例函数m
y x
=
， ∴m =-4．…………………………………………………………………………………......2分 （2）∵OP 与直线22y x =-+平行，
∴OP 的解析式为2y x =-， …………………………………………………………......3分
∵点P 是双曲线4
y x =-上一点， ∴设点P 坐标为（x , 4
x
-），
代入到2y x =-中， ∴4
=2x x
-
-，.......................................................................................................................4分
∴x = ∴点P
的坐标为-
或(．………………………………..………......5分
22． 解：设2012年到2014年烟花爆竹销售量的年平均下降率为x ．…………….....1分 依题意可列：()2
200011280x -=…………………………………………………......3分 解得0.2x =……………………………………………………………………………......4分 答：2012年到2014年烟花爆竹销售量的年平均下降率为20%．…………………......5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23． 画图………………………………………………………………………1分 （1）证明：
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ADC =90o，CD =AB ， ∵EF ⊥AD ， ∴∠EHD =90o， ∴∠EHD =∠ADC ， ∴EF ∥CD ， 又∵DE ∥AC ，
∴四边形EFCD 是平行四边形，……………......2分 又∵DE =AB ，
H
E
D
C B
A
F
∴DE=CD，
∴四边形EFCD是菱形．……………………......3分（2）解：过点D作DG⊥AC于G．
在Rt△ABC中，AB=3，BC
=
∴tan ACB
∠==，CD=3，
∴∠ACB=30o，……………………………………......4分
∴∠1=60o，
∴在Rt△DCG中，CD=3
，sin13
22
DG CD
=?∠=?=
∴平行线DE与AC
…………......5分
24．解：（1）5200；………………………….…......1分
补图……………………………………..3分
（2）0.40，0.35，0.30．………………………........4分
说明恩格尔系数越小消费水平越高．.................5分
25．（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠1=∠C=∠B，..................................................1分
又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，
∴AC是⊙O的切线．...........................................2分
（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵DA=DC，AC=6，
∴CF=
1
2
AC=3，..................................... ............3分
∵
4
sin
5
E=，∴
4
sin
5
C=，
∴在Rt△DFC中，DF=4，DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE =∠DFC=90°，∠E =∠C，
∴△ADE∽△DFC，.............................................4分
∴
AD DF
AE DC
=，
∴
54
5
AE
=，
C
H
1
G
F
A
B C
D
E
∴AE =
254，∴⊙O 的直径为254
．....................5分 26． 解：
（1）D （3，2），'D （8，-6），..................................................................................2分 （2）依题可列：21,
3 6.
a k a k -+=??
+=?则a =1，k =3，
2b =4，b =2，.........................................................4分（a ，b ，k 求出一个给1分） ∵点E （2，1），
∴'E （5，2）．.....................................................................................................5分
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27． 解：（1）24b ac -=()()2
243m m ---........................................................1分 =244412m m m -+-+ =2816m m -+ =()2
4m - ∵()240m -≥，
∴方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根．..............................................2分
（2）1,2x =
()
242
m m -±-．...............................................3分
∴11x =-，23x m =-+，
∴抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的一个定点（-1,0）．................4分 （3）
∵抛物线()223y x m x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ， ∴B （3-m ,0），C （0, m -3），...................................................................................5分 ∴△OBC 为等腰直角三角形， ∵△OBC 的面积小于或等于8， ∴OB ，OC 小于或等于4，
∴3-m ≤4或m -3 ≤4， .......................................................................................6分 ∴m ≥-1或m ≤7．
∴-1≤m ≤7且3m ≠．............................................................................................7分
28．解：
（1）∵边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ， ∴BA = BP ，
∵α=60°，∴△ABP 是等边三角形，..................................1分 ∴∠BAP =60o，AP = AC ， 又∵∠BAC =90°，
∴∠P AC =30o，∠ACP =75o，
∵PD ⊥AC 于点D ， ∴∠DPC =15o．....................................................................2分 （2）结论：∠DPC =75o．..................................................3分 （3）画图.............................................................................4分 过点A 作AE ⊥BP 于E ．
∴∠AEB =90o， ∵∠ABP =150°，∴∠1=30o，∠BAE =60o， 又∵BA = BP ， ∴∠2=∠3=15o， ∴∠P AE =75o， ∵∠BAC =90°， ∴∠4=75o， ∴∠P AE =∠4，
∵PD ⊥AC 于点D ， ∴∠AEP =∠ADP =90o，
∴△APE ≌△APD ，..............................................................5分 ∴AE = AD ，
在Rt △ABE 中，∠1=30o，∴1
2
AE AB =，
又∵AB =AC ， ∴11
22
AE AD AB AC ==
=， ∴AD =CD ，
又∵∠ADP =∠CDP =90o，
∴△ ADP ≌△CDP ，.............................................................6分 ∴∠DCP =∠4=75o， ∴∠DPC =15o．.......................................................................7分
4
1
2
3
E
D
B
A
C
P
E 3
21
E A
P
C
B
D
29．解：
（1）∵点C （0，8）在抛物线2
23
y x bx c =-
++上， ∴8c =，................................................................................................................................1分 又∵B （6，0）在抛物线2
283
y x bx =-++上， ∴02468b =-++， ∴83
b =
， ∴抛物线的表达式为228
833
y x x =-
++．......................................................................2分 （2） 结论：以P ，C ，E ，'E 为顶点的四边形为菱形．..............................................3分 证明：∵E 和'E 关于直线PC 对称，
∴∠'E CP =∠ECP ，'EP E P =，'EC E C =， 又∵PE ∥y 轴，
∴∠EPC =∠'E CP =∠ECP ，
∴EP =EC ，..........................................................................................................................5分 ∴''EC E C EP E P ===，
∴四边形'E CEP 为菱形．................................................................................................6分 （3）∵B （6，0），C （0，8）， ∴BC 的表达式为4
83
y x =-+． 设228,83
3P x x x ??-+
+ ??
?，则4,83E x x ??-+ ???
， ∴PE 的长为228488333x x x ????
-
++--+ ? ?????
=2243x +x -，
过点E 作EF ⊥y 轴于点F ， ∴△CFE ∽△COB ，
∴35EF CE =，∴53CE EF =，即5
3
CE x =． 由PE =EC 得225433x +x x -=，解得7
2
x =，
∴点P 的坐标为755,
26?? ?
??
．................................................8分（不需要过程，结论正确给2分）