高考理科数学第一轮复习测试题02
A 级 基础达标演练 (时间:40分钟 满分:60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.方程(x -y )2+(xy -1)2=0表示的是( ). A .一条直线和一条双曲线 B .两条双曲线 C .两个点
D .以上答案都不对
解析 (x -y )2
+(xy -1)2
=0????
x -y =0,
xy -1=0,
∴??? x =1,y =1或???
x =-1,
y =-1. 答案 C
2.(2012·厦门模拟)已知点F ? ????
14,0,直线l :x =-14,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ,则点M 的轨迹是( ). A .双曲线 B .椭圆 C .圆 D .抛物线
解析 由已知:|MF |=|MB |.由抛物线定义知,点M 的轨迹是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,故选D. 答案 D
3.设P 为圆x 2+y 2=1上的动点,过P 作x 轴的垂线,垂足为Q ,若PM →=λMQ →
(其中λ为正常数),则点M 的轨迹为( ). A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线 解析 设M (x ,y ),P (x 0,y 0),则Q (x 0,0), 由PM →=λMQ →得???
x -x 0=λ(x 0
-x ),
y -y 0=-λy
(λ>0),
∴???
x 0=x ,y 0
=(λ+1)y . 由于x 20+y 20=1,∴x 2+(λ+1)2y 2=1,∴M 的轨迹为椭圆. 答案 B
4.(2012·长春模拟)设圆(x +1)2+y 2=25的圆心为C ,A (1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则M 的轨迹方程为
( ).
A.4x 221-4y 2
25=1 B.4x 221+4y 2
25=1 C.4x 225-4y 2
21
=1 D.4x 225+4y 2
21
=1 解析 M 为AQ 垂直平分线上一点,则|AM |=|MQ |,
∴|MC |+|MA |=|MC |+|MQ |=|CQ |=5,故M 的轨迹为椭圆, ∴a =52,c =1,则b 2=a 2-c 2=214,
∴椭圆的标准方程为4x 225+4y 2
21=1.
答案 D
5.(2011·湘潭模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O ,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使M 与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD ,设CD 与OM 交于点P ,则点P 的轨迹是( ).
A .椭圆
B .双曲线
C .抛物线
D .圆 解析 由条件知|PM |=|PF |.
∴|PO |+|PF |=|PO |+|PM |=|OM |=R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆. 答案 A
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.平面上有三个点A (-2,y ),B ? ???0,
y 2,C (x ,y ),若AB →⊥BC →
,则动点C 的轨迹方程是________.
解析 AB →
=? ????
0,y 2-(-2,y )=? ??2,-y 2, BC →
=(x ,y )-? ????
0,
y 2=? ????x ,y 2, ∵AB →⊥BC →,∴AB →·BC →=0, ∴? ?
???2,-
y 2·? ????x ,y 2=0,即y 2=8x . ∴动点C 的轨迹方程为y 2=8x . 答案 y 2=8x
7.(2012·佛山月考)在△ABC 中,A 为动点,B 、C 为定点,B ? ????
-a 2,0
,C ? ????a 2,0(a >0),且满足条件sin C -sin B =1
2sin A ,则动点A 的轨迹方程是________.
解析 由正弦定理:
|AB |2R -|AC |2R =12×|BC |
2R
∴|AB |-|AC |=1
2|BC |,且为双曲线右支.
答案 16x 2a 2-16y 2
3a
2=1(x >0且y ≠0)
8.直线x a +y
2-a
=1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是______.
解析 (参数法)设直线x a +y
2-a =1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2-a ),A 、B 中
点为M (x ,y ),则x =a 2,y =1-a
2,消去a ,得x +y =1,∵a ≠0,a ≠2,∴x ≠0,
x ≠1.
答案 x +y =1(x ≠0,x ≠1) 三、解答题(共23分)
9.(★)(11分)设圆C :(x -1)2+y 2=1,过原点O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程. 解 法一 直接法.
如图,设OQ 为过O 点的一条弦,P (x ,y )为其中点,
则CP ⊥OQ .因OC 中点为M ? ??
??
12,0,连接PM . 故|MP |=12|OC |=12,得方程?
????x -122+y 2=1
4,由圆的范围知0<x ≤1. 法二 定义法. ∵∠OPC =90°,
∴动点P 在以点M ? ????12,0为圆心,OC 为直径的圆上,由圆的方程得? ????
x -122+y 2
=1
4
(0<x ≤1). 法三 代入法. 设Q (x 1,y 1),则 ?????
x =x 12,y =y 12
????
x 1=2x ,
y 1=2y .
又∵(x 1-1)2+y 21=1, ∴(2x -1)2+(2y )2=1(0<x ≤1). 法四 参数法.
设动弦OQ 的方程为y =k x ,代入圆的方程得(x -1)2+k 2x 2=1. 即(1+k 2)x 2-2x =0,
∴x =x 1+x 22=11+k ,y =k x =k 1+k ,消去k 即可得到(2x -1)2+(2y )2=1(0<x ≤1). 【点评】 本题中的四种解法是求轨迹方程的常用方法,在求轨迹方程时,要注意挖掘题目中的条件,恰当地选取方法.
10.(12分)(2012·苏州模拟)已知定点F (0,1)和直线l 1:y =-1,过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程;
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ,交直线l 1于点R ,求RP →·RQ →的最小值. 解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离, ∴点C 的轨迹是以F 为焦点,l 1为准线的抛物线, ∴动点C 的轨迹方程为x 2=4y .
(2)由题意知,直线l 2方程可设为y =k x +1(k ≠0),
与抛物线方程联立消去y ,得x 2-4k x -4=0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4. 又易得点R 的坐标为? ????
-2k 1
, ∴RP →·RQ →
=? ????x 1+2k ,y 1+1·
? ?
???x 2+2k ,y 2+1 =? ?
?x 1+2k ? ????x 2+2k +(k x 1+2)(k x 2+2) =(1+k 2)x 1x 2+? ????
2k +2k (x 1+x 2)+4k 2+4 =-4(1+k 2)+4k ? ????2k +2k +4
k 2+4
=4? ?
?
??k 2+1k 2+8. ∵k 2+1
k 22,当且仅当k 2=1时取等号,
∴RP →·RQ →≥4×2+8=16,即RP →·RQ →的最小值为16.
B 级 综合创新备选 (时间:30分钟 满分:40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.△ABC 的顶点A (-5,0)、B (5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线x =3上,则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29-y 2
16
=1
B.x 216-y 2
9
=1 C.x 29-y 2
16
=1(x >3) D.x 216-y 2
9
=1(x >4) 解析 如图|AD |=|AE |=8,|BF |=|BE |=2,|CD |=|CF |, 所以|CA |-|CB |=8-2=6.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A 、B 为焦点, 实轴长为6的双曲线的右支,方程为x 29-y 2
16=1(x >3).
答案 C
2.|y |-1=1-(x -1)2表示的曲线是( ).
A .抛物线
B .一个圆
C .两个圆
D .两个半圆
解析
原方程等价于???
|y |-1≥01-(x -1)2
≥0
(|y |-1)2=1-(x -1)2
???? |y |-1≥0(x -1)2+(|y |-1)2=1
????
y ≥1(x -1)2+(y -1)2=1或???
y ≤-1(x -1)2+(y +1)2
=1 答案 D
二、填空题(每小题4分,共8分)
3.(2012·开封模拟)已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上的任意一点,F 1、F 2是它的两个焦
点,O 为坐标原点,OQ →=PF 1→+PF 2→
,则动点Q 的轨迹方程是______________. 解析 由OQ →=PF 1→+PF 2→
, 又PF 1→+PF 2→=PM →=2PO →=-2OP →, 设Q (x ,y ),则OP →=-12OQ →
=-1
2(x ,y )
=? ??
??-x
2,-y 2, 即P 点坐标为? ????-x
2,-
y 2,又P 在椭圆上, 则有? ?
???-x 22a 2? ????-y 22b 2=1,即x 24a 2+y 2
4b 2=1.
答案 x 24a +y 2
4b =1
4.已知两条直线l 1:2x -3y +2=0和l 2:3x -2y +3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交,且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24,则圆心的轨迹方程是____________.
解析 设动圆的圆心为M (x ,y ),半径为r ,点M 到直线l 1,l 2的距离分别为d 1和d 2.
由弦心距、半径、半弦长间的关系得, ???
2r 2-d 21=26,2r 2-d 22=24,
即???
r 2-d 21=169,r 2-d 22=144,
消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22-d 21=25, 即(3x -2y +3)213-(2x -3y +2)2
13=25.
化简得(x +1)2-y 2=65.
此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程. 答案 (x +1)2-y 2=65 三、解答题(共22分)
5.(10分)已知双曲线x 22y 2
=1的左、右顶点分别为A 1、A 2,点P (x 1,y 1),Q (x 1,
-y 1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程;
(2)若过点H (0,h )(h >1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点,且l 1⊥l 2,求h 的值.
解 (1)由题设知|x 1|>2,A 1(-2,0),A 2(2,0), 则有直线A 1P 的方程为y =y 1
x 1+2(x +2),①
直线A 2Q 的方程为y =
-y 1x 1-2
(x -2).②
联立①②解得交点坐标为x =2x 1,y =2y 1
x 1,
即x 1=2x ,y 1=2y
x ,③
则x ≠0,|x |< 2.
而点P (x 1,y 1)在双曲线x 22-y 2
=1上,
∴x 21
2
-y 21=1.
将③代入上式,整理得所求轨迹E 的方程为 x 22
+y 2
=1,x ≠0且x ≠±2. (2)设过点H (0,h )的直线为y =k x +h (h >1), 联立x 22
+y 2
=1得(1+2k 2)x 2+4k hx +2h 2-2=0.
令Δ=16k 2h 2-4(1+2k 2)(2h 2-2)=0得h 2-1-2k 2=0, 解得k 1=
h 2-1
2
,k 2= -h 2-1
2
. 由于l 1⊥l 2,则k 1k 2=-h 2-1
2
=-1,故h = 3.
过点A 1,A 2分别引直线l 1,l 2通过y 轴上的点H (0,h ),且使l 1⊥l 2,因此A 1H ⊥A 2H ,
由h
2×? ????
-h 2=-1,得h = 2.此时,
l 1,l 2的方程分别为y =x +2与y =-x +2,
它们与轨迹E 分别仅有一个交点? ????-23,223与? ????
23223.
所以,符合条件的h 的值为3或 2.
6.(12分)设椭圆方程为x 2
+y 2
4
=1,过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ,B 两点,O
为坐标原点,点P 满足OP →=12(OA →+OB →
),点N 的坐标为? ????
12,12,当直线l 绕点M
旋转时,求:
(1)动点P 的轨迹方程; (2)|NP →
|的最大值,最小值.
解 (1)直线l 过定点M (0,1),设其斜率为k ,则l 的方程为y =k x +1. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知,A 、B 的坐标满足方程组????
?
y =k x +1,x 2+y 24=1.
消去y 得(4+k 2)x 2+2k x -3=0.
则Δ=4k 2+12(4+k 2)>0. ∴x 1+x 2=-2k 4+k 2,x 1x 2=-3
4+k 2
.
设P (x ,y )是AB 的中点,则OP →=1
2(OA →+OB →
),得
?????
x =12(x 1+x 2)=k 4+k 2,y =1
2(y 1+y 2)=12(k x 1+1+k x 2+1)=4+2k 2
4+k 2;
消去k 得4x 2+y 2-y =0.
当斜率k 不存在时,AB 的中点是坐标原点,也满足这个方程, 故P 点的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0. (2)由(1)知4x 2+? ????
y -
122=14 ∴-14≤x ≤14
而|NP |2=? ????
x -
122+? ????y -122 =? ?
???x -122+1-16x 24 =-3? ????
x +
162+712
, ∴当x =-16时,|NP →|取得最大值21
6,
当x =14时,|NP →|取得最小值14
.